Thuyết tương đối rộng hay thuyết tương đối tổng quát

uyết tương đối rộng hay thuyết tương đối
tổng quát
Xem bài viết giới thiệu: Giới thiệu thuyết tương đối rộng tương đối rộng còn là cơ sở cho các mô hình vũ trụ học
hiện tại về sự đang giãn nở không ngừng của vũ trụ.
uyết tương đối rộng hay thuyết tương đối tổng quát
là lý thuyết hình học của lực hấp dẫn do nhà vật lý
Albert Einstein công bố vào năm 1916[2] và hiện tại
được coi là lý thuyết miêu tả hấp dẫn thành công của 1 Lịch sử
vật lý hiện đại. uyết tương đối tổng quát thống nhất
thuyết tương đối hẹp và định luật vạn vật hấp dẫn của
Newton, đồng thời nó miêu tả lực hấp dẫn (trường hấp
dẫn) như là một tính chất hình học của không gian và
thời gian, hoặc không thời gian. Đặc biệt, độ cong của
không thời gian có liên hệ chặt chẽ trực tiếp với năng
lượng và động lượng của vật chất và bức xạ. Liên hệ
này được xác định bằng phương trình trường Einstein,
một hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến.
Nhiều tiên đoán và hệ quả của thuyết tương đối rộng
khác biệt hẳn so với kết quả của vật lý cổ điển, đặc biệt
khi đề cập đến sự trôi đi của thời gian, hình học của
không gian, chuyển động của vật thể khi rơi tự do và
sự lan truyền của ánh sáng. Những sự khác biệt như
vậy bao gồm sự giãn thời gian do hấp dẫn, thấu kính
hấp dẫn, dịch chuyển đỏ do hấp dẫn của ánh sáng, và sự
trễ thời gian do hấp dẫn. Mọi quan sát và thí nghiệm
đều xác nhận các hiệu ứng này cho tới nay. Mặc dù
có một số lý thuyết khác về lực hấp dẫn cũng được
nêu ra, nhưng lý thuyết tương đối tổng quát là một lý
thuyết đơn giản nhất phù hợp các dữ liệu thực nghiệm.
Tuy thế, vẫn còn tồn tại những câu hỏi mở, căn bản
nhất như các nhà vật lý chưa biết làm thế nào kết hợp

thuyết tương đối rộng với các định luật của vật lý lượng
tử nhằm tạo ra một lý thuyết đầy đủ và nhất quán là
thuyết hấp dẫn lượng tử.
Lý thuyết của Einstein có nhiều ứng dụng quan trọng
trong vật lý thiên văn. Nó chỉ ra trực tiếp sự tồn tại
của lỗ đen – những vùng của không thời gian trong đó
không gian và thời gian bị uốn cong đến mức ngay cả
ánh sáng cũng không thể thoát ra được – một trạng thái
cuối cùng của các ngôi sao khối lượng lớn. Có rất nhiều
nguồn bức xạ mạnh phát ra từ một vài loại thiên thể cố
định dựa trên sự tồn tại của lỗ đen; ví dụ, các hệ sao
đôi tia X và nhân các thiên hà hoạt động thể hiện sự có
mặt của tương ứng lỗ đen khối lượng sao và lỗ đen có
khối lượng khổng lồ. Sự lệch của tia sáng do trường hấp
dẫn làm xuất hiện hiệu ứng thấu kính hấp dẫn, trong
đó nhiều hình ảnh của cùng một thiên hà hiện lên qua
ảnh chụp. uyết tương đối tổng quát miêu tả các tính
chất của sóng hấp dẫn mà đã được xác nhận một cách
trực tiếp bởi nhóm Advanced LIGO. Hơn nữa, thuyết

Albert Einstein, 1921

Ngay sau khi phát triển thuyết tương đối đặc biệt năm
1905, Einstein bắt đầu suy nghĩ về sự mâu thuẫn giữa
lực hấp dẫn Newton với lý thuyết này. Năm 1907, ông
nhận ra sự liên hệ (hay tương đương cục bộ) giữa lực
hấp dẫn và hệ quy chiếu gia tốc (ông coi đây là ý tưởng
hạnh phúc nhất của đời mình) và nêu ra một thí nghiệm
suy tưởng đơn giản trong đó có một người quan sát
trong thang máy rơi tự do. Ông đã phải mất tám năm

theo đuổi nhằm tìm kiếm lý thuyết hấp dẫn tương đối
tính. Sau nhiều nhầm lẫn và đi lệch hướng, cuối cùng
ông đã tìm ra được phương trình hấp dẫn và miêu tả
nó trong cuộc họp của Viện hàn lâm Khoa học Phổ vào
tháng 11 năm 1915 mà ngày nay gọi là phương trình
1


