De HSG 9

Đề thi học sinh giỏi môn Toán
lớp : 9
Năm học 2007 - 2008
Bài 1: Hãy chọn đáp án đúng.
Câu 1: Phơng trình
2
4 4x x+ +
= x - 2
a. Vô nghiệm b. Vô số nghiệm
c. Có 1 nghiệm âm d. Có 1 nghiệm dơng
Câu 2: giá trị của biểu thức.
5 2 5 2
3 2 2
5 1
N
+ +
=
+
bằng
a. 1 ; b. 2
2
- 1 ; c.
5
2
; d.
5
2
Câu 3: Cho tam giác ABC, biết

B = 2

C; AC - AB = 2
BC = 5
Độ dài cạnh AB là:
a. 3 ; b. 4 ; c. 5 ; d. 6
, Độ dài cạnh AC là.
a. 6 ; b. 7 ; c. 8 ; d. 9
Câu 4: Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB tại D. Biết AC. BC = 2AD
. DB. Số đo góc C là
a. 30
0
; b. 60
0
; c. 90
0
; d. 120
0
Bài 2: (2,5đ)
Cho biểu thức:
P =
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
x
x x x x


+
ữ ữ

ữ ữ

+

a. Rút gọn P
b. Tính gía trị của x để P = -1
c. Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m (
3x
)P > x + 1
Bài 3: (2,5đ) Cho phơng trình
y = |2 - x| + |2x + 1|
a. Vẽ đồ thị của phơng trình.
b. Minh hoạ nghiệm của phơng trình trên đồ thị trong trờng hợp y = 2
1
2
c.
Dùng đồ thị biện luận theo y về số nghiệm của phơng trình
Bài 4: (2,5đ) Cho nửa đờng tròn tâm O. đờng kính AB từ một điểm M trên nửa đ-
ờng tròn ta vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD

xy và Bc

xy.
a. Chứng minh MC = MD
b. Chứng minh tổng AD + BC có giá trị không đổi.
c. Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1: (2,5đ) hãy chọn đáp án đúng
Câu 1: Đúng là a (0,5đ)
Câu 2: Đúng là a (0,5đ)

Câu 3: Đúng là b (0,5đ)
Đúng là a (0,5đ)
Câu 4: Đúng là c (0,5đ)
Bài 2: (2,5đ)
a. Rút gọn P (1,5đ) (0,5đ)
Điều kiện a

O ; x

4 và x

9 (0,5đ)
P =
4 (2 ) 8 ( 1) 2( 2)
:
(2 )(2 ) ( 1)
x x x x x
x x x x
+
+
(0,25đ)
=
8 4 3
:
(2 )(2 ) ( 2)
x x x
x x x x
+
+
(0,25đ)

=
8 4 ( 2)
.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
+
+
(0,25đ)
=
4
3
x
x
(0,25đ)
b. (0,5đ)
P = -1

4x +
x
- 3 = 0 (0,25đ)

(
x
+ 1) (4
x
- 3)= 0


x

=
3
4


x =
9
16
(0,25đ)
c. Biết phơng trình đa về dạng
4mx > x + 1

(4m - 1) x > 1 (0,25đ)
Nếu 4m - 1

0 thì tập nghiệm không thể chứa mọi giá trị x > 9;
Nếu 4m - 1 > 0 thì nghiệm bất phơng trình là x >
1
4 1m
. do đó bất phơng trình
thoả mãn với mọi x > 9

9


1
4 1m
và 4m - 1 > 0
Ta có m

5
18
(0,25đ)
Bài 3: Vẽ đờng thẳng của phơng trình: y = |2 - x| + | 2x + 1|
với x

-
1
2
ta có thể y = 2 - x - 2x - 1

y = -3x + 1 (1/4đ)
với -
1
2
< x

2 ta có y = 2 - x + 2x + 1

y = x + 3 (1/4đ)
với x > 2 ta có y = x - 2 + 2x + 1

y = 3x - 1 (1/4đ)
ta đi vẽ đờng thẳng
y = |2 - x| + |2x+ 1|


1
3 1

2
1
3 2
2
3 1 2
x x
x x
x x

+



+ <


>



nếu
nếu
nếu
Vậy đồ thị y = |2 - x| + | 2x + 1| là.
đờng ABCE
b. Phơng trình đã cho.
Khi y = 2,5 thì x = -
1
2
c. Dùng đồ thị biện luận

theo y về số nghiệm. của phơng trình
nhìn vào đồ thị.
Ta nhận thấy:
y = 2,5 phơng trình có 1 nghiệm
x = -
1
2
y < 2,5 phơng trình vô nghiệm
y > 2,5 phơng trình có 2 nghiệm
Bài 4: (2,5đ)
a. AD // BC // CM (vì OM

xy . AB

xy)
BC

xy tứ giác ABCD là hình thang.
và OM là đờng trung bình
Suy ra M là trung điểm của DC
và MC = MD (1/2đ)
b. Theo tính chất đờng tròn của hình thang ta có
20M = AD + BC mà 20M = AB ; AB là đờng kính của đờng tròn (O) nên
không đổivậy.
AB = AD + BC không đổi.
c. SABCD =
1
2
CD (AD + BC) =
1

2
AB . CD (theo chứng minh trên AB = AD + BC)
AB không đổi
SABCD lớn nhất khi CD lớn nhất.
Mà CD

AB vậy CD lớn nhất khi CD = AB. tức là lúc ấy M là điểm chính giữa
cung AB
SABCD đặt giá trị lớn nhất là
1
2
AB
2
khi M là điểm chính giữa của cung AB
Ghi chú (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

y E
6

A 5 C

4

3
2,5 y = 2,5
B 2

1
-3 -1 -1/2 0 1/2 1 2 x
y

C
M
D
x
A H O D