Nghiên cứu lý thuyết về các giải pháp cân bằng cơ cấu phẳng và không gian

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình do tôi tự làm và nghiên cứu, trong luận văn
có sử dụng một số tài liệu tham khảo đã được liệt kê trong mục tài liệu tham khảo.

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hà


ối lượ

ẳng ........................................ 35
3.1.1 Động học ................................................................................................. 35
3.1.2 Các điều kiện cân bằng lực quán tính ..................................................... 37

MỤC LỤC
Lời nói đầu ............................................................................................................... 6
1. Tổng quan về cân bằng động lực cơ cấu ........................................................... 8
3.1 Các giải pháp cân bằng khối lượng ................................................................ 8
3.1.1 Cân bằng lực quán tính bằng đối trọng ..................................................... 9
3.1.2 Cân bằng nhờ các cơ cấu phụ trợ ........................................................... 10
3.1.3 Cân bằng khối lượng bằng điều khiển ................................................... 14
3.2 Các giải pháp cân bằng công suất và phản lực khớp động ........................... 15
3.3 Các điều kiện cân bằng khối lượng .............................................................. 15
2. Cơ sở lý thuyết về thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng ................... 19
2.1 Cơ sở lý thuyết về động học của một cơ cấu ................................................ 19
2.1.1 Mô hình khảo sát ..................................................................................... 19
2.1.2 Phân tích vị trí ......................................................................................... 20
2.1.3 Phân tích vận tốc và gia tốc .................................................................... 21
2.1.4 Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc khâu.................................................. 22

2.1.5 Tính toán động học bằng phương pháp số .............................................. 24
2.2 Các điều kiện cân bằng động lực tổng quát .................................................. 28
2.3 Biến đổi các điều kiện cân bằng khối lượng về dạng đại số ........................ 29
2.3.1 Điều kiện cân bằng lực quán tính dưới dạng biểu thức đại số ................ 29
2.3.2 Điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính dưới dạng biểu thức đại số ....... 31
3. Các thí dụ áp dụng ............................................................................................ 35


3.3.1 Động học .................................................................................................57
3.3.2 Các điều kiện cân bằng lực quán tính .................................................... 70
3.3.3 Các giải pháp cân bằng lực quán tính ..................................................... 80
3.3.4 Các kết quả mô phỏng số ........................................................................ 83
Kết luận và kiến nghị ............................................................................................ 96
Tài liệu tham khảo ................................................................................................97


i

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Véctơ tọa độ suy rộng loại hai

u

Véctơ vị trí và véctơ vận tốc khối tâm khâu thứ i
Khối tâm của khâu thứ i

rSi , v Si
Si

Khối lượng và chiều dài khâu thứ i

mi , li

Thành phần lực quán tính thu gọn của cơ cấu
Mômen lực quán tính thu gọn của cơ cấu

Fx* , Fy*

M O*

1


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Các tham số hình học của cơ cấu ................................................................41
Bảng 3.2 Kết quả tính toán số với phương án cân bằng lực quán tính .......................43
Bảng 3.3 Các thông số hình học của cơ cấu tám khâu ...............................................53
Bảng 3.4 Kết quả tính toán số với phương án cân bằng lực quán tính .......................54
Bảng 3.5 Các thông số thiết kế Rôbốt ........................................................................83
Bảng 3.7 Kết quả tính toán số với phương án cân bằng lực quán tính ......................93

2


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Một số cấu hình lắp đối trọng cân bằng cho cơ cấu bốn khâu phẳng [2] ......9
Hình 1.2 Cân bằng lực quán tính cơ cấu chấp hành song song không gian [13, 14]..10
Hình 1.3 Cân bằng ngẫu lực quán tính của từng khâu với các cặp bánh răng............10

Hình 1.4 Sơ đồ cân bằng khối lượng bằng đối trọng và bánh răng [13] ....................11
Hình 1.5 Cân bằng khối lượng bằng đối trọng và bánh răng cho cơ cấu 4 khâu [2] ..11
Hình 1.6 Cân bằng ngẫu lực quán tính riêng từng khâu bằng bánh răng vi sai [9,12]11
Hình 1.7 Cân bằng nhờ cơ cấu thanh lắp phụ trợ [9, 12]............................................12
Hình 1.8 Cân bằng ngẫu lực quán tính với cơ cấu cam phẳng [2, 9] .........................13
Hình 1.9 Cân bằng khối lượng với bánh răng hoặc cơ cấu chép hình [12,13] ...........13
Hình 1.10 Cơ cấu cân bằng Lanchester ......................................................................13
Hình 1.11 Cân bằng hoàn toàn cơ cấu chấp hành 3RRR nhờ đối trọng và điều khiển
chuyển động của bánh đà [13] ....................................................................................14
Hình 1.12 Cân bằng công suất nhờ lò xo [25] ............................................................15
Hình 1.13 Các hệ tọa độ tại khâu thứ i của cơ cấu phẳng...........................................16
Hình 2.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ..................................................................19
Hình 2.2 Sơ đồ thuật toán của phương pháp Newton-Raphson..................................26
Hình 2.3 Sơ đồ thuật giải phân tích động học của một cơ cấu ...................................27
Hình 3.2 Sơ đồ gắn đối trọng cho cơ cấu sáu khâu ....................................................42
Hình 3.3 So sánh trị số của lực quán tính thu gọn theo ..............................................43
phương y trước và sau cân bằng .................................................................................43
Hình 3.3 So sánh trị số của lực quán tính thu gọn theo ..............................................43
phương x trước và sau cân bằng .................................................................................43
Hình 3.3 Phương án cân bằng ngẫu lực quán tính bằng bánh răng ............................44
Hình 3.4 Đồ thị ngẫu lực quán tính trước và sau cân bằng ........................................45
3