2

2 TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN ĐẾN THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

trường Einstein. Hệ phương trình này cho biết hình
học của không thời gian bị ảnh hưởng bởi sự có mặt
của vật chất như thế nào, và lực hấp dẫn do sự cong
của hình học không thời gian. Phương trình trường
Einstein là mảnh ghép trung tâm của thuyết tương đối
tổng quát.[3]
Phương trình trường Einstein là hệ phương trình vi
phân riêng phần phi tuyến và rất khó để giải. Einstein
đã sử dụng phương pháp xấp xỉ nhằm suy luận những
hệ quả đầu tiên của lý thuyết. Nhưng ngay đầu năm
1916, nhà thiên văn vật lý Karl Schwarzschild tìm ra
nghiệm chính xác không tầm thường đầu tiên của
phương trình trường Einstein mà ngày nay gọi là
mêtric Schwarzschild. Nghiệm này là cơ sở lý thuyết
cho mô hình vật lý về trạng thái cuối cùng của suy
sụp hấp dẫn, dẫn đến sự hình thành của một số thiên
thể trong đó có lỗ đen dạng đối xứng cầu. Trong cùng
năm, nghiệm Schwarzschild đã được tổng quát thành

nghiệm chính xác cho vật thể có điện tích, hay chính là
mêtric Reissner–Nordström, nghiệm này mô tả lỗ đen
tích điện không quay.[4] Năm 1917, Einstein áp dụng lý
thuyết của ông cho toàn bộ vũ trụ, khai sinh ra ngành
vũ trụ học tương đối tính.[5] eo tư tưởng đương thời,
ông đã giả định vũ trụ tĩnh tại vĩnh hằng, và phải
cộng thêm một tham số mới vào trong phương trình
trường ban đầu của mình—hằng số vũ trụ học—nhằm
thu được kết quả như “quan sát” từ bấy lâu nay.[6] Tuy
thế, năm 1929, những nghiên cứu của nhà thiên văn
Edwin Hubble và những người khác lại chỉ ra vũ trụ
đang giãn nở. Và kết quả quan sát này lại phù hợp với
nghiệm mô tả vũ trụ đang giãn nở do nhà vật lý người
Nga Alexander Friedman tìm ra từ năm 1922 mà không
đòi hỏi có hằng số vũ trụ học. Mục sư và nhà vũ trụ
học người Bỉ Georges Lemaître đã sử dụng nghiệm này
nhằm miêu tả kịch bản sơ khai của mô hình Vụ nổ lớn,
mô hình nói rằng vũ trụ ban đầu đã tiến hóa từ trạng
thái cực kỳ nóng và đậm đặc.[7] Sau này, Einstein coi
hằng số vũ trụ học là sai lầm lớn nhất của đời ông.[8]
Trong suốt thời kì từ thập niên 1920 đến thập niên
1950, các nhà vật lý vẫn coi thuyết tương đối tổng quát
một lý thuyết kỳ lạ trong các lý thuyết vật lý. Nó đẹp
hơn lý thuyết của Newton, phù hợp với thuyết tương
đối hẹp và giải thích được một vài hiệu ứng mà lý
thuyết Newton chưa thành công. Chính Einstein đã chỉ
ra vào năm 1915 rằng lý thuyết của ông đã giải thích
được chuyển động dị thường của điểm cận nhật của
Sao ủy mà không cần tới bất kì một tham số nào.[9]
Vào năm 1919 một đoàn thám hiểm dẫn đầu bởi Arthur

