Chuyên đề ôn Toán THPT Quốc Gia 2017 2018 phần Phương pháp Tọa độ trong không gian

Chuyên đề 6. Tiết 61-74
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức
-Khái niệm về hệ tọa độ trong không gian, phương trình mặt phẳng, phương trình
đường thẳng và phương trình mặt cầu.
2. Về kĩ năng
-Lập PT mặt phẳng và bài toán liên quan.
-Lập PT đường thẳng và bài toán liên quan.
-Lập PT mặt cầu và bài toán liên quan.
3. Về thái độ tư duy
Rèn luyện tư duy lôgic, khả năng phán đoán nhanh, thái độ tích cực chủ động trong học
tập.
B. NỘI DUNG
I.KIẾN THỨC
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
r r r
i, j , k
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
là
các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac
vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
r2 r 2 r 2
rr rr r r
i = j = k =1
i. j = i.k = k. j = 0
Chú ý:
và
.
2. Tọa độ của vectơ:r
r

r r r
u = ( x; y; z) ⇔ u = xi + yj + zk
a) Định nghĩa:
r
r
a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k ∈ R
b) Tính chất: Cho
r r
a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
•
r
ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
•
a1 = b1
r r

a = b ⇔ a2 = b2
a = b
3
 3
•
•
•

r
r
r
r
0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)

r
a

r r r
b(b ≠ 0)
cùng phương

⇔

r
r
a = kb (k ∈ R)

a1 = kb1

⇔ a2 = kb2
a = kb
3
 3
•

rr
a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

•

⇔

a1 a2 a3
=

= , (b1, b2 , b3 ≠ 0)
b1 b2 b3

r r
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0


•

r
a2 = a12 + a22 + a32
rr
a.b
r r
cos(a, b) = r r =
a.b

•
3. Tọa độ của điểm:

r
a = a12 + a22 + a22

•
a1b1 + a2b2 + a3b3

r r r
a, b ≠ 0

a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

(với

)

uuur
M (x; y; z) ⇔ OM = (x; y; z)

a) Định nghĩa:
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
• M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
A(xA; yA; zA ), B(xB ; yB; zB )
b) Tính chất: Cho
uuu
r
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2
AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA )
•

•

 x − kxB yA − kyB zA − kzB 
M A
;
;
÷
1− k
1− k 
 1− k

• Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
 x +x y +y z +z 
M A B ; A B ; A B ÷

2
2
2 
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
x +x +x y +y +y z +z +z 
G A B C ; A B C ; A B C ÷
3
3
3



• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
 x + x + x + xD yA + yB + yC + yD zA + zB + zC + zC 
G A B C
;
;
÷

4
4
4

4. Tích có hướng của hai

r vectơ: (Chương
r trình nâng cao)
a = (a1, a2 , a3 ) b = (b1, b2 , b3 )
a) Định nghĩa: Cho
,
.
r
r a a a a a a 
[ ar, b] = ar ∧ b =  2 3 ; 3 1 ; 1 2 ÷=
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3;a1b2 − a2b1 )
÷
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
r r
r
r r
r
r
rr r
r r
r r r
 i , j  = k;
[ k, i ] = j
[a, b] ⊥ a;
[a, b] ⊥ b
 j ,k  = i ;
•
•
r r

r r
r r
r r
r r
r
[a, b] = a . b .sin( a, b)
a, b
⇔ [a, b] = 0
•
•
cùng phương
c) Ứng dụng của tích có hướng:
r r
r r r
r
a, b
[a, b].c = 0
c
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ:
và đồng phẳng ⇔


uuu
r uuur
SY ABCD =  AB, AD

• Diện tích hình bình hành ABCD:

S∆ ABC =

• Diện tích tam giác ABC:

r uuur
1  uuu
AB
 , AC 
2

uuu
r uuur uuu
r
VABCD.A'B'C 'D ' = [AB, AD].AA'

