TLBG+BTTL+DABTTL ĐỊNH THỨC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Khoá h c Toán cao c p:

i s tuy n tính (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

nh th c – Ma tr n

NH TH C (PH N 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng
nh th c (Ph n 02) thu c khóa h c Toán cao c p
Ph n i s tuy n tính – Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn giúp các b n ki m tra, c ng c l i các ki n
th c đ c giáo viên truy n đ t trong bài gi ng nh th c (Ph n 02).
s d ng hi u qu , b n c n h c tr c bài
gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

(Tài li u dùng chung cho P1+P2)

Bài 1
1 2 3
C   4 5 6   1. M11  2. M12  3. M13
 7 8 9 

a.

5 6 

4 6
 4 5
 1. 
 2. 
 3. 



8 9 
7 9 
7 8
 1(5.9  6.8)  2.(4.9  6.7)  3(4.8  5.7)  0.
b. Khai tri n đ nh th c theo c t 1, ta có :

5
1

D  0

0
0

6
5
1
0
0

0
6

5
1
0

0
0 
0

6
5 

0
0
6
5
1

  1 .a11. M11   1 .a 21. M21   1 .a31. M31   1 .a 41. M41   1 .a51. M51
11

5
1
 (1)11.5. 
0

0

21

31

6 0 0
6

1
5 6 0
 (1)21.1. 
0
1 5 6


0 1 5
0

41

51

0 0 0
5 6 0
000.
1 5 6

0 1 5

5
1
 5. 
0


0

6 0 0  6 0 0 0 
5 6 0  1 5 6 0 

1 5 6  0 1 5 6 
 

0 1 5  0 0 1 5 
i ch dòng 1 và dòng 2 c a đ nh th c th nh t, khai tri n đ nh th c th hai theo dòng 1, ta có
1 5 6 0 
5 6 0 
5 6 0 0 
  6. 1 5 6 
D  5. 


0 1 5 6 


0
1
5



0 0 1 5 
i v i đ nh th c th nh t, ta l y 5d1  d 2  d 2 m i, đ nh th c th hai gi nguyên, ta có

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoỏ h c Toỏn cao c p:

i s tuy n tớnh (Th y Lờ Bỏ Tr n Ph

ng)

nh th c Ma tr n

6
1 5
0 19 30
D 5.
0 1
5

1
0 0

0
5 6 0
0
6 1 5 6

6
0 1 5

5
Khai tri n nh th c th nh t theo c t 1, cũn nh th c th hai gi nguyờn, ta cú
19 30 0
5 6 0


D 5. 1
5 6 6 1 5 6 .
0
0 1 5
1 5

5(19).5.5 (30).6.0 0.1.1 0.5.0 1.6(19) 5.1.(30) 65.5.5 6.6.0 0.1.1 0.5.0 1.6.5 5.1.6
665
Bài 2. Hãy tính định thức của các ma trận sau :
1 x x2
b a b
a
cos sin
1
3


1)
; 2) b a b a ; 3) x2 1 x , với x i

2

2
cos
sin
x x2 1
a b a
b



Gi i

cos sin
1)
1
cos
sin
b a b
a
b a b a a. a b a b b a a b b a b
2)


a b
a b b
a b a
a b a
b
a . ab b 2 a 2 b b 2 a 2 ab a b a 2 b 2 ab
a 2b ab 2 a 3 b3 a 2b ab 2 a 3 ab 2 a 2b a 2b b3 ab 2
2a 3 2b3

2
1 x x2
3
1


2
3
x2 x 2 x2 1
2
1 x
3) x 1 x 2
x
x
1 2 x3 x6 x3 1 = i
1 với
2
2

2
x 1
x 1
x x
2
x x 1

1
3
x i
2
2

Bài 3. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu các góc của nó thỏa mãn:

