Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
- - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - -

NGUYỄN ANH ĐÀI

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
SUY RỘNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN

Hà Nội - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
- - - - - - - - - - -o0o- - - - - - - - - - -

NGUYỄN ANH ĐÀI

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP
SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán Tin

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH: TOÁN TIN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội - 2014


Mục lục
1 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier, Fourier sine và cosine với
hàm trọng

10

1.1

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-sine với hàm trọng . .

10

1.1.1

Tính unita trong không gian L2 (R+ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.2

Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R+ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.1.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2

2

Phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy Fourier sine, Fourier và Fourier cosine với
hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.1

Tính chất toán tử tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.2.2

Định lí kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel.
2.1

2.2

25

Biến đổi Hartley và tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1

Biến đổi Hartley với phương trình Toeplitz-Hankel trên R . . . . . . . . . . . .

29

Lớp các phương trình Toeplitz-Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1

Phương trinh Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

Phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3 Phương trình vi - tích phân Toeplitz-Hankel

38

3.1

Biến đổi Hartley với phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2

Lớp các phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo,
người đã tận tình, nghiêm khắc hướng dẫn, chỉ bảo để luận văn này được hoàn thành, cũng như giúp
tôi tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học.

Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường
Đại học Bách khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên
cứu tại trường. Tôi xin được cảm ơn sự dạy dỗ, chỉ bảo và quan tâm từ các thầy cô của Viện Toán
ứng dụng và Tin học trong suốt thời gian tôi theo học và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô và các anh chị, các bạn đồng nghiệp trong xemina
Giải tích Đại học Bách Khoa đã tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tôi hoàn thành
luận văn này. Tại đây tôi đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trường nghiên cứu
sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành luận văn của mình.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kĩ thuật Hưng
Yên, Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ bản cũng như Bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi trong
quá trình tôi được học tập, công tác và hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp, những người
luôn động viên, khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2014
Học viên

Nguyễn Anh Đài

2


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
a. Các không gian hàm dùng trong luận văn.
• R+ = {x ∈ R, x > 0}
• Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác đinh trên R+ sao cho
∞

|f (x)|p dx < ∞.

f (x) :
0

• Lα,β
p (R+ ) là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho
f (x) : sup |f (x)| < ∞
x∈R+

• Lp (R+ , ρ), 1 ≤ p ≤ ∞ là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho
∞

|f (x)|p ρ(x) < ∞
0

trong đó ρ là một hàm trọng dương.
• ||f ||Lp (R) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R), xác định bởi
∞

|f (x)|p dx

||f ||Lp (R) =

1
p

.

∞

• ||f ||Lp (R+ ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ ), xác đinh bởi
∞

|f (x)|p dx

||f ||Lp (R+ ) =

1
p

.

0

• ||f ||Lp (R+ ,ρ) là chuẩn của hàm f trong không gian Lp (R+ , ρ), xác định bởi
∞

|f (x)|p ρ(x)dx

||f ||Lp (R+ ,ρ) =
0

3

1
p

.

Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

b. Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng dùng trong luận văn
• (. ∗ .) (xem trang 9) là tích chập đối với phép biến đổi Fourier.
F

• (. ∗ .) (xem trang 9) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine.
Fc

• (. ∗ .) (xem trang 9) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine.
1

γ

• (. ∗ .) (xem trang 17) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = siny đối với các phép biến đổi
2

tích phân Fourier cosine và Fourier sine.
γ

• (. ∗ .) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y siny đối với các phép biến
3

đổi tích phân Fourier sine, Fourier và Fourier cosine.
γ

• (. ∗ .) (xem trang 30) là tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−y siny đối với các phép biến

4

đổi tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine.
• (. ∗ .) (xem trang 45) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Hartley.
3

4


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài.

Lý thuyết phép biến đổi tích phân đã ra đời và liên tục phát triển trong nhiều thập kỷ qua và có
ứng dụng trong nhiều ngành khoa học, đặc biệt là trong các ngành Vật lý như quang học, điện, cơ
học lượng tử, âm thanh, cũng như trong sử lý ảnh. Lý thuyết phép biến đổi tích phân và tích chập
đối với các phép biến đổi tích phân còn có vai trò không thể thiếu trong các ngành y học, địa lý, hải
dương học, ... Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý
thuyết cũng như trong ứng dụng; trước hết là phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier
cosine, phép biếnđổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi tích phân Hankel,
Kontorovich - Lebedev, Stieltjeis, ... Bản thân phép biến đổi Fourier cũng ra đời xuất phát từ bài toán
thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt.

Phép biến đổi Fourier có dạng (xem [17,27])
∞

1

(F f )(x) = F [f ](x) = √
2π

e−ixy f (y)dy,

f ∈ L1 (R),

(1)

∞

N

(F f )(x) = F [f ](x) =

lim

N −→+∞
−N

e−ixy f (y)dy,

f ∈ Lp (R), 1 ≤ p ≤ 2.

(2)

Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ L1 (R) ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem [17,27])
∞

f (x) = (F

−1

g)(x) = F

−1

1
[g](x) = √
2π

eixy g(y)dy.

(3)

−∞

Nếu g(x) = (F f )(x) ∈ Lq (R), 1 ≤ p ≤ 2, ta có phép biến đổi Fourier ngược sau (xem[17,27])
N

f (x) = (F

−1

g)(x) = F

−1

1
[g](x) = lim √

N −→+∞
2π

eixy g(y)dy.

(4)

−N

Trong trường hợp f là hàm số chẵn hoặc lẻ ta nhận được phép biến đổi Fourier cosine và Fourier
sine có dạng (xem [28])
∞

(Fc f )(y) = Fc [f ](y) =

2
π

f (x)cosxydx,

f ∈ L1 (R+ ).

(5)

f (x)sinxydx,

f ∈ L1 (R+ ).

(6)

0
∞

(Fs f )(y) = Fs [f ](y) =

2
π
0

5


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

và với f ∈ Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ 2, ta có
N

(Fc f )(y) = Fc [f ](y) = lim

N −→∞

2
π

f (x)cosyxdx,

(7)

f (x)sinyxdx,

(8)

0
N

(Fs f )(y) = Fs [f ](y) = lim

N −→∞

2
π
0

trong đó, q là số mũ liên hợp của p, tức là

1
p

+

1
q

= 1, và các giới hạn được hiểu theo chuẩn trong

không gian Lq (R+ ). Các định nghĩa trên trùng nhau nếu f ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ).

Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phép biến đổi tích phân cũng

xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20. Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến
đổi Fourier, cụ thể tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier có dạng (xem [10])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
F
2π

f (y)g(x − y)dy,

x ∈ R.

(9)

−∞

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [10])
F [f ∗ g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1 (R).
F

Năm 1951, Sneddon I. N. xây dựng tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier
cosine như sau (xem [10])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
Fc
2π

f (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy,

x > 0.