• Thể tích khối hộp ABCD.A′ B′ C′ D′ :
VABCD =

• Thể tích tứ diện ABCD:

r uuur uuur
1 uuu
[AB, AC ].AD
6

Chú ý:
– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc,
tính góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.
r r

rr
a ⊥ br⇔ a.b = 0
r
r r r
[
a và
b
cù
n
g
phương
⇔
a
, b] = 0
r r r
r r r
a, b, c đồ
ng phẳ
ng ⇔ [ a,b] .c = 0

5. Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2

• Phương trình

x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
với
a2 + b2 + c2 − d

a2 + b2 + c2 − d > 0

là phương trình mặt

cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
.
6. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
r r
r
n≠ 0
n
• Vectơ
là VTPT của (α) nếu giá của vuông góc với (α).
r r
a, b
• Hai vectơ
không cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá
của chúng song song hoặc nằm trên (α).
r
r
n
kn
Chú ý:
• Nếu
là một VTPT của (α) thì
(k ≠ 0) cũng là VTPT
của (α).
r r r
r r

n = [ a, b]
a, b
• Nếu
là một cặp VTCP của ( α) thì
là một VTPT


của (α).
7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ax + By + Cz + D = 0 vớ
i A2 + B2 + C 2 > 0
• Nếu (α) có phương trình
của (α).

r
n = ( A; B;C )

Ax + By + Cz + D = 0
thì
M0 (x0 ; y0 ; z0 )

• Phương trình mặt phẳng đi qua
là:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

là một VTPT

r
n = (A; B;C )

và có một VTPT

8. Các trường hợp riêng
Các hệ số
D=0

Phương trình mặt phẳng
(α)
Ax + By + Cz = 0

(α) đi qua gốc toạ độ O

A=0

By + Cz + D = 0

(α) // Ox hoặc (α) ⊃ Ox

B=0

Ax + Cz + D = 0

(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy

C=0

Ax + By + D = 0

(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz

Tính chất mặt phẳng (α)

Cz+ D = 0
A=B=0
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)
Chú ý:
• Nếu trong phương trình của (α) không chứa ẩn nào thì
(α) song song hoặc chứa
trục tương ứng.
x y z
+ + =1
a b c
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
(α) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0),
(0; 0; c)

9. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng
A1x + B1y + C1z + D1 = 0

Cho hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình:
(α):
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
(β):
A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
• (α), (β) cắt nhau ⇔
A1 B1 C1 D1
A1 B1 C1 D1
=
=
≠

=
=
=
A2 B2 C2 D2
A2 B2 C2 D2
• (α) // (β) ⇔
• ( α ) ≡ ( β) ⇔
A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
• ( α ) ⊥ ( β) ⇔
10. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α ): Ax +
By + Cz + D = 0


d ( M0 ,(α )) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B2 + C 2

11. Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
r
a = (a1; a2 ; a3 )
:
 x = xo + a1t

(d): y = yo + a2t
( t ∈ R)
z = z + a t
o
3


a1a2a3 ≠ 0

(d):

x − x0
a1

=

y − y0
a2

=

M0 (x0 ; y0 ; z0 )
và có VTCP

z − z0
a3

• Nếu
thì
đgl phương trình chính tắc của d.
12. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là:
 x = x0 + ta1
 x = x0′ + t′a1′



′ 2′
d :  y = y0 + ta2
d′ :  y = y0′ + ta
 z = z + ta
 z = z′ + t′a′
0
3
0
3



• d // d′

⇔

⇔

• d ≡ d′

⇔

⇔

và
r r
 a, a′ cù
ng phương
  x + ta = x′ + t′a′
0

1
0
1
 hệ y + ta = y′ + t′a′ (ẩ
n t,t′) vônghiệ
m

0
2
0
2


  z0 + ta3 = z0′ + t′a3′

r r
a, a′ cù
ng phương
 M (x ; y ; z ) ∉ d′
 0 0 0 0

r r
′ cù
a, a
ng phương
 r uuuuuur′
ng cù
ng phương
a, M0 M0 khô

⇔
 x0 + ta1 = x0′ + t′a1′

hệ y0 + ta2 = y0′ + t′a2′ (ẩ
n t,t′) cóvôsốnghiệ
m
 z + ta = z′ + t′a′
3
0
3
 0
r r
a, a′ cù
ng phương
 M (x ; y ; z ) ∈ d′
 0 0 0 0

