Chuyên đề ôn Toán THPT Quốc gia 2017 2018 phần Nguyên Hàm Tích Phân

Chuyên đề 3
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Nguyên hàm
-Tích phân
-Ứng dụng của tích phân
2. Về kĩ năng
-Tìm nguyên hàm của hàm số
-Tính tích phân
-Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động
trong học tập.
B. NỘI DUNG
Chủ đề 1
NGUYÊN HÀM
I.KIẾN THỨC
1.Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '(x) = f (x)
, ∀x ∈ K
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
∫ f (x)dx = F (x) + C
, C ∈ R.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2.Tính chất
∫ f '(x)dx = f (x) + C
∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx
•
∫ kf (x)dx = k∫ f (x)dx (k ≠ 0)

3.Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
∫ 0dx = C
•
∫ dx = x + C
•
α
∫ x dx =

•

xα +1
+ C,
α +1

(α ≠ −1)

x
∫ a dx =

•
•
•

1

•

∫ xdx = ln x + C
x

•

x

∫ e dx = e

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a

∫ cosxdx = sin x + C
∫ sin xdx = − cos x + C
1

•

+C

∫ cos2 xdx = tan x + C
∫

•

1

dx = − cot x + C
sin2 x


1

•

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ≠ 0)

ax+ b

∫e

dx =

•

1

1 ax+ b
e
+ C, (a ≠ 0)
a

1

∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C (a ≠ 0)

1

∫ ax + bdx = a ln ax + b + C

•
•

4.Phương pháp tính nguyên hàm
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫ udv = uv− ∫ vdu

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
x
∫ P(x).cosxdx ∫ P(x).sin xdx
∫ P(x).e dx
u
dv

P(x)

P(x)
cosxdx

exdx

Phương pháp đổi biến số

∫ P(x).ln xdx

P(x)
sinxdx

g[ u(x)] .u'(x)

lnx
P(x)

t = u(x) ⇒ dt = u'(x)dx

Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) =
thì ta đặt
∫ f (x)dx ∫ g(t)dt
∫ g(t)dt
Khi đó:
=
, trong đó
dễ dàng tìm được.
∫ g(t)dt
Chú ý: Sau khi tính
theo t, ta phải thay lại t = u(x).
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
π
π
x = a sint,
− ≤ t≤
2
2
a2 − x2
hoặc

x = a cost,

0≤ t ≤ π

x = a tant,

−

x = a cot t,

0< t < π

a2 + x2

hoặc

π
π
< t<
2
2

II.BÀI TẬP
Câu 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1
f (x) = x – 3x +
x

f (x) =

2

a)

f (x) =

d)

2

b)

f (x) =

2

x

c)

2

(x − 1)
x2

2x4 + 3

3

f (x) =

4

f (x) = x + x + x

e)

f)

x−1
x2
1
x

−

2
3

x

.


f (x) = 2sin2
g)

f (x) =
k)

x
2

f (x) = tan2 x

f (x) = cos2 x

h)

1

i)

f (x) =

sin2 x.cos2 x

l)

cos2x
f (x) = 2sin3x cos2x

sin2 x.cos2 x

m)


e− x 
f (x) = ex  2 +
÷
÷
cos2 x 


f (x) = ex ( ex – 1)

f (x) = e3x+1

n)
o)
p)
Câu 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
f (x) = x3 − 4x + 5;

F (1) = 3

a)

F (π ) = 2

x2 + 1
f (x) =
;
x

F (1) =

b)
2

c)

f (x) = 3− 5cos x;

3− 5x

f (x) =
;
x

F (e) = 1
d)

3

x −1
;
x2

F (−2) = 0

f (x) = sin2x.cos x;

π 
F ' ÷ = 0
 3

f (x)=

e)

f)

g)
f (x) =

3

3

x + 3x + 3x − 7
2

(x + 1)

i)

f (x) = x x +

f (x) =

h)

x

;

F (1) = −2

3x4 − 2x3 + 5
; F (1) = 2
x2
π  π
F  ÷=
 2 4

x
f (x) == sin2 ;
2

F (0) = 8

;

1

3
2

k)

Chủ đề 2
TÍCH PHÂN
I.KIẾN THỨC
1.Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b∈K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

∫ f (x)dx

a

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

.

