11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (55.75 MB, 228 trang )
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
CHUYÊN ĐỀ 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Biên soạn và sưu tầm: Ngô Văn Khánh – GV trường THPT Nguyễn Văn Cừ-Bắc Ninh
1. Chủ đề 1: Bài toán về tiếp tuyến
1.1. Dạng 1Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
x y C y f x∈ =
y f x=
k f x=
!
y f x=
"#!
( )
M x y
$%&'
( )
y y f x x x− = −
()
y f x=
Ví dụ 1*+ !
,
, -y x x= − +
*./$%&'*
"#!0123.
4 "#!+ 5678.
"#!57
Giải:
a)9$%&'*"#!
M x y
:"
y y f x x x− = −
8
, ,y x= −
2 y⇒ − =
.
;+$%&'*"#!0123<
3 y − =
73.
b)=
8 3x y= ⇒ =
.
>87?.;+$%&'*"#!+ 5678<
3 ? 8 3 ? 2@ ? 22y x y x y x− = − ⇔ − = − ⇔ = −
c)
, ,
- , - - , ,
,
x
y x x x x x
x
=
= ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = −
=
A9$%&'"*"#!-.
>71,.
;+$%&'<
- , y x− = − −
71,6A
A9$%&'"*"#!
,-−
.
8
, , , , By − = − − =
;+$%&'<
- B ,y x− = +
B B , -y x= + +
.
A$%C$%&'*"
,-−
<
B B , -y x= − +
.
Ví dụ 2:*+* !
, 8
8 8 Dy x x x= − + −
.
/$%&'()*"+#!*()&E+ .
4 /$%&'()*"+#!*()&E.
/$%&'()*"#!6
F!GH6
7.
Giải:
8
, D 8y x x= − +
.IJ
( )
M x y
< #!'$%&'
1
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
2y y y x x x y y x x x y− = − ⇔ = − +
a)K
M C Ox= I
'
7( 6
< !$%&'
, 8
8 8 D 8x x x x− + − = ⇔ =
>87BLL&G4( +2$M$%&'
B 8y x= −
b)K
M C Oy= I
'6
7
Dy y⇒ = = −
(
8y x y= =
LL&G
4( +2$M$%&'
8 Dy x= −
.
c)K6
< !$%&'H7.H7B6ND.
H7
8 8 @@
B D
, , 83
x x x y y
⇔ − = ⇔ = = ⇒ = = −
÷
8 8
, ,
y x y
= =
÷
LL&G4( +2$M$%&'
8 2
, 83
y x= −
Ví dụ 3: *+ !
,
, 2y x x= − +
*
/$%&':()*#!+ 5678.
4:O<"*"#!P'!J5#!P.
Giải
a) :"#!*+ 5
8 ,x y= ⇒ =
8
, , 8 ?y x x y x y= − ⇒ = =
9$%&':"#!*<
? 8 , ? 2-y y x x x y y x y x= − + ⇒ = − + ⇒ = −
/Q$%&':"#!*<
? 2-y x= −
b)IRS:O*"P
TU$%&'
( )
( )
, , 8
8
, 2 ? 2- 28 2B 8 8 @
D
x
x x x x x x x x
x
=
− + = − ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔
= −
/Q
( )
D -2N − −
< #!V'!
Ví dụ 4:*+ !
,
, 2 y x x C= − +
( #!
A x y ∈
**"
#!0O*"#!WXL#!0.'!+ 5#!WY+
x
Lời giải :
/'#!
A x y ∈
*
,
, 2y x x⇒ = − +
8 8
, , , ,y x y x x= − ⇒ = −
!:"
8 ,
8 ,
, , , 2
, , 8 2
y y x x x y y x x x x x
y x x x x d
= − + ⇔ = − − + − +
⇔ = − − − +
9$%&'+ 5+#!:( *
2
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
, 8 , , 8 , 8
8
, 2 , , 8 2 , 8 8
8
8
x x x x x x x x x x x x x x
x x
x x
x
x x
x x
− + = − − − + ⇔ − + = ⇔ − + =
=
− =
⇔ ⇔ ≠
= −
+ =
/Q#!W+ 5
8
B
x x= −
++4.+!