• d, d′ cắt nhau

⇔ hệ

⇔

⇔

r
r r
[ a
, au′u]u=
0

uuur
r
 r
≠0
′
a
,
M
M
0 0
 

r r uuuuuur
a, a′, M0 M0′ đô
i mộ
t cù
ng phương
uuuuuur

r

[ ar, ar′] = ar , M0 M0′  = 0

⇔
′ 1′
 x0 + ta1 = x0′ + ta

 y0 + ta2 = y0′ + t′a2′
 z + ta = z′ + ta
′ 3′

3
0
 0

(ẩn t, t′) có đúng một nghiệm


⇔

• d, d′ chéo nhau ⇔
⇔

r r
a ⊥ a′

r r
a, a′ khô
ng cù
ng phương
 r r′ uuuuuur′
ng phẳ
ng
a, a , M0 M0 đồ

⇔

r
r r
[ a
, a′] ≠uu0uuuur

 r r
[ a, a′] .M0 M0′ = 0

r r
a, a′ khô
ng cù
ng phương
  x + ta = x′ + t′a′
0
1
0
1
hệ y + ta = y′ + t′a′ (ẩ
n t,t′) vônghiệ
m

0
2
0
2


  z0 + ta3 = z0′ + t′a3′
r r uuuuuur
a, a′, M0 M0′ khô
ng đồ
ng phẳ
ng
rr
a.a′ = 0

uuuuuur

⇔

[ ar , ar′] .M0 M0′ ≠ 0

• d ⊥ d′ ⇔
⇔
13. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Ax + By + Cz + D = 0
Cho mặt phẳng (α):

 x = x0 + ta1

 y = y0 + ta2
 z = z + ta
0
3


và đường thẳng d:
A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C(z0 + ta3 ) + D = 0

Xét phương trình:
(ẩn t)
(*)
• d // (α) ⇔ (*) vơ nghiệm
• d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm

• d ⊂ (α) ⇔ (*) có vơ số nghiệm
14. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
 x = x0 + ta1

 y = y0 + ta2
 z = z + ta
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2
0
3

Cho đường thẳng d:
(1) và mặt cầu (S):
(2)
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
• d và (S) khơng có điểm chung ⇔ (*) vơ nghiệm
⇔ d(I, d) > R
• d tiếp xúc với (S) ⇔ (*) có đúng một nghiệm
⇔ d(I, d) = R
• d cắt (S) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔ d(I, d) < R
15. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
r
a
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP và điểm M.
uuuuur r
 M M,a

 0

d(M , d) =

r
a
16. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
r
r
a1
a2
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP


r r uuuuuur
 a1 , a2  .M1M2
d(d1 , d2 ) =
r r
 a1 , a2 
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d 1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt
phẳng (α) chứa d2 và song song với d1.
17. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (α).
18. Góc giữa hai đường thẳng
r r
a1 , a2
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP
.
r r
a1 , a2
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa
.

r r
a .a
r r
cos( a1, a2 ) = r 1 r2
a1 . a2
19. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
r
r
a = (a1; a2 ; a3 )
n = ( A; B;C )
Cho đường thẳng d có VTCP
và mặt phẳng (α) có VTPT
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d′ của nó
trên (α).
Aa1 + Ba2 + Ca3
sin ·d,(α ) =
A2 + B2 + C 2 . a12 + a22 + a32

(

)

II.BÀI TẬP
Baøi 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:

I (1; −3;5), R = 3
I (5; −3; 7), R = 2
I (1; −3; 2),
a)

b)
c)
Baøi 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
I (2; 4; −1), A(5; 2;3)
I (0;3; −2), A(0; 0; 0)
a)
b)
I (4; −4; −2), A(0; 0; 0)
I (4; −1; 2), A(1; −2; −4)
d)
e)
Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
A(2; 4; −1), B(5; 2;3)
A(0;3; −2), B(2; 4; −1)
a)
b)
A(4; −3; −3), B(2;1;5)
A(2; −3;5), B(4;1; −3)
d)
e)

