Chuyên đề ôn Toán THPT Quốc gia 2017 2018 phần Khảo sát hàm số và bài toán liên quan

Chuyên đề 1
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-Cực trị của hàm số
-Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
-Đường tiệm cận
-GTLN, GTNN của hàm số
-Biện luận nghiệm phương trình bằng đồ thị hàm số
-Phương trình tiếp tuyến
-Sự tương giao giữa các đồ thị
2. Về kĩ năng
-Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
-Tim cực trị của hàm số và bài toán chứa tham số
-Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và bài toán chứa tham số
-Tìm đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
-Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn, trên khoảng
-Biện luận nghiệm phương trình bằng đồ thị hàm số
-Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm và biết hệ số góc
-Xác định giao điểm của các đồ thị, điều kiện tiếp xúc của các đồ thị.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động
trong học tập.
B. NỘI DUNG
Chủ đề 1.
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC
1.Sơ đồ khảo sát
1.TXĐ:

2.Khảo sát sự biến thiên
a.Chiều biến thiên
Tính
GiảI PT
Tìm điểm làm không xác định (nếu có)
Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
b.Cực trị
c.Giới hạn và tiệm cận:
Hàm đa thức có 2 giới hạn, 0 xét tiệm cận
Hàm phân thức có 4 giới hạn, 2 tiệm cận
d.Bảng biến thiên
3.Đồ thị
Giao với trục Oy tại điểm (0;d)
Giao với trục Ox: cho y = 0 tìm x
Kết luận về tâm đối xứng của đồ thị hàm số


2.Dạng đồ thị hàm bậc ba

a>0

a<0

a>0

a<0

Phương trình
y’ = 0
có hai nghiệm

phân biệt
Phương trình
y’ = 0
có nghiệm kép

Phương trình
y’ = 0
vô nghiệm

3.Dạng đồ thị hàm trùng phương

Phương trình
y’ = 0
có ba nghiệm
phân biệt

Phương trình
y’ = 0
có một nghiệm
4.Dạng đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất


II.BÀI TẬP
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau
a)

y = x3 − 3x2 − 9x + 1

b)

y = x3 + 3x2 + 3x + 5

y=

2

y = (x − 1) (4 − x)

3

x
1
− x2 +
3
3

d)
e)
Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau
4

a)

2

y = x − 2x − 1

4

b)

y = (x − 1)2(x + 1)2

a)
y=

d)

x+ 1
x+ 2

y = − x4 + 2x2 + 2

1− 2x
1+ 2x

y=

b)
y=

e)

2x + 1
x− 1
3x − 1
x− 3

f)

y = − x3 − 3x2 − 4x + 2

y=

2

y = x − 4x + 1

d)
e)
Câu 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau
y=

c)

y = − x3 + 3x2 − 2

c)
f)

y = −2x4 + 4x2 + 8

y=

3− x
x− 4

y=

x− 2

2x + 1

c)
f)

x4
5
− 3x2 +
2
2


Chủ đề 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC
1.Quy tắc 1
-Tìm f′ (x).
-Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
-Xét dấu f′ (x). Nếu f′ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
2.Quy tắc 2
-Tính f′ (x).
-Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
-Tính f′′ (x) và f′′ (xi) (i = 1, 2, …).
-Nếu f′′ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
-Nếu f′′ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
3.Điều kiện để hàm số có cực trị
-Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f′ (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
-Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f′ (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
y = ax3 + bx2 + cx + d

-Hàm số bậc ba
có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai nghiệm
phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
y(x0) = ax03 + bx02 + cx0 + d

y(x0) = Ax0 + B
y=

-Hàm số

, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y′.

ax2 + bx + c
a' x + b'
−

P (x)
Q(x)

=

(aa′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y′ = 0 có hai

b'
a'

nghiệm phân biệt khác
.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
y(x0) =

P (x0)

y(x0) =

Q(x0)