b

∫ f (x)dx = F (b) − F (a)
a

Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... = F (b) − F (a)
2.Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S
của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b

S = ∫ f (x)dx
a


3.Tính chất của tích phân
0

∫

b

∫

f (x)dx = 0

0

a

b

b

b

a

a

f (x)dx = − ∫ f (x)dx

a

∫ kf (x)dx = k∫ f (x)dx
(k: const)

b

b

b

b

c

b

a

a

a

a

a

c

∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

b

∫ f (x)dx ≥ 0

Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì

a

b

∫

a

b

f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx
a

Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì
4.Phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến số
b

u(b)

a

u(a)

∫ f [ u(x)] .u'(x)dx = ∫

f (u)du

Trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)]xác định trên
K, a, b∈K.
Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:
b

b

b

∫ udv = uv − ∫ vdu
a

a

a

II.BÀI TẬP
Câu 1. Tính các tích phân sau:
2

2

3
∫ ( x + 2 x + 1)dx

a)

1

b)

2

d)

∫(

1

−1

x

∫ 2 dx
−1 x + 2
2

2
∫ (x +

∫

e)

(x

−2

2

1

)

∫

x − 2x
x3

k)
Câu 2. Tính các tích phân sau:

1

2

1
2

x

+ x2)dx

∫(
4

+ x x + 3 x)dx
i)

8

2 x + 5− 7x
dx
∫
x
1
m)

)

x + 23 x − 44 x dx

1

e

l)

1

∫ (x + x +

2

dx

x −1
dx
x2

e

2

+4
dx
x2

h)
2 2

1

c)

1

g)

1

∫

f)

∫ (x

x + 1)(x − x + 1)dx

4

2

3
+ e 3 x +1 )dx
x

1 

÷dx
4
x
−
∫
3 2÷
1
3 x 


2

∫

7

∫

x + 1dx

1

b)

∫0

xdx

3

2

d)
Câu 3. Tính các tích phân sau:

2

3x

2

4− x

1

e)

dx

3

1+ x

4

f)

π

0

a)

b)
π
4

∫

c)
2

dx

∫ 1+ sin x

g)

f)
π

2 1− cos x

π
2

0

0

h)

∫

π
−
6

k)
Câu 4. Tính các tích phân sau:

e − e− x

1 x

∫

x
−x
0e + e

∫

l)

−π
2

2

a)

π
sin( − x)
4
dx
π
sin( + x)
4

∫0
d)

e

dx
ex + 1

∫
e)

4e

∫1

∫
g)

∫1

x

x

x

h)
e ln x

0

2x
1e − 4

∫0
c)

2 x
e (1−
1

π
2 ecosx sin xdx
0

e
)dx
x

1

l)

2

x

∫0 xe

ex + 2

x
1e

−x

∫0
f)

e

dx

∫1
i)

1

dx

xdx

m)

b)
ln2

4

∫ cos

2
1 x + x ln x

x

x.cos2 xdx

π
4

(x + 1).dx

∫

dx

2

∫ sin

i)
π
2

(tan x − cot x)2dx

x + 5) dx

π
6

∫ 1+ cos x dx

0

2

∫ (2cot

xdx

e)

π
3

π
4

π
4

cos2 x

π
2

∫ ( sin3x + cos2x) dx

0

∫ 3tan

tan x.dx

d)

k)

π

3

π
3

0

π
6

∫ (2sin x + 3cosx + x)dx

∫ sin(2 x + 6 )dx

x2 + 9dx

∫0 x

π
2
π

+ x x + 3 x)dx

c)

∫0 3

dx

2

∫ (x

x + 2 + x− 2

2

a)

2

dx

∫

dx

2x

dx

1+ ln x
dx
x
1

x
0 1+ e

m)

dx

dx


Chủ đề 3
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I.KIẾN THỨC
Diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Trục hoành.
Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S = ∫ f (x) dx
a

là:
(1)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Hai đường thẳng x = a, x = b.
b

S = ∫ f (x) − g(x)dx
a

là:
Chú ý:

(2)
b

∫

a

f (x) dx =

b

∫ f (x)dx

a

Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c,
d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b