R=5

I (2; 4; −3), R = 3
d)

I (3; −2;1), A(2;1; −3)
c)

A(3; −2;1), B(2;1; −3)

c)
f)

A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7)
r
n

Baøi 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT cho trước:
r
r
r
M ( 3;1;1) , n = ( −1;1;2)
M ( −2;7;0) , n = ( 3;0;1)
M ( 4; −1; −2) , n = ( 0;1;3)
a)
b)
c)
r
r
r
M ( 2;1; −2) , n = ( 1;0;0)
M ( 3;4;5) ,n = ( 1; −3; −7)
M ( 10;1;9) , n = ( −7;10;1)
d)
e)
f)
Baøi 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:


A(2;1;1), B(2; −1; −1)

a)

d)

A(1; −1; −4), B(2;0;5)
b)

1 
1


A  ; −1;0÷, B  1; − ;5÷
2 
2



e)

A(2; 3; −4), B(4; −1; 0)
c)

1 
 2 1

A  1; ; ÷, B  −3; ;1÷
3 
 3 2


A(2; −5; 6), B(−1; −3; 2)
f)

r r
a, b

Baøi 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP
cho trước, với:
r
r
r
r
M (1; 2; −3), a = (2;1; 2), b = (3; 2; −1)
M (1; −2;3), a = 3; −1; −2), b = (0; 3; 4)
a)
b)
r
r
r
r
M (−1;3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4)
M (−4; 0;5), a = (6; −1;3); b = (3; 2;1)
c)
d)

( β)

Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
cho
trước, với:

M ( 2;1;5 ) , ( β ) = ( Oxy)
M ( 1; −2;1) , ( β ) : 2 x − y + 3 = 0
a)
b)
M ( −1;1;0 ) , ( β ) : x − 2 y + z − 10 = 0
M ( 3;6; −5 ) , ( β ) : − x + z − 1 = 0
c)
d)
M (2; −3; 5), (β ): x + 2 y − z+ 5 = 0
M (1;1;1), (β ):10 x − 10 y + 20 z − 40 = 0
e)
f)
Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng
toạ độ, với:
M ( 2;1;5 )
M ( 1; −2;1)
M ( −1;1; 0 )
M ( 3; 6;−5 )
a)
b)
c)
d)
M(2; −3;5)
M(1;1;1)
M(−1;1; 0)
M(3; 6; −5)
e)
f)
g)
h)

Baøi 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:
A(1; −2; 4), B(3; 2; −1), C(−2;1; −3)
A(0; 0; 0), B(−2; −1;3), C(4; −2;1)
a)
b)
A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4;5; 6)
A(3; −5; 2), B(1; −2; 0), C(0; −3; 7)
c)
d)
A(2; −4; 0), B(5;1; 7), C(−1; −1; −1)
A(3;0; 0), B(0; −5; 0), C(0; 0; −7)
e)
f)
Baøi 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
A(1; −2; 4), B(3; 2; −1), C(−2;1; −3)
A(0; 0; 0), B(−2; −1;3), C(4; −2;1)
a)
b)
A(−1; 2; 3), B(2; −4; 3), C(4;5; 6)
A(3; −5; 2), B(1; −2; 0), C(0; −3; 7)
c)
d)
A(2; −4; 0), B(5;1; 7), C(−1; −1; −1)
A(3;0; 0), B(0; −5; 0), C(0; 0; −7)
e)
f)
Baøi 8. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β)
cho trước, với:
 A(3;1; −1), B(2; −1; 4)

 A(−2; −1;3), B(4; −2;1)
 A(2; −1;3), B(−4; 7; −9)



( β ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0
( β ) : 2 x + 3y − 2 z+ 5 = 0
( β ) : 3 x + 4 y − 8 z− 5 = 0
a)
b)
c)


 A(3; −1; −2), B(−3;1; 2)