P '(x0)
Q '(x0)

hoặc
-Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.
-Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
định lí Vi–et.
II.BÀI TẬP
Câu 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2

a)

3

y = 3x − 2x

3

b)

2

y = x − 2x + 2x − 1

c)

1
y = − x3 + 4x2 − 15x
3


y=

d)

x4
− x2 + 3
2

y= −

y = x4 − 4x2 + 5

e)

2

f)

2

− x + 3x + 6
y=
x+ 2

3x + 4x + 5
y=
x+ 1

g)
h)
Câu 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a)

y=

y = (x − 2)3(x + 1)4

b)

i)

4x2 + 2x − 1

x2 − 2x − 15
y=
x− 3

y=

2x2 + x − 3

y = x2 − 2x + 5

y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3

y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + 1

b)

x2 + m(m2 − 1)x − m4 + 1
x− m

y = (m+ 2)x3 + 3x2 + mx − 5
3

d)

d)

có cực đại, cực tiểu.

2

y = x − 3(m− 1)x + (2m − 3m+ 2)x − m(m− 1)
3

c)

2

2

đạt cực đại tại x = 2.

y = − mx4 + 2(m− 2)x2 + m− 5

e)
y=

f)
y=

có cực đại, cực tiểu.

2

y = x − 3mx + (m − 1)x + 2

y=

f)

y = x + 2x − x2

x2 + mx − m+ 2
x − m+ 1

y=

c)
Câu 4. Tìm m để hàm số:

b)

x2 + x + 1

y = x x2 − 4

y=

a)

3x2 + 4x + 4

c)

d)
e)
Câu 3. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)

x4
3
+ x2 +
2
2

có một cực đại

1
x= .
2

2

x − 2mx + 2
x− m

đạt cực tiểu khi x = 2.

2

x − (m+ 1)x − m2 + 4m− 2
x−1

có cực đại, cực tiểu.

2

x − x+ m
x−1

g)
có một giá trị cực đại bằng 0.
Câu 5. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:
a)

y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m+ 4

b)

2

− x + mx + 5
y=
x− 3

c)
Câu 6. Tìm a, b, c, d để hàm số:

d)

y = mx3 + 3mx2 − (m− 1)x − 1

x2 − (m+ 1)x − m2 + 4m− 2
y=
x−1


3

a)
b)

2

y = ax + bx + cx + d
y = ax4 + bx2 + c

y=

c)
y=

d)
y=

đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng

4
27

tại x =

có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =

3

1
3

.

2

x + bx + c
x−1

đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.

2

ax + bx + ab
bx + a

đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.

2

ax + 2x + b
x2 + 1

e)
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Câu 7. Tìm m để hàm số :
a)

y = x3 + 2(m− 1)x2 + (m2 − 4m+ 1)x − 2(m2 + 1)

1 1 1
+
= (x + x )
x1 x2 2 1 2

y=

b)

đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

.

1 3
x − mx2 + mx − 1
3

x1 − x2 ≥ 8

đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

.

Chủ đề 3
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC
1.Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
-Tìm tập xác định của hàm số.
-Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
-Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
2.Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến
y = f (x, m)

Cho hàm số
, m là tham số, có tập xác định D.
Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D.
Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:
y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
Nếu

y' = ax2 + bx + c

thì:


 a = b = 0
 c ≥ 0
y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔  
  a > 0
  ∆ ≤ 0

 a = b = 0
 c ≤ 0
y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔  
  a < 0
  ∆ ≤ 0
g(x) = ax2 + bx + c

Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

−

:

b

2a

Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
)
Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai
∆ > 0
∆ > 0