Hình 3.5 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ của cơ cấu tám khâu phẳng .....................46
Hình 3.6 Sơ đồ gắn đối trọng cho cơ cấu tám khâu ....................................................54
Hình 3.7 So sánh lực quán tính Fx giữa cơ cấu trước và sau khi cân bằng ................55
Hình 3.8 So sánh lực quán tính Fy giữa cơ cấu trước và sau khi cân bằng ................55
Hình 3.9 Sơ đồ gắn các bánh răng hành tinh lên cơ cấu tám ......................................56
khâu (cân bằng ngẫu lực của cơ cấu) ..........................................................................56

Hình 3.10 Đồ thị so sánh ngẫu lực quán tính của cơ cấu tám khâu ...........................56
trước và sau cân bằng..................................................................................................56
Hình 3.11 Cấu trúc rôbốt song song không gian ........................................................57
Hình 3.12 Các tham số hình học của cơ cấu ...............................................................58
Hình 3.13 Sơ đồ động học của cơ cấu ........................................................................59
Hình 3.14 Sơ đồ bàn máy cố định và bàn máy động ..................................................60
Hình 3.15 Hình chiếu cánh tay 3 trong mặt phẳng ( x0Oz0 ) .........................................60
Hình 3.16 Hình chiếu cánh tay 1,2 trong mặt phẳng ( y0Oz0 ) .....................................60
Hình 3.17 Sơ đồ khâu E3 P3 .........................................................................................61
Hình 3.18 Mô hình cơ cấu cân bằng nhờ gắn đối trọng..............................................81
Hình 3.19 Sơ đồ cơ cấu gắn đối trọng trong mặt phẳng (yOz) ...................................81
Hình 3.20 Sơ đồ cơ cấu gắn đối trọng trong mặt phẳng (xOz) ...................................82
Hình 3.21 Đồ thị các góc quay theo thời gian ............................................................84
Hình 3.22 Đồ thị vị trí gốc O’ theo thời gian..............................................................85
Hình 3.23 Quỹ đạo chuyển động các khối tâm khi chiếu lên mặt phẳng Ox0 z0 .........85
Hình 3.24 Đồ thị vận tốc góc các khâu .......................................................................86
Hình 3.25 Đồ thị gia tốc góc các khâu ........................................................................86
Hình 3.26 Đồ thị vận tốc khối tâm các khâu ..............................................................87
Hình 3.27 Đồ thị gia tốc gốc O’ của bàn máy động ...................................................87
4


Hình 3.28 Đồ thị các góc quay theo thời gian ............................................................88
Hình 3.29 Sơ đồ cơ cấu trong không gian ..................................................................88
Hình 3.30 Vận tốc góc các khâu .................................................................................89
Hình 3.31 Gia tốc góc các khâu ..................................................................................89
Hình 3.32 Đồ thị vận tốc các khối tâm .......................................................................90
Hình 3.33 Đồ thị gia tốc các khối tâm ........................................................................90
Hình 3.34 Lực quán tính trước khi cân bằng ..............................................................91
Hình 3.35 Trị số lực quán tính Fqtx trước và sau cân bằng ..........................................94

Hình 3.36 Trị số lực quán tính Fqty trước và sau cân bằng ..........................................94
Hình 3.37 Trị số lực quán tính Fqtz trước và sau cân bằng ..........................................95

5


LỜI NÓI ĐẦU
Trong quá trình vận hành, các chi tiết máy chuyển động tạo ra các lực (và ngẫu lực)
quán tính. Hệ lực quán tính gây ra các phản lực động phụ tại các ổ đỡ và cũng có trị số
biến thiên. Các phản lực động phụ là một trong những nguyên nhân chính gây ra hiện
tượng dao động có hại tại móng máy và các chi tiết máy. Tốc độ quay của máy càng lớn
thì trị số của lực quán tính càng lớn và do đó biên độ dao động của máy càng lớn.
Cân bằng động lực cơ cấu được hiểu là biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu nguồn kích
động dao động xuất phát từ quán tính của các khâu động của cơ cấu trong khi vận hành.
Trong những năm qua, vấn đề cân bằng động lực cơ cấu đã được nhiều nhà nghiên cứu
quan tâm. Theo quan điểm của Cơ học kỹ thuật, cân bằng động lực cho một cơ cấu bao
gồm các bài toán sau:
Cân bằng khối lượng nhằm làm giảm hoặc triệt tiêu hoàn toàn lực quán tính thu gọn và
ngẫu lực quán tính thu gọn (hay véctơ chính và mô men chính của hệ lực quán tính gây
ra bởi các khâu động của cơ cấu. So với cân bằng lực quán tính, vấn đề cân bằng ngẫu
lực quán tính phức tạp hơn nhiều. Cân bằng khối lượng hướng tới triệt tiêu một phần
hoặc hoàn toàn các kích động dao động do lực quán tính các khâu gây ra.
Cân bằng công suất nhằm giảm thiểu sự biến đổi công suất của động cơ, nói cách khác
là duy trì công suất động cơ chỉ dao động nhỏ xung quanh giá trị trung bình. Cân bằng
công suất giúp cho cơ cấu và máy làm việc ổn định, tiết kiệm năng lượng và giảm tải
trọng lên động cơ.
Cân bằng phản lực tại khớp nối trung gian giữa các khâu nhằm giảm thiểu các phản lực
cục bộ tại các khớp. Cân bằng phản lực khớp làm giảm tải trọng tại các ổ đỡ và làm tăng
tuổi thọ làm việc của bộ phận khớp nối, ổ đỡ.
Trong ba bài toán trên, cân bằng khối lượng là chủ đề được quan tâm nghiên cứu nhiều