Eddington đã xác nhận tiên đoán của thuyết tương đối
tổng quát về sự lệch ánh sáng khi nó đi gần Mặt trời
bằng cách theo dõi nhật thực vào tháng 5,[10] khiến
Einstein ngay lập tức trở nên nổi tiếng.[11] Và lý thuyết
trở thành hướng đi chính của vật lý lý thuyết và thiên
văn vật lý trong giai đoạn phát triển từ 1960 đến 1975,
hay thời kỳ vàng của thuyết tương đối rộng.[12] Các
nhà vật lý bắt đầu nắm bắt được khái niệm lỗ đen,
và đồng nhất những đối tượng thiên văn vật lý này

với quasar trong thiên văn quan sát.[13] Có thêm nhiều
kiểm nghiệm chính xác trong hệ Mặt Trời đã chứng tỏ
sức mạnh tiên đoán của lý thuyết,[14] và trong vũ trụ
học tương đối tính cũng vậy với rất nhiều quan sát đo
lường nhằm kiểm chứng hệ quả của lý thuyết.[15]

2 Từ cơ học cổ điển đến thuyết
tương đối rộng
Chúng ta có thể hiểu thuyết tương đối rộng thông qua
những điểm tương tự và khác biệt của nó so với lý
thuyết Newton. Bước đầu tiên là chỉ ra cơ học cổ điển và
định luật vạn vật hấp dẫn cho phép miêu tả theo ngôn
ngữ hình học. Bằng cách kết hợp miêu tả này với định
luật của thuyết tương đối hẹp sẽ cho chúng ta khám
phá thuyết tương đối rộng một cách tự nhiên.[16]

2.1 Mô tả bằng hình học của lực hấp dẫn
Newton

Theo thuyết tương đối tổng quát, mọi vật trong trường hấp dẫn

hành xử giống như khi chúng ở trong một thang máy kín đang
gia tốc. Ví dụ, một người sẽ thấy quỹ đạo quả bóng rơi trong tên
lửa (trái) giống như nó rơi trên mặt đất (phải), chứng tỏ rằng
gia tốc của tên lửa cung cấp một lực giống như lực hút của Trái
Đất.

Cơ sở của vật lý cổ điển là khái niệm chuyển động
của một vật thể, kết hợp giữa chuyển động tự do (hay
quán tính) và chuyển động khi có ngoại lực tác dụng.
Các chuyển động này được miêu tả bằng phương trình
trong không gian 3 chiều Euclid và sử dụng khái niệm
thời gian tuyệt đối. Những ngoại lực tác dụng lên vật
thể làm quỹ đạo vật lệch khỏi quỹ đạo của chuyển động
quán tính tuân theo định luật thứ hai của Newton về
chuyển động, phát biểu là tổng lực tác dụng lên vật
bằng khối lượng (quán tính) nhân với gia tốc của nó.[17]
Tiếp theo, chuyển động quán tính được liên hệ với hình
học của không gian và thời gian: trong hệ quy chiếu
quán tính của cơ học cổ điển, các vật chuyển động tự
do với vận tốc không đổi sẽ có quỹ đạo là đường thẳng.
eo ngôn ngữ của vật lý hiện đại, quỹ đạo của chúng
là đường trắc địa, những tuyến thế giới thẳng (world


2.2

Chuyển sang tương đối tính

3

chuyển động quán tính này cũng cho phép xác định
ra hình học của không gian và thời gian theo ngôn ngữ
toán học, quỹ đạo của vật chính là chuyển động trên
đường trắc địa. Trong phương trình đường trắc địa chứa
hệ số liên thông phụ thuộc vào gradien của thế năng
hấp dẫn. Không gian của cơ học Newton theo cách xây
dựng này vẫn thuần túy là hình học Euclid phẳng. Hình
học này tác động đến chuyển động của vật chất nhưng
không bị ảnh hưởng bởi vật chất và tồn tại một cách
tuyệt đối. Tuy nhiên toàn bộ không thời gian vật lý lại
là một cấu trúc phức tạp. Như được chỉ ra bằng các
thí nghiệm tưởng tượng đơn giản về quỹ đạo rơi tự do
của các hạt thử khác nhau, khi dịch chuyển các vectơ
không thời gian - ký hiệu cho vận tốc của hạt (các vectơ
kiểu thời gian, có 4 thành phần tọa độ) - sẽ cho kết quả
là các vectơ khác nhau dọc theo quỹ đạo của hạt; hay
nói về mặt toán học, liên thông Newton không khả tích
được (các vectơ vận tốc khi dịch chuyển trên quỹ đạo sẽ
không còn song song với vectơ ban đầu nữa). Từ điều
này, chúng ta có thể kết luận rằng không thời gian là
cong. Mô hình hình học phẳng của hấp dẫn Newton chỉ
Dịch chuyển song song một vectơ trên cung kín thuộc mặt cầu từ
sử dụng các khái niệm hiệp biến, có nghĩa là nó công
A → N → B → A và vectơ cuối cùng có hướng khác so với vec
mô tả
tơ ban đầu, góc lệch α tỉ lệ với diện tích tam giác cầu (cung kín). nhận một hệ quy chiếu quán tính toàn cục và
hiện tượng hấp dẫn đúng trong mọi hệ tọa độ.[21] eo
cách miêu tả hình học này, các hiệu ứng thủy triều —
gia tốc tương đối giữa các vật thể gần nhau khi rơi tự do
lines, hay đường thế giới) trong không thời gian cong — được liên hệ với đạo hàm của liên thông, chỉ ra hình