0 < x1 < x2 ⇔  P > 0
 S > 0

g(x) = ax2 + bx + c


x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
 S < 0

với số 0:

x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

I.BÀI TẬP
Câu 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
y=

2

a)

d)

y = − 2x + 4x + 5

b)

y = x3 − 2x2 + x − 2
y=

g)
y=

k)
y=

1 4
x − 2x2 − 1
4
2x − 1
x+ 5
2

2x + x + 26
x+ 2

x2
5
+ x−
4
4

e)

x−1
2− x

a)

y = −6x4 + 8x3 − 3x2 − 1

y=

d)
g)

y=

b)

2x − 1

y=

2

x

y = 2x − 1 − 3− x

e)

h)

y=

i)
m)

1
1− x

y=

p)

y = x3 − 3x2 + 4x − 1

1 4 1 2
x + x −2
10
10

y = 1−

y = − x + 3−

n)
o)
Câu 2.Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

f)

2

y = − x − 2x + 3
y=

l)

c)

y = (4 − x)(x − 1)2
4

h)

y = x2 − 4x + 3

1
1− x

4x2 − 15x + 9
3x

x2 − 1

y=

x2 − 4

c)

x2 − x + 1
x2 + x + 1

x
2

x − 3x + 2

y = x 2 − x2

f)
i)

y = x + 3+ 2 2 − x

y = 2x − x2


 π
π
y = sin2x  − < x < ÷
 2
2

k)
Câu 3. Tìm m để hàm số:
y=

a)

b)

đồng biến trên khoảng (1; +∞).

y = x3 − 3(2m+ 1)x2 + (12m+ 5)x + 2
y=

c)
y=

d)
y=

e)
y=

f)

x3
+ (m+ 1)x2 − (m+ 1)x + 1
3

l)

mx + 4
(m≠ ±2)
x+ m
x+ m
x− m

 π
π
y = sin2x − x  − < x < ÷
 2
2

đồng biến trên khoảng (2; +∞).

đồng biến trên khoảng (1; +∞).

đồng biến trong khoảng (–1; +∞).

x2 − 2mx + 3m2
x − 2m

đồng biến trên khoảng (1; +∞).

2

−2x − 3x + m
2x + 1

nghịch biến trên khoảng

 1

 − ; +∞ ÷
 2


.


Chủ đề 4
ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I.KIẾN THỨC
1.Định nghĩa
x = x0

-Đường thẳng
đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x) = +∞

x→ x0+

lim f ( x) = −∞

;

x→ x0+

lim f (x) = +∞

;

x→ x0−

y = f (x)

lim f (x) = −∞

x→ x0−

;

y = y0

-Đường thẳng
đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f (x) = y0

x→+∞

nếu ít nhất

y = f (x)

nếu ít nhất

lim f (x) = y0

x→−∞

;

2.Chú ý
y = f (x) =

P (x)
Q(x)

-Nếu

là hàm số phân thức hữu tỷ.
x = x0

Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng
.
Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
-Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:
a = lim

f (x)
;
x

b = lim [ f (x) − ax]

a = lim

f (x)
;
x

b = lim [ f (x) − ax]

x→+∞

x→−∞

x→+∞

x→−∞

hoặc
I.BÀI TẬP
Câu 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
y=

a)
y=

2x − 5
x−1

y=

b)

x2 − 4x + 3
x+1

y=

10x + 3
1− 2x

(x − 2)2
1− x

d)
e)
Câu 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
y=

a)
y=

d)

x
x2 − 4x + 5

y=

b)

2

2x + 3x + 3
x2 + x + 1

y=

e)

y=

c)

2x + 3
2− x

y=

f)

2+ x
9− x2

y=

c)

3

x + x+ 1
x2 + 1

y=

f)

7x2 + 4x + 5
2 − 3x
x2 + 4x + 5

x2 − 1
x4 − x + 4
x3 − 1


Câu 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a)

y = x2 − 4x
y= x

d)

x−1
x+1

y=

4x + 2
x2 − 9

b)
3

e)

2

1

y=

x2 − 4x + 3

c)

x2 − 3x + 2
x− 2

y=

3

y = 3x − x

f)

Chủ đề 5
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I.KIẾN THỨC
1.Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Tính f′ (x).
Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
2. Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a;
b].
Tính f′ (x).
Giải phương trình f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).