nhất do tính khả thi của các giải pháp kỹ thuật. Do đó, luận văn với đề tài “Nghiên cứu
lý thuyết về các giải pháp kỹ thuật cân bằng động lực cho cơ cấu phẳng và không
gian” sẽ tập trung chủ yếu nghiên cứu các phương pháp và thuật toán thiết lập các điều
kiện cân bằng khối lượng cho các cơ cấu, các giải pháp kỹ thuật hiện có và một số thí
dụ tính toán cân bằng lý thuyết bằng các phần mềm MAPLE và MATLAB. Các giải

6


pháp cân bằng công suất và cân bằng phản lực khớp động chỉ được đề cập tới một cách
tổng quan trên cơ sở tham khảo, phân tích các tài liệu khoa học.
Luận văn được hoàn thành tại Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại Học
Bách Khoa Hà Nội. Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn
Phong Điền. Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô trong Bộ môn vì sự chỉ bảo tận
tình của các thầy về chuyên môn trong suốt thời gian học tập Cao học và giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Học viên
Nguyễn Ngọc Hà

7


CHƯƠNG I

Tổng quan về cân bằng động lực cơ cấu
Cân bằng máy (Machine Balancing) hiện này đã trở thành một lĩnh vực quan trọng của
động lực học máy và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật cơ khí. Cân bằng máy là một
trong những giải pháp cơ bản nhằm giảm thiểu các dao động cơ học, kéo dài tuổi thọ
hoạt động và tăng độ tin cậy của máy và thiết bị. Nhiệm vụ của cân bằng máy là đưa ra
các biện pháp kỹ thuật làm giảm hoặc làm triệt tiêu hoàn toàn các phản lực động phụ tại

các ổ đỡ.

3.1 Các giải pháp cân bằng khối lượng
Cân bằng khối lượng của cơ cấu được hiểu là các biện pháp làm giảm hoặc triệt tiêu
nguồn kích động dao động xuất phát từ các lực quán tính của các khâu động, một trong
những nguyên nhân chính gây ra dao động tại các gối đỡ và làm tăng các tải trọng động
lực lên cơ cấu. Cân bằng khối lượng cơ cấu được chia thành hai dạng:
Cân bằng lực quán tính (shaking force balancing) nhằm làm giảm hoặc triệt tiêu hoàn
toàn lực quán tính thu gọn (hay véctơ chính của hệ lực quán tính) của cơ cấu. Lực quán
tính có thể được cân bằng hoàn toàn bằng cách lắp thêm các đối trọng vào các khâu hoặc
thay đổi phân bố khối lượng hoặc vị trí khối tâm của từng khâu. Tuy nhiên, giải pháp
cân bằng này làm tăng khối lượng chung của toàn bộ cơ cấu, tăng ngẫu lực phát động
của động cơ và có thể làm tăng các phản lực động lực tại các khớp nối giữa các khâu
trung gian.
Cân bằng ngẫu lực quán tính (shaking moment balancing) nhằm làm giảm hoặc triệt
tiêu hoàn toàn ngẫu lực quán tính thu gọn của cơ cấu. So với cân bằng lực quán tính, vấn
đề cân bằng ngẫu lực quán tính phức tạp hơn nhiều. Ngẫu lực quán tính không thể cân
bằng được hoàn toàn nhờ thay đổi phân bố khối lượng của các khâu. Giải pháp cho vấn
đề này là lắp thêm các khâu phụ (bánh răng, cơ cấu cam, hoặc cơ cấu thanh răng) để tạo
các ngẫu lực cân bằng.
Tuy nhiên, mọi giải pháp cân bằng khối lượng đều phải dựa trên các điều kiện cân bằng
khối lượng. Đó là các biểu thức đại số biểu diễn các điều kiện triệt tiêu lực quán tính thu
gọn và ngẫu lực quán tính thu gọn của cơ cấu. Từ các điều kiền cân bằng, ta có thể xác
định và chọn lựa các tham số hình học - khối lượng của các khâu một cách phù hợp.
8


Cho đến nay, bài toán cân bằng khối lượng của các cơ cấu phẳng đã được nghiên cứu
khá tổng quát. Cân bằng khối lượng của cơ cấu không gian phức tạp hơn nhiều và vẫn
đang tiếp tục được nghiên cứu trên thế giới.

