de HSG toan 10 THPTDC2, de 1

Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diễn Châu 2.
***====*****====***====
Đề thi chọn HSG cấp trờng năm học 2007 2008.
Môn Toán Lớp 10- Chơng trình nâng cao.
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1. a,(4,25 điểm) Giải phơng trình:
x x x x- + =- -
2 2
2 3 2 1 4
.
b, (2,5 điểm) Tìm a để phơng trình:
( )x x x a- + - =
2 2
4 3 0
, có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Câu 2. (3,0 điểm) Giải hệ phơng trình:
x y x
y xy
ỡ
ù
+ =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
2
2
6 6

9 2
.
Câu 3. a, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3; 0) và C(-4; 1) là hai
đỉnh đối nhau của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ hai đỉnh còn lại của hình
vuông đó.
b, (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình

x y- + =2 2 0
và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đờng thẳng
(d) sao cho độ dài vectơ
AM BM+
uuur uuur
có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
c,(2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc không nhọn với AB= c, BC= a,CA= b.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )( )( )a b b c c a
P
abc
+ + +
=
.
Câu 4. (1,75 điểm) Cho
, ,x y z
là ba số thực thỏa mãn:
x xy y yz z+ + + + =
2 2 2
4 3 3 2
.
Chứng minh rằng:
x y z+ + Ê

5 13
2
2 2
. Dấu = xảy ra khi nào?
Hết.
Đáp án và biểu điểm: đề thi chọn HSG cấp tr ờng Môn Toán 10- ch ơng trình nâng cao .
1
Câu 1 Tổng
điểm
a
Đk:
(0,25đ) hoặc x x x x+ Ê -
2
2 0 0 2
.(0,25đ)
Pt đã cho tơng đơng với
( )x x x x+ - + + =
2 2
2 2 3 2 1 0
.(0,5đ)
Đặt
,t x x t= +
2
2 0
(0,25đ). Ta có phơng trình:
t t- + =
2
2 3 1 0
(1).(0,25đ)
Pt (1)

hoặc t=t =
1
1
2
(thỏa mãn đk
t 0
).(0,5đ)
Với
t =1
ta có phơng trình:
x x+ =
2
2 1
x x x x + = + - =
2 2
2 1 2 1 0
(0,5đ)
x =- 1 2
.(0,5đ)
Với
t =
1
2
ta có phơng trình:
x x+ =
2
1
2
2
x x x x + = + - =

2 2
1 1
2 2 0
4 4
(0,5đ)
x =-
5
1
2
.(0,5đ)
Đối chiếu với điều kiện phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:
x =- 1 2
(0,25đ) và
x =-
5
1
2
.(0,25đ).
4.5 đ
b
Đk:
x a x a-
2 2
0
.(0,5đ)
Pt đã cho tơng đơng với
hoặc
(0,5đ)
x x
x x

x a
x a
ộ
ộ
= =
- + =
ờ
ờ

ờ
ờ
=
- =
ờ
ở
ở
2
2
2
1 3
4 3 0
0
.(0,5đ)
Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
(0,5đ)a a < - < <
2
1 1 1
.
Vậy với -1< a < 1 thì phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ)
2.5 đ

Câu 2
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với
x y xy y x
x y x
ỡ
ù
+ - + - + =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
2 2
2
2 6 6 9 0
6 6
(0,5đ)
( )
( , đ)
x y
x y
x y x
x y x
ỡ
ỡ
- - =
ù
- - =
ù

ù ù

ớ ớ
ù ù
+ - =
+ - =
ù ù
ợ
ợ
2
2
2
3 0
3 0
0 5
6 6 0
6 6 0
(0,5đ)
( )
y x
x x x
ỡ
= -
ù
ù

ớ
ù
+ - - =
ù

ợ
2
3
6 3 6 0
(0,5đ)
y x
x
ỡ
= -
ù
ù

ớ
ù
=
ù
ợ
2
3
18
y x
x
ỡ
= -
ù
ù

ớ
ù
=

ù
ợ
3
3 2
.(0,5đ)
Vây hệ phơng trình đã hai cho có nghiệm là:
x
y
x
y
ộ
ỡ
ù
=
ù
ờ
ớ
ờ
ù
= -
ờ
ù
ợ
ờ
ờ
ỡ
ù
=-
ờ
ù

ớ
ờ
ù
ờ
=- -
ù
ợ
ở
3 2
3 2 3
3 2
3 2 3
(0,5đ).
3.0đ
Câu 3
a
E Oyẻ
nên E có tọa độ (0; y). (0,5đ)
Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE

AB
uur
và
EC
uuur
cùng phơng.
(0,5đ)
Ta có:
AB
uur

(1; -2),
EC
uuur
(-2; 3 y). (0,5đ)
2.0đ
2
AB
uur
và
EC
uuur
cùng phơng

y- -
=
-
2 3
1 2
(0,5đ)
y =- 1
. (0,5đ)
b
( ; ) ( )M x y dẻ
0 0
(0,25đ) x y y x - + = = +
0 0 0 0
2 2 0 2 2
(0,25đ)
Vậy M(
; )x x +

0 0
2 2
(0,25đ)
Ta có:
( ; )AM x x- -
0 0
4 2 4
uuur
(0,25đ) ,
( ; )BM x x -
0 0
2 2
uuur
(0,25đ)
( ; )AM BM x xị + = - -
0 0
2 4 4 6
uuur uuur
.(0,25đ)
( ) ( )AM BM x x+ = - + -
2 2
0 0
2 4 4 6
uuur uuur
(0,25đ)
=
x x- +
2
0 0
20 64 52

(0,25đ)
( )x= - +
2
0
8 4 2
20
5 5
5
(0,25đ). Dấu = xảy ra khi
x =
0
8
5
,
khi đó
y =
0
26
5
(0,5đ). Vậy
min
,AM BM+ =
2
5
uuur uuur
tại M(
; )
8 26
5 5
.(0,5đ)

3.5đ
c Do tam giác ABC có góc không nhọn, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng
)
C
0
90
. (0,25đ)
áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có
.c a b ab cosC a b ab= + - +
2 2 2 2 2
2 2
c abị 2
(dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi tam giác ABC vuông cân đỉnh C).(0,75đ)
Ta có
( )( )( )a b b c c a abc a b a c b c b a c a c b
P
abc abc
+ + + + + + + + +
= =
2 2 2 2 2 2
2

( ) ( )
a b a b c c
P
b a c a b
+
= + + + + +2
. (0,25đ)

áp dụng BĐT cauchy, ta có:
a b a b
b a b a
+ =2 2
, (0,25đ)
( )a b c c a b c c a b c
c a b c a b ab
+ + +
+ + =
3 3
3 3
ab ab
ab
=
3
2 2
3 3 2
(0,5đ)
Pị +4 3 2
.(0,25đ)
Dấu = xảy ra khi
a b
b a
c ab ABC
a b c c
c a b
ỡ
ù
ù
=

ù
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
+
ù
ù
= =
ù
ù
ù
ợ
2 V
vuông cân đỉnh C.
Vậy
min
P = +4 3 2 khi ABC là tam giác vuông cân.(0.25đ)
2.5đ
Câu 4
Ta có:
( ) ( )x xy y yz z x y y z y+ + + + = + + + + =
2 2 2 2 2 2
1 3 3
4 3 3 2
2 2 2

. (0,5đ)
áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có ( ) ( ) ( )x y z x y y z y
ộ ự
ờ ỳ
+ + = + + + +
ờ ỳ
ở ỷ
2
2
5 1 3 1
2 2 2 2
2.0 đ
3
( ) ( ) ( )x y y z y
ộ ự
ờ ỳ
= + + + +
ờ ỳ
ở ỷ
2
1 3 1 3
2 2
6 2
( ( ) ) ( ) ( )x y y z y
ộ ự
ờ ỳ
Ê + + + + + +
ờ ỳ
ở ỷ
2 2 2 2 2 2

1 1 3 3
1 1
2 2 2
6
(0,5đ)
( )x y z + + Ê
2
5 13
2
2 2
(0,25đ)
x y z + + Ê
5 13
2
2 2
. (0,25đ)
Dấu = xảy ra khi
x xy y yz z
y
x y y z
ỡ
ù
+ + + + =
ù
ù
ù
ù
ù
ù
+ +

ớ
ù
= =
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ợ
2 2 2
4 3 3 2
3
1 3
2
2 2
1
1 1
6
(0,25đ)
x
y
z
ỡ
ù
ù
ù
=
ù
ù

ù
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
ù
ù
ù
ù
=
ù
ù
ù
ù
ợ
5 2 2
2 13
2 2
13
3 2 2
2 13
. (0,25đ)
Tổng 20.0đ
Ghi chú: Học sinh làm theo các phơng án khác đúng, chặt chẽ vẫn đợc điểm tối đa.
Hết.
Ngô Trí Thụ.

4