So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M = max f (x) = max{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}
[a;b]

m= min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f ( xn)}
[a;b]

I.BÀI TẬP
Câu 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)

d)

y = x2 + 4x + 3

y = x2 + x − 2
1
y = x + (x > 0)
x
2

b)

y = 4x3 − 3x4

y=

e)
y=

c)

x−1

y=

x2 − 2x + 2

a)

x − x+1

y=

x2 + x + 1

y=

e)

3x − 1
x− 3

trên [–1; 5]

x2 + 1
x4 + x2 + 1

i)

b)

y = 3x − x3
y=

trên [0; 2]

2x2 + 4x + 5

f)

2

g)
h)
Câu 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1

y = x4 + 2x2 − 2

f)

x−1
x+ 1

x3 + x

(x > 0)

trên [–2; 3]

trên [0; 4]


g)

4x2 + 7x + 7
y=
x+ 2

y=

trên [0; 2]

h)

y = 100 − x2

i)
trên [–6; 8]
Câu 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
y=

a)

d)

2sin x − 1
sin x + 2

b)

y = cos2x − 2sin x − 1
2

g)

y=

e)

2

y = 4 x − 2x + 5 + x − 2x + 3

1+ x − x2

k)

trên [0; 1]

y = 2+ x + 4− x

1
cos2 x + cosx + 1

c)

y = 2sin2 x − cos x + 1
y=

y = sin3 x + cos3 x
2

h)

1− x + x2

f)
2

y = − x + 4x + x − 4x + 3

x2 − 1
x4 − x2 + 1


Chủ đề 6
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
I.KIẾN THỨC
1. Cơ sở lí thuyết
Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
2.Dạng bài tập
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về
một trong các dạng sau:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m
(1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x) , d: y = m
d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của
(1)
I.BÀI TẬP
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
a)

y = x3 − 3x + 1; x3 − 3x + 1− m= 0
3

c)

b)

2

y = x − 3x + 1; x − 3x − m − 2m− 2 = 0

y= −

e)

3

d)

y = − x3 + 3x − 1; x3 − 3x + m+ 1= 0
y = − x3 + 3x − 1; x3 − 3x + m+ 4 = 0

4

x
+ 2x2 + 2; x4 − 4x2 − 4 + 2m= 0
2

f)

y = x4 − 2x2 + 2; x4 − 2x2 − m+ 2 = 0


Chủ đề 7
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
I.KIẾN THỨC

M0 ( x0; y0 )

1. Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x) tại điểm
:
Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
Tính y′ = f′ (x). Suy ra y′(x0) = f′ (x0).
Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f′ (x0).(x – x0)
2.Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y =f(x), biết ∆ có hệ số góc k cho
trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f′ (x0).
∆ có hệ số góc k ⇒ f′ (x0) = k
(1)

Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của
∆.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m.
∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
 f (x) = kx + m

 f '(x) = k

(*)
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆.
I.BÀI TẬP
Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):

y = 3x3 − x2 − 7x + 1
y=

tại A(0; 1)

3x + 4
2x − 3

b) (C):

y = x4 − 2x2 + 1
y = x + 1−

c) (C):
tại C(1; –7)

d) (C):
Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
y=

a) (C):
y=

b) (C):
y=

c) (C):
d) (C):

x2 − 3x + 3
x− 2
3(x − 2)
x−1
x+ 1
x− 2

tại D(0; 3)

tại điểm A có xA = 4

tại điểm B có yB = 4

tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

y = 2x − 2x2 + 1

tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

3

e) (C):

2
2x − 1

tại B(1; 0)

y = x − 3x + 1

tại điểm uốn của (C).


y=

1 4
9
x − 2x2 −
4
4

f) (C):
tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
a) (C):
b) (C):

y = 2x3 − 3x2 + 9x − 4
3

2

3

2

y = 2x − 3x + 9x − 4

và d:

y = 7x + 4

.

