KHAO SAT HAM SO

CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN HÀM SỐ
Vấn đề 1:Tiếp tuyến với đồ thò của hàm số
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C)
1) Phương trình tiếp tuyến với(C) tại điểm M(x
o
,y
o
) (M∈(C))
Có dạng: y-y
o
=f
/
(x
o
).(x-x
o
) (1)
2) Phương trình tiếp tuyến với(C) có hệ số góc k đi qua M(x
o
,y
o
)
Có dạng: y-y
o
=k.(x-x
o
)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1.Phương pháp giải tích:
Các dạng khác nhau của bài toán:
+ Cho x

o
.Tính y
o
=f(x
o
) và f
/
(x
o
)
+ Cho y
o
.Giải phương trình :f(x
o
)=y
o
để có x
o
⇒ f
/
(x
o
)
+ Cho hệ số góc k của tiếp tuyến.Giải PT:f
/
(x)=k ⇒x
o
rồi tính f(x
o
)=y

o
.
+ Cho bằng điều kiện khác thì khai thác điều kiện để viết (1) thành phương trình theo
x
o
.Giải để có x
o
rồi tính y
o
=f(x
o
), k=f
/
(x
o
)
2.Phương pháp đại số:
Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y=kx+m
+Lập phương trình hoàng độ điểm chung của (C) và (D): f(x)=kx+m (2)
đưa về dạng mẫu mực.
* Trường hợp (2) là PT bậc hai:
điều kiện tiếp xúc : a và ∆=0 ; tìm được m
* Trường hợp (2) là phương trình bậc ba, bốn hoặc dạng khác:
Điều kiện tiếp xúc ⇔ hoàng độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
F(x)=k(x-x
o
)+y
o
và f
/

(x)=k (3).
Khử k tìm được x; thế vào (2) tìm được k.
Chú ý:+Hai đồ thò (C): y=f(x) và (C
/
): y=g(x) tiếp xúc với nhau tại M
o
(x
o,
y
o
) khi và chỉ
khi M
o
là điểm chung của(C) và (C
/
) và tại M
o
hai đường (C) và (C
/
) nhận chung một
tiếp tuyến (∆): f(x
o
)=g(x
o
) và f
/
(x
o
)=g
/

(x
o
)
+Cho hai đường thẳng (D
1
):y= a
1
x+b
1
; (D
2
):y= a
2
x+b
2
-(D
1
) cùng phương (D
2
) ⇔ a
1
=a
2
-(D
1
) vuông góc (D
2
) ⇔ a
1
.a

2
= -1
-Góc (Ox,D) = α thì hệ số góc của (D) là :k = tgα
Vấn đề 2 : Điểm cố đònh của họ đồ thò
Cho đồ thò (C) có phương trình :y= f(x,m) với m là tham số.Tìm điểm cố đònh mà họ đồ
thò (C
m
) đều đi qua.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
-Biến đổi phương trình y = (x,m) ra dạng một đa thức theo biến số m ,rồi đồng nhất hệ
số 2 vế.
Các trường hợp gặp :
+Phương trình bậc nhất theo biến m : Am + B = 0
≠0
Tọa độ điểm cố đònh thỏa hệ : A= 0 và B= 0
+Phương trình bậc hai theo biến m: Am
2
+ Bm
2
+ C = 0
Tọa độ điểm cố đònh thỏa hệ : A = 0 và B = 0 và C = 0
Vấn đề 3: Sự tương giao của hai đồ thò
Cho hàm số y = f(x) có độ thò (C) và y = g(x) có đồ thò (C
/
).Xét sự tương giao của hai đồ
thò (C) và (C
/
).
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C