1 cos A cos 2 A


2
1 cos B cos B 0
1 cos C cos 2 C


Gi i

Hocmai.vn Ngụi tr

ng chung c a h c trũ Vi t

T ng i t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoỏ h c Toỏn cao c p:

i s tuy n tớnh (Th y Lờ Bỏ Tr n Ph

ng)

nh th c Ma tr n

1 cos A cos 2 A


2
1 cos B cos B 0
1 cos C cos 2 C



cos B cos 2 C cos 2 B cos C cos A cos 2 C cos 2 B cos 2 A cos C cos B 0
cos B cosC cos B cos C cos Acos C cos Acos B cos C cos B cos 2 A cos C cos B 0
cos B cos C cos B cos C cos Acos C cos Acos B cos 2 A 0
cos B cos C cos B cos A cos C cos A 0
B C
B A
A C

Tam giỏc ABC l tam giỏc cõn
1
Bài 4. Cho A 1
2

2
3 1 0
0 ; B

.Tính định thức của ma trận tích AB .
2 1 2

2

Gi i

1 2
1 3 4
3 1 0


3 1 0
AB 1
0

2 1 2
2
10 0 4
2
AB 0
Bài 5. Tính định thức của các ma trận sau bằng ph-ơng pháp biến đổi sơ cấp
5 2 3
0 1
1
1 0
0

2
7 1

1)
; 2)
1 a
2 10 1 5



3 15 6 13
1 b

1 1
1

2
a b
; 3)
4
0 c


c 0
2

1
5 7 10
3


7 6 4
; 4) 0

14 2 5


0
7 1 3
0

2 0 0 0
2 3 0 0
4 3 4 0

0 5 4 5
0 0 6 5

Gi i

5 2 3 h1 h1
1
0
2
7 1 h2 h2
1
1)

2 10 1 5 h3 2h1 h3
6


4 3h1 h4
3 15 6 13 h

1 5
12 0 2

3

0
1
2)
1

1

3
2
7
1
0 3 1

0 12 22

0 0

7 108
3

1 1 1
0 a b h1 h2

2 h1
a 0 c h

b c 0

Hocmai.vn Ngụi tr

2

5

1 5 2

1 22 0 2

0 0 1

1
0

0

0

1
0

1

1

0 a b

1

0
1 1 1

0
a 0 c


b c 0
0

ng chung c a h c trũ Vi t

b
1
1
1
a a c b

b c a b
0

a

T ng i t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Khoỏ h c Toỏn cao c p:

1
1
a a
b ca

i s tuy n tớnh (Th y Lờ Bỏ Tr n Ph

1
a
c b
ca
b

ng)

nh th c Ma tr n

c b a c b a a


b
b b
b ca

ab c 2 ca cb ab ab cb b 2 ac a 2 ab
2ab 2ca 2cb a 2 c 2 b 2

5

1
2
7
3)
4 14

2 7
1
3

4) 0

0
0

2
2
4
0
0

0
3
3
5
0

0
0
4

4
6

7 10 1
6 4 0

2 5 0

1 3 0
0
2 3
0
4 3
0
0 5
5
0 0
5

0
4
4
6

10
3 8 16 3 8 16
3 8 16
6 26 35 6 26 35 147
6 26 35
3 15

23
0
7
7

3
15
23
5

7

0
3 3
0
0 3
2
5
0 5
5
0 0

0
4
4
6

0
3 4 0
4 4 0

3 4 0
0
2 5 4 5 3 0 4 5 2.3 5 4 5 640
5
0 6 5
0 6 5
0 6 5
5

Bài 6.
0 1 1
1
0 1 1 1

a) Tính định thức sau bằng cách khai triển theo dòng 3 :
a
b
c
d


0
1 1 1

Gi i

0 1 1
1
0 1 1 1

a
b c
d


0
1 1 1
0 1 1
1
a 1 1 1 b 0
1

1

0

1
1 1
1 1 c 0

1

1

0

0 1
1
1 1 d 0

1 1

0

1

1 1
1 1
0

1

3a b 2c d

2
1
b) Tính định thức sau bằng cách khai triển theo cột 3 :
1

1

1 1
2 1
1 2
1 1

x
y
.