2

và (P):

y = 2x − 3x + 9x − 4

y = − x + 8x − 3

.

3

2

y = x − 4x + 6x − 7

c) (C):
và (C’):
.
Câu 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
y=

a) (C):

5x + 11
2x − 3

tại điểm A có xA = 2

.

y = x2 − 7x + 26

b) (C):
tại điểm B có xB = 2.
Câu 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng S cho trước:
y=

a) (C):

2x + m

x−1
y=

b)

(C):

tại điểm A có xA = 2

x − 3m
x+ 2

và S =

1
2

.

tại điểm B có xB = –1 và S =

9
2

.

3

y = x + 1− m(x + 1)

c) (C):
tại điểm C có xC = 0 và S = 8.
Câu 6. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C):

y = 2x3 − 3x2 + 5

y=

y=

; k = 12

b) (C):

2x − 1
x− 2

; k = –3

2

x − 3x + 4
x−1

y = x2 − 4x + 3

c) (C):
; k = –1
d) (C):

;k=2
Câu 7. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ song song với đường thẳng d cho trước:

a) (C):

x3
y=
− 2x2 + 3x + 1
3

y=

; d: y = 3x + 2 b) (C):

y=

2

x − 2x − 3
4x + 6

2x − 1
x− 2

; d:

y=

2x + y − 5 = 0

3
y = − x+ 2
4

1 4
3
x − 3x2 +
2
2

c) (C):
; d:
d) (C):
; d: y = –4x + 1
Câu 8. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C), biết ∆ vuông góc với đường thẳng d cho trước:
y=

a) (C):

x3
− 2x2 + 3x + 1
3

; d:

x
y= − + 2
8

y=

b) (C):

2x − 1
x− 2

; d:

y= x


y=

c) (C):

x2 + 3
x+ 1

y=

; d: y = –3x

d) (C):

x2 + x − 1
x+ 2

; d: x – 2

Chủ đề 8
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ
I.KIẾN THỨC
1. Cơ sở lí thuyết
Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và
(C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị
Đồ thị hàm số bậc ba
3

⇔ Phương trình
⇔ Hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

2

ax + bx + cx + d = 0

y = ax3 + bx2 + cx + d

có 3 nghiệm phân biệt.

có cực đại, cực tiểu và

yCÑ .yCT < 0

.

I.BÀI TẬP
Câu 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a)


x2
3
+ 3x −
 y = −
2
2

x
1
y = +

2 2

b)


2x − 4
y =

x−1
 y = − x2 + 2x + 4

c)

 y = 4x3 − 3x

y = − x+ 2

 y = x − x + 1

2
 y = 4x − 5

 y = x − 5x + 10x − 5

2
 y = x − x + 1

2

y = x

x−1

y
=
−
3x + 1


 y = x3 − 3x − 2

 y = m(x − 2)


x3 x2
+
− 2x
 y =
3 2

 y = m x + 1 ÷+ 13


2  12

3

 y = − x + 3x

3
 y = m(x − 3)

4

2

3

2

d)
e)

f)
Câu 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a)

d)

b)


2x + 1
y =

x+ 2
 y = 2x + m

1
 y = − x + 3+

1− x
 y = mx + 3

e)

g)
h)
Câu 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a)

(x + 2)2 − 1
y=
; y = mx + 1
x+ 2

c)


x+ 1
y =

x−1
 y = −2x + m

2

 y = x − 3x + 3

x− 2

y
=
m
x
− 4m− 1


f)

i)

2

 y = x − 6x + 3

x+ 2
 y = x − m

 y = 2x3 − x + 1

2
 y = m(x − 1)

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.