và đường trắc địa chính là đường thẳng trong hình học học thay đổi như thế nào bởi sự có mặt khối lượng.[22]
phẳng.[18]
Ngược lại, chúng ta mong muốn rằng nhờ áp dụng
chuyển động quán tính - một khi biết được chuyển
động thực của vật thể do ảnh hưởng của ngoại lực nào
(như lực điện từ hoặc ma sát) - để xác định ra hình học
của không gian, cũng như tọa độ thời gian. Tuy nhiên,
có một sự khó khăn khi xuất hiện hấp dẫn. eo định
luật vạn vật hấp dẫn Newton, và những thí nghiệm
độc lập của Eötvös và các thí nghiệm sau đó (xem thí
nghiệm Eötvös), vật rơi tự do (còn gọi là nguyên lý
tương đương yếu, hay sự bằng nhau giữa khối lượng
quán tính và khối lượng hấp dẫn thụ động): quỹ đạo
của vật thử khi rơi tự do chỉ phụ thuộc vào vị trí và
vận tốc ban đầu của nó, chứ không phụ thuộc vào nó
cấu tạo bằng vật chất gì (như lực điện từ còn phụ thuộc
vào điện tích hạt thử).[19] Có một minh họa đơn giản
điều này thể hiện trong thí nghiệm tưởng tượng của
Einstein, ở hình bên cạnh: đối với một quan sát viên
trong thang máy kín, anh ta không thể biết được, bằng
theo dõi quỹ đạo của các vật như quả bóng rơi, rằng
anh ta đang ở trong căn phòng đứng yên trên mặt đất
và trong một trường hấp dẫn, hay đang ở trong tàu vũ
trụ chuyển động tự do trong không gian với gia tốc
bằng gia tốc hấp dẫn.[20]
Nếu chỉ dựa vào sự rơi tự do của vật, chúng ta không
thể phân biệt được chỉ bằng quan sát giữa chuyển động
quán tính và chuyển động chịu ảnh hưởng của lực hấp
dẫn. Sự không phân biệt được này gợi ra một định nghĩa
mới cho chuyển động quán tính: chuyển động của vật

rơi tự do trong trường hấp dẫn. Định nghĩa mới về

2.2 Chuyển sang tương đối tính
Nếu mô hình lực hấp dẫn Newton có thể biểu diễn bằng
hình học thì cơ sở vật lý của nó, cơ học cổ điển, chỉ là
trường hợp giới hạn của cơ học tương đối tính (đặc biệt)
đối với chuyển động có vận tốc nhỏ.[23] eo ngôn ngữ
của đối xứng: khi bỏ qua ảnh hưởng của trường hấp
dẫn, các phương trình vật lý tuân theo bất biến Lorentz
giống như của thuyết tương đối hẹp hơn là tuân theo
bất biến Galileo như trong cơ học cổ điển. (Nhóm đối
xứng của thuyết tương đối hẹp là nhóm Poincaré bao
gồm cả phép tịnh tiến và phép quay.) Sự khác nhau giữa
cơ học cổ điển và thuyết tương đối hẹp trở lên rõ rệt khi
các vật có vận tốc gần với tốc độ ánh sáng, và khi xét
đến những quá trình năng lượng cao.[24]
Với đối xứng Lorentz, chúng ta có thêm những cấu
trúc mới. Chúng được xác định bằng tập hợp nón ánh
sáng (xem hình bên trái). Các nón ánh sáng cho phép
định nghĩa cấu trúc nhân quả: đối với mỗi sự kiện A,
về nguyên lý có một tập các sự kiện, hoặc ảnh hưởng
đến A hoặc bị ảnh hưởng bởi A thông qua tín hiệu hoặc
tương tác mà không vượt quá tốc độ ánh sáng (như sự
kiện B trong hình), và một tập các sự kiện không thể
liên quan được đến A (như sự kiện C trong hình). Tập
này gọi là tập những quan sát viên độc lập.[25] Khi gắn
với tuyến thế giới (world-lines) của hạt rơi tự do, chúng
ta sử dụng nón ánh sáng nhằm khôi phục lại mêtric
nửa-Riemannian của không thời gian, ít nhất đối với

