Chuyên đề ôn Toán THPT Quốc Gia 2017 2018 phần Mặt Nón, Mặt trụ, Mặt Cầu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (131.43 KB, 15 trang )
Chuyên đề 5. Tiết 53 - 60
MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
2. Về kĩ năng
-Tính được thể tích các mặt tròn xoay.
-Giải bài toán liên quan.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học
tập.
B. NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
S(O; R) = { M OM = R}
V (O; R) = { M OM ≤ R}
• Mặt cầu:
• Khối cầu:
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
• Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán
r = R2 − d2
kính
.
• Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
• Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R
đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆).
• Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
• Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)).
• Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp
Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
trên mặt cầu
mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đáy của hình nón
đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của
mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
• Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu
Diện tích
S = 4π R2
Thể tích
4
V = π R3
3
Trụ
Sxq = 2π Rh
Nón
Sxq = π Rl
Stp = Sxq + 2Sñaùy
Stp = Sxq + Sñaùy
V = π R2 h
1
V = π R2 h
3
II.BÀI TẬP
SA ⊥ (ABC )
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S
SC
R=
2
cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
.
AB = a 2
b) Cho SA = BC = a và
. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A,
cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu
vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
·BAC = 600
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,
.
SA ⊥ (ABCD)
SA = a 3
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
và
. Gọi
O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D,
A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn
đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO′AB bằng 8 cm3. Tính
chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 5. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn
600
đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc
. Tính chiều cao hình trụ và thể
tích khối trụ.
Bài 6. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO′AB.
Bài 7. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Biết rằng O′ là
tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy
(C).
Bài 8.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a. Biết rằng O′ là
tâm của A′B′C′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C).
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
600
.
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Diện tích S là :
π a2 2
π a2 3
π a2
π a2 2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quanh trục AA’. Diện tích S là:
π b2 3
π b2 6
π b2
π b2 2
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
và có SA= a, AB= b, AC= c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng:
2(a + b + c)
1 2
a + b2 + c2
2
2
2
2 a +b +c
a 2 + b2 + c2
3
2
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hai điểm cố định A,B và một điểm M di động trong không gian luôn thỏa mãn điều kiện
00 < α < 900
R MAB = α
với
. Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:
A. mặt nón
B. mặt trụ
C. mặt cầu
D. mặt phẳng
Câu 5. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Câu 6. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
A. hình chóp tam giác (tứ diện)
B. hình chóp ngũ giác đều
C. hình chóp tứ giác
D. hình hộp chữ nhật
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với
canh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo
thành ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình
vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’. Diện tích xung quanh của hình
nón đó là:
π a2 2
π a2 6
π a2 3
π a2 3
3
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện
tích xung quanh của hình nón đó là :
1 2
3 2
πa
πa
2
2
πa
2π a
2
4
A.
B.
C.
D.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng
B. mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu
C. có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau
D. luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhay cùng nằm trên một mặt nón
Câu 11. Cho hình trụ bán kính bằng r. Gọi O, O’ là tâm hai đáy với OO’=2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc
với 2 đáy của hình trụ tại O và O’. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ
B. diện tích mặt cầu bằng
C. thể tích khối cầu bằng
2
3
3
4
diện tích toàn phần của hình trụ
thể tích khối trụ
2
3
D. thể tích khối cầu bằng thể tích khối trụ
Câu 12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a,b,c. Khi đó bán kính r của mặt
cầu bằng:
1 2 2 2
a2 + b2 + c2
a +b +c
2
2
2
2(a + b + c )
a 2 + b2 + c2
2
3
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể
tích của khối trụ đó là:
1 3
1 3
1 3
aπ
aπ
aπ
a 3π
2
4
3
A.
B.
C.
D.
Câu 14. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là :
1 2
1 2
1 2
πa 3
πa 2
πa 3
π a2 3
2
3
3
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp
B. bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
C. bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
D. bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
Câu 16. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng
S1
hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi
là tổng
S1
S2
S2
diện tích của ba quả bóng bàn,
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
bằng :
A. 1
B. 2
C. 1,5
D. 1,2
Câu 17. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh
đề tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
16π r 2
18π r 2
9π r 2
36π r 2
A.
B.
C.
D.
R ACB = 900
Câu 18. Cho ba điểm A,B,C nằm trên một mặt cầu , biết rằng góc
. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào đúng ?
A.AB là một đường kính của mặt cầu
B. Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC
C. Tam giác ABC vuông cân tại C
D. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
B
D
C
A
D
C
B
C
C
B
C
A
B
C
C
A
C
B
Chuyên đề 5. Tiết 53 - 60
MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
2. Về kĩ năng
-Tính được thể tích các mặt tròn xoay.