∫

a

c

d

b

a

c

d

f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx
c

∫

f (x)dx +

a

d

∫

f (x)dx +

c

b

∫ f (x)dx

d

=
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
Hai đường thẳng x = c, x = d.
d

S = ∫ g(y) − h(y) dy
c

Thể tích của khối tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V = π ∫ f 2(x)dx
a


I.BÀI TẬP
Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
ln x
1
y=
, y = 0, x = , x = e

2
y = x − 4x − 6, y = 0, x = −2, x = 4
x
e
a)
b)
ln x
1+ ln x
y=
, y = 0, x = e, x = 1
y=
, y = 0, x = 1, x = e
2 x
x
c)
d)
1
y = ln x, y = 0, x = , x = e
y = x3, y = 0, x = −2, x = 1
e
e)
f)
x
1
1
y=
, y = 0, x = 0, x =
y
=
lg

x
,
y
=
0,
x
=
, x = 10
4
2
1− x
10
g)
h)
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
−3x − 1
y=
, y = 0, x = 0
y = x, y = 2 − x, y = 0
x−1
a)
b)
y = ex, y = 2, x = 1
c)

y = x, x + y − 2 = 0, y = 0
d)

2

2

y = x2 − 4x + 5, y = −2x + 4, y = 4x − 11

y = 2x , y = x − 2x − 1, y = 2
e)

f)

y = x2, y =
g)

x2
27
, y=
27
x

y = 2x2, y = x2 − 4x − 4, y = 8
h)

y2 = 2x, 2x + 2y + 1 = 0, y = 0

y = − x2 + 6x − 5, y = − x2 + 4x − 3, y = 3x − 15

i)
k)
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
y = x, y = , y = 0, x = e

y = sin x − 2cos x, y = 3, x = 0, x = π
x
a)
b)
y = 5x−2, y = 0, y = 3− x, x = 0
c)

y = 2x2 − 2x, y = x2 + 3x − 6, x = 0, x = 4
d)
y = x2 − 2x + 2, y = x2 + 4x + 5, y = 1

y = x, y = 0, y = 4 − x

e)

f)

y=

1

y = x, y = 2 − x, y = 0
e
g)
h)
Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = 4 − x2, y = x2 − 2x
a)

, y = e− x, x = 1

y = x2 − 4x + 3 , y = x + 3

b)
y=

c)

−2x

1 2
1
x , y = − x2 + 3
4
2

y=

d)

1
1+ x2

,y =

x2
2


y = x , y = 2− x2

e)

y = x2 − 2x, y = − x2 + 4x
f)

y=

g)

x2
1
, y=
2
1+ x2

h)

2

2
y = x + 3+ , y = 0
x
y = x2 + 2, y = 4− x

y = x + 2x, y = x + 2

i)
k)
Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
y = x2, x = − y2

y2 + x − 5 = 0, x + y − 3 = 0

a)

b)
2

y2 = 2x + 1, y = x − 1

y − 2y + x = 0, x + y = 0
c)

d)
y2 = 2x, y = x, y = 0, y = 3

e)

y = (x + 1)2, x = sinπy
f)

2

2

2

y2 = (4 − x)3, y2 = 4x

y = 6x, x + y = 16

g)

h)
x − y3 + 1= 0, x + y − 1= 0

i)

x2 + y2 = 8, y2 = 2x
k)


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Nguyên hàm
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 4

A.

3
+ 2x
2
x

3

x
− 3ln x 2 + 2 x.ln 2 + C
4

B.

x
1
+ 3 + 2x + C
3 x

C.

là:
x4 3 2x
+ +
+C
4 x ln 2

D.

x4 3
+ + 2 x.ln 2 + C
4 x

cos 2 x
sin 2 x.cos 2 x

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số: y =
A. tanx - cotx + C
B. −tanx - cotx + C

là:
C. tanx + cotx + C




e
ex  2 +
÷
2
cos x 


D. cotx−tanx + C

−x

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số: y =
1
2ex −
+C
cos x

2ex − tan x + C

là:

1
2ex +
+C
cos x

A.
B.
C.

2
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số: y = cos x.sinx là:
1 3
cos x + C
3

1 3
cos x + C
3

3

− cos x + C

A.
B.
C. Câu 5. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. F(x) =

11
1

 cos 6 x + cos 4 x ÷
26
4


B. F(x) =

11

1

 sin 6 x + sin 4 x ÷
26
4


1  sin 6 x sin 4 x 
− 
+
÷
2 6
4 

1  cos 6 x cos 2 x 
− 
+
÷
2 8
2 

1  cos 6 x cos 2 x 
+

÷
2 8
2 

1
5

D.