Bài toán cân bằng khối lượng của các cơ cấu máy đã được nhiều nhà nghiên cứu quan
tâm từ những năm 50 của thế kỷ trước. Các tài liệu [1-3, 8-9] đã trình bày khá toàn diện
và bao quát về những kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này từ trước đến nay.
Shchepetilnikov [4], Berkof [5,7] là những tác giả đầu tiên sử dụng con lắc vật lý và các
đối trọng để cân bằng lực quán tính cho các cơ cấu phẳng một bậc tự do. Kể từ những
năm sau đó, nhiều công trình nghiên cứu cân bằng khối lượng của cơ cấu phẳng, đặc
biệt các cơ cấu phẳng truyền động với tốc độ cao, được công bố trên nhiều tạp chí
chuyên khảo, thí dụ các bài báo khoa học [10-21]. Mục dưới đây đề cập tới một số giải
pháp kỹ thuật đã được đề xuất để cân bằng khối lượng cơ cấu.
3.1.1 Cân bằng lực quán tính bằng đối trọng
Giải pháp cân bằng lực quán tính bằng cách lắp thêm các khối lượng phụ (đối trọng) vào
các khâu động đã được áp dụng từ lâu trong các hệ truyền động. Lực quán tính thu gọn
của một cơ cấu có thể được cân bằng hoàn toàn (còn gọi là cân bằng tĩnh) bằng cách lắp
thêm các khối lượng phụ (đối trọng) vào các khâu tại các vị trí xác định sao cho khối
tâm chung của cơ cấu luôn đứng yên khi cơ cấu chuyển động. Giải pháp này dẫn đến
triệt tiêu lực quán tính thu gọn, đồng thời các đặc trưng động học của cơ cấu vẫn không
đổi so với thiết kế ban đầu.
Trên hình 1.1 là một số cấu hình lắp đối trọng cho cơ cấu bốn khâu phẳng đã được áp
dụng từ 50 năm trước đây. Đối trọng có thể lắp tại các khâu nối giá hoặc khâu truyền để
đảm bảo khối tâm chung của cơ cấu đứng yên. Hình 1.2 mô tả giải pháp cân bằng lực
quán tính bằng đối trọng cho cơ cấu không gian.

Hình 1.1 Một số cấu hình lắp đối trọng cân bằng cho cơ cấu bốn khâu phẳng [2]

9


Hình 1.2 Cân bằng lực quán tính cơ cấu chấp hành song song không gian [13, 14]

Giải pháp sử dụng đối trọng (hoặc thay đổi phân bố khối lượng các khâu) khá đơn giản,

dễ thực hiện và giá thành rẻ. Tuy nhiên, giải pháp cân bằng này làm tăng khối lượng
chung của cơ cấu do có thêm các khối lượng phụ. Theo Kochev [9] , một cơ cấu bốn
khâu phẳng có thể tăng khối lượng gấp 3 lần sau khi cân bằng và mức tăng sẽ nhiều hơn
đối với các cơ cấu phức tạp. Ngoài ra, việc lắp đối trọng làm tăng không gian chung của
toàn bộ cơ cấu, tăng ngẫu lực phát động của động cơ và có thể làm tăng các phản lực
động lực tại các khớp nối giữa các khâu trung gian. Giải pháp cân bằng này chỉ giúp
chúng ta cân bằng được lực quán tính mà không thể cân bằng được ngẫu lực quán tính.
Vì vậy chúng ta cần một số giải pháp khác để cân bằng ngẫu lực quán tính của cơ cấu.
3.1.2 Cân bằng nhờ các cơ cấu phụ trợ
So với bài toán cân bằng lực quán tính bài toán cân bằng ngẫu lực quán tính phức tạp
hơn rất nhiều. Ngẫu lực quán tính không thể cân bằng hoàn toàn nhờ thay đổi phân bố
khối lượng hay lắp đối trọng [9].

Hình 1.3 Cân bằng ngẫu lực quán tính của từng khâu với các cặp bánh răng

10


Các giải pháp kỹ thuật cho vấn đề này là phải lắp thêm các khâu phụ (hoặc nhóm các
khâu phụ) vào cơ cấu ban đầu để tạo ra các ngẫu lực cân bằng, trong khi vẫn đảm bảo
được các yêu cầu truyền động như thiết kế và vẫn đảm bảo được khả năng cân bằng lực
quán tính. Các khâu phụ được sử dụng rộng rãi nhất là bộ truyền bánh răng hành tinh lắp
cho từng khâu động (hình 1.3) [19-21]. Chuyển động quay theo hướng ngược lại của
bánh răng bị dẫn sẽ tạo ra mô men cân bằng. Giải pháp này được thực hiện cho nhiều
loại cơ cấu khác nhau như mô tả trên các hình 1.4-1.6.

Hình 1.4 Sơ đồ cân bằng khối lượng bằng đối trọng và bánh răng [13]

Hình 1.5 Cân bằng khối lượng bằng đối trọng và bánh răng cho cơ cấu 4 khâu [2]

Hình 1.6 Cân bằng ngẫu lực quán tính riêng từng khâu bằng bánh răng vi sai [9,12]

11


Loại cơ cấu phụ trợ khác là sử dụng các cơ cấu đối xứng để tạo ra các chuyển động đối
ngược, nghĩa là tạo ra lực quán tính theo hướng ngược lại. Giải pháp này làm triệt tiêu
hoàn toàn lực quán tính thu gọn và ngẫu lực quán tính thu gọn, tuy nhiên, lại tạo ra một
kết cấu truyền động cồng kềnh và đòi hỏi không gian lớn, hình 1.7.

