Chuyên đề ôn Toán THPT Quốc gia 2017 2018 phần Khối đa diện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (139.22 KB, 22 trang )
Chuyên đề 4. Tiết 45 - 52
KHỐI ĐA DIỆN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Thể tích khối đa diện
2. Về kĩ năng
-Tính được thể tích khối đa diện
-Tính khoảng cách từ một điểm đến một mp, khoảng cách giữa hai đường thẳng.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động
trong học tập.
B. NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
1.Kiến thức liên quan
Hệ thức lượng trong tam giác
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
AB2 + AC 2 = BC 2
AB2 = BC.BH , AC 2 = BC.CH
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cot B
Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính
đườngtròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
Định lí hàm số cosin:
a2=b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 − 2ab.cosC
Định lí hàm số sin:
Công thức độ dài trung tuyến:
ma2 =
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
b2 + c2 a2
c2 + a2 b2
a2 + b2 c2
− ; mb2 =
− ; mc2 =
−
2
4
2
4
2
4
Các công thức tính diện tích
Tam giác:
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
S=
1
1
1
bc sin A = ca. sin B = ab sin C
2
2
2
S=
abc
4R
S = pr
S = p( p − a) ( p − b) ( p − c)
∆ABC vuông tại A:
2S = AB.AC = BC.AH
S=
a2 3
4
∆ABC đều, cạnh a:
Hình vuông:
Hình chữ nhật:
S = a2
S = a.b
Hình bình hành:
S = đáy × cao =
Hình thoi:
1
·
S = AB.AD.sinBAD
= AC.BD
2
S=
Hình thang:
(a: cạnh hình vuông)
(a, b: hai kích thước)
·
AB.AD.sinBAD
1
( a + b ).h
2
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
1
S = AC.BD
2
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
2.Khối đa diện
a.Khái niệm khối đa diện
b.Khối đa diện lồi, khối đa diện đều
Khối đa diện lồi: Khối đa diện H gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ của H luôn thuộc H. Khi đó đa diện xác định H được gọi là đa diện lồi.
Khối đa diện đều:
Định nghĩa: Khối đa diện đềulà khối đa diện lồi có tính chất sau
Tc1: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
Tc2: Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều {p;q}
Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại
{5;3} và loại {3;5}
Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
{3;3}
Tứ diện đều
4
6
4
{4;3}
Lập phương
8
12
6
{3;4}
Bát diện đều
6
12
8
{5;3}
Mười hai mặt đều
20
30
12
{3;5}
Hai mươi mặt đều
12
30
20
c.Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V = abc
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
Thể tích của khối chóp:
1
V = Sñaùy.h
3
với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
Thể tích của khối lăng trụ:
V = Sñaùy.h
với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
Tính thể tích bằng công thức
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
Sử dụng công thức để tính thể tích.
Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích
củachúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm
vào vàkhối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên
Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
VOABC
OA OB OC
=
.
.
VOA'B'C ' OA' OB ' OC '
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bê
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với
diện tích các đáy.
II.BÀI TẬP
Câu 1. Cho hình chóp tam giác ABCS có . Hai mp và cùng vuông góc với mp . Tính thể tích khối
chóp
HD
Ta có
Do đó:
Câu 2. Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác đều nằm trong mp
vuông góc với đáy
a.CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB
b.Tính thể tích khối chóp
HD
a.Gọi H là trung điểm của AB vì đều nên , mà nên
b.
Câu 3. Tính thể tích của khối chóp tứ diện đều cạnh a
HD
Câu 4. Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác với
S. Chứng minh rằng
HD. Ta có
Mặt khác đồng dạng với tam giác nên ta có
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm
trong mp vuông góc với đáy (ABCD)
a. Chứng minh chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh AB
b. Tính thể tích khối chóp S.ACBD
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh chân
đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Câu 7. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh . Biết .
Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 8. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo bằng 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ
Câu 9. Đáy của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh . Biết diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 10. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với , biết
A’B hợp với đáy ABC góc . Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 11. Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mp (BDC’) hợp với
đáy ABCD góc . Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Câu 12. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
và hợp với đáy (ABC) góc . Tính thể tích khối lăng trụ
3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7
cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
Câu 15. Cho hình tứ diện ABCD cóAD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45 0 và diện tích
6
∆ABC′ bằng 49
cm2. Tính thể tích lăng trụ.
Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và ở
về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN
= y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
2
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a
, SA ⊥
(ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Câu 20. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
3
= a, AC = a
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích
của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
V=
HD:
a3
;
2
cosϕ =
1
4
3
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
và (SAB)
vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
a3 3
V=
;
3
cosϕ =
5
5
HD:
Câu 22. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
2
a
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa
2 đường thẳng AM, B′C.
2a3
;
2
V=
d=
a 7
7
HD:
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh
AM ⊥ BP và tính thể tích khối CMNP.
3a3
96
V=
HD:
Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
d=
HD:
a 2
4
·ABC = ·BAD = 900
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
, BC = BA = a,
SA = a 2
AD = 2a. SA⊥(ABCD),
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam
giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).
d=
HD:
a
3
AD = a 2
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
, SA = a và SA
⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
V=
HD:
a3 2
36
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên
bằng . Thể tích của khối H là:
A.
B.4
C.
D.
Câu 2. Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài
bằng 4 và tạo với đáy góc . Thể tích của khối chóp đó là:
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập
phương đó là:
A.
B.
C.84
D.48
Câu 4. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng . Thể tích của hình
hộp đó là:
A.
B.5
C.6
D.8
Câu 5. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích
xung quanh bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.2010
B.1010
C1080
D.2040
Câu 6. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.340
B.336
C.
D.
Câu 7.Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau là mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn …………..…… số mặt
của hình đa diện ấy.”
A. bằng
B. nhỏ hơn hoặc bằng
C. nhỏ hơn D. lớn hơn
Câu 8. Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa điện luôn ……………… số đỉnh của hình đa diện ấy.”
A. bằng
B. nhỏ hơn
C. nhỏ hơn hoặc bằng
D. lớn hơn
Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lập phương là đa điện lồi
B. tứ diện là đa diện lồi
C. Hình hộp là đa diện lồi
D. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi
Câu 10. Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh
Câu 11. Có thể chia hình lập phương thành bao biêu tứ diện bằng nhau?
A. Hai
B. Vô số
C. Bốn
D. Sáu
Câu 12. Số cạnh của một hình bát diện đều là:
A. Tám
B. Mười
C. Mười hai
D. Mười sáu
Câu 13. Số đỉnh của một hình bát diện đều là:
A. Sáu
B. Tám
C. Mười
D. Mười hai
Câu 14. Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi
D. Ba mươi
Câu 15. Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi
D. Ba mươi
Câu 16.Số đỉnh của hình 20 mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi
D. Ba mươi
Câu 17. Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích
của (H) bằng:
a3
2
a3 3
2
a3 3
4
a3 2
3
a3
3
a3 2
6
a3 3
4
a3 3
2
1
2
1
4
1
6
1
8
1
2
1
4
1
8
1
10
A.
B.
C.
D.
Câu 18. Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H)
bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó
tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 20. Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’. Gọi A’’, B’’, C’’, E’’ lần lượt
là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, EE’. Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ
ABCDE.A’’B’’C’’D’’E’’ và khối lăng trụ ABCDE.A’B’C’D’E’ bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA
1
SA ' = SA
3
sao cho
. Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh
SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:
V
3
V
9
V
27
V
81
A.
B.
C.
D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a. Các cạnh
a 2
bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng
Câu 22. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề:
A. SO không vuông góc với đáy
OA =
B.
a 5
2
BD = a 5
C.
D. Các cạnh bên khối chóp tạo với mp đáy các góc bằng nhau.
Câu 23. thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.
a3 3
2
Câu 24. Gọi
3
3
B.
α
a3 3
3
C.
a3 3
4
D. Kết quả khác.
là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của khối chóp. Ta có
5
3
tan α
là
15
5
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Hai mặt bên SAB và
SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AD = DC = a, AB = 2a,
Câu 25. Góc ABC của đáy ABCD có số đo là:
300
450
A.
B.
Câu 26. Chọn khẳng định đúng.
BC ⊥ SA
BC ⊥ AC
C.
600
Sa = a 3
D. Kết quả khác
BC ⊥ SC
I.
II.
III.
A. I
B. I và II
C. I, II, III đều đúng
Câu 27. Thể tích của khối chóp cụt A’B’C’D’.ABCD là:
D. I và III
.