(10)

0

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa và đẳng thức Parseval sau (xem [3, 10])
Fc [f ∗ g](y) = (Fc f )(y)(Fc g)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1 (R+ ),

(11)

(f ∗ g)(x) = Fc [(Fc f )(y)(Fc g)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2 (R+ )

(12)

Fc

Fc

Cũng tại thời điểm đó, trong cuốn sách của mình [28], Sneddon I. N. đã đưa ra công thức tích
chập "lạ", khi trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và
Fourier cosine. Tích chập này xác định như sau (xem [28])
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
1
2π

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du,

x > 0,

(13)

0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa và đẳng thức Parseval dưới đây (xem [28, 29])
Fs [f ∗ g](y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y),
1

6

f, g ∈ L1 (R+ ),

(14)


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

(f ∗ g)(x) = Fs [(Fs f )(y)(Fc g)(y)](x),
1

f, g ∈ L2 (R+ ).

(15)

Sau đó, các tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin đã được xây dựng và nghiên cứu
(xem [30]). Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng lí thú trong tính toán
tích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Vật lí-Toán, phương trình vi phân, phương trình tích
phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trinhg vi-tích phân, lí thuyết xác suất, xử lí ảnh, ...

Mặc dù có nhiều ứng dụng thú vị trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưng cho đến trước những năm
50 của thế kỉ trước, không có nhiều tích chập đối với các phép biến đổi tích phân được xây dựng.

Năm 1958, lần đầu tiên Vilenkin Y. Ya. thiết lập được công thức tích chập với hàm trọng đối với
phép biến đổi Mehler-Fox. Đến năm 1967, Kakichev V. A. đã đưa ra tích chập với hàm trọng đối với
biến đổi tích phân bất kỳ (xem [31]). Nhờ đó, ông đã xây dựng được tích chập đối với các phép biến
đổi tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev, tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân
Fourier sine (xem [31])...

Khoảng những năm 90 của thế kỉ trước, Yakubovich S. B. đã giới thiệu một số tích chập suy rộng
đối với các phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi
H theo chỉ số. Trong đó đẳng thức nhân tử hóa có các phép biến đổi khác nhau thuộc cùng một họ.
Trên cơ sở đó và tiếp theo ý tưởng của Kakichev V. A. [31], năm 1998, Kakichev V. A. và Thảo N.
X. đã đưa ra định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ
(xem [19]). Kết quả trên đã mở ra một hướng mới nghiên cứu và xây dựng tích chập suy rộng đối với
các phép biến đổi tích phân khác nhau. Cho đến nay, dựa trên công trình này, một số tích chập đã
được xây dựng và nghiên cứu, chẳng hạn tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Stieltjes, Hilbert,
Fourier cosine và Fourier sine (xem [32]); tích chập suy rộng đối với phép biển đổi I (xem [33]); tích
chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược
(xem [33]), [34], ... Đặc biệt năm 2008, trong Luận án Tiến sĩ của tác giả Nguyễn Minh Khoa [1] và
năm 2012 trong Luận án Tiến sĩ của tác giả Nguyễn Thanh Hồng [2] đã xây dựng một số tích chập
suy rộng với hàm trọng đối với nhóm các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier
cosine, góp phần làm phong phú hơn lý thuyết tích chập, tích chập suy rộng đối với nhóm các phép
biến đổi trên (xem [22, 36, 37, ...])

Ngoài ra sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (xem [7,
13])
∞

[k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x),

f (x) +

x ∈ R+ .

(16)

0

có thể giải được và cho nghiệm dưới dạng đóng (xem [38]). Phương trình này có rất nhiều ứng dụng
7


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

thú vị trong các lĩnh vực khác nhau như Lí thuyết tán xạ, Lí thuyết động lực học chất lỏng, Lí thuyết
lọc tuyến tính, trong nghiên cứu và va chạm đàn hồi, ... (xem [7, 13]). Tuy nhiên, ngoại trừ một
số trường hợp đặc biệt đối với nhân Hankel k1 và nhân Toeplitz k2 , bài toán tìm nghiệm đóng cho
phương trình (16) tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.

Bện cạnh đó, dễ thấy phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (16) có thể viết lại dưới dạng sau
f (x) +

√

2π(f ∗ h1 )(x) +
Fc

√

2π(f ∗ h2 )(x) = g(x) x > 0,
1

trong đó h1 = 21 (k1 + k2 ) và h2 = 21 (k2 − k1 ). Vì vậy, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng
có thể mở rộng cho lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (16) giải được nghiệm dưới dạng đóng.

Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài với tên gọi là "Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng."
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Mục đích của Luận văn này là xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng và kiểu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với nhóm các biến đổi Fourier, Fourier sine và
Fourier cosine. Cụ thể, nghiên cứu các tính chât của các toán tử tích phân xây dựng được như tính
unita trong không gian L2 (R+ ), và tính bị chặn trong không gian Lp (R+ ).1 ≤ p ≤ 2. Từ đó xây dựng
những ứng dụng cụ thể như đánh giá nghiệm của các bài toán phương trình vi phân, phương trình
tích phân; giải các phương trình tích phân Toeplitz-Hankel cho biểu diễn dưới dạng đóng; giải các
phương trình vi-tích phân cho nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng.
3. Phương pháp nghiên cứu.

Trong luận văn này, sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi tích phân, kĩ thuật đánh giá tích phân
trong không gian Lp (R+ ), Lp (R) để chứng minh sự tồn tại của phép biến đổi tích phân và tính bị chặn
của chúng trong không gian Lp (R+ ). Bên cạnh đó, còn sử dụng các kĩ thuật phép biến đổi Fourier,

Fourier sine và Fourier cosine vào xây dựng và giải các phương trình Toeplitz-Hankel, phương trình
vi-tích phân Toeplitz-Hankel.
4. Cấu trúc và các kết quả của Luận văn.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1. xây dựng và nghiên cứu các lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy
rộng với hàm trọng đối với nhóm các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine.
Định lí chính trong phần này là định lí kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính unita của

8


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

các phép biến đổi mới xây dựng được trong không gian L2 (R+ ). Bên cạnh đó, xậy dựng một số ví dụ
cụ thể minh họa cho sự tồn tại của các lớp phép biến đổi này. Ứng dụng các phép biến đổi này trong
việc giải các bài toán vi-tích phân được trình bày cụ thể trong Chương 3.

Chương 2. xây dựng và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy rộng,
biến đổi Hartley với tích chập suy rộng. Lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel đối với nhóm
các biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. Ứng dụng của tích chập, tích chập suy
rộng để thiết lập giải một số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel trong trường hợp nhân đặc
biệt và trường hợp nhân bất kỳ và vế phải đặc biệt cũng đưuọc nghiên cứu.

Trong Chương 3. ứng dụng của tích chập, tích chập suy rộng và biến đổi Hartley thiết lập và giải
một số phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel. Ứng dụng của tích chập, tích chập suy rộng để
thiết lập giải một số phương trình vi-tích phân Toeplitz-Hankel với trường hợp vế phải đặc biệt.