Hình 1.7 Cân bằng nhờ cơ cấu thanh lắp phụ trợ [9, 12]

Trong một số nghiên cứu khác, người ta đã sử dụng bộ truyền bánh răng không tròn kiểu
cơ cấu cam để cân bằng ngẫu lực quán tính. Một cơ cấu phẳng có thể cân bằng hoàn
toàn chỉ bằng một bộ truyền bánh răng không tròn (hình 1.8). Tuy nhiên giải pháp này
thực sự khó khả thi trong thực tế do yếu tố giá thành chế tạo bánh răng. Ngoài ra, việc
đổi chiều chuyển động của cặp bánh răng trong quá trình làm việc sẽ gây ra va đập ăn
khớp do luôn tồn tại khe hở giữa các biên dạng ăn khớp. Điều này làm giảm tuổi thọ của
bộ truyền.
12


Hình 1.8 Cân bằng ngẫu lực quán tính với cơ cấu cam phẳng [2, 9]

Một giải pháp tiếp theo đã được đề xuất là sử dụng kết hợp giữa bộ truyền bánh răng và
cơ cấu chép hình (pantograph linkage), xem hình 1.9.

Hình 1.9 Cân bằng khối lượng với bánh răng hoặc cơ cấu chép hình [12,13]

mC eω 2

ψ

S3

S2

ω = ψ

Ωt
S4

ω = ψ
ψ
mC eω 2

Hình 1.10 Cơ cấu cân bằng Lanchester

13


Cơ cấu cân bằng Lanchester là một giải pháp để làm giảm một phần của lực quán tính
thu gọn, để tạo ra các lực cân bằng với một thành phần điều hòa của lực quán tính của
cơ cấu. Cơ cấu cân bằng Lanchester sử dụng cặp bánh răng giống nhau (tỷ số truyền
bằng 1, quay ngược chiều nhau). Mỗi bánh răng được gắn một khối lượng lệch tâm mC
và độ lệch tâm e so với trục quay giống nhau (xem hình 1.10).
3.1.3 Cân bằng khối lượng bằng điều khiển
Nhược điểm căn bản của các giải pháp cân bằng nêu trên là làm tăng khối lượng chung
của cơ cấu, tăng không gian bố trí cơ cấu và làm tăng ngẫu lực phát động của động cơ.
Gần đây, một giải pháp khác đã được đề xuất trên cơ sở kỹ thuật điều khiển chuyển

động của một vật rắn (gọi là vật cân bằng) sao cho tạo ra lực quán tính định trước để cân
bằng với lực quán tính gây ra bởi cơ cấu [13, 24].

Hình 1.11 Cân bằng hoàn toàn cơ cấu chấp hành 3RRR nhờ đối trọng và điều khiển chuyển
động của bánh đà [13]

Hình 1.11 mô tả giải pháp cân bằng khối lượng cơ cấu chấp hành song song phẳng
3RRR, trong đó sử dụng các đối trọng để cân bằng lực quán tính. Để cân bằng ngẫu lực
quán tính, tác giả đã sử dụng một bánh đà được dẫn động bởi động cơ có điều khiển sao
cho mô men chính của hệ lực quán tính của toàn bộ cơ cấu và bánh đà triệt tiêu. Tuy
nhiên, giải pháp này vẫn mang tính lý thuyết và cần được nghiên cứu thêm để triển khai
trong thực tế.

14


3.2 Các giải pháp cân bằng công suất và phản lực khớp động
Như đã đề cập tới ở trên, cân bằng công suất động cơ thực chất là làm giảm sự biến
thiên công suất. Giải pháp đơn giản là sử dụng hệ các lò xo được lắp một cách có chủ
đích. Lực đàn hồi của lò xo có tác dụng điều hòa sự thay đổi về ngẫu lực phát động theo
yêu cầu (xem minh họa trên hình 1.12). Việc sử dụng bánh đà gắn với khâu dẫn, một
biện pháp làm đều chuyển động, cũng có thể xem như là một giải pháp cho vấn đề này.

Hình 1.12 Cân bằng công suất nhờ lò xo [25]

Một số giải pháp cân bằng phản lực khớp động bằng lò xo cũng đã được nghiên cứu khá
hệ thống trong tài liệu [26].

3.3 Các điều kiện cân bằng khối lượng
Mọi giải pháp thiết kế kỹ thuật (lắp khối lượng phụ, các khâu phụ, điều khiển cân bằng)

đều phải xuất phát từ việc thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng. Đó là biểu thức
đại số dẫn đến việc triệt tiêu véctơ chính và mômen chính của hệ lực quán tính của tất cả
các khâu trong mọi vị trí của cơ cấu. Trong khi bài toán thiết lập các điều kiện cân bằng
15


khối lượng của cơ cấu phẳng đã được nghiên cứu một cách có hệ thống, bài toán thiết
lập các điều kiện cân bằng cơ cấu không gian đang còn nhiều vấn đề cần phải nghiên
cứu. Điều này xuất phát từ các đặc tính động học và động lực học của hệ nhiều vật nói
chung và cơ cấu không gian nói riêng phức tạp hơn rất nhiều so với cơ cấu phẳng.
Để dễ hiểu và không mất tính tổng quát, ta xét đến việc thiết lập điều kiện cân bằng tổng
quát của cơ cấu phẳng một bậc tự do. Trước hết, xét một cơ cấu phẳng gồm p khâu chịu
liên kết giữ, dừng và hôlônôm. Cơ cấu có thể coi như một hệ nhiều vật rắn có cấu trúc
vòng kín.
eiy