D.

2ex + tan x + C

1 3
sin x + C
3

.

sin5x.sinx

C.
D.
Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
A.

1  sin 6 x sin 2 x 
+

÷
2 8
2 

Câu 7.
A.

∫ sin

2

Câu 8.

A.

C.

D.

.

2xdx

=

1
1
x + sin 4 x + C
2
8

∫ sin

B.

1  cos 6 x cos 2 x 
−


÷
2 8
2 

2

B.

1
dx
x.cos 2 x

2 tan 2x + C

1 3
sin 2 x + C
3

=

B. -2

cot 2x + C

C.

1
1
x − sin 4 x + C

2
8

C. 4

cot 2x + C

D.

1
1
x − sin 4 x + C
2
4

D. 2

cot 2x + C


Câu 9.

∫

(x

− 1)

2

2

x3

dx

=

3

A.

x
1
− 2 ln x + 2 + C
3
2x

x3
1
− 2 ln x − 2 + C
3
x

B.

C.

x3
1

− 2 ln x − 2 + C
3
2x

D.

3

x
1
− 2 ln x − 2 + C
3
3x

Câu 10.

∫( x

)

x + e 2017 x dx

=

2017 x

A.

5 2
e

x x+
+C
2
2017

B.

2 3
e 2017 x
x x+
+C
5
2017

C.

3 2
e 2017 x
x x+
+C
5
2017

D.

2017 x

2 2
e
x x+

+C
5
2017

Câu 11.
A.

∫x

2

dx
+ 4x − 5

1
x −1
ln
+C
6 x+5

=
1 x+5
ln
+C
6
x −1

B.

1

x +1
ln
+C
6 x −5

C.

x

y=

A.
C.

F ( x) = x 2 − x 2

D.

)

2 − x2

(

)

2 − x2

1 2
x +4

3

−

1 2
x −4
3

B.

1
− x2 2 − x2
3

(

−

A.
F ( x) =

C.
Câu 14.

(

1 2
x 1 + x2
2
2

x
3

(

1 + x2

∫ tan 2xdx

)

)

B.

3

D.

1
3

(

1
F ( x) = x 2
3

1 + x2

(

)

là:

3

1 + x2

)

3

=

ln cos 2x + C

A. 2

F ( x) =

là:

f ( x) = x 1 + x2

Câu 13. Một nguyên hàm của hàm số:
F ( x) =

3

2 − x2

Câu 12. Một nguyên hàm của hàm số:

D.

1
x −1
ln
+C
6 x+5

B.

1
2 ln cos 2x + C

−

C.

1
2 ln cos 2x + C

Tích phân

D.

1
ln sin 2 x + C
2


π
6

I = ∫ tanxdx
0

Câu 15. Tính:
ln

A.

3
2

ln

B.

3
2

ln

C.

2 3
3

D. Đáp án khác.

π
4

I = ∫ tg 2 xdx
0

Câu 13: Tính

I = 1−

A. I = 2

B. ln2
2 3

∫

I=

2

Câu 14: Tính:

B.

Câu 15: Tính:
I = ln

A.

0

1

Câu 16: Tính:

1

Câu 17: Tính:
J=

A.

1
8

0

π
6

D. Đáp án khác

C.

1 3
I = − ln
2 2

I=

D.

1 3
ln
2 2

dx
2

x − 5x + 6

B.
J =∫

C.

1 3
I = ln
3 2

I = ln

A. I = 1

I=

dx
x + 4x + 3

B.

0

π
3

2

3
2

I =∫

D.

π
3

x x2 − 3

A. I = π
I =∫

I=

dx

I=
1

C.

π
4

3
4

C. I = ln2

D. I = −ln2

C. J =2

D. J = 1

xdx
( x + 1)3

J=

B.