5. Ý nghĩa các kết quả của Luận văn.

Kết quả của Luận văn góp phần làm phong phú thêm về lí thuyết các phép biến đổi tích phân,
phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng; phong phú thêm lí thuyết phương trình tích phân,
phương trình vi-tích phân. Các kết quả và ý tưởng của Luận văn có thể sử dụng trong nghiên cứu các
phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với các phép biến đổi tích phân khác. Nội dung chính
của Luận văn dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê ở mục "Danh mục công trình đã công bố
liên quan đến Luận văn", các kết quả này đã được báo cáo tại:
• Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
• Seminar Bộ môn Toán, trường Đại học Sư phạm Kĩ thuật Hưng Yên.
• Tạp chí Khoa học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã phản biện, đang chờ nhận đăng.

9


Chương 1

Phép biến đổi tích phân kiểu tích
chập suy rộng Fourier, Fourier sine
và cosine với hàm trọng
Trong chương này, trình bày các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng. Tập trung vào
khai thác các tích chập suy rộng đối với nhóm các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và
Fourier sine. Bên cạnh việc thiết lập điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi mới xây dựng là unita
trong L2 (R+ ) và nghiên cứu tính bị chặn trong không gian Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ 2, xây dựng các ví dụ cụ
thể minh họa cho các phép biến đổi xây dựng được.

1.1

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier
cosine-sine với hàm trọng

Trong mục này, trình bày một lớp tổng quát các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập
suy rộng
∞

1
(f ∗ g)(x) = √
2
2 2π
γ

f (u)[g(|x+u−1|)+g(|x−u+1|)−g(x+u+1)−g(|x−u−1|)]du,

x > 0, (1.1)

0

cụ thể là phép biến đổi tích phân có dạng sau
n




2k

d
(−1) ak 2k )

dx
k

(K3;k1 ,k2 f )(x) = g(x) = (
k=0

∞

k1 (y)[f (|x + y − 1|) + f (|x − y + 1|)
0

∞

−f (x + y + 1) − f (|x − y − 1|)]dy +

k2 (y)[f (x + y) + f (|x − y|)]dy ,
0

10

x > 0.

(1.2)


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

trong đó ai (i = 1, n) là các hằng số đã biết. Ta sẽ chứng minh các định lí kiểu Watson, định lí kiểu
Plancherel cũng như tính bị chặn đối với phép biến đổi (1.2) từ Lp (R+ ) vào Lq (R+ ) với 1 ≤ p ≤ 2.
Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể minh họa cho các lớp phép biến dổi này. Ứng

dụng cụ thể của phép biến đổi trên vào giải một lớp bài toán tích phân và bài toán vi-tích phân sẽ
được trình bày cụ thể trong Chương 2 và 3.

Tính unita trong không gian L2 (R+ )

1.1.1

Trong phần này chúng ta xét một lớp các phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập suy
rộng (1.1). Định lí dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi này là unita trên L2 (R+ ).
Định lý 1.1.1. Giả sử ai (i = 1, n) là các hằng số sao cho

1

√
2π

n

ak x2k

thuộc không gian L2 (R+ ),

k=0

và k1 , k2 là các hàm số trong không gian L2 (R+ ). Khi đó điều kiện
|2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)| = √

1

(1.3)

n

ak y 2k

2π
k=0

là cần và đủ để phép biến đổi f (x) → (K3;k1 ,k2 f )(x) = g(x) xác định như sau
n

∞

d2k
(−1) ak 2k
dx
k

g(x) =
k=0

k1 (y)[f (|x + y − 1|) + f (|x − y + 1|) − f (x + y + 1)
0
∞

−f (|x − y − 1|)]dy +

k2 (y)[f (x + y) + f (|x − y|)]dy

(1.4)

0

là unita trong L2 (R+ ) và có phép biến đổi ngược dưới dạng đối xứng như sau
n

d2k
(−1) ak 2k
dx

∞

k

f (x) =
k=0

k1 (y)[g(|x + y − 1|) + g(|x − y + 1|)
0
∞

− g(x + y + 1) − g(|x − y − 1|)]dy +

k2 (y)[f (x + y) + f (|x − y|)]dy

(1.5)

0

Chứng minh. Điều kiện cần Giả sử k1 và k2 thỏa mãn điều kiện (1.3). Biết rằng h(y), yh(y); y 2 h(y) ∈

d
L2 (R) khi và chỉ khi (F h)(x), dx
(F h)(x),

d2
dx2 (F h)(x)

∈ L2 (R). (Định lí 68, trang 92, [17]). Suy ra
2

d
d
h(y), yh(y); y 2 h(y), ..., y n h(y) ∈ L2 (R) nếu và chỉ nếu (F h)(x), dx
(F h)(x), dx
2 (F h)(x), ...,

dn
dxn (F h)(x)

L2 (R). Hơn nữa, với mỗi số tự nhiên n ta có
dn
(F h)(x) = (−1)n F [y 2n h(y)](x).
dxn
n

Vậy, nếu

ak y 2k h(y) ∈ L2 (R+ ) ta có đẳng thức sau

k=0

n

(−1)k ak
k=0

d2k
(Fc h)(y) = Fc
dx2k
11

n

ak y 2k h(y) (x).
k=0

(1.6)

∈


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Từ điều kiện (1.3), suy ra

√

n

2π

ak y 2k [2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)](Fc f )(y) thuộc L2 (R+ ). Sử dụng

k=0

các đẳng thức (1.8), (12) và công thức (1.6) ta có

n

(−1)k ak

g(x) =
k=0

√

= Fc

√
√
d2k
Fc [2 2πsiny(Fs k1 )(y)(Fc f )(y) + 2π(Fc k2 )(y)(Fc f )(y)](x)
2k
dx

n

ak y 2k (2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y))(Fc f )(y) (x).

2π

(1.7)

k=0

Từ đó ta thấy g(x) ∈ L2 (R+ ). Theo đẳng thức Parseval đối với các phép biến đổi Fourier cosine và
Fourier sine ||f ||L2 (R+ ) = ||Fc f ||L2 (R+ ) = ||Fs f ||L2 (R+ ) và để ý rằng k1 và k2 thỏa mãn điều kiện (1.3)
ta có
n

√
= || 2π

||g||L2 (R+ )

ak y 2k (2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y))(Fc f )(y)|L2 (R+ ) |
k=0

= ||Fc f ||L2 (R+ ) = ||f ||L2 (R+ ) .
Do phép biến đổi (1.4) là đẳng cự. Mặt khác, từ điều kiện (1.3) ta có
n
√
2π
ak y 2k [2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)](Fc g)(y) ∈ L2 (R+ ). Suy ra
k=0

(Fc g)(y) =

√

n

ak y 2k [2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)](Fc f )(y)

2π
k=0

Từ đó, điều kiện (1.3) cho ta
(Fc f )(y) =

√

n

ak y 2k [2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)](Fc g)(y).