-Giải bài toán liên quan.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học
tập.
B. NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
S(O; R) = { M OM = R}
V (O; R) = { M OM ≤ R}
• Mặt cầu:
• Khối cầu:
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
• Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán
r = R2 − d2
kính
.
• Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
• Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R
đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆).
• Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
• Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)).
• Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp
Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
trên mặt cầu
mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đáy của hình nón
đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của
mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
• Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu
Diện tích
S = 4π R2
Thể tích
4
V = π R3
3
Trụ
Sxq = 2π Rh
Nón
Sxq = π Rl
Stp = Sxq + 2Sñaùy
Stp = Sxq + Sñaùy
V = π R2 h
1
V = π R2 h
3
II.BÀI TẬP
SA ⊥ (ABC )
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S
SC
R=
2
cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
.
AB = a 2
b) Cho SA = BC = a và
. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A,
cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu
vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
·BAC = 600
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,
.
SA ⊥ (ABCD)
SA = a 3
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
và
. Gọi
O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D,
A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn
đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO′AB bằng 8 cm3. Tính
chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 5. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn
600
đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc
. Tính chiều cao hình trụ và thể
tích khối trụ.
Bài 6. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO′AB.
Bài 7. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Biết rằng O′ là
tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy
(C).
Bài 8.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a. Biết rằng O′ là
tâm của A′B′C′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C).
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
600
.
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Diện tích S là :
π a2 2
π a2 3
π a2
π a2 2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quanh trục AA’. Diện tích S là:
π b2 3
π b2 6
π b2
π b2 2
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
và có SA= a, AB= b, AC= c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng:
2(a + b + c)
1 2
a + b2 + c2
2
2
2
2 a +b +c
a 2 + b2 + c2
3
2
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hai điểm cố định A,B và một điểm M di động trong không gian luôn thỏa mãn điều kiện
00 < α < 900
R MAB = α
với
. Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:
A. mặt nón
B. mặt trụ
C. mặt cầu
D. mặt phẳng
Câu 5. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Câu 6. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
A. hình chóp tam giác (tứ diện)
B. hình chóp ngũ giác đều
C. hình chóp tứ giác
D. hình hộp chữ nhật
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với
canh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo
thành ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình
vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’. Diện tích xung quanh của hình
nón đó là:
π a2 2
π a2 6
π a2 3
π a2 3
3
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện
tích xung quanh của hình nón đó là :
1 2
3 2
πa
πa
2
2
πa
2π a
2
4
A.
B.
C.
D.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng
B. mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu
C. có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau
D. luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhay cùng nằm trên một mặt nón
Câu 11. Cho hình trụ bán kính bằng r. Gọi O, O’ là tâm hai đáy với OO’=2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc
với 2 đáy của hình trụ tại O và O’. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ
B. diện tích mặt cầu bằng
C. thể tích khối cầu bằng
2
3
3
4
diện tích toàn phần của hình trụ
thể tích khối trụ
2
3
D. thể tích khối cầu bằng thể tích khối trụ
Câu 12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a,b,c. Khi đó bán kính r của mặt
cầu bằng:
1 2 2 2
a2 + b2 + c2
a +b +c
2
2
2
2(a + b + c )
a 2 + b2 + c2
2
3
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể
tích của khối trụ đó là:
1 3
1 3
1 3
aπ
aπ
aπ
a 3π
2
4
3
A.
B.
C.
D.
Câu 14. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là :
1 2
1 2
1 2
πa 3
πa 2
πa 3
π a2 3
2
3
3
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp
B. bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
C. bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
D. bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
Câu 16. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng
S1
hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi
là tổng
S1
S2
S2
diện tích của ba quả bóng bàn,
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
bằng :
A. 1
B. 2
C. 1,5
D. 1,2
Câu 17. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh
đề tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
16π r 2
18π r 2
9π r 2
36π r 2
A.
B.
C.
D.
R ACB = 900
Câu 18. Cho ba điểm A,B,C nằm trên một mặt cầu , biết rằng góc
. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào đúng ?
A.AB là một đường kính của mặt cầu
B. Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC
C. Tam giác ABC vuông cân tại C
D. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
B
D
C
A
D
C
B
C
C
B
C
A
B
C
C
A
C
B
Chuyên đề 5. Tiết 53 - 60
MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.
2. Về kĩ năng
-Tính được thể tích các mặt tròn xoay.
-Giải bài toán liên quan.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học
tập.
B. NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
S(O; R) = { M OM = R}
V (O; R) = { M OM ≤ R}
• Mặt cầu:
• Khối cầu:
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
• Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán
r = R2 − d2
kính
.
• Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
• Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R
đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O; ∆).
• Nếu d < R thì ∆ cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
• Nếu d = R thì ∆ tiếp xúc với (S). (∆ đgl tiếp tuyến của (S)).
• Nếu d > R thì ∆ và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp
Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
trên mặt cầu
mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đáy của hình nón
đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của
mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
• Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục ∆ của đáy (∆ là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và ∆ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu
Diện tích
S = 4π R2
Thể tích
4
V = π R3
3
Trụ
Sxq = 2π Rh
Nón
Sxq = π Rl
Stp = Sxq + 2Sñaùy
Stp = Sxq + Sñaùy
V = π R2 h
1
V = π R2 h
3
II.BÀI TẬP
SA ⊥ (ABC )
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S
SC
R=
2
cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
.
AB = a 2
b) Cho SA = BC = a và
. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A,
cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu
vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
·BAC = 600
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,
.
SA ⊥ (ABCD)
SA = a 3
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
và
. Gọi
O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D,
A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn
đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO′AB bằng 8 cm3. Tính
chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 5. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn
600
đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO′ hợp với mặt phẳng đáy một góc
. Tính chiều cao hình trụ và thể
tích khối trụ.
Bài 6. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính
thể tích của khối tứ diện OO′AB.
Bài 7. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a. Biết rằng O′ là
tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy
(C).
Bài 8.Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a. Biết rằng O′ là
tâm của A′B′C′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối nón có đỉnh O′ và đáy (C).
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc
600
.
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy (C).
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Diện tích S là :
π a2 2
π a2 3
π a2
π a2 2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 2. Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC’ của hình
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh b khi quay xung quanh trục AA’. Diện tích S là:
π b2 3
π b2 6
π b2
π b2 2
A.
B.
C.
D.
Câu 3. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
và có SA= a, AB= b, AC= c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng:
2(a + b + c)
1 2
a + b2 + c2
2
2
2
2 a +b +c
a 2 + b2 + c2
3
2
A.
B.
C.
D.
Câu 4. Cho hai điểm cố định A,B và một điểm M di động trong không gian luôn thỏa mãn điều kiện
00 < α < 900
R MAB = α
với
. Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:
A. mặt nón
B. mặt trụ
C. mặt cầu
D. mặt phẳng
Câu 5. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Câu 6. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
A. hình chóp tam giác (tứ diện)
B. hình chóp ngũ giác đều
C. hình chóp tứ giác
D. hình hộp chữ nhật
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với
canh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo
thành ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình
vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’. Diện tích xung quanh của hình
nón đó là:
π a2 2
π a2 6
π a2 3
π a2 3
3
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Câu 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện
tích xung quanh của hình nón đó là :
1 2
3 2
πa
πa
2
2
πa
2π a
2
4
A.
B.
C.
D.
Câu 10. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng
B. mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu
C. có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau
D. luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhay cùng nằm trên một mặt nón
Câu 11. Cho hình trụ bán kính bằng r. Gọi O, O’ là tâm hai đáy với OO’=2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc
với 2 đáy của hình trụ tại O và O’. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ
B. diện tích mặt cầu bằng
C. thể tích khối cầu bằng
2
3
3
4
diện tích toàn phần của hình trụ
thể tích khối trụ
2
3
D. thể tích khối cầu bằng thể tích khối trụ
Câu 12. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a,b,c. Khi đó bán kính r của mặt
cầu bằng:
1 2 2 2
a2 + b2 + c2
a +b +c
2
2
2
2(a + b + c )
a 2 + b2 + c2
2
3
A.
B.
C.
D.
Câu 13. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể
tích của khối trụ đó là:
1 3
1 3
1 3
aπ
aπ
aπ
a 3π
2
4
3
A.
B.
C.
D.
Câu 14. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là :
1 2
1 2
1 2
πa 3
πa 2
πa 3
π a2 3
2
3
3
A.
B.
C.
D.
Câu 15. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A. bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp
B. bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
C. bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
D. bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp
Câu 16. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng
S1
hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi
là tổng
S1
S2
S2
diện tích của ba quả bóng bàn,
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
bằng :
A. 1
B. 2
C. 1,5
D. 1,2
Câu 17. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh
đề tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
16π r 2
18π r 2
9π r 2
36π r 2
A.
B.
C.
D.
R ACB = 900
Câu 18. Cho ba điểm A,B,C nằm trên một mặt cầu , biết rằng góc
. Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào đúng ?
A.AB là một đường kính của mặt cầu
B. Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC
C. Tam giác ABC vuông cân tại C
D. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
B
D
C
A
D
C
B
C
C
B
C
A
B
C
C
A
C
B