Ví dụ 5: *+ !
, 8
2
8 ,
,
y x x x= − +
*./$%&':*"
#!+ 5
x
F!G
y x =
( Z!:< *F
[.
Giải
8
D , 8 Dy x x y x= − + ⇒ = −
8
8 D 8 8
,
y x x x M= ⇔ − = ⇔ = ⇒
K"
k =
8 2y x y= = −
/Q:*"#!
8
8
,
M
÷
$%&'
( )
y y f x x x− = −
&
( )
8
2 8
,
y x− = − −
@
,
y x= − +
:
k =
12
\XL*"#!4[X]&^*
( )
8
8
D , 8 2 2k y x x x x k= = − + = − − ≥ − =
;[_7H6R&
2x⇔ =
^J5#!&`()
8
8
,
M
÷
/Q:*"#!
8
8
,
M
÷
F[.
Ví dụ 6: /$%&'()*
8
2
x
y
x
+
=
−
"L+#!*()
$ab:
, 8y x= −
.
A9$%&'+ 5+#!:( *
8
, 8 8 , 8 2
2
x
x x x x
x
+
= − ⇔ + = − −
−
672XcR< !$%&'
8
, B 8 8 Dx x x y x y⇔ − = ⇔ = = − ∨ = =
/Q+#!<
2
18(
8
8D
A
8
,
2
y
x
−
=
−
.
A"#!
2
18'>71,^$%&'
, 8y x= − −
3
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
A"#!
8
8D'>871,^$%&'
, 2y x= − +
!<"F!G^V4 +L<
, 8y x= − −
(
, 2y x= − +
.
Ví dụ 7: *+ !
, 8
2 2
, 8 ,
m
y x x= − +
*
!
.IJ< #!5*
!
+ 54d
12.'!!#()*
!
"++()$ab:-617
Giải
8
y x mx= −
e$ab:-6174b-^#"++()$ab:
&$)V
2 - 2 - Dy m m− = ⇔ + = ⇔ =
K
Dm =
!
, 8
2 2
8
, ,
y x x= − +
2x = −
'
8y = −
9$%&':"
- 2 8 - ,y y x x x y y x y x= − + ⇒ = + − ⇔ = +
fg& ++()$ab:
/Q
Dm =
< L&V'!.
Ví dụ 8:*+ !
, 8
,y x x m= − +
2.
'!!#2"#!+ 54d2OL&Eh6h<V<$M"
L#!0( W++:!Lh0W4d
,
8
.
Giải
/)
2 8x y m= ⇒ = − ⇒
2!N8
1"< :
8
, B 8y x x x x m= − − + −
⇒
:71,6A!A8.
1:O&Eh6"0
8 8
, 8
, ,
A A
m m
x m x A
+ +
= − + + ⇔ = ⇒
÷
1:O&Eh"W
8 8
B
y m B m= + ⇒ +
1
8
, 2 , 8
i ii i i ii i , 8 , 8 ?
8 8 8 ,
OAB
m
S OA OB OA OB m m
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ + =
8 , 2
8 , -
m m
m m
+ = =
⇔ ⇔
+ = − = −
/Q!72( !71-
1.2. Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số
y f x=
(C) khi biết trước hệ số góc của nó
AIJ
M x y
< #!R$%&'
f x k x x= ⇒ =
y f x=
Aej&k(ldạng 1:m: <Q$M
y k x x y= − +
Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com
4
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
*+&C
,
- 2 ,
3
k k k k= = ± = ± = ±
"+()l:$%&Eh6!5
α
()
8
2- , D- .
, ,
π π
α
∈
K
X7
α
.
++()$ab:76A4.KX7.
(c()$ab:76A4
2
2ka k
a
−
⇒ = − ⇔ =
.