2π
k=0

Theo điều kiện (1.3),

√

n

2π

ak y 2k [2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)](Fc g)(y) thuộc không gian L2 (R+ ).

k=0

Sử dụng công thức (1.6) ta được
f (x) =Fc

√

n

ak y 2k (2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y))(Fc g)(y) (x)

2π
k=0

n

(−1)k ak

=
k=0
n

√
√
d2k
Fc [2 2πsinyFs k1 (y)(Fc g)(y) + 2π(Fc k2 )(y)(Fc g)(y)](x)
2k
dx
∞

d2k
(−1) ak 2k
dx
k

=
k=0

k1 (y)[g(|x + y − 1|) + g(|x − y + 1|) − g(x + y + 1)
0
∞

− g(|x − y − 1|)]dy +

k2 (y)[g(x + y) + g(|x − y|)]dy .
0

Khi đó phép biến đổi (1.4) là unita trên L2 (R+ ) và phép biến đổi ngược có dạng (1.5).
Điều kiện đủ. Nếu phép biến đổi (1.4) là unita, khi đó dẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier

12


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

cosine cho ta ||g||L2 (R+ ) = ||f ||L2 (R+ ) = ||Fc f ||L2 (R+ ) . Suy ra
n

√
||g||L2 (R+ ) =|| 2π

ak y 2k [2siny(Fs K − 1)(y) + (Fc k2 )(y)](Fc f )(y)||L2 (R+ )
k=0

=||Fc f ||L2 (R+ ) , ∀f ∈ L2 (R+ )
Suy ra toán tử nhân Mθ [·], với θ(y) =

√

n

2π

ak y 2k (2siny(Fc K − 1)(y) + (Fc k2 )(y)) là unita trên

k=0

L2 (R+ ); tương đương với θ(y) ≡ 1, tức là
n

√
| 2π

ak y 2k [2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)]| = 1
k=0

Do đó k1 và k2 thỏa mãn điều kiện (1.3). Định lý được chứng minh xong.
Nhận xét 1.1.1. Trường hợp riêng khi n = 1 và a0 = a1 = 1 được nghiên cứu trong [26].

Nhận xét 1.1.2. Phép biến đổi (1.4) và phép biến đổi ngược (1.5) có thể viết lại như sau
n

g(x) = (K3,k1 ,k2 f )(x) =

(−1)k ak

√
√
γ
d2k
∗
2π(k
f
)(x)
+
2π(k2 ∗ f )(x),
2
1
2
Fc
dx2k

(−1)k ak

√
√
γ
d2k
2 2π(k1 ∗ f )(x) + 2π(k2 ∗ f )(x).

2
Fc
dx2k

k=0
n
−1
f (x) = (K3,k
g)(x) =
1 ,k2
k=0

Định nghĩa 1.1.1. Cặp hàm số (k1 , k2 ) thỏa mãn điều kiện (1.3), được gọi là một cặp nhân Fourier
n

ak y 2k ).

cosine-sine (với đa thức đặc trưng
k=0

Định nghĩa 1.1.2. (xem [41]) Một hàm số h ∈ L2 (R+ ) được gọi là một nhân Fourier cosine đối
n

xứng (với đa thức đặc trưng

ak y 2k ) nếu thỏa mãn điều kiện sau

k=0

|Fc h|(y) = √

1

(1.8)

n

ak y 2y

2π
k=0

Định lý dưới đây cho ta tính chất của các cặp nhân Fourier cosine - sine và mối liên hệ với nhân
Fourier cosine đối xứng.
Định lý 1.1.2. Giả sử (k1 , k2 ) và (l1 , l2 ) là hai cặp nhân Fourier cosine-sine với đa thức đặc trưng
n1

tương ứng
n3

ak y 2k và

k=0

n2

bk y 2k . Giả sử h là một nhân Fourier cosine đối xứng với đa thức đặc trưng

k=0

ck y 2k . Khi đó

k=0

γ

γ

a) ((k1 ∗ h), (k2 ∗ h)), (2k1 ∗ l1 +k1 ∗ l2 +l1 ∗ k2 , k2 ∗ l2 ) và (2k2 ∗ l1 ,
1

Fc

Fs

1

1

Fc

là các cặp nhân Fourier cosine-sine.
γ

b) (2k1 ∗ h) + (k2 ∗ h) là một nhân Fourier cosine đối xứng.
2

Fc

13

Fs

γ

γ

2

2

2k1 ∗ l2 +2l1 ∗ k2 +k2 ∗ l2 )
Fc


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Chứng minh. a) Sử dụng đẳng thức Parseval đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine,
ta có thể dễ dàng chứng minh rằng (k1 ∗ h) và k2 ∗ h là các hàm bình phương khả tích trên R+ (xem
1

Fc

[3, 6]). Hơn nữa
|2sinyFs [k1 ∗ h](y) + Fc [k2 ∗ h](y)| = |2siny(Fs k1 )(y)(Fc y)(y) + (Fc k2 )(y)(Fc h)(y)|
1

Fc

= |2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)||(Fc h)(y)|.

(1.9)

Từ (1.9) và từ giả thiết ta thấy rằng
n1 +n3

dk y 2y .

|2sinyFs (k1 ∗ h)(y) + Fc (k2 ∗ h)(y)| =
1

Fc

k=0

Hay, ((k1 ∗ h), (k2 ∗ h)) xác định một cặp nhân Fourier cosine-sine. Các ý còn lại của định lí được
1

Fc

chứng minh tương tự.
Bây giờ ta chỉ ra sự tồn tại của cặp nhân Fourier cosine-sine. Giả sử h1 , h2 là các hàm trong
L2 (R+ ) thỏa mãn
|(Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y)| =

1
n

(1.10)

ak y 2k (1 + sin2 y)
k=0

và k2 , k2 ∈ L2 (R+ ) xác định bởi
γ
1
1
k1 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x), k2 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x),
2
F
s
2 2π
2π
γ

trong đó (. ∗ .) và (. ∗ .) xác định trong [2]. Khi đó k1 , k2 ∈ L2 (R+ ) và từ các công thức (1.2), (1.11)
Fs

2

trong [2] ta có
1
1
|2siny(Fs k1 )(y) + (Fc k2 )(y)| = √ sin2 y(Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y) + √ (Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y)
2π
2π
1
= √ (1 + sin2 y)(Fs h1 )(y)(Fs h2 )(y)

2π
1
=√
n
2π
ak y 2k
k=0

Vậy (k1 , k2 ) là một cặp nhân Fourier cosine-sine.