1

4


2

(2 x + 4)dx

J =∫

x2 + 4x + 3

0

Câu 18: Tính:
A. J = ln2

B. J = ln3
2

B. K = 2
K =∫
2

Câu 20: Tính

C. K = −2

D. Đáp án khác.

2

0

3

D. Đáp án khác.

( x − 1)
dx
x + 4x + 3

K =∫

Câu 19: Tính:
A. K = 1

C. J = ln5

x
dx
x −1
2

K = ln

A. K = ln2

B. K = 2ln2
3

K=∫
2

Câu 21: Tính
A. K = 1

D.

1 8
ln
2 3

π
2

∫

C. K = 1/3

D. K = ½

1 − 2sin xdx

0

Câu 22: Tính:
A.

K=

dx
x2 − 2x + 1

B. K = 2
I=

I=

C.

8
3

π 2
2

B.

I=

I = 2 2 −2

C.

π
2

D. Đáp án khác.

e

I = ∫ ln xdx
1

Câu 23: Tính:
A. I = 1

B. I = e
2

6
dx
x
9
−
4
1

K=∫

Câu 24: Tính:
K=

A.

1
3
2 ln
2

ln

D. I = 1 −e

C. I = e− 1

x

x

1
13

K=

B.

1
3
2 ln
2

ln

12
25

K=

C.

1
3
2 ln
2

K=

ln13

D.

1
3
2 ln
2

1

K = ∫ x 2 e2 x dx

Câu 25: Tính:
K=

A.

e2 + 1
4

0

K=

B.

e2 − 1
4

K=

C.

e2
4

K=

D.

1
4

ln

25
13


1

L = ∫ x 1 + x 2 dx
0

Câu 26: Tính:
A.

L = − 2 −1

B.
1

L = − 2 +1

(

C.

L = 2 +1

D.

L = 2 −1

)

K = ∫ x ln 1 + x 2 dx
0

Câu 27: Tính:
K=

A.
K=

5
2
− 2 − ln
2
2

K=

B.

5
2
+ 2 − ln
2
2

K=

C.

5
2
+ 2 + ln
2
2

D.

5
2
− 2 + ln
2
2
2

K = ∫ (2 x − 1) ln xdx

Câu 28: Tính:
K = 3ln 2 +

A.

1

1
2

K=

B.

1
2

K = 3ln 2 −

C. K = 3ln2

D.

C. L = −2

D. K = 0

1
2

π

L = ∫ x sin xdx

Câu 29: Tính:
A. L = π

0

B. L = −π
e

ln x
dx
2
1 x

K =∫

Câu 30: Tính:
K=

A.

1
−2
e

K=

B.
3

L=

A.

K =−

C.

1
e

K = 1−

D.

2

e

2

3x + 3x + 2
dx
2
2 2 x ( x − 1)

L=∫

Câu 31: Tính:

1
e

3
ln 3
2

L=

B. L = ln3

C.

3
ln 3 − ln 2
2

D. L = ln2

π

L = ∫ e x cos xdx

Câu 32: Tính:

0

π

A.

L = e +1

L=

π

B.

L = −e − 1

C.

1 π
(e − 1)
2

D.

1
L = − (eπ + 1)
2


5

2x − 1

E=∫

1 2x + 3 2x − 1 + 1

Câu 33: Tính:
A.

5
E = 2 + 4 ln + ln 4
3

B.

dx

5
E = 2 − 4 ln + ln 4
3

C.

E = 2 + 4 ln15 + ln 2

D.

3
E = 2 − 4 ln + ln 2
5
3

A.

(

3+2

)

B. E = −4

A.

1
3

C. E = −4

D.

2

ln x
dx
x
1

J =∫
J=

dx

K = ln
e

Câu 35: Tính:

x2 + 1

0

Câu 34: Tính:
K = ln

1

∫

K=

J=

B.

1
4

J=

C.

3
2

J=

D.

1
2

(

3−2

)


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Nguyên hàm

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 4

A.