( β ) : 2 x − 2 y − 2 z+ 5 = 0

d)
Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có
r
a
VTCP cho trước:
r
r
r
M (1;2; −3), a = (−1;3;5)
M (0; −2;5), a = (0;1;4)
M (1;3; −1), a = (1;2; −1)
a)
b)

c)
r
r
r
M (3; −1; −3), a = (1; −2;0)
M (3; −2;5), a = (−2;0;4)
M (4;3; −2), a = (−3;0;0)
d)
e)
f)
Bài 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B
cho trước:
A( 2;3; −1) , B ( 1; 2; 4 )
A( 1; −1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )
A( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1)
a)
b)
c)
A( 2;1;0 ) , B ( 0;1; 2 )
A( 1; 2; −7 ) , B ( 1; 2; 4 )
A( −2;1;3 ) , B ( 4; 2; −2 )
d)
e)
f)
Bài 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song
song với đường thẳng ∆ cho trước:
A( 3; 2; −4 ) , ∆ ≡ Ox
A( 2; −5; 3) , ∆ đi qua M(5; 3; 2), N(2;1; −2)
a)
b)

 x = 2 − 3t

A(2; −5;3), ∆ :  y = 3 + 4t
x + 2 y− 5 z− 2
A(4; −2; 2), ∆ :
=
=
 z = 5 − 2t
4
2
3
c)
d)
 x = 3 + 4t

A(1; −3; 2), ∆ :  y = 2 − 2t
x + 3 y − 1 z+ 2
A(5; 2; −3), ∆ :
=
=
 z = 3t − 1
2
3
4
e)
f)
Bài 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và
vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
A( −2; 4; 3) , (P) : 2 x − 3y + 6z + 19 = 0
A( 1; −1; 0 ) , (P ): cá

c mp toạ độ
a)
b)
A(2; −3;6), (P ): 2 x − 3y + 6 z + 19 = 0
A( 3; 2;1) , (P ): 2 x − 5y + 4 = 0
c)
d)
Bài 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P), (Q) cho trước:
(P ): 6 x + 2 y + 2z + 3 = 0
(P ): 2 x − 3y + 3z− 4 = 0
(P ): 3 x + 3y − 4z+ 7 = 0



(Q): 3x − 5 y − 2z − 1 = 0
(Q): x + 2 y − z + 3 = 0
(Q): x + 6 y + 2z − 6 = 0
a)
b)
c)
(P ): 2 x + y − z + 3 = 0
(P ): x + z − 1 = 0
(P ): 2 x + y + z − 1 = 0



(Q) : x + y + z − 1 = 0
(Q): y − 2 = 0
(Q): x + z − 1 = 0

d)
e)
f)
Bài 14. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và
vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
 x = 1 + 2t
x = 1− t
x = 1+ t
 x = 1 + 3t




A(1; 0;5), d1 :  y = 3 − 2t, d2 :  y = 2 + t
A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t
 z = 1 + t
 z = 1 − 3t
 z = 3
 z = 3 + t
a)
b)


c)

x = 1− t
x = 1


A(1; −2;3), d1 :  y = −2 − 2t , d2 :  y = −2 + t

 z = 3 − 3t
 z = 3 + t

d)

 x = 1 + 3t
 x = 2t


A(2; −1; −3), d1 :  y = 1 + t , d2 :  y = −3 + 4t
 z = −2 + 2t
 z = 2 − t

 x = −7 + 3t
x = 1+ t


A(4;1; 4), d1 :  y = 4 − 2t , d2 :  y = −9 + 2t
 z = 4 + 3t
 z = −12 − t
x = t
x = t


A(3;1; −4), d1 :  y = 1 − t, d2 :  y = 1 − 2t
 z = −2t
 z = 0

e)
f)

Bài 15. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông
góc và cắt đường thẳng ∆ cho trước:
x = t
 x = −3 + 2t


A(1; 2; −2), ∆ :  y = 1 − t
A(−4; −2; 4), d :  y = 1 − t
 z = 2t
 z = −1 + 4t
a)
b)
 x = 1 + 3t
x = t