"+()$ab:76A4!5
α
.K
2
k a
ka
α
−
=
+
.
Ví dụ 9: *+ !
, 8
,y x x= −
*./$%&'*4
X71,.
Giải:
8
, By x x= −
IJ
M x y
< #!
⇒
"
8
, Bk f x x x= = −
Y+RX71,^
8 8
, B , 8 2 2x x x x x− = − ⇔ − + = ⇔ =
/'
2 8 2 8x y M= ⇒ = − ⇒ −
.
9$%&'V'!<
, 2 8 , 2y x y x= − − − ⇔ = − +
Ví dụ 10: /$%&' !
, 8
, 2y x x= − +
*.W
++()$ab7?6AB.
Giải:
8
, By x x= −
IJ
M x y
< #!
⇒
"
8
, Bk f x x x= = −
Y+R++()$ab7?6AAB
⇒
X
7?
⇒
8 8
2 2 ,
, B ? 8 ,
, ,2
x M
x x x x
x M
= − ⇒ − −
− = ⇔ − − = ⇔
= ⇒
9$%&'*"121,<
? 2 , ? By x y x= + − ⇔ = +
(loại)
9$%&'*",2<
? , 2 ? 8By x y x= − + ⇔ = −
Ví dụ 11: *+ !
,
, 8y x x= − +
*./$%&'*4
(c()$ab
2
?
y x
−
=
.
Giải:
5
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
8
, ,y x= −
.;+*4(c()$ab
2
?
y x
−
=
^X7?.
;+
8 8
, , ? D 8.y k x x x= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
A/)678
Dy⇒ =
.9"#!+ 5678<
? 8 D ? 2D.y x y x= − + ⇔ = −
A/)
8 x y= − ⇒ =
.9"#!+ 56718<
? 8 ? 2@y x y x= + + ⇔ = +
.
/QR*(c()$ab
2
?
y x
−
=
<
7?612D( 7?6A2@.
Ví dụ 12: nQ$%&'()* !
D 8
2
8
D
y x x= +
4
(c()$ab:
- 82 x y+ − =
.
Giải:
:$%&'
2
D8
-
y x= − +
^:< 1
2
-
.
IJ
∆
< V'!X'
2
. 2 -
-
k k do d− = − ⇔ = ∆ ⊥
.
,
Dy x x= +
^+ 5#!< !$%&'
,
D -x x+ =
, 8
?
D - 2 - 2 2
D
x x x x x x x y⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ − = ⇔ = ⇒ =
/Q#!J5<
?
2
D
M
÷
$%&'
? 22
- 2 -
D D
y x y x− = − ⇔ = −
/QV'!$%&'
22
-
D
y x= −
.
Ví dụ 13: *+ !
8
8 ,
x
y
x
+
=
+
*./$%&'()*4&d
O&E+ "0&E"W++!Lh0W(cj"hkjh< J
5.
Giải
8
2
8 ,
y
x
−
=
+
6
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
/'"+()&EJ5!5!L(cj^<
2k = ±
KJ
( )
M x y
< #!()*
2y x = ±
8
8
2
2
2
8 ,
x
x
x
= −
−
⇔ = ± ⇔
= −
+
/)
2x = −
'
2y =
<o:"
y x= −
&$aM <+"('
pJ5^Xc"+ !Lh0W
/)
8x = −
'
Dy = −
<o:"
8y x= − −
/QV'!<
8y x= − −
Ví dụ 14: *+ !7
8 2
2
x
x
−
−
*.
nQ$%&'*++ OL&Ehxhy<V<$M"
L#!0( WF!Gh07DhW.
Giải
IRS:*"
M x y C∈
Oh6"0h"W++
DhOA B
=
.