2x2 − 3x + m
; y = 2x + m
x−1

y=

b)

mx + x + m
; y = mx + 2
x−1

y=

c)

x + 4x + 5
; y = mx + 2
x+ 2

d)

e)
y=

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

2

y=

y=

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

2

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

2

(x − 2)
; y = mx + 3
1− x

cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.

2

mx + x + m
x−1

f)
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Câu 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
b)

y = x3 + 3x2 + mx + 2m; y = − x + 2
y = mx3 + 3mx2 − (1− 2m)x − 1
2

c)
d)

2

3

2

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

2

y = (x − 1)(x − mx + m − 3)
3

cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

y = x + 2x − 2x + 2m− 1; y = 2x2 − x + 2
2

y = x + 2x − m x + 3m; y = 2x + 1

e)
Câu 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a)
b)

y = x4 − 2x2 − 1; y = m

2

cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

y = x4 − m(m+ 1)x2 + m3
4

cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

2

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

2

y = x − (2m− 3)x + m − 3m

c)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Câu 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
y=

3x + 1
; y = x + 2m
x− 4

a)
ngắn nhất.
y=

b)
ngắn nhất.

c)

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB

4x − 1

;y = −x+ m
2− x

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB

x2 − 2x + 4
y=
; y = mx + 2 − 2m
x− 2

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB


theo m.
Câu 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
a)
cộng.

y = x3 − 3mx2 + 6mx − 8

cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số

y = x3 − 3x2 − 9x + 1; y = 4x + m

b)
đoạn AC.
c)
cộng.

y = x4 − (2m+ 4)x2 + m2

cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của

cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số

y = x3 − (m+ 1)x2 − (m− 1)x + 2m− 1

d)
một cấp số nhân.

y = 3x3 + (2m+ 2)x2 + 9mx + 192

e)
cấp số nhân.

cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành

cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hàm số y = –x3 + 6x2 – 9x + 4 đồng biến trên khoảng:
A.(1;3)
B.
C.
D.
Câu 2: Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ?
.
A

y=

x −1
x +1

B.

y=

x +1
x −1

C.

y=

−x +1
x −1

D.

Câu 3: Điểm cực đại của hàm số y = 10 + 15x + 6x − x là:
A. x = 2
B. x = −1
C. x = 5
2

− x −1
−x +1

y=

3

D. x = 0

4
2
Câu 4: Đồ thị hàm số y = x − 3x + 2 có số cực trị là:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
x2 + x + 1
y=
-5x 2 - 2x + 3 có bao nhiêu tiệm cận:
Câu 5: Đồ thị hàm số
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2

Câu 6: Giao điểm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. ( -2; 3)
B. (2; -3)
C. (3; -2)

y=

3x − 7

x + 2 là:

D. ( -3; 2)

Câu 7: Đồ thị hàm số y = x + 3 x − 4 có tâm đối xứng là:
A. M( 1; - 2)
B. N(- 1; - 2)
C. I( -1; 0)
3

2

Câu 8. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?
3
A. y = x − 3x − 4
3
C. y = x − 3x − 4

3
2
B. y = − x + 3x − 4
3
2
D. y = − x − 3x − 4

-1

D. K( -2; 0)
O

1

2

-2

-4

Câu 9. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?
A. y = x − 3x − 3
4
2
C. y = x − 2 x − 3
4

2

1
y = − x 4 + 3x 2 − 3
4
B.
4
2
D. y = x + 2 x − 3

-1

1
O

-2

-3
-4

Câu 10. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ?
4

2

1
-1
2

O

3


2x + 1
x +1
A.
x+2
y=
x +1
C.

x −1
x +1
B.

x+3
y=
1− x
D.

y=

y=

y=

Câu 11: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
C. Hàm số luôn đồng biến trên

( −∞ ; − 1) và ( −1; + ∞ )

( −∞ ; − 1) và ( −1; + ∞ )

R \ {−1}

D. Hàm số luôn nghịch biến trên

.
R \ {−1}

Câu 12: Các khoảng nghịch biến của hàm số
A.