A(2; −1; −3), ∆ :  y = 1 + t
A(3;1; −4), ∆ :  y = 1 − t
 z = −2 + 2t
 z = −2t
c)
d)
x = 1− t
x = 1+ t


A(1; −2;3), ∆ :  y = −2 − 2t
A(2; −1;1), ∆ :  y = −2 + t
 z = 3 − 3t
 z = 3

e)
f)
Bài 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt
cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
 x = 1 + 2t
x = 1− t
x = 1+ t
 x = 1 + 3t




A(1; 0;5), d1 :  y = 3 − 2t, d2 :  y = 2 + t
A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t
 z = 1 + t
 z = 1 − 3t
 z = 3
 z = 3 + t
a)
b)
 x = −1 + 3t
 x = 2 + 2t
 x = 1 + 3t
 x = −t




A(−4; −5;3), d1 :  y = −3 − 2t, d2 :  y = −1 + 3t
A(2;1; −1), d1 :  y = −2 + 4t, d2 :  y = t

 z = 2 − t
 z = 1 − 5t
 z = −3 + 5t
 z = 2t
c)
d)
x = 2 + t
 x = −4 + 3t
 x = −3 + 3t
 x = 3 + 2t




A(2;3; −1), d1 :  y = 1 − 2t, d2 :  y = 1 + t
A(3; −2;5), d1 :  y = 1 + 4t , d2 :  y = 1 − t
 z = 1 + 3t
 z = −2 + 3t
 z = 2 + 2t
 z = 2 − 3t
e)
f)
Bài 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt
phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
(P ): y + 2 z = 0
(P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0

  x = 1 + 2t
x = 1− t
x = 2 − t



x−1 y z

 
d1 : −1 = 1 = 4 , d2 :  y = 4 + 2t
 d1 :  y = 3 − 2t, d2 :  y = 2 + t
 z = 1
 z = 1 − 3t

  z = 1 + t
a)
b)
(P ): 2 x − 3y + 3z − 4 = 0
(P ): 3x + 3y − 4 z + 7 = 0

  x = 1 − t
 x = −7 + 3t
x = 1+ t
x = 1
 d :  y = 4 − 2t , d :  y = −9 + 2t
d :  y = −2 − 2t , d :  y = −2 + t
2 
2 
 1 
 1 



 z = 3 + t

z
=
4
+
3
t
z
=
−
12
−
t
z
=
3
−
3
t



 
c)
d)


Bài 18. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường
thẳng ∆ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
 x y−1 z− 5
 x y − 1 z− 1

 ∆ : 3 = −1 = 1
 ∆ : 2 = −1 = 2


x + 1 y z− 1
x − 1 y + 2 z− 2
= =
=
=
d1 :
 d1 :
1
2 −1
1
4
3


x
−
2
y
+
1
z
+
3
x
+
4

y
+
7
z
d :
d :
=
=
=
=
 2
 2
3
2
1
5
9
1
a)
b)
 x −1 y + 2 z − 2
 x + 1 y+ 3 z− 2
∆ : 1 = 4 = 3
 ∆ : 3 = −2 = −1


x −1 y + 2 z − 2

x − 2 y + 2 z− 1
=

=
d1 :
=
=
 d1 :
1
4
3

3
4
1

x+4 y+7 z

x
−
7
y
−
3
z
−9
d :
=
=
d 2 : 5 = 9 = 1
2

1

2
−1

c)
d)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
r
r
r
r r r
r
a
c
b
u = 2a + 3b − c
Câu 1 Cho = (2; –3; 3), = (0; 2; –1), = (1; 3; 2). Tìm tọa độ của vector
A. (0; –3; 4)
B. (3; 3; –1)
C. (3; –3; 1)
D. (0; –3; 1)
r
r
r
a
c
a
Câu 2 Cho = (2; –1; 2). Tìm y, z sao cho = (–2; y; z) cùng phương với
A. y = –1; z = 2
B. y = 2; z = –1
C. y = 1; z = –2