ηi

khâu i

ξi

Si

ySi

ηSi

ϕi

ξSi

khâu i+1

Oi

O

khâu i-1

xSi

x

Hình 1.13 Các hệ tọa độ tại khâu thứ i của cơ cấu phẳng

Hình 1.13 mô tả các hệ tọa độ của khâu động thứ i, vị trí khối tâm Si của khâu được xác
định bởi hai tọa độ xSi , ySi trên hệ cố định {Oxy} . Góc quay j i của khâu được xác định
như trên hình vẽ, trong đó ta sử dụng thêm một hệ tọa độ động {Oiξiηi } gắn chặt với khâu
i. Lực quán tính thu gọn của khâu thứ i gồm các thành phần sau

Fix* =
−mi 
x Si , Fiy* =
−mi 
ySi

(1.1)

Ngẫu lực quán tính thu gọn đối với điểm O cố định của khâu thứ i có dạng

M i* = - é
y&Si - ySi x&&Si )+ J Sij&&ù
ëmi (xSi &
û

(1.2)

trong đó mi là khối lượng và J Si là mô men quán tính với trục đi qua khối tâm Si và
vuông góc với mặt phẳng chuyển động. Các thành phần của véctơ chính Fx* , Fy* và véctơ
mômen chính MO* đối với điểm O cố định của hệ lực quán tính gây ra bởi p-1 khâu động
(ta ký hiệu khâu 1 là giá cố định) có thể biểu diễn dưới dạng

16


p

Fx* = −∑ mi 
x Si
i =2
p

F = −∑ mi 
ySi
*
y

(1.3)

i =2

p

MO* =
ySi − ySi 
x Si ) + J Siϕ
−∑  mi ( x Si 
i =2

Cơ cấu được cân bằng hoàn toàn lực quán tính nếu Fx* , Fy* triệt tiêu
p

∑ m x
i =2

i

Si

(1.4)

p

∑ m y
i =2

=0

i Si

=0

Cơ cấu được cân bằng hoàn toàn ngẫu lực quán tính nếu MO* triệt tiêu
p

∑ m ( x
i

i =2


0
y − ySi 
x Si ) + J Siϕ =

Si Si

(1.5)

Các hệ thức (1.4) và (1.5) là các điều kiện cân bằng khối lượng tổng quát của cơ cấu
phẳng (một bậc hoặc nhiều bậc tự do). Ta cũng có thể thiết lập được các điều kiện đủ để
triệt tiêu Fx* , Fy* và MO* dưới dạng đơn giản hơn
p

∑ m x
i =2

i

Si

(1.6)

p

∑ m y
i =2

=0

i Si

=0

p

∑ m ( x
i =2

i

y − ySi x Si ) + J Siϕ  =
0

Si Si

(1.7)

Đối với cơ cấu một bậc tự do, nếu ta ký hiệu q là tọa độ suy rộng đủ thì các đại lượng
xSi , ySi và j i là hàm của tọa độ suy rộng q

xSi = xSi (q ), ySi = ySi (q ), j i = j i (q )

(1.8)

Khi đó ta có hệ thức
x&Si = xSi¢ q&, y&Si = ySi¢ q&, j &i = j i¢q&,

(1.9)

trong đó ta ký hiệu
xSi¢ =

dxSi
dy
dj i
, ySi¢ = Si , j i¢=
.
dq
dq
dq

(1.10)

Thế các hệ thức (1.9) vào điều kiện cân bằng tổng quát (1.6) và (1.7) ta nhận được điều
kiện cân bằng dưới dạng vi phân của cơ cấu phẳng một bậc tự do

17


p

å

mi xSi¢ = 0,

i= 2

(1.11)

p

å

mi ySi¢ = 0,

i= 2
p

å
i= 2

émi (xSi ySi¢ - ySi xSi¢)+ J Sij i¢ù= 0
ê
ú
ë
û

(1.12)

Điều kiện cân bằng (1.11) sẽ làm triệt tiêu véctơ chính của hệ lực quán tính (cân bằng