( 0; 2 )

.

( −∞;0 )

B.

( 1;+∞ )

C.
và
.
D.
Câu 13. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
A. x = -1
B. x = 1

y = − x 3 + 3x 2 − 1

( −∞;0 )
( −∞;1)

và
và

∀m

.

.

.

( 2;+∞ )

là

.
.
là?
D. (1; 6)

là

. Tọa độ điểm cực đại của hàm số là
B. (1; 2)

C.

Câu 16: Với những giá trị nào của m thì hàm số
và cực tiểu ?
A.

( 2;+∞ )

C. (-1; 2)

Câu 14. Điểm cực đại của hàm số
A. x = 0

B. x = √2; x = -√2
C. (0; -3)
D. (√2; -5); (-√2; -5)

A. (-1; 2)

là đúng ?

.

1
y = x4 − 2x2 − 3
2

Câu 15. Cho hàm số

2x + 1
x +1

B.

m <1

.

C.

D. (1; -2)
1
y = x 3 + m x 2 + ( 2m − 1) x − 1

3
m >1

.

D.

m ≠1

.

có cực đại

Câu 17: Cho hàm số y = x − 2( m+ 1) x + m có đồ thị (C), m là tham số. (C) có ba điểm
cực trị A, B, C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục
tung khi:
A. m= 0 hoặc m= 2
B. m= 2 ± 2 2
C. m= 3± 3 3
D. m= 5± 5 5 .
4

2


Câu 18. Trong các khẳng định sau về hàm số
đúng?
A. Hàm số có điểm cực tiểu là x = 0
B. Hàm số có hai điểm cực đại là x = 1; x = -1
C. Cả A và B đều đúng

D. Chỉ có A là đúng
Câu 19. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai:
A. Hàm số
có cực đại và cực tiểu
B. Hàm số
có cực trị
C. Hàm số

khẳng định nào là

không có cực trị

D. Hàm số
có 2 cực trị
Câu 20. Tìm kết quả đúng về giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số
A.
C.

B.
D.

Câu 21. Cho hàm số
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Với mọi m khác 1 thì hàm số có cực đại, cực tiểu
B. ∀m > 1 thì hàm số có cực trị
C. ∀m < 1 thì hàm số có cực trị
D. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
Câu 22. Cho hàm số
giá trị bằng:
A. – 2

. Hàm số có hai điểm cực trị x1; x2. Tích x1; x2 có
B. – 5

C. -1

D. – 4

Câu 23. Cho hàm số
. Hàm số có
A. Một cực đại và hai cực tiểu
B. Một cực tiểu và hai cực đại
C. Một cực đại và không có cực tiểu
D. Môt cực tiểu và một cực đại
Câu 24. Cho hàm số
. Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
số bằng
A. – 6
B. – 3
C. 0
D. 3
Câu 25. Hàm số
có 2 cực trị khi
A. m = 0
B. m < 0
C. m > 0
D. m ≠ 0
Câu 26. Đồ thị hàm số
có điểm cực tiểu là
A. (-1; -1)

B. (-1; 3)
C. (-1; 1)
D. (1; 3)
Câu 27. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?
A.
B.


C.
D.
Câu 28. Hàm số
đạt cực tiểu tại x = 2 khi
A. m = 0
B. m ≠ 0
C. m > 0
D. m < 0
Câu 29. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hàm số
?
A. Đạt cực tiểu tại
B. Có cực đại và cực tiểu
C. Có cực đại và không có cực tiểu
D. Không có cực trị
Câu 30. Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.
B.
C.
Câu 31. Khẳng định nào sau đây đúng về đồ thị hàm số
A.
C.

A.

. Khi đó

B. – 2

C. 6

D.

y = − x − 2x + mx
3

Câu 33. Với giá trị nào của m thì hàm số
m > −1

.

Câu 34. Hàm số
khi
A.
C.