D. y = –2; z = 1
r
r rr r
r
r
u = (a.b).c
a
c
b
Câu 3 Cho = (1; –1; 1), = (3; 0; –1), = (3; 2; –1). Tìm tọa độ của vector
A. (2; 2; –1)
B. (6; 0; 1)
C. (5; 2; –2)
D. (6; 4; –2)
r
r
a
b
Câu 4 Tính góc giữa hai vector = (–2; –1; 2) và = (0; 1; –1)
A. 135°
B. 90°
C. 60°
D. 45°
r
r
r
a
c
b
Câu 5 Cho = (1; –3; 2), = (m + 1, m – 2, 1 – m), = (0; m – 2; 2). Tìm m để ba vector đó đồng

phẳng.
A. m = 0 V m = –2 B. m = –1 V m = 2 C. m = 0 V m = –1 D. m = 2 V m = 0
Câu 6 Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1). Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
A. 1/6
B. 1/3
C. 1/2
D. 1
Câu 7 Cho các điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; –1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc
H của S trên mặt phẳng (ABC).
A. H(8/3; 8/3; –5/3) B. H(9/4; 5/2; –5/4) C. H(5/2; 11/4; –9/4) D. H(5/3; 7/3; –1)
Câu 8 Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0.
A. I(4; –1; 0), R = 4 B. I(–4; 1; 0), R = 4 C. I(4; –1; 0), R = 2 D. I(–4; 1; 0), R = 2
Câu 9 Viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; 3; –2) và đi qua điểm A(2; 1; –3)
A. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 3
B. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 4 = 0
C. (S): x² + (y – 3)² + (z + 2)² = 6
D. (S): x² + y² + z² – 6y + 4z + 10 = 0


Câu 10 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1;
1; 1)
A. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z + 6 = 0
B. (S): x² + y² + z² + 3x + y – z – 6 = 0
C. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z + 24 = 0 D. (S): x² + y² + z² + 6x + 2y – 2z – 24 = 0
Câu 11 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng Oxz và đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1;
3), C(2; 0; –1).
A. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 17
B. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 11
C. (S): (x + 3)² + y² + (z + 3)² = 11
D. (S): (x – 3)² + y² + (z – 3)² = 17

Câu 12 Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của AB với A(2; 1; 1) và B(2; –1; 3).
A. (P): y – z – 2 = 0 B. y – z + 2 = 0
C. y + z + 2 = 0
D. y + z – 2 = 0
r
a
Câu 13 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; –3) và có 2 vectơ chỉ phương = (2; 1;
r
b
2), = (3; 2; –1)
A. –5x + 8y + z – 8 = 0
B. –5x – 8y + z – 16 = 0
C. 5x – 8y + z – 14 = 0
D. 5x + 8y – z – 24 = 0
Câu 14 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(–1; 1; 0), song song với (α): x – 2y + z – 10 = 0.
A. x – 2y + z – 3 = 0 B. x – 2y + z + 3 = 0 C. x – 2y + z – 1 = 0 D. x – 2y + z + 1 = 0
Câu 15 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(3; 1; –1), B(1; 3; –2) và vuông góc với mặt
phẳng (α): 2x – y + 3z – 1 = 0
A. 5x + 4y – 2z – 21 = 0
B. 5x + 4y – 2z + 21 = 0
C. 5x – 4y – 2z – 13 = 0
D. 5x – 4y – 2z + 13 = 0
Câu 16 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; –1; 0), C(0; 0; –3).
A. –3x + 6y + 2z + 6 = 0
B. –3x – 6y + 2z + 6 = 0
C. –3x – 6y + 2z – 6 = 0
D. –3x + 6y – 2z + 6 = 0
Câu 17 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; 0; –2) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
(α): 2x + y – z – 2 = 0 và (β): x – y – z – 3 = 0.
A. –2x + y – 3z + 4 = 0