5a 3 3
8
a3 3
8
7a 3 3
16
1
2
1
4
1
6
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
Câu 28. Tỉ số của hai thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD (với A’, B’, C’, D’ lần
lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD) là:
A.
B.
C.
D.
1
8
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của hình lập phương cạnh 2a là:
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Thể tích của hình chóp có diện tích đáy , chiều cao là:
A.
B.20
C.
D.30
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác đều cạnh a, đường cao bằng . Thể tích khối
chóp là
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
A.
B.
C.1
D.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của hình lập phương cạnh 2a là:
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Thể tích của hình chóp có diện tích đáy , chiều cao là:
A.
B.20
C.
D.30
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác đều cạnh a, đường cao bằng . Thể tích khối
chóp là
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
A.
B.
C.1
D.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.Tự luận
Câu 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, biết cạnh bên là và hợp với đáy (ABC) góc . Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥
3
(ABCD), SB = 7 cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3
cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2.Trắc nghiệm
Câu 1. Hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên
bằng . Thể tích của khối H là:
A.
B.4
C.
D.
Câu 2. Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài
bằng 4 và tạo với đáy góc . Thể tích của khối chóp đó là:
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập
phương đó là:
A.
B.
C.84
D.48
Câu 4. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng . Thể tích của hình
hộp đó là:
A.
B.5
C.6
D.8
Câu 5. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích
xung quanh bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.2010
B.1010
C1080
D.2040
Câu 6. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.340
B.336
C.
D.
Chuyên đề 4. Tiết 45 - 52
KHỐI ĐA DIỆN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Thể tích khối đa diện
2. Về kĩ năng
-Tính được thể tích khối đa diện
-Tính khoảng cách từ một điểm đến một mp, khoảng cách giữa hai đường thẳng.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động
trong học tập.
B. NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
1.Kiến thức liên quan
Hệ thức lượng trong tam giác
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
AB2 + AC 2 = BC 2
AB2 = BC.BH , AC 2 = BC.CH
1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2
AB = BC.sinC = BC.cosB = AC.tanC = AC.cot B
Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính
đườngtròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
Định lí hàm số cosin:
a2=b2 + c2 – 2bc.cosA; b2 = c2 + a2 − 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 − 2ab.cosC
Định lí hàm số sin:
Công thức độ dài trung tuyến:
ma2 =
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
b2 + c2 a2
c2 + a2 b2
a2 + b2 c2
− ; mb2 =
− ; mc2 =
−
2
4
2
4
2
4
Các công thức tính diện tích
Tam giác:
1
1
1
S = a.ha = b.hb = c.hc
2
2
2
S=
1
1
1
bc sin A = ca. sin B = ab sin C
2
2
2
S=
abc
4R
S = pr
S = p( p − a) ( p − b) ( p − c)
∆ABC vuông tại A:
2S = AB.AC = BC.AH
S=
a2 3
4
∆ABC đều, cạnh a:
Hình vuông:
Hình chữ nhật:
S = a2
S = a.b
Hình bình hành:
S = đáy × cao =
Hình thoi:
1
·
S = AB.AD.sinBAD
= AC.BD
2
S=
Hình thang:
(a: cạnh hình vuông)
(a, b: hai kích thước)
·
AB.AD.sinBAD
1
( a + b ).h
2
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
1
S = AC.BD
2
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
2.Khối đa diện
a.Khái niệm khối đa diện
b.Khối đa diện lồi, khối đa diện đều
Khối đa diện lồi: Khối đa diện H gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ của H luôn thuộc H. Khi đó đa diện xác định H được gọi là đa diện lồi.
Khối đa diện đều:
Định nghĩa: Khối đa diện đềulà khối đa diện lồi có tính chất sau
Tc1: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh
Tc2: Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều {p;q}
Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại
{5;3} và loại {3;5}
Bảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
{3;3}
Tứ diện đều
4
6
4
{4;3}
Lập phương
8
12
6
{3;4}
Bát diện đều
6
12
8
{5;3}
Mười hai mặt đều
20
30
12
{3;5}
Hai mươi mặt đều
12
30
20
c.Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Thể tích của khối hộp chữ nhật:
V = abc
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
Thể tích của khối chóp:
1
V = Sñaùy.h
3
với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
Thể tích của khối lăng trụ:
V = Sñaùy.h
với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
Tính thể tích bằng công thức
Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
Sử dụng công thức để tính thể tích.
Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích
củachúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm
vào vàkhối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên
Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
VOABC
OA OB OC
=
.
.
VOA'B'C ' OA' OB ' OC '
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bê
Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với
diện tích các đáy.
II.BÀI TẬP
Câu 1. Cho hình chóp tam giác ABCS có . Hai mp và cùng vuông góc với mp . Tính thể tích khối
chóp
HD
Ta có
Do đó:
Câu 2. Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác đều nằm trong mp
vuông góc với đáy
a.CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB
b.Tính thể tích khối chóp
HD
a.Gọi H là trung điểm của AB vì đều nên , mà nên
b.
Câu 3. Tính thể tích của khối chóp tứ diện đều cạnh a
HD
Câu 4. Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác với
S. Chứng minh rằng
HD. Ta có
Mặt khác đồng dạng với tam giác nên ta có
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm
trong mp vuông góc với đáy (ABCD)
a. Chứng minh chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh AB
b. Tính thể tích khối chóp S.ACBD
Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh chân
đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Câu 7. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh . Biết .
Tính thể tích khối lăng trụ.
Câu 8. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo bằng 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ
Câu 9. Đáy của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh . Biết diện tích tam giác A’BC bằng 8.
Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 10. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với , biết
A’B hợp với đáy ABC góc . Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 11. Cho lăng trụ đứng tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mp (BDC’) hợp với
đáy ABCD góc . Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Câu 12. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
và hợp với đáy (ABC) góc . Tính thể tích khối lăng trụ
3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7
cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai
mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
Câu 15. Cho hình tứ diện ABCD cóAD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Câu 16. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45 0 và diện tích
6
∆ABC′ bằng 49
cm2. Tính thể tích lăng trụ.
Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a, các nửa đường thẳng Bx, Dy vuông góc với mp(ABCD) và ở
về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy. Trên Bx và Dy lần lượt lấy các điểm M, N và gọi BM = x, DN
= y. Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y.
2
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =a, AD = a
, SA ⊥
(ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC.
a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ BM.
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC). Gọi M và
N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Câu 20. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
3
= a, AC = a
và hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích
của khối chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’.
V=
HD:
a3
;
2
cosϕ =
1
4
3
Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a
và (SAB)
vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
a3 3
V=
;
3
cosϕ =
5
5
HD:
Câu 22. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ =
2
a
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa
2 đường thẳng AM, B′C.
2a3
;
2
V=
d=
a 7
7
HD:
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh
AM ⊥ BP và tính thể tích khối CMNP.
3a3
96
V=
HD:
Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
d=
HD:
a 2
4
·ABC = ·BAD = 900
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với
, BC = BA = a,
SA = a 2
AD = 2a. SA⊥(ABCD),
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam
giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).
d=
HD:
a
3
AD = a 2
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
, SA = a và SA
⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
V=
HD:
a3 2
36
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên
bằng . Thể tích của khối H là:
A.
B.4
C.
D.
Câu 2. Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài
bằng 4 và tạo với đáy góc . Thể tích của khối chóp đó là:
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập
phương đó là:
A.
B.
C.84
D.48
Câu 4. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng . Thể tích của hình
hộp đó là:
A.
B.5
C.6
D.8
Câu 5. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích
xung quanh bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.2010
B.1010
C1080
D.2040
Câu 6. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.340
B.336
C.
D.
Câu 7.Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau là mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn …………..…… số mặt
của hình đa diện ấy.”
A. bằng
B. nhỏ hơn hoặc bằng
C. nhỏ hơn D. lớn hơn
Câu 8. Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh
đề sau trở thành mệnh đề đúng:
“Số cạnh của một hình đa điện luôn ……………… số đỉnh của hình đa diện ấy.”
A. bằng
B. nhỏ hơn
C. nhỏ hơn hoặc bằng
D. lớn hơn
Câu 9. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình lập phương là đa điện lồi
B. tứ diện là đa diện lồi
C. Hình hộp là đa diện lồi
D. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi
Câu 10. Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh
B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt
C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt
D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh
Câu 11. Có thể chia hình lập phương thành bao biêu tứ diện bằng nhau?