;+∆h0W(c"h^
2
D
OB
A
OA
= =
⇒q:4d
2
D
+\
2
D
−
.
q:<
8 8
2 2 2
2 2 D
y x
x x
′
= − < ⇒ − = −
− −
⇔
,
2
8
-
,
8
x y
x y
= − =
= =
K8F!G<
2 , 2 -
2
D 8 D D
2 - 2 2,
,
D 8 D D
y x y x
y x y x
= − + + = − +
⇔
= − − + = − +
.
1.3. Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
*+*7r6./$%&'()*4p#!
A
α β
.
Cách giải
A$%&':"
y f x f x x x− = −
()6
< + 5
#!.
Ap
A
α β
^
f x f x x
β α
− = −
AIR$%&'#'!6
&&$%&'.
Ví dụ 15:*+*
,
, 2y x x= − +
($%&'()*4
p#!01812.
Giải:
7
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
8
, ,y x= −
IJ
( )
,
, 2x x x− +
< #!.q<
8
, ,y x x= −
.
9$%&'()*"<
∆
( )
, 8
, 2 , , y x x x x x− − + = − −
∆
p01812^
( )
, 8
2 , 2 , , 8 x x x x− − − + = − − −
, 8
, D x x⇔ + − =
8
2 2
2 D D
8 2
x y
x x x
x y
= ⇒ = −
⇔ − + + = ⇔
= − ⇒ = −
/QV'!$%&'<
2 ? 23y y x∆ = − ∆ = +
1.4. Dạng 4. Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao.
Ví dụ 16:'!#!0W5* !
,
, 8y x x= − +
++
*"0( W++()( 5: +"0W7
D 8
.
Giải:
IJ
, ,
, 8 , 8 A a a a B b b b a b− + − + ≠
< #!j4&^*.
8
, ,y x= −
^L()*"0( W<V<$M<
8 8
, , , ,y a a v y b b= − = −
.
"0( W++()X
8 8
, , , , ' y a y b a b a b a b a b v a b a b= ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = − ≠ ⇔ − ≠
8
8 8 , ,
D 8 ,8 , 8 , 8 ,8AB AB a b a a b b
= ⇔ = ⇔ − + − + − − + =
8 8
8 , , 8 8 8
, ,8 , ,8a b a b a b a b a b a ab b a b
⇔ − + − − − = ⇔ − + − + + − − =
8
8 8 8 8
, ,8a b a b a ab b
⇔ − + − + + − =
714$M
( ) ( )
8 8
8 8 8 8 8 8 B D 8
D D , ,8 , @ B 2 @ b b b b b b b b b+ − = ⇔ + − − = ⇔ − + − =
8 D 8 8
8 8
D 8 8 D
8 8
b a
b b b b
b a
= ⇒ = −
⇔ − − + = ⇔ − = ⇔
= − ⇒ =
1 /)
8 8a v b= − = ⇒
8 8DA B−
1 /)
8 8a v b= = − ⇒
8D 8A B −
!<"\#!0WV'!J5<
8 8 Dv−
Ví dụ 17: '!#!0W5* !
8 2
2
x
y
x
−
=
+
++
*"0( W++()( 5: +"0W7
8 2
.
Giải:
8
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
q !$M(<"
,
8
2
y
x
= −
+
IJ
, ,
8 8
2 2
A a B b
a b
− −
÷ ÷
+ +
< \#!&^*F!G^V4 +L.
/)lX
2 2a b a b≠ ≠ − ≠ −
.
8
,
2
y
x
=
+
^L()*"0( W<
8 8
, ,
2 2
y a v y b
a b
= =
+ +
"0( W++X
8 8
, ,
2 2
y a y b
a b
= ⇔ =
+ +
2 2
8
2 2 8
a b a b
a b
a b a b
+ = + =
⇔ ⇔ ⇔ = − −
+ = − − = − −
2:+
a b≠
8
8 8
, ,
8 2 D D
2 2
AB AB a b
b a
= ⇔ = ⇔ − + − =
÷
+ +
8 8
8 8
, , B
8 8 D D 2 D
2 2 2
b b
b b b
⇔ − − + − = ⇔ + + =
÷ ÷
+ − − +
:+k2
8
D 8
8
2 2 2 2 2 2
2 2 2 ?