B. –2x + y – 3z – 4 = 0
C. –2x + y + 3z – 4 = 0
D. –2x – y + 3z + 4 = 0
Câu 18 Xác định m để hai mặt phẳng sau vuông góc: (P): (2m – 1)x – 3my + 2z – 3 = 0 và (Q): mx +
(m – 1)y + 4z – 5 = 0.
A. m = –2 V m = 2 B. m = –2 V m = 4 C. m = 2 V m = 4
D. m = –4 V m = 2
Câu 19 Cho mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – 8 = 0 và điểm M(–2; –4; 5). Tính khoảng cách từ M đến (P).
A. 18
B. 6
C. 9
D. 3
Câu 20 Cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 2 = 0 và (Q): 4x – 6y + 12z + 18 = 0. Tính khoảng cách
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
Câu 21 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 5 = 0 và cách điểm A(2; –1;
4) một đoạn bằng 4.
A. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0
B. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 4 = 0


C. x + 2y – 2z + 20 = 0 hoặc x + 2y – 2z – 8 = 0
D. x + 2y – 2z + 12 = 0 hoặc x + 2y – 2z + 4 = 0
Câu 22 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 5; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y + 3z + 1
=0
A. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 16
B. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 12

C. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 14
D. (S): (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 2)² = 10
Câu 23 Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 2y – 2z – 22 = 0 tại
điểm M(4; –3; 1)
A. 3x – 4y – 20 = 0 B. 3x – 4y – 24 = 0 C. 4x – 3y – 25 = 0 D. 4x – 3y – 16 = 0
Câu 24 Cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A
và song song với mặt phẳng (BCD).
A. 6x – 3y – 2z – 12 = 0
B. 6x – 3y – 2z + 12 = 0
C. 3x + 2y – 6z + 6 = 0
D. 3x – 2y + 6z – 6 = 0
Câu 25 Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(2; 1; 0), B(0; 1; 2)

x = −t

y = 0
z = t


x = 2 − t

y = 1
z = t


x = 2 + t

y = 1
z = − t


x = t

y = 0
z = 2 − t


A. (d):
B. (d):
C. (d):
D. (d):
Câu 26 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(4; –2; 2), song song với Δ:
x + 2 y −5 z − 2
=
=
4
2
3

A. (d):

.

x+4 y−2 z+2
=
=
4
2
3

B. (d):

x+4 y+2 z−2
=
=
4
2
3

x−4 y+2 z+2
=
=
4
2
3

x−4 y+2 z−2
=
=
4
2
3

x −1 y z + 2
= =
−2
3
−6

x +1 y z − 2

= =
−2
3
−6

C. (d):
D. (d):
Câu 27 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(–1; 0; 2), vuông góc với (P): 2x – 3y + 6z +
4 = 0.

A. (d):

x +1 y z − 2
= =
2
3
−6

B. (d):

x +1 y z + 2
=
=
2
−3
6

C. (d):
D. (d):
Câu 28 Viết phương trình giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0; (Q): x + y + z – 1 = 0

x y +1 z − 2
x y −1 z + 2
=
=
=
=
−2
3
−1
−2
3
−1
A. (d):
B. (d):


x y − 2 z +1
=
=
2
−3
1

x −1 y z −1
=
=
2
−3
1

C. (d):
D. (d):
Câu 29 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0; 5), đồng thời vuông góc với hai đường

thẳng (d1):

x −1 y − 3 z −1
=
=
2
−2
1

 x = 1 + 5t

 y = 5t
 z = 5 + 4t


và (d2):

x −1 y − 2 z − 3
=
=
−1
1
−3

x = 1 + t


y = t
z = 5


 x = −1 + t

y = t
z = −5


x = 1 − t

y = t
z = 5


A. (d):
B. (d):
C. (d):
D. (d):
Câu 30 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2; –2), đồng thời vuông góc và cắt đường

thẳng Δ:

A.

C.

x y −1 z
=

=
1
1
2

x +1 y + 2 z − 2
=
=
1
1
−1
x −1 y − 2 z + 2
=
=
1
1
−1

B.

D.

x +1 y + 2 z − 2
=
=
1
−1
−1
x −1 y − 2 z + 2
=

=
1
−1
−1