Một ví dụ khác cho sự tồn tại của cặp nhân Fourier cosine-sine như sau.
Giả sử h1 , h2 là các hàm trong không gian L2 (R+ ) thỏa mãn
|(Fc h1 )(y)(Fc h2 )(y)| =

1
n

(1.11)

ak y 2k (1 + sin2 y)
k=0

và k2 , k2 ∈ L2 (R+ ) xác định bởi
γ
1
1
k1 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x), k2 (x) = √ (h1 ∗ h2 )(x),
2
Fc
2 2π

2π
γ

trong đó (. ∗ .) xác định trong [2], (. ∗ .) xác định bởi (10 ). Khi đó dễ thấy(k1 , k2 ) là một cặp nhân
2

Fc

Fourier cosine-sine.
14


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

1.1.2

Xấp xỉ theo chuẩn trong không gian L2 (R+ )

Định lý 1.1.3. Giả sử k1 , k2 là các hàm trong không gian L2 (R+ ) thỏa mãn điều kiện (1.3), hơn nữa
n

các hàm K1 (x) = (

2k

d
(−1)k ak dx
2k )k1 (x) và K2 (x) = (

n

2k

d
(−1)k ak dx
2k )k2 (x) bị chặn địa phương. Với

k=0

k=0

f ∈ L2 (R+ ) và với mỗi số tự nhiên N , đặt
∞

K1 (y)[f N (|x + y − 1|) + f N (|x − y + 1|) − f N (x + y + 1)

gN (x) =
0

∞
N

−f (|x − y − 1|)]dy +

K2 (y)[f (x + y) + f (|x − y|)]dy

(1.12)

0

trong đó f

N

= f.χ(0,N ) , hạn chế của hàm f trên (0, N ). Ta có

1) gN ∈ L2( R+ ), và khi N → ∞, gN hội tụ theo chuẩn trong không gian L2( R+ ) tới một hàm
g ∈ L2( R+ ), hơn nữa ||g||L2 (R+ ) = ||f ||L2 (R+ ) .
2) Đặt g N = g.χ(0, N ), khi đó
∞

K1 (y)[g N (|x + y − 1|) + g N (|x − y + 1|) − g N (x + y + 1)

fN (x) =
0

∞
N

K2 (y)[f (x + y) + f (|x − y|)]dy

−g (|x − y − 1|)]dy +

(1.13)

0

thuộc không gian L2( R+ ) và hội tụ theo chuẩn trong L2( R+ ) tới hàm f khi N → ∞.

Chứng minh. Thấy rằng theo định nghĩa của hàm fN và gN , các tích phân thực chất là trên các đoạn
hữu hạn, do đó chúng hội tụ. Thực hiện đổi biến ta được
∞

f N (y) K1 (x + y + 1) + sign(x − y + 1)K1 (|x − y + 1|)−

gN (x) =
0

− sign(x − y − 1)K1 (|x − y − 1|) − sign(x + y − 1)K1 (|x + y − 1|) dy
N

f N (y)[K1 (x + y) + K2 (|x − y|)]dy

+
0

n

=(

d2k
(−1) ak 2k )
dx

∞

f N (u)[k1 (x + u + 1)+

k

k=0

0

+ sign(x − u + 1)k1 (|x − u + 1|) − sign(x − u − 1)k1 (|x − u − 1|)
−sign(x + u − 1)k1 (|x + u − 1|)]du
∞

f N (y)[k1 (x + y) + k1 (|x − y|)]dy .

+
0

15


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Vì các tích phân thực chất là trên các đoạn hữu hạn, ta có thể đổi thứ tự đạo hàm và tích phân. Thực
hiện đổi biến một lần nữa ta được
n

(−1)k ak

gN (x) = (

k=0

∞

d2k
)
dx2k

k1 (y)[f N (|x + y − 1|) + f N (|xy + 1|) − f N (x + y + 1)
0
∞
N

k2 (y)[f N (x + y) + f N (|x − y|)]dy .

− f (|x − y − 1|)]dy +
0

Do đó, Đinh lí 1.1.1 cho ta gN ∈ L2 (|R+ |). Gọi g là ảnh của f qua phép biến đổi (1.4). Khi đó, theo
Định lí 1.1.1, g ∈ L2 (|R+ |) thỏa mãn ||g||L2 (R+ ) = ||f ||L2 (R+ ) và có công thức ngược (1.5). Xét g − gN
ta có
n

∞

d2k
(−1) ak 2k
dx
k

(g − gN )(x) =

k=0

k1 (y)[(f − f N )(|x + y − 1|) + (f − f N )(|x − y + 1|)
0

− (f − f N )(x + y + 1) − (f − f N )(|x − y − 1|)]dy
∞

k2 (y)[(f − f N )(x + y) + (f − f N )(|x − y|)]dy .

+
0

Lại áp dụng Định lí 1.1.1, (g − gN )(x) ∈ L2 (R+ ) và ||g − gN ||L2 (R+ ) = ||f − f N ||L2 (R+ ) .
Bên cạnh đó, do lim ||f − f N ||L2 (R+ ) = 0, suy ra gN hội tụ theo chuẩn trong không gian L2 (R+ ) đến
N →0

hàm g. Phần thứ nhất của định lí được chứng minh xong. Tiếp tục sử dụng Định lí 1.1.1 và kỹ thuật
đánh giá như trên, ta nhận được phần còn laị của định lí.
Tính bị chặn của toán tử tích phân (1.4) trong không gian Lp (R+ ), 1 ≤ q ≤ 2, được chứng minh
trong định lí dưới đây
Định lý 1.1.4. Giả sử k1 , k2 là các hàm thỏa mãn điều kiện (1.3) sao cho K1 (x) và K2 (x) và xác
định như trong định lí trước là bị chặn trên R+ . Giả sử 1 ≤ p ≤ 2 và q là số mũ liên hợp của p. Khi
đó phép biến đổi f → g, trong đó
g(x) = lim

N →∞

K1 (y)[f N (|x + y − 1|) + f N (|x − y + 1|) − f N (x + y + 1) − f N (|x − y − 1|)]dy
∞

K2 (y)[f N (x + y) + f N (|x − y|)]dy ,

+

(1.14)

0

xác định một toán tử bị chặn từ Lp (R+ ) vào Lq (R+ ), ở đây giới hạn được hiểu theo nghĩa giá trị chính
theo chuẩn trong Lq (R+ ).
Chứng minh. Từ tính bị chặn của K1 và K2 , suy ra phép biến đổi (1.14) xác định một toán tử bị
chặn từ L1 (R+ ) vào L∞ (R+ ).

16


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Mặt khác, theo Định lí 1.1.1, phép biến đổi (1.14) xác định một toán tủ bị chặn từ L2 (R+ ) vào
L2 (R+ ). Theo đinh lí nội suy Riesz, phép biến đổi (1.14) xác định toán tử bị chặn từ Lp (R+ ) vào
Lq (R+ ), trong đó 1 ≤ p ≤ 2 và q là số mũ liên hợp của p.

1.1.3

Ví dụ

Sau đây chúng ta sẽ xây dựng một số ví dụ về cặp nhân Fourier cosine-sine.