2 , 2 ,
2 ?
b b b
b b
b b
b
+ = + = ∨ + = −
⇔ + − + + = ⇔ ⇔
+ = ∨ + = −
+ =
8
8
8 D
D 8
b a
b a
b a
b a
= ⇒ = −
= − ⇒ =
⇔
= ⇒ = −
= − ⇒ =
*\#!0( WV'!J5<
8- 2 82 D,v v− − −
Ví dụ 18:*+ !76
,
A,6
8
A!6A2*
!
!< !.TL!#*
!
O
$ab72",#!j4*2;s++L*
!
";( s
(c().
Giải
9$%&'+ 5+#!*
!
( $ab72<
6
,
A,6
8
A!6A272 ⇔ 66
8
A,6A!7⇔
8
, 8
x
x x m
=
+ + =
*
!
O$ab72"*2;sj4
⇔9$%&'88!6
;
6
s
≠.
9
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
⇔
8
? D
D
,
?
m
m
m
m
≠
∆ = − >
⇔
<
+ × + ≠
no";s<V<$M<
X
;
7>6
;
7
8
, B 8
D D D
x x m x m+ + = − +
X
s
7>6
s
7
8
, B 8 .
E E E
x x m x m+ + = − +
*L";s(cX( tXX
;
X
s
7N2.
⇔ ,6
;
A8!,6
s
A8!7?6
;
6
s
AB!6
;
A6
s
AD!
8
7N2
⇔ ?!AB!
×
N,AD!
8
7N2('6
;
A6
s
7N,6
;
6
s
7!Y+<u/1.
⇔ D!
8
N?!A27⇔!7
( )
2
? B-
@
m
ev!7
( ) ( )
2 2
? B- ? B-
@ @
hay m− = m
Ví dụ 19: nQ$%&'()* !
8 8
2
x
y
x
−
=
+
4&d
X+RL=#!w128< <)[.
Giải:
IJ
∆
< *"#!
( )
8 8
2
a
a M C
a
−
∈
÷
+
.
( )
8 8
D D
2
2 2
y y a a
x a
= ⇒ = ≠ −
+ +
/Q
8 8
8
8 8 D
D 2 8 D 8
2 2
a
y x a x a y a a
a a
−
∆ − = − ⇔ − + + − − =
+ +
( )
8 8
D D
D 2 2 .8 8 D 8
@ 2
D 2 D 2
a a a
a
d I
a a
− − + + − −
+
∆ = =
+ + + +
.
8
D 8 8 8 D 8
D 2 8 2 8.8 2 D 2 8.8 2 8 2a a a a a a
+ + = + + ≥ + ⇒ + + ≥ + = +
( )
@ 2
D
8 2
a
d I
a
+
⇒ ∆ ≤ =
+
./Q
( )
d I ∆
<)[X
( )
d I ∆
7D
8 8
2 8 2
8 2
2 8 ,
a a
a
a a
+ = =
⇔ = + ⇔ ⇔
+ = − = −
.*RL&lF!G
2a ≠
A/)72( +$M$%&'<
D D D 2 x y x y− − = ⇔ − − =
A/)71,( +$M$%&'<
D D 8@ 3 x y x y− + = ⇔ − + =
!<"*V'!$%&'<
2 3 x y x y− − = − − =
Ví dụ 20: *+*< !
2
8 2
x
y
x
+
=
+
./$%&'()*4
10
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
O&E+ &E$%Z"L#!0WF!G
∆
h0W
(cj"J5h.
Giải:
IJ
( )
M x y
< #!.()*"RF!G++()L
$ab76+\716.
8
2
8 2
y
x
= −
+
^()*"<
8
2
8 2
y x
x
= − <
+
/Q()*"++()$ab:716
;+
8
8
2
2 8 2 2
8 2
x
x
− = − ⇔ + =
+
2
8
x = −
Xc< !$%&'
8 2 2 2
8 2 2 2
x x y
x x y
+ = = ⇒ =
⇔ ⇔
+ = − = − ⇒ =
./Q#!<
2 8
2 2M M −
.