B.

m < −2 ∨ m > −1

−2 ≤ m ≤ −1

(−∞; −1).

m < −1

.

.

.

B.
D.

m ≤ −2 ∨ m ≥ −1

1
y = − x 3 + 2 x 2 + 5 x − 44
3

B.

( −∞;5).

A.

B.

5
m≤ .
2

đạt cực tiểu tại x = – 1 ?

.

D.

m = −1

.

đồng biến trên tập xác định của nó

.

.

đồng biến trên khoảng nào?
C.
m

 π
 0; ÷.
 6

5
m≥ .
2

m ≠ −1

C.

−2 < m < −1

Câu 36. Tìm các giá trị thực của tham số
khoảng

2

1
y = x 3 + ( m + 1) x 2 − ( m + 1) x + 2
3

Câu 35. Hỏi hàm số
A.

D.

B.
D.

Câu 32. Cho đồ thị hàm số

A.

bằng:

C.

(5; +∞).

D.

y=

để hàm số

5
m≤ .
4

( −1;5).

m − sin x
cos 2 x

D.

nghịch biến trên

5
m≥ .
4


Câu 37: Đồ thị hàm số

A. (3; 1)

có tâm đối xứng là:

B. (1; 3)

C. (1; 0)

Câu 38: Cho hàm số

D. (0; 1)

xác định trên [1; 3]. Gọi M và n lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì M + m bằng:
A. 2

B. 4

Câu 39: Cho hàm số

C. 8

D. 6

có đồ thị (H). Tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H)

với trục Ox có phương trình là:
y=

A. y = 3x

B. y = 3x - 3

Câu 40: Cho hàm số

C. y = x - 3

D.

1
1
x−
3
3

có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = x + m.

Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt?
A. m < 2

B. m > 6

C. 2

Câu 41: Giá trị cực đại của hàm số

A.

B.

D. m < 2
là:

C.

Câu 42: Cho hàm số

I. Đồ thi có một điểm uốn.
II. Hàm số không có cực đại và cực tiểu.
III. Điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị

D.

. Xét các mệnh đề:

m>6


Mệnh đề nào đúng:
A. Chỉ I và II

B. Chỉ II và III.

Câu 43: Cho hàm số

C. Chỉ I và III.

D. Cả I, II, III.

có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại

điểm uốn của (C) có phương trình là:

A. y = -12x

B. y = 3x

C. y = 3x - 2

D. y = 0

Câu 44: Hàm số nào sau đây không có cực trị?

A.

y = −2 x 3 + 1

y=

B.

2x − 2
x +1

y=

C.

x2 + x − 3
x+2

D. Cả ba hàm số A, B, C

Câu 45: Điểm nào sau đây là điểm uốn của đồ thị hàm số

A. (0;5)

B. (1;3)

Câu 46: Hàm số

A. -2

C. (-1;1)

D. (0;0)

đạt giá trị nhỏ nhất trên [-2;2] khi x bằng:

B. 1

C. -1 hay -2

D. 1 hay -2

Câu 47: Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?
A.

B.

C.

Câu 48: Cho hàm số

sao cho
A. m > 1.

D.

có cực đại, cực tiểu tại
thì giá trị của m là:

B. m < 1.

Câu 49: Cho hàm số

C. m > -1.

D. m < -1.

có đồ thị (C). Những điểm trên (C), tại đó tiếp tuyến có

hệ số góc bằng 4 có tọa độ là:
A. (-1;-1) và (-3;7) B. (1;-1) và (3;-7) C. (1;1) và (3;7)

D. (-1;1) và (-3;-7)


Câu 50: Đặc điểm của đồ thị hàm số bậc ba là:
A. Luôn có trục đối xứng
B. Nhận đường thẳng nối hai cực trị làm trục đối xứng.
C. Luôn có tâm đối xứng.
D. Luôn nhận điểm cực trị làm tâm đối xứng.