Ví dụ 1.1.1.
Đầu tiên, ta xét trường hợp n = 1 và a0 = a1 = 1. Đây chính là phép biến đổi nghiên cứu trong
[26]. Rõ ràng cặp (k1 , k2 ) xác định như sau là một cặp nhân Fourier cosin-sine với đa thức đặc trưng
y 2 + 1.
siny
(Fs k1 )(y) = √
;
2 2π(1 + y 2 )

(Fc k2 )(y) = √

cos2 y
.
2π(1 + y 2 )

(1.15)

Khi đó, sử dụng công thức (1.4.1) trong [39] ta có
siny
k1 (x) =Fs [ √
](x)
2 2π(1 + y 2 )
∞

1
=
4π

(e2 − 1)e−x
cos(x − 1)y − cos(x + 1)y

dy
=
,
1 + y2
2e

(1.16)

0

và
k2 (x) = Fc [ √

cos2 y
1
](x) = (2 + e−2 + e2 )e−x .
2
2π(1 + y 2 )

(1.17)

Ví dụ 1.1.2.
Bây giờ, ta xét một ví dụ tổng quát của ví dụ 1.1.1. Chọn
siny
cos2 y
(Fs k1 )(x) = √
và (Fc k2 )(y) = √
2 2π(y 2 + a2 )n+1
2π(a2 + y 2 )n+1

(1.18)

Thấy rằng cặp (k1 , k2 ) xác định bởi công thức (1.18) ở trên là một cặp nhân Fourier cosine-sine với
đa thức đặc trưng (y 2 + a2 )n+1 . Sử dụng công thức (1.3.28) trong [39],Ta có
siny
k1 (x) =Fs [ √
](x)
2 2π(a2 + y 2 )n+1
∞

1
=
4

cos(x − 1)y − cos(x + 1)y
dy
(y 2 + a2 )n+1

(1.19)

0

=((−1)n

√
√
−1/2
−1/2
π
dn

π
dn
× n (z m
e−(x−1) z ) + (−1)n × n (z m
e−(x+1) z ))|z=a2 ,
2
dz
2
dz

Cũng từ công thức 1.3.28 trong [5], ta có

17


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

k2 (x) =Fc [ √

cos2 y
](x)
2π(a2 + y 2 )n+1

∞

=

1

4π

2cos(xy) + cos(x + 2)y + cos(x − 2)y
dy
(a2 + y 2 )n+1

0

= 2(−1)n

√
√
−1/2
−1/2
π
dn
π
dn
× n (z m
e−y z ) + (−1)n ) × n (z m
e−(x−2) z )
2
dz
2
dz

+(−1)n

1.2

√
−1/2
π
dn
e−(x+2) z )
× n (z m
2
dz

.

(1.20)

z=a2

Phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy Fourier sine,
Fourier và Fourier cosine với hàm trọng

Tích chập suy rộng của hai hàm h và f với hàm trọng γ(y) = e−y siny đối với các phép biến đổi
tích phân Fourier cosine, Fourier và Fourier sine được nghiên cứu trong [23]
∞ ∞

(h ∗ f )(x) =
3

1 + iu
(1 + iu)2 + (x + v − 1)2

1
√

γ

2π 2π

−∞ 0

−

1 + iu
1 + iu
+
(1 + iu)2 + (x + v + 1)2
(1 + iu)2 + (x − v − 1)2

−

1 + iu
h(u)f (v)dvdu,
(1 + iu)2 + (x − v + 1)2

(1.21)

và
∞ ∞

1
√

γ

(h ∗ f )(x) =
4

2π 2π
−
−

√

1 + iu
(1 + iu)2 + (x + v − 1)2
−∞ 0

(1 +

iu)2

1 + iu
1 + iu
+
2
2
+ (x + v + 1)
(1 + iu) + (x − v + 1)2

1 + iu
h(u)f (v)dvdu.
(1 + iu)2 + (x − v − 1)2

(1.22)

Với h ∈ L1 (R, 1 + x2 ) và f ∈ L1 (R+ ), ta có đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [23])
γ

Fs [h ∗ f ](y) = e−y siny(F h)(y)(Fc f )(y),
3

γ

Fc [h ∗ f ](y) = e−y siny(F h)(y)(Fs f )(y),
4

y > 0,

(1.23)

y > 0,

(1.24)

Trong mục này, ta sẽ tập trung xem xét, đánh giá một số lớp phép biến đổi tích phân dạng
γ

f (x) −→ (K4;h1 ,h2 f )(x) = g(x) = D[(h1 ∗ f )(x) + (h2 ∗ f )](x),
3

1

(1.25)

trong đó D là một toán tử nào đó. Trong trường hợp D là toán tử đồng nhất, chúng ta tìm hiểu thêm
một số tính chất toán tử tích chập suy rộng(1.21), (1.22) trong các không gian hàm Lp (R+ ). Với D là
một lớp toán tử bậc hữu hạn cụ thể, chúng ta thiết lập điều kiện cần và đủ để phép biến đổi (1.25)
là unita trong không gian L2 (R+ ), đồng thời xây dựng phép biến đổi ngược của nó.
18


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

1.2.1

Tính chất toán tử tích chập suy rộng

Trong phần này, chúng ta sẽ xét thêm các tính chất của toán tử tích chập suy rộng (1.21), (1.22).
Định lí dưới đây cho ta một kết quả mở rộng hơn so với kết quả trình bày ở [23], trong đó ta chứng
minh sự tồn tại của tích chập suy rộng (1.21), (1.22) trong không gian L1 (R+ ) với h ∈ L1 (R) và
f ∈ L1 (R+ ).
Định lý 1.2.1. Với h ∈ L1 (R) và f ∈ L1 (R+ ), các tích chập suy rộng (1.21), (1.22) xác định, thuộc
không gian L1 (R+ ) và thỏa mãn các đẳng thức nhân tử hóa (1.23), (1.24). Hơn nữa, các tích chập
suy rộng (1.21), (1.22) cũng thuộc không gian Lp (R+ ), p ≥ 2 và các đẳng thức Parseval dưới đây thỏa
mãn.

∞
γ

(h ∗ f )(y) =
3

2
π

e−y siny(F h)(y)(Fc f )(y)sinxydy,

x>0

(1.26)

e−y siny(F h)(y)(Fs f )(y)cosxydy,

x>0

(1.27)

0
∞
γ

(h ∗ f )(y) =
4

2
π
0

Chứng minh. Sử dụng công thức 1.4.1 trong [39], ta có
1 + iu
1 + iu

−
(1 + iu)2 + (x + v − 1)2
(1 + iu)2 + (x + v + 1)2
1 + iu
1 + iu
+
−
2
2
2
(1 + iu) + (x − v − 1)
(1 + iu) + (x − v + 1)2
∞

1
=
4

[cost(x + v − 1) − cost(x + v + 1) + cost(x − v − 1)

(1.28)

0

− cost(x − v + 1)]e−(1+iu)t dt
∞

sin(xt)sintcos(tv)e−(1+iu)t dt.