A"#!
2
2$%&'< 716A2F!G++():
A"#!
8
12$%&'< 71612F!G++():
/QV'!$%&'<
2 2y x y x= − + = − −
Ví dụ 21: *+ !
,
2
x
y
x
+
=
−
.
KR+LC4^( (x* !.
4*+#!
o o o
M x y
5*.*"
OL!Q*
"L#!0( W.*Z!
+
< &#!+"b0W.
Giải
a) C< !
b)
o o o
M x y
∈
(C)
⇒
D
2
2
y
x
= +
−
.
9$%&':"
8
D
2
y y x x
x
− = − −
−
I+#!:()L!Q<
8 22 28 2A x B y− −
.
⇒
8 8
A B A B
x x y y
x y
+ +
= =
⇒
< &#!0W.
Ví dụ 22: *+ !
8
2
x
y
x
+
=
−
*
KR+LC4^( (x* !.
4*Z!&d!J*l<Q()$a!Q!5
!L:Xcy.
Giải
C< !
11
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
4 IRS
8
2
a
a
a
+
÷
−
∈*.
9:*"
8
.
2
a
y y a x a
a
+
′
= − +
−
⇔
8
8 8
, D 8
2 2
a a
y x
a a
− + −
= +
− −
*L+#!:()L!Q<
-
2
2
a
A
a
+
÷
−
8 22B a −
.
B
2
IA
a
→
=
÷
−
⇒
B
2
IA
a
=
−
8 8IB a
→
= −
⇒
8 2IB a= −
;
IAB∆
v
IAB∆
7
2
.
8
IA IB
7B(:
⇒
e9*.
Ví dụ 23: *+ !
8 ,
8
x
y
x
−
=
−
.
2KR+LC4^( (xC !.
8*+M < #!4[X'&^C.C)"M OL$a!QC"
A( B.IJI < +#!L$a!Q.'!J5#!M++$a&z+"
!LIAB :F[.
Giải
IRS
8 ,
8
8
x
M x x
x
−
≠
÷
−
( )
8
2
8
y x
x
−
=
−
9$%&'∆()*"
( )
0
0
2
0
0
2 3
1
( )
2
2
x
y x x
x
x
-
-
= - +
-
-
J5+#!0W∆()!Q<
( )
8 8
8 8 88
8
x
A B x
x
−
−
÷
−
[
8 8 8
8 8
A B
M
xx x
x x
+ −+
= = =
8 ,
8 8
A B
M
xy y
y
x
−+
= =
−
&< &#!0W.
\XLw88( ∆w0W(c"w^$a&z+"!Lw0W:
v7
8
8 8 8
8
8 , 2
8 8 8 8
8 8
x
IM x x
x x
π π π π
−
= − + − = − + ≥
÷
− −
;[_7H6R&X
8
8
2
2
8
,
8
x
x
x
x
=
− = ⇔
=
−
;+#!V'!< 22+\,,
Ví dụ 24: *+ !
8 2
2
x
y
x
−
=
+
.'!J5#!++X+RL=#!
28I −
)
12
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
*"< <)[.
Giải.
P
,
8
2
M x C
x
− ∈
÷
+
'"$%&'
8
, ,
8
2 2
y x x
x x
− + = −
+ +
8
, 2 8 , 2 x x x y x− − + − − + =
K+RL=
28I −
)<
( )
D D
8
8
, 2 , 2 B 2
B
?
? 2
? 2
2
2
x x x
d
x
x
x
x
− − − + +
= = =
+ +
+ +
+ +
+
.
Y+4[bZ*c
8
8
?
2 8 ? B
2
x
x
+ + ≥ =
+
(j
Bd ≤
.
K+RLd<)[4d
B
X
( )
8
8
8
?