lực quán tính hay còn gọi là cân bằng tĩnh) và điều kiện cân bằng (1.12) sẽ làm triệt tiêu
véctơ mômen chính của hệ lực quán tính (cân bằng ngẫu lực quán tính hay còn gọi là
cân bằng động). Chú ý rằng các điều kiện cân bằng khối lượng cho cơ cấu được thiết lập
chỉ là các điều kiện đủ được biểu diễn dưới dạng vi phân. Bởi vậy, các điều kiện cân
bằng này chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết và chưa có giá trị ứng dụng trong thực tế kỹ
thuật.
Một số phương pháp biến đổi điều kiện cân bằng khối lượng tổng quá về dạng đại số
tương đối đơn giản đã được đề xuất và áp dụng trong quá khứ. Thí dụn như phương
pháp véc tơ độc lập tuyến tính (method of linearly independent vectors) được đề xuất
bởi Berkof and Lowen [5] và sau đó được áp dụng bởi Kaufman and Sandor [6], Feng
[20] để thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính; phương pháp qui đổi tương đương
(equivalence method) được đề xuất bởi Ye and Smith [11]; phương pháp các véc tơ
chính (method of principal vectors) đã được đề xuất bởi Shchepetilnikov [4] để khảo sát
điều kiện cân bằng tĩnh của các cơ cấu truyền động. Do lực quán tính thu gọn bằng đạo
hàm bậc nhất của động lượng, phương pháp động lượng (linear momentum method)
được sử dụng rộng rãi để thiết lập điều kiện cân bằng lực quán tính [9], [23].
Ngược lại, các phương pháp thiết lập điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính dưới dạng
đại số còn rất hạn chế do mức độ phức tạp của vấn đề. Do mô men chính của hệ lực
quán tính bằng đạo hàm bậc nhất của mô men động lượng, một phương pháp được biết
đến là phương pháp mô men động lượng (angular momentum method) và được sử dụng
bởi nhiều tác giả như Kochev [9-10], Feng [19] and Nguyen [15]. Arakelian and Dahan
[21] sử dụng phương pháp tối ưu để thiết lập điều kiện cực tiểu mô men quán tính. Gần
đây, một phương pháp khác để thiết lập điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính đã được
đề xuất bởi Chaudhary and Saha [18], cũng được gọi là phương pháp quy đổi tương
đương. Tuy nhiên, hiện tại chưa có một phương pháp đủ mạnh để thiết lập các điều kiện
cân bằng ngẫu lực quán tính dưới dạng đại số cho các cơ cấu không gian.
Chương tiếp theo sẽ đề cập tới cơ sở lý thuyết về thiết lập các điều kiện cân bằng khối
lượng dưới dạng giải tích. Các phương pháp và thuật toán được trình bày ở đây dựa trên
các kết quả nghiên cứu của một số tác giả tại Trường ĐHBKHN như [23] và một số kết
quả trong các luận án như [28].

18


CHƯƠNG I I

Cơ sở lý thuyết về thiết lập các điều kiện cân bằng khối lượng
Trong chương này, các phương pháp và thuật toán thiết lập điều kiện cân bằng khối
lượng cho một cơ cấu gồm các khớp quay sẽ được trình bày chi tiết. Từ các kiến thức
của Cơ học kỹ thuật ta đã biết là các thành phần lực quán tính và mô men lực quán tính
có liên hệ mật thiết đến các đại lượng động học của cơ cấu. Do đó, chương này sẽ bắt
đầu từ cơ sở lý thuyết động học hệ vật rắn.

2.1 Cơ sở lý thuyết về động học của một cơ cấu
2.1.1 Mô hình khảo sát
Chuyển động của một cơ cấu được khảo sát nhờ sơ đồ động học của cơ cấu. Một sơ đồ
động học bao gồm cấu trúc của chuỗi động (khâu, khớp), giá cấu trúc, các khâu dẫn, các
tọa độ định vị và các hệ tọa độ phụ trợ. Nhìn chung, một sơ đồ động học có dạng hình
2.1, trong đó mô tả chi tiết các tọa độ xác định vị trí của khâu thứ i.

Hình 2.1 Sơ đồ động học và các hệ tọa độ

Để việc phân tích động học trở nên đơn giản, trực quan và có thể tiến hành theo một quy
luật thống nhất, ta áp dụng các ký hiệu và các qui ước sau đây:
− Các khâu được đánh số liên tục từ 1 đến n, trong đó giá cơ cấu là khâu 1.
− Một hệ tọa độ cố định {Oxyz} gắn với giá.

19

Các hệ tọa độ

−

động {Oiξiηiζ i } phẳng được gắn vào khâu thứ i. Gốc Oi thường có vị trí tại một
khớp thuộc khâu. Đối với các khâu có dạng thanh thẳng, một trong 3 trục ξi ,ηi , ζ i
thường được chọn dọc theo thanh
2.1.2 Phân tích vị trí
Nếu cơ cấu có f bậc tự do, số tọa độ dẫn hợp thành một véctơ có f phần tử dưới dạng
q(t ) =  q1 (t ), q2 (t ), ... , q f (t ) 

(2.1)

Véctơ q(t) được gọi là véctơ các tọa độ độc lập (còn gọi là các tọa độ suy rộng đủ). Bây
giờ ta cần chọn các tọa độ suy rộng phụ thuộc (còn gọi là các tọa độ suy rộng dư) dưới
dạng các khâu quay ϕi (đối với khâu quay và khâu chuyển động phẳng) hoặc độ dài (đối
với khâu chuyển động tịnh tiến). Ta xây dựng được một véctơ các tọa độ suy rộng phụ
thuộc có r phần tử dưới dạng
x(t ) = [ x1 (t ), x2 (t ),......xr (t ) ]

T

(2.2)

Kết hợp 2 véctơ q và x ta xây dựng được véctơ tọa độ suy rộng s dưới dạng một vecto
cột gồm m= f + r phần tử:
q 
s= 
x

(2.3)