=

0

Do đó
1 + iu
1 + iu
−
(1 + iu)2 + (x + v − 1)2
(1 + iu)2 + (x + v + 1)2
1 + iu
1 + iu
+
−
|
(1 + iu)2 + (x − v − 1)2
(1 + iu)2 + (x − v + 1)2

|

∞

|sin(xt)sintcos(tv)e−(1+iu)t |dt ≤

≤

(1.29)

∞

0

e−t dt = 1
0

Tương tự ta có
1 + iu
1 + iu
−
2
2
(1 +
+ (x + v − 1)
(1 + iu) + (x + v + 1)2
1 + iu
1 + iu
+
−
| ≤ 1.
(1 + iu)2 + (x − v − 1)2
(1 + iu)2 + (x − v + 1)2

|

iu)2

19

(1.30)


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Cách đánh giá (1.29), (1.30) cho ta
∞ ∞
γ

|(h ∗ f )| ≤
3

|h(u)||f (v)|dvdu = ||h||L1 (R) ||f ||L1 (R+ ) < ∞,

(1.31)

|h(u)||f (v)|dvdu = ||h||L1 (R) ||f ||L1 (R+ ) < ∞,

(1.32)

−∞ 0
∞ ∞
γ

|(h ∗ f )| ≤
4

−∞ 0

Suy ra các tích chập suy rộng (1.21), (1.22) xác định.

Bên cạnh đó, sử dụng đánh giá (1.29), do h ∈ L1 (R), f ∈ L1 (R+ ), nên các tích phân là hội tụ

tuyệt đối. Sử dụng định lí Fubini, ta nhận được các đẳng thức Parseval (1.26), (1.27).

Ta chứng minh các tích chập suy rộng (1.21), (1.22) thuộc không gian L1 (R+ ). Trước hết, để ý
rằng h(x) = g1 (x) + g2 (x), trong đó g1 , g2 ∈ L1 (R) xác định bởi
g1 (x) =

h(x) + h(−x)
,
2

g2 (x) =

h(x) − h(−x)
.
2

Do g1 là hàm chẵn, g2 là hàm lẻ nên (F g1 )(y) = (Fc g1 )(y), (F g2 )(y) = −i(Fs g2 )(y). Hơn nữa, sử
dụng các công thức (1.6.6, tr.28) và (2.9.20, tr.79) trong [39] ta có
2
2 − τ2
Fc 4
(y) =
π
τ +4

e−y siny =

2
2τ
Fs 4

(y).
π
τ +4

Vì vậy các đẳng thức Parseval (1.26) có thể viết lại dưới dạng sau:
γ

(h ∗ f )(x) =Fs [e−y siny((Fc g1 )(y) − i(Fs g2 )(y))(Fc f )(y)](x)
3

=

2 − τ2
2
2τ
Fs Fs [ 4
](y)Fc [g1 ∗ f ](y) − iFc [ 4
](y)Fs [g2 ∗ f ](y) (x)
1
Fc
π
τ +4
τ +4

=

2
π

2τ

∗(g1 ∗ f )(τ ) (x) − i
Fc
τ4 + 4 1

2−τ
2
(g2 ∗ f ) ∗ 4
(x),
1
1 τ +4
π

(1.33)

trong đó (. ∗ .) xác đinh bởi (10), (. ∗ .) xác đinh bởi (13). Tương tự, đẳng thức Parseval (1.27) có thể
1

Fc

viết lại dưới dạng sau
γ

(h ∗ f )(x) =Fc [e−y siny((Fc g1 )(y) − i(Fs g2 )(y))(Fs f )(y)](x)
4

=

2
2τ
2 − τ2

Fc Fs [ 4
](y)Fs [f ∗ g1 ](y) − iFc [ 4
](y)Fc [g2 ∗ f ](y) (x)
1
2
π
τ +4
τ +4

=

2
π

2τ
∗(f ∗ g2 )(τ ) (x) − i
τ4 + 4 2 1

2
2−τ
(g2 ∗ f ) ∗ 4
(x),
2
Fc τ + 4
π

(1.34)

trong đó (. ∗ .) xác đinh bởi (2.4) trong [2].
2

Từ các công thức (1.33), (1.34) và tính chất của các tích chập (10), (13), (10), suy ra các tích chập
suy rộng (1.21), (1.22) thuộc L1 (R+ ).
20


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Cuối cùng, sử dụng các đẳng thức Parseval (1.26), (1.27), theo bổ đề Lebesgue-Rieman, với h ∈ L1 (R),
f ∈ L1 (R+ ), ta có (F h)(y), (Fs f )(y), (Fc f )(y) là những hàm liên tục, triệt tiêu ở vô cùng, do đó
bị chặn, suy ra e−y siny(F h)(y)(Fc f )(y) và e−y siny(F h)(y)(Fs f )(y) là các hàm thuộc không gian
Lq (R+ ), với mọi 1 ≤ q ≤ 2. Vì vậy các tích chập suy rộng (1.21), (1.22) thuộc Lp (R+ ) với mọi p ≥ 2,
và thỏa mãn các đẳng thức nhân tử hóa (1.23), (1.24).
Bất đẳng thức Hausdorff-Young đối với phép biến dổi Fourier có dạng sau (xem [43]):
||F f ||L

p

(R)

1
≤ √ ||f ||Lp (R) ,
2π

(1.35)

trong đó, f ∈ Lp (R), 1 < p ≤ 2, và p là số mũ liên hợp của p.
Trong trường hợp f là hàm số lẻ hay chẵn, ta có bất đẳng thức Hausdorff-Young đối với các phép

biến đổi Fourier sine và Fourier cosine như sau:
||Fs f ||L
||Fc f ||L

p

(R+ )

p

(R+ )

≤
≤

2
||f ||Lp (R+ )
π
2
||f ||Lp (R+ ) , 1 < p ≤ 2.
π

(1.36)

Nhờ Định lí Hausdorff-Young, ta chứng minh được tính bị chặn của các tích chập suy rộng (1.21),
(1.22) trong không gian Lp (R+ ) dưới đây.
Định lý 1.2.2. Giả sử h ∈ Lp (R), f ∈ Lq (R+ ), 1 < p, q ≤ 2 với các số mũ liên hợp tương ứng là
γ

γ

3

4

p , q . Khi đó các tích chập suy rộng (h ∗ f ), (h ∗) thuộc Lr (R+ ) với mọi r ≥ 2 và thỏa mãn các đẳng
thức nhân tử hóa (1.23), (1.24). Hơn nữa, với 1 < r ≤ 2 sao cho

1
p

+

1
q

<

1
r

và r là số mũ liên hợp

của r. Ta có đánh giá sau
√
γ

||h ∗ f ||L
3

r

(R+ )

γ

||h ∗ f ||L
4

trong đó s > 1 sao cho

1
p

r

(R+ )