/
) : f(x)=g(x) (1)
+ Giải phương trình (1) :
-Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì (C) và (C
/
) có n giao điểm.
-Nếu PT (1) vô nghiệm thì (C) và (C
/
) không kắt nhau.
*Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thò:
(C) tiếp xúc với (C
/
) ⇔ a và ∆=o
+Nếu phương trình (1) là phương trình bậc ba, bốn hoặc dạng khác thì ta sử dụng điều
kiện tiếp xúc : f(x) = g(x) và f
/
(x) = g
/
(x)
Vấn đề 4: Họ đồ thò tiếp xúc với một đường cố đònh
Bài toán :Cho họ đồ thò (C
m
) có phương trình y = f(x,m).Chứng minh (C) luôn tiếp xúc
với một đường (L) cố đònh .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
*Trường hợp 1: Đường (L) là một đường thẳng: y = ax + b hay là một Parabol:
y = ax
2
+ bx +c (a ) . Khi đó:Ta lập phương trình hoành độ giao điểm của
(C

m
): y = f(x,m) với phương trình đường (L):y = g(x)
f(x,m) = g(x) (1)
Điều kiện tiếp xúc là phương trình (1) có nghiệm kép với mọi m; ta sẽ xác đònh được
g(x).
*Trường hợp 2: Đường (L) chưa biết hình dạng thì ta phân tích:
y = f(x,m) = g(x) + h(x,m)
Để có hàm g(x) độc lập với m ta làm như sau:
Khử tham số m từ hệ : y = f(x,m) và f
/
m
(x,m) = 0
Sẽ được hàm g(x);trong đó f
/
m
(x,m) là đạo hàm với biến m của hàm y = f(x,m).Vì
h(x,m) = 0 có nghiệm kép với mọi m nên (C
m
) luôn tiếp xúc với (L) : y = g(x) cố đònh.
*trường hợp 3: Chứng minh (C
m
) tiếp xúc với môt đường thẳng cố đònh tại một điểm cố
đònh.
Ta làm như sau: +Tìm điểm cố đònh M
0
(x
0
,y
0
) mà (C

m
) : y = f(x,m) đi qua.
+Chứng minh f
/
(x
0
,m) = C với mọi m
+Kết luận:(C
m
) luôn tiếp xúc với đường thẳng cố đònh có phương trình
y = C(x – x
o
) +y
o
tại điểm cố đònh M
0
(x
0
,y
0
)
vấn đề 5: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
bài toán:dùng đồ thò (C): y = f(x) để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương
trình E(x,m) = 0
≠ο
≠0
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Biến đổi phương trình E(x,m) thành một trong các dạng sau:
+Dạng 1: E(x,m) = a(m) với a(m) là một biểu thức của m khi đó đường thẳng
(∆) : y = a(m) vuông góc với trục Oy tại điểm M(0,a(m))

+Dạng 2:E(x,m) = kx + b(m) với k là một hằng số (k ≠ 0) ,b(m) là một biểu thức của
m.Khi đó (∆) : y = kx + b(m) cùng phương với đường thẳng y = kx và (∆) cắt 0y tại điểm
(0,b(m))
+Dạng 3:E(x,m) = m(x-x
o
) +y
o
với x
o
,y
o
là các hằng số.Khi đó (∆) có hệ số góc là m và
luôn đi qua điểm cố đònh M(x
o
,y
o
)
*Trong cùng mặt phẳng (0xy) ta vẽ (C) : y = f(x) và ta vẽ thêm các đường
(D): y = a(m) hay y = kx + b(m) hay y = m(x-x
o
) +y
o
.Khi m thay đổi nhìn số điểm chung
của (C) và (D) để kết luận số nghiệm của phương trình E(x,m) = 0
vấn đề 6:Bài toán q tích
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
*Để tìm q tích của một điểm M(x,y) di động trên mặt phẳng tọa độ, thường ta làm như
sau:
+Tìm tọa độ của điểm M theo tham số m
Gỉa sử M(x = f(m),y = g(m))

+Khử tham số m từ hệ trên, ta thiết lập hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với tham số
m: h(x,y) = 0 hay y = f(x).
+Giới hạn quỹ tích (nếu có).
+Kết luận :Qũi tích của điểm M là phần của đường (L) ứng với các điểm thỏa điều kiện
của phần giới hạn để điểm M tồn tại:
M(y = f(x),x∈D(là miền giá trò của x))
Các trường hợp đặc biệt: Nếu tọa độ M có dạng