z

t

Gi i

2
1

1

1

x
1 2 y 2 1 x
2 1 x 2 1 x
y
1 1 z 1 1 z 2 1 1 y 1 1 y
z
1 1 t 1 1 z
1 1 t 1 1 t
t
z t z t 2 y 2t y z y 2t z
1
2
1
1

1
1

2
1

Hocmai.vn Ngụi tr

ng chung c a h c trũ Vi t

T ng i t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khoỏ h c Toỏn cao c p:

a
b
Bài 7. Cho A
c

d

i s tuy n tớnh (Th y Lờ Bỏ Tr n Ph

b

c

a

d

d
c

a
b

ng)

nh th c Ma tr n

d
c
. Tính định thức của ma trận A2 .
b

a

Gi i
a
b
A2
c

d

b
a

c

d

d
c

a
b

d a
c b
b c

a d

b
a

c
d

d
c

a
b

d
c
b

a

a 2 b2 c2 d 2
ab ab cd cd
ca bd ca bd
ad cb cb ad


ab ab cd cd b 2 a 2 d 2 c 2 cb ad ad bc bd ca bd ac


ac bd ca bd bc ad ad bc c 2 d 2 a 2 b 2 cd cd ab ab

2
2
2
2
ad bc cb ad bd ca bd ca cd cd ab ab d c b a
a 2 b2 c2 d 2

2ab 2cd
2ac
2ad


2ac
a 2 b2 c2 d 2
2ab
2ad

a 2 b2 c2 d 2
2ac
2bc 2ad
2ab


2ca
2cd 2ab
a 2 b 2 c 2 d 2
2ad 2cb

nh th c cỏc b n t tớnh ti p
y
x y
x

x y
x
Bi 8. Tớnh y
x y
x
y

Gi i
y
x y x y x y

x

y
x y
x
y

x y
x
y
x y
1
1
1

x y x 2 x y
2 x y y
x y
x
y
2 x y

y x y x

x y x y

x y

x

x

y





0
0
1
y
x x y 2 x y x2 y x y

x y y x

3

Bi 9. Ch ng minh
1
1
x
x2
1
2
x22
n x1

..... .....
xn 1 xn 1

2
1

1
.....
xn
.....
x2n

...... ...
..... xnn 1
.....

Gi i
Xem n nh l 1 a th c b c n-1 i v i xn => n =0 cú n-1 nghi m x1 , x2 ,....., xn 1
Hocmai.vn Ngụi tr

ng chung c a h c trũ Vi t

T ng i t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khoá h c Toán cao c p:

i s tuy n tính (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

nh th c – Ma tr n

V y n  k  xn  xn1  xn  xn2  ..... xn  x1  đ ng nh t h s c a xnn 1  k   n 1

 n   n 1  xn  xn 1  .....  xn  x1 
 n 1   n  2  xn 1  xn 2  .....  xn  x1 
...................................................
=>  3   2  x3  x2  x3  x1 
1 1
2 
 x2  x1
x1 x2

  n    xi  x j 
i j

Bài 10
1  a1

...
a2
a3
an
1  a1  a 2  ...  a n
...
a2
a3
an
1  a2
...

a3
an
1  a1  a 2  ...  a n 1  a 2
...
a3
an
1  a 3 ...
a2
a n  1  a1  a 2  ...  a n
1  a 3 ...
a2
an









... 1  a n 1  a1  a 2  ...  a n
a2
a3
... 1  a n
a2
a3

a1
A  a1


a1

1  a1  a 2  ...  a n

a2

a3

... a n

0
0

1
0

0
1

...
...

0
0  1  a1  a 2  ...  a n


0



0


0


...


1



0

1

1

...

1

1
Bn  1

0
x

x

0

...
...

x
x

B ng cách nhân dòng 1 và c t 1 v i x ta đ

c đ nh th c   x2 Bn .

.... .... .... .... ...
1 x x ... 0
i v i đ nh th c  ta c ng t t c các c t vào c t đ u, rút th a s chung. Sau đó nhân dòng đ u
v i -1 r i c ng vào các dòng sau. K t qu Bn  (1)n1 (n 1) xn2 .

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 6 -