3
+ 2x
2
x

3

x
− 3ln x 2 + 2 x.ln 2 + C
4

B.

x
1
+ 3 + 2x + C
3 x

C.

là:
x4 3 2x
+ +
+C
4 x ln 2

D.

x4 3
+ + 2 x.ln 2 + C
4 x

cos 2 x
sin 2 x.cos 2 x

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số: y =
A. tanx - cotx + C
B. −tanx - cotx + C

là:
C. tanx + cotx + C



e
ex  2 +
÷
2
cos x 


D. cotx−tanx + C

−x

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số: y =

1
2ex −
+C
cos x

2ex − tan x + C

là:

1
2ex +
+C
cos x

A.
B.
C.
2
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số: y = cos x.sinx là:
1 3
cos x + C
3

1 3
cos x + C
3

3

− cos x + C

A.
B.
C. Câu 5. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. F(x) =

11
1

 cos 6 x + cos 4 x ÷
26
4


B. F(x) =

11
1

 sin 6 x + sin 4 x ÷
26
4


1  sin 6 x sin 4 x 
− 
+
÷
2 6
4 

1  cos 6 x cos 2 x 
− 
+
÷
2 8
2 

1  cos 6 x cos 2 x 
+

÷
2 8
2 

1
5

D.

D.

2ex + tan x + C

1 3
sin x + C
3

.

sin5x.sinx

C.
D.
Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
A.

1  sin 6 x sin 2 x 
+

÷
2 8
2 

Câu 7.
A.

∫ sin

2

Câu 8.

A.

C.

D.

.

2xdx

=

1
1
x + sin 4 x + C
2
8

∫ sin

B.

1  cos 6 x cos 2 x 
−

÷
2 8
2 

2

B.

1
dx
x.cos 2 x

2 tan 2x + C

1 3
sin 2 x + C
3

=

B. -2

cot 2x + C

C.

1
1
x − sin 4 x + C
2
8

C. 4

cot 2x + C

D.

1
1
x − sin 4 x + C
2

4

D. 2

cot 2x + C


Câu 9.

∫

(x

− 1)

2

2

x3

dx

=

3

A.

x

1
− 2 ln x + 2 + C
3
2x

x3
1
− 2 ln x − 2 + C
3
x

B.

C.

x3
1
− 2 ln x − 2 + C
3
2x

D.

3

x
1
− 2 ln x − 2 + C
3
3x

Câu 10.

∫( x

)

x + e 2017 x dx

=

2017 x

A.

5 2
e
x x+
+C
2
2017

B.

2 3
e 2017 x
x x+
+C
5
2017

C.

3 2
e 2017 x
x x+
+C
5
2017

D.

2017 x

2 2
e
x x+
+C
5
2017

Câu 11.
A.

∫x

2

dx
+ 4x − 5

1
x −1
ln
+C
6 x+5

=
1 x+5
ln
+C
6
x −1

B.

1
x +1
ln
+C
6 x −5

C.

x

y=

A.
C.

F ( x) = x 2 − x 2

D.

)

2 − x2

(

)

2 − x2

1 2
x +4
3

−

1 2
x −4
3

B.

1
− x2 2 − x2
3

(

−

A.
F ( x) =

C.
Câu 14.

(

1 2
x 1 + x2
2
2

x
3

(

1 + x2

∫ tan 2xdx

)

)

B.

3

D.

1
3

(

1
F ( x) = x 2
3

1 + x2

(

)

là:

3

1 + x2

)

3

=

ln cos 2x + C

A. 2

F ( x) =

là:

f ( x) = x 1 + x2

Câu 13. Một nguyên hàm của hàm số:
F ( x) =

3

2 − x2

Câu 12. Một nguyên hàm của hàm số:

D.

1
x −1
ln
+C
6 x+5

B.

1
2 ln cos 2x + C

−

C.

1
2 ln cos 2x + C

Tích phân

D.

1
ln sin 2 x + C
2


π
6

I = ∫ tanxdx
0

Câu 15. Tính:
ln

A.

3
2

ln

B.

3
2

ln

C.

2 3
3

D. Đáp án khác.

π
4

I = ∫ tg 2 xdx
0

Câu 13: Tính

I = 1−

A. I = 2

B. ln2
2 3

∫

I=

2

Câu 14: Tính:

B.

Câu 15: Tính:
I = ln

A.

0

1

Câu 16: Tính:

1

Câu 17: Tính:
J=

A.

1
8

0

π
6

D. Đáp án khác

C.

1 3
I = − ln
2 2

I=

D.

1 3
ln
2 2

dx

2

x − 5x + 6

B.
J =∫

C.

1 3
I = ln
3 2

I = ln

A. I = 1

I=

dx
x + 4x + 3

B.