Đối với bài toán động học thuận, bài toán xác định vị trí của cơ cấu được qui về bài toán
tìm trị số của vecto x khi cho trước qui luật q(t) từ các phương trình liên kết của cơ cấu.
Xét cơ cấu là một hệ cơ học chịu liên kết, trong đó các khâu có ràng buộc chuyển động
tương đối với nhau. Các ràng buộc chuyển động này được biểu diễn về mặt toán học bởi
các phương trình liên kết với dạng tổng quát
f k ( s1 , s2 ...., sm ) = 0, với k = 1, 2, ….., r

(2.4)

Hệ các phương trình liên kết (2.4) chỉ chứa các tọa độ suy rộng s nên chúng mô tả sự
ràng buộc chuyển động về phương diện hình học thuần túy (các góc và độ dài). Phương
trình (2.4) có thểviết dưới dạng rút gọn:
f (q, x) = 0

(2.5)
20


trong đó véctơ hàm f = [ f1 , f 2 ,...., f r ] . Chú ý rằng số phương trình liên kết độc lập phải
T

bằng số các tọa độ suy rộng phụ thuộc
2.1.3 Phân tích vận tốc và gia tốc
Đạo hàm hệ phương trình (2.5) theo thời gian t ta suy ra quan hệ
∂f
∂f
q + x =
0

∂q
∂x

(2.6)

Trong đó q và x được gọi là các véc tơ vận tốc suy rộng, các phần tử của chúng là vận
tốc (của khâu dẫn tịnh tiến) hoặc vận tốc góc (của khâu dẫn quay). Nếu ta sử dụng ký
hiệu các ma trận Jacobi J q cỡ
 ∂f1
 ∂q
 1
 ∂f 2
∂f 
J=
= ∂q1
q
∂q 
...

 ∂f r
 ∂q
 1

∂f1
∂q2
∂f 2
∂q2
...
∂f r
∂q2

( r × f ) và J x

cỡ ( r × r ) có dạng

∂f1 
∂q f 

∂f 2 
...

∂f
∂q f  , J=
=
x
x
∂
... ... 

∂f r 
...
∂q f 
...

 ∂f1
 ∂x
 1
 ∂f 2
 ∂x
 1

 ...

 ∂f r
 ∂x1

∂f1
∂x2
∂f 2
∂x2
...
∂f r
∂x2

∂f1 
∂xr 

∂f 2 
...
∂xr 

... ... 

∂f r 
...
∂xr 
...

(2.7)

ta có thể biểu diễn phương trình (2.6) dưới dạng

J q q + J x x =
0

(2.8)

Chú ý rằng theo công thức (2.7), các phần tử của ma trận J q và J x là các hàm của q và
x. Do J x là ma trận vuông, từ phương trình (2.8) ta suy ra

x = −J −x 1J qq

(2.9)

Như vậy, nếu đã tìm được x từ bài toán xác định vị trí, ta có thể tính toán vận tốc suy
rộng x từ vận tốc suy rộng của các khâu dẫn q theo phương trình (2.9).
Đạo hàm phương trình (2.8) theo thời gian t, ta suy ra

 + J x x + J x
J qq + J q q
x=
0

(2.10)

Giải phương trình (2.10) theo x ta được
 + J x x )

x=
− J −x 1 ( J q q + J q q

(2.11)

21


trong đó các ma trận J q , J x có được bằng cách đạo hàm các phần tử của các ma trận
 chứa các gia tốc (hoặc gia tốc góc) của
J q , J x theo thời gian t, véctơ gia tốc suy rộng q

các khâu dẫn, véctơ gia tốc suy rộng x chứa các gia tốc (hoặc gia tốc góc) của các khâu
còn lại. Nếu đã tìm được x từ bài toán xác định vận tốc, ta có thể tính toán gia tốc suy
rộng x từ gia tốc suy rộng cho trước của các khâu dẫn theo công thức (2.11).
2.1.4 Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc khâu
Sau khi đã xác định được ví trí các khâu, ta có thể xác định tọa độ của một điểm C tùy ý
thuộc khâu trên hệ cố định nhờ phương trình

r=
rOi + A i rC( i )
C

(2.12)

Chú ý rằng rC(i ) chứa các phần tử là hằng số cho trước. Đạo hàm hai vế của phương trình
(2.12) theo thời gian ta nhận được

 r (i )
r=
rOi + A
C
i C

(2.13)

+ Nếu A i là ma trận côsin chỉ hướng của hệ động quay quanh trục Ox.

0
1
=
A i 0 cos ϕi
0 sin ϕi

0
0

 =
0 − sin ϕi
A
i

0 cos ϕi

0 
− sin ϕi 
cos ϕi 

0

 0 0 0  1





0 0 −1 0 cos ϕi
− cos ϕi ϕi =



0 1 0  0 sin ϕi
− sin ϕi 
0


− sin ϕi  ϕi

cos ϕi 
0

(2.14)

= IA iϕi

0
0
 =0 − sin ϕ
A
i
i

0 cos ϕi

0 
− cos ϕi  ϕi +


− sin ϕi 

0
0
0 − cos ϕ
i

0 − sin ϕi

0 
sin ϕi  ϕi2

− cos ϕi 

= IA iϕi − EA iϕi2
0 0 0 
0 0 0 
với ma trận hằng số I = 0 0 −1 và ma trận đơn vị E = 0 1 0  .




0 0 1 
0 1 0 
+ Nếu A i là ma trận côsin chỉ hướng của hệ động quay quanh trục Oy
22

(2.15)