A. Hai
B. Vô số
C. Bốn
D. Sáu
Câu 12. Số cạnh của một hình bát diện đều là:
A. Tám
B. Mười
C. Mười hai
D. Mười sáu
Câu 13. Số đỉnh của một hình bát diện đều là:
A. Sáu
B. Tám
C. Mười
D. Mười hai
Câu 14. Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi
D. Ba mươi
Câu 15. Số cạnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi
D. Ba mươi
Câu 16.Số đỉnh của hình 20 mặt đều là:
A. Mười hai
B. Mười sáu
C. Hai mươi
D. Ba mươi
Câu 17. Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích
của (H) bằng:
a3
2
a3 3
2
a3 3
4
a3 2
3
a3
3
a3 2
6
a3 3
4
a3 3
2
1
2
1
4
1
6
1
8
1
2
1
4
1
8
1
10
A.
B.
C.
D.
Câu 18. Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H)
bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi B’ và C’ lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó
tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 20. Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’. Gọi A’’, B’’, C’’, E’’ lần lượt
là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’, EE’. Tỉ số thể tích giữa khối lăng trụ
ABCDE.A’’B’’C’’D’’E’’ và khối lăng trụ ABCDE.A’B’C’D’E’ bằng:
A.
B.
C.
D.
Câu 21. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A’ trên cạnh SA
1
SA ' = SA
3
sao cho
. Mặt phẳng qua A’ và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh
SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Khi đó thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ bằng:
V
3
V
9
V
27
V
81
A.
B.
C.
D.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a. Các cạnh
a 2
bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng
Câu 22. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề:
A. SO không vuông góc với đáy
OA =
B.
a 5
2
BD = a 5
C.
D. Các cạnh bên khối chóp tạo với mp đáy các góc bằng nhau.
Câu 23. thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.
a3 3
2
Câu 24. Gọi
3
3
B.
α
a3 3
3
C.
a3 3
4
D. Kết quả khác.
là góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của khối chóp. Ta có
5
3
tan α
là
15
5
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Hai mặt bên SAB và
SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AD = DC = a, AB = 2a,
Câu 25. Góc ABC của đáy ABCD có số đo là:
300
450
A.
B.
Câu 26. Chọn khẳng định đúng.
BC ⊥ SA
BC ⊥ AC
C.
600
Sa = a 3
D. Kết quả khác
BC ⊥ SC
I.
II.
III.
A. I
B. I và II
C. I, II, III đều đúng
Câu 27. Thể tích của khối chóp cụt A’B’C’D’.ABCD là:
D. I và III
.
5a 3 3
8
a3 3
8
7a 3 3
16
1
2
1
4
1
6
A.
B.
C.
D. Kết quả khác
Câu 28. Tỉ số của hai thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD (với A’, B’, C’, D’ lần
lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD) là:
A.
B.
C.
D.
1
8
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của hình lập phương cạnh 2a là:
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Thể tích của hình chóp có diện tích đáy , chiều cao là:
A.
B.20
C.
D.30
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác đều cạnh a, đường cao bằng . Thể tích khối
chóp là
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
A.
B.
C.1
D.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Thể tích của hình lập phương cạnh 2a là:
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Thể tích của hình chóp có diện tích đáy , chiều cao là:
A.
B.20
C.
D.30
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác đều cạnh a, đường cao bằng . Thể tích khối
chóp là
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi A’ và B’ lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số
thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
A.
B.
C.1
D.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
1.Tự luận
Câu 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, biết cạnh bên là và hợp với đáy (ABC) góc . Tính thể tích khối lăng trụ
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥
3
(ABCD), SB = 7 cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3
cm, AC = 4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = 5cm. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
2.Trắc nghiệm
Câu 1. Hình chóp tứ giác đều H có diện tích đáy bằng 4 và diện tích của một mặt bên
bằng . Thể tích của khối H là:
A.
B.4
C.
D.
Câu 2. Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài
bằng 4 và tạo với đáy góc . Thể tích của khối chóp đó là:
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Thể tích của khối lập
phương đó là:
A.
B.
C.84
D.48
Câu 4. Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng . Thể tích của hình
hộp đó là:
A.
B.5
C.6
D.8
Câu 5. Một khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy bằng 37, 13, 30 và diện tích
xung quanh bằng 480. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.2010
B.1010
C1080
D.2040
Câu 6. Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc và có chiều dài bằng 8. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
A.340
B.336
C.
D.