0

π
3

2

3
2

I =∫

D.

π
3

x x2 − 3

A. I = π
I =∫

I=

dx

I=
1

C.

π
4

3
4

C. I = ln2

D. I = −ln2

C. J =2

D. J = 1

xdx
( x + 1)3

J=

B.

1
4


2

(2 x + 4)dx

J =∫

x2 + 4x + 3

0

Câu 18: Tính:
A. J = ln2

B. J = ln3
2

B. K = 2
K =∫
2

Câu 20: Tính

C. K = −2

D. Đáp án khác.

2

0

3

D. Đáp án khác.

( x − 1)
dx
x + 4x + 3

K =∫

Câu 19: Tính:
A. K = 1

C. J = ln5

x
dx
x −1
2

K = ln

A. K = ln2

B. K = 2ln2
3

K=∫
2

Câu 21: Tính
A. K = 1

D.

1 8
ln
2 3

π

2

∫

C. K = 1/3

D. K = ½

1 − 2sin xdx

0

Câu 22: Tính:
A.

K=

dx
x2 − 2x + 1

B. K = 2
I=

I=

C.

8
3

π 2
2

B.

I=

I = 2 2 −2

C.

π
2

D. Đáp án khác.

e

I = ∫ ln xdx
1

Câu 23: Tính:
A. I = 1

B. I = e
2

6
dx
x

9
−
4
1

K=∫

Câu 24: Tính:
K=

A.

1
3
2 ln
2

ln

D. I = 1 −e

C. I = e− 1

x

x

1
13

K=

B.

1
3
2 ln
2

ln

12
25

K=

C.

1
3
2 ln
2

K=

ln13

D.

1

3
2 ln
2

1

K = ∫ x 2 e2 x dx

Câu 25: Tính:
K=

A.

e2 + 1
4

0

K=

B.

e2 − 1
4

K=

C.

e2

4

K=

D.

1
4

ln

25
13


1

L = ∫ x 1 + x 2 dx
0

Câu 26: Tính:
A.

L = − 2 −1

B.
1

L = − 2 +1

(

C.

L = 2 +1

D.

L = 2 −1

)

K = ∫ x ln 1 + x 2 dx
0

Câu 27: Tính:
K=

A.
K=

5
2
− 2 − ln
2
2

K=

B.

5
2
+ 2 − ln
2
2

K=

C.

5
2
+ 2 + ln
2
2

D.

5
2
− 2 + ln
2
2
2

K = ∫ (2 x − 1) ln xdx

Câu 28: Tính:
K = 3ln 2 +

A.

1

1
2

K=

B.

1
2

K = 3ln 2 −

C. K = 3ln2

D.

C. L = −2

D. K = 0

1
2

π

L = ∫ x sin xdx

Câu 29: Tính:
A. L = π

0

B. L = −π
e

ln x
dx
2
1 x

K =∫

Câu 30: Tính:
K=

A.

1
−2
e

K=

B.
3

L=

A.

K =−

C.

1
e

K = 1−

D.

2
e

2

3x + 3x + 2
dx
2
2 2 x ( x − 1)

L=∫

Câu 31: Tính:

1
e

3
ln 3
2

L=

B. L = ln3

C.

3
ln 3 − ln 2
2

D. L = ln2

π

L = ∫ e x cos xdx

Câu 32: Tính:

0

π

A.

L = e +1

L=

π

B.

L = −e − 1

C.

1 π
(e − 1)
2

D.

1
L = − (eπ + 1)
2


5

2x − 1

E=∫

1 2x + 3 2x − 1 + 1

Câu 33: Tính:
A.

5
E = 2 + 4 ln + ln 4
3

B.

dx

5
E = 2 − 4 ln + ln 4
3

C.

E = 2 + 4 ln15 + ln 2

D.

3
E = 2 − 4 ln + ln 2
5
3

A.

(

3+2

)

B. E = −4

A.

1
3

C. E = −4

D.

2

ln x
dx
x
1

J =∫
J=

dx

K = ln

e

Câu 35: Tính:

x2 + 1

0

Câu 34: Tính:
K = ln

1

∫

K=

J=

B.

1
4

J=

C.

3
2

J=

D.

1
2

(

3−2

)