2 2 , 2 ,
2
x x x
x
= + ⇔ + = ⇔ = − ±
+
.
/Q#!
( )
2 ,8 ,M − + −
+\
( )
2 ,8 ,M − − +
Ví dụ 25: *+ !
8 2
2
x
y
x
+
=
+
./$%&'*4&d
Ll#!A8DB−D−8.
Giải
IJ6
< + 5#!
2x ≠ −
.
9:<
8
8 22
2 2
x
y x x
x x
+
= − +
+ +
⇔
8 8
2 8 8 2 x x y x x− + + + + =
d A d d B d=
⇔
8 8 8 8
8 D 2 8 8 2 D 8 2 8 8 2x x x x x x− + + + + = − + + + + +
⇔
2 8x x x= ∨ = ∨ = −
/Q4$%&'
2 -
2 -
D D
y x y x y x= + = + = +
Chú ý: W +L #R4dLLl0W^8XR{
++&`0W+\p&#!0W
Ví dụ 26: *+ !
8
2
x
y C
x
=
+
'!#!
C∈
++ !"
O&EJ5"0W++!Lh0W:4d
2
D
Giải:
13
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
IJ
8
2
x
M x y C y
x
∈ → =
+
8
8
2
y
x
=
+
":"
8
8 8 8
8 88 8
2 2 2 2
x x
y y x x x y y x x y x d
x x x x
= − + ⇔ = − + ⇔ = +
+ + + +
IJ
+6A d= ∩
⇒
J5#!0< !
8
8
8
8 8
8
8
2 2
x
y x
x x
A x
x x
y
y
= +
= −
⇔ ⇒ −
+ +
=
=
IJ
+B d= ∩
⇒
J5#!W< !
8
8 8
8 8
8 8
8
8
8 8
2 2
2 2
x
y x
x
x x
B
x x
y
x x
x
= +
=
⇔ ⇒
+ +
=
+ +
=
!Lh0W(c"hh07
8 8
x x− =
hW7
8 8
8 8
8 8
2 2
x x
x x
=
+ +
;!Lh0W
v7
2
8
h0.hW7
D
8
82 2
.
8 2 D
x
x
=
+
8 8
D 8
8 8
2
8 2 8 2
8
D 2
8
8 2 8 2 2
2 2
x x x x
x y
x x
x x x x vn
x y
= + − − =
= − ⇒ = −
⇔ = + ⇔ ⇔ ⇔
= − − + +
= ⇒ =
/Q'!$M#!F!G^V4 +L
2 8
2
8 22
8
M M− −
Bài tập tự luyện
Bài 1. *+ !
, 8
, 8 - y x x x C= − + −
./$%&'"#!+ 5
672
Bài 2. *+ !
,
2 8
, ,
y x x= − +
($%&'4(c()
$ab
2 8
, ,
y x d= − +
Bài 3. *+ !
, 8
, ? - y x x x C= + − +
.&+[RL* '!
F[
14
11 chuyên đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán
Bài 4. *+ !
D 8
2
x
y
x
−
=
+
*.:'b)"4k*&Eh(
*"#!+ 567,.
Bài 5. *+ !
D 8
By x x= − − +
./$%&'*4
(c()$ab:
2
2
B
y x= −
Bài 6. nQ$%&'()* !
8 2
2
x
y
x
+
=
+
.Wp
#!012,.
Bài 7. *+ !7
8
8
x
x
+
−
*./$%&'*p01B-
Bài 8. nQ$%&'* !786
,
A,6
8
128612X|=#!
8,
8
?
A
−
÷
Bài 9. *+ !
8 ,
8
x
y
x
−
=
−
*.
KR+LC4^( (x !*
4'!&^*}#!++"*O!Q*"
0W++0WO[
Bài 10. *+ !
2
2
x
y
x
+
=
−
.*f
PO$a!Q"0( W'#!< &#!
0W.
4Jl"+()$a!Q!5!L:
Xcy.
'