≤
≤

2π

1
rs

(rs) .π 2
√
2π
1

(rs) rs .π 2

||h||Lp (R) ||f ||Lq (R+ ) ,
(1.37)
||h||Lp (R) ||f ||Lq (R+ ) ,

+ q1 + 1s = 1, và các tích phân được hiểu theo giá trị chính Cauchy nếu cần.
γ

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh cho tích chập suy rộng (h ∗ f ) (1.21).
3

Do các tích phân được hiểu theo giá trị chính, theo định lí Fubini và công thức (1.28) suy ra tích chập
suy rộng (1.21) xác định và ta nhận được đẳng thức Parseval (1.26). Hơn nữa, với h ∈ Lp (R), f ∈
Lq (R+ ), Bổ đề Riemann-Lebesgue suy ra (F h)(y) ∈ C0 (R), (Fc f )(y) ∈ C0 (R+ ), nên bị chặn. Do đó
γ

e−y siny(F h)(y)(Fc f )(y) ∈ Lr với mọi r > 1, suy ra h ∗ ∈ Lr (R+ ), với mọi r ≥ 2, và thỏa mãn đẳng
3

thức nhân tử hóa (1.50).

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức (1.37). Thấy rằng với 1 < r ≤ 2 thì r ≤ p , r ≤ q , áp dụng

21


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

bất đẳng thức Hausdorff-Young và bất đẳng thức Holder, ta có
∞
γ

||h ∗ f ||L
3

r

(R+ )

≤

2 −y
||e siny(F h)(y)(Fc f )(y)||Lr (R+ ) =
π

2
π

|(F h)(y)(Fc f )(y)e−y siny|r dy

1
r

0
∞

≤

2
π

p

|(F h)(y)| dy

∞

r
p

∞

|(Fc f )(y)|

−∞

q

|e

0

−rsy

1
s

rs

sin y|dy

1
r

.

0

Vậy, áp dụng bất đẳng thức Hausdorff-Young ta có
∞
γ

||h ∗ f ||L
3

r

(R+ )

≤

≤

2
||F h||L (R) ||Fc f ||L (R+ )
p

q
π
√
2π
1 ||h||Lp (R) ||f ||Lp (R+ )
(rs) s

e

−rsy

1
rs

dy

0

Định lí được chứng minh xong.
Ký hiệu Lα,β
p (R+ ), α > −1, 0 < β, là không gian các hàm số xác định trên R+ sao cho
∞

xα e−βx |f (x)|p dx < ∞,
0

và chuẩn của hàm f trong không gian này được xác định bởi
∞
α −βx

||f ||Lα,β
(R+ ) =
p

x e

p

1
p

|f (x)| dx

0

Mệnh đề 1.2.1. Với mọi hàm h ∈ L1 (R) và f ∈ L1 (R+ ), các tích chập suy rộng (1.21), (1.22) tồn
tai, thuộc không gian Lα,β
p (R+ ), với mọi r ≥ 1 và thỏa mãn đánh giá sau
γ

||h ∗ f ||Lα,β
(R+ ) ≤ C||h||L1 (R) ||f ||L1 (R+ ) ,
r
3
γ

(1.38)

||h ∗ f ||Lα,β
(R+ ) ≤ C||h||L1 (R) ||f ||L1 (R+ ) ,

r
4

trong đó, C = β

− α−1
r

1
r

Γ (α + 1).

Chứng minh. Sử dụng công thức 3.381.4 trong [41]
∞

xα e−βx dx = β −α+1 Γ(α + 1), β > 0, α > −1,
0

và đánh giá (1.31), (1.32), ta dễ dàng chứng minh mệnh đề trên.

1.2.2

Định lí kiểu Watson

Trong phần này, ta xét một lớp phép biến đổi tích chập suy rộng đối f → g, trong đó g xác định
như sau
(K4,h1 ,h2 f )(x) = g(x) =

1−

γ
d2
(h1 ∗ f )(x) + (h2 ∗ f )(x),
2
3
1
dx

(1.39)

ở đây, (h2 ∗ f )(x) là tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine (13).
1

22


Nguyễn Anh Đài

Luận văn cao học

Định lý 1.2.3. Giả sử, h1 ∈ L2 (R), h2 ∈ L2 (R+ ), khi đó điều kiện sau
|e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )(y)| =

1
1 + y2

(1.40)

là cần và đủ để phép biến đổi (1.39) là unita trong L2 (R+ ). Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng

f (x) =

1−

γ
d2
(h1 ∗ g)(x) + (h2 ∗ g)(x),
4
2
dx2

(1.41)

trong đó, (. ∗ .) là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và sine (1.4).
2

Chứng minh. Điều kiện cần.Giả sử h1 và h2 thỏa mãn điều kiện (1.40). Ta biết rằng h(y), yh(y), y 2 h(y) ∈
d
L2 (R) khi và chỉ khi (F h)(x), dx
(F h)(x),

d2
dx2 (F h)(x)

∈ L2 (R) (Đinh lí 68, tr.92, [41]). Hơn nữa,

d2
(F h)(x) = F [(−iy)2 h(y)](x).
dx2
Đặc biệt, trong trường hợp h là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ sao cho h(y) và y 2 h(y) thuộc L2 (R+ ), ta

có đẳng thức sau
d2
(Fc h)(x) = Fc [(1 + y 2 )h(y)](x),
dx2
d2
1 − 2 (Fs h)(x) = Fs [(1 + y 2 )h(y)](x),
dx
1−

(1.42)

γ

Sử dụng Định lí 1.3.2, với p = q = r = 2, tích chập suy rộng h1 ∗ f thỏa mãn đẳng thức Parseval
3

(1.26), và đẳng thức Parseval (15) đối với tích chập suy rộng h2 ∗ f , ta có
1

g(x) = 1 −

d2
Fs [e−y siny(F h1 )(y)(Fc f )(y) + (Fs h2 )(y)(Fc f )(y)](x)
dx2

=Fs (1 + y 2 ) e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )(y) (Fc f )(y) (x).
Theo đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine ||f ||L2 (R+ ) = ||Fc f ||L2 (R+ ) =
||Fs f ||L2 (R+ ) và theo điều kiện (1.40) ta có
||g||L2 (R+ ) =||(1 + y 2 )(e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )(y))(Fc f )(y)||L2 (R+ )
=||Fc f ||L2 (R+ )

=||f ||L2 (R+ ) .
Do đó, phép biến đổi (1.39) là đẳng cự.
Mặt khác, từ điều kiện (1.40) suy ra (1 + y 2 )(e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )(y)) bị chặn trên R+ , suy ra
(1 + y 2 )(e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )(y))(Fc f )(y) ∈ L2 (R+ ). Ta có
(Fs g)(y) = (1 + y 2 )(e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )(y))(Fc f )(y)
Sử dụng điền kiện (1.40) ta có
(Fc f )(y) = (1 + y 2 )(e−y siny(F h1 )(y) + (Fs h2 )).
23