4

2 TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN ĐẾN THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

Time

B

A

C
Space

Nón ánh sáng

số hạng vô hướng dương. eo thuật ngữ toán học, quá
trình này xác định lên cấu trúc bảo giác.[26]
uyết tương đối hẹp không miêu tả lực hấp dẫn, do
vậy các nhà vật lý áp dụng nó cho những mô hình
không tính đến lực hấp dẫn. Bởi vì mô hình hấp dẫn
Newton nói rằng lực hấp dẫn giữa hai vật thể tác dụng
một cách tức thì, không kể chúng ở cách xa bao nhiêu
(hay tồn tại những hệ quy chiếu quán tính toàn cục),
do vậy lý thuyết Newton vi phạm bất biến Lorentz. Khi
tính đến trường hấp dẫn, bằng áp dụng sự rơi tự do,
cách lý giải tương tự như phần trước được áp dụng:
không có một hệ quy chiếu quán tính toàn cục tồn
tại trong lý thuyết tương đối tổng quát. ay vì vậy
chúng ta chỉ có thể sử dụng những hệ quy chiếu quán

tính cục bộ “xấp xỉ" di chuyển dọc theo quỹ đao hạt rơi
tự do. Chuyển thành ngôn ngữ của không thời gian:
những tuyến thế giới thẳng kiểu thời gian mà xác định
hệ quy chiếu quán tính không có trường hấp dẫn sẽ bị
lệch thành những đường cong tương đối với nhau trong
trường hấp dẫn (Giống như khi thả hai quả bóng rơi
tự do, tưởng như chúng rơi song song với nhau nhưng
thực tế quỹ đạo của chúng gặp nhau tại tâm Trái Đất,
hay quỹ đạo hai quả bóng bị lệch tương đối với nhau
khi có mặt trường hấp dẫn.) và điều này gợi ra rằng
trường hấp dẫn làm thay đổi hình học của không thời
gian từ phẳng sang cong.[27]
Nhưng có một câu hỏi xuất hiện trước tiên là liệu hệ

quy chiếu cục bộ mới gắn liền với vật rơi tự do có giống
với hệ quy chiếu mà trong đó các định luật của thuyết
tương đối hẹp thỏa mãn — lý thuyết dựa trên cơ sở sự
không đổi của tốc độ ánh sáng trong chân không, và
cũng mô tả lý thuyết điện từ học cổ điển. Bằng sử dụng
những hệ quy chiếu tương đối tính của thuyết tương
đối hẹp (như hệ quy chiếu gắn liền với mặt đất-phòng
thí nghiệm, hay hệ quy chiếu rơi tự do), chúng ta có
thể dẫn ra những kết quả khác nhau cho hiệu ứng dịch
chuyển đỏ do hấp dẫn, hiệu ứng dịch chuyển tần số
của ánh sáng khi nó truyền qua trường hấp dẫn (xem
bên dưới). Những đo đạc thử nghiệm chỉ ra rằng ánh
sáng lan truyền trong các hệ quy chiếu rơi tự do có
quỹ đạo và tần số giống với khi ánh sáng lan truyền
trong những hệ quy chiếu quán tính của thuyết tương
đối hẹp. Và ánh sáng lan truyền trong trường hấp dẫn

có quỹ đạo và sự dịch chuyển tần số giống như khi nó
lan truyền trong hệ quy chiếu đang gia tốc với gia tốc
bằng gia tốc hấp dẫn.[28] Tổng quát hóa phát biểu này
tương ứng với phát biểu “các định luật của thuyết tương
đối hẹp thỏa mãn một cách xấp xỉ tốt trong những hệ
quy chiếu rơi tự do (và không quay)", còn gọi là nguyên
lý tương đương Einstein, một nguyên lý nền tảng của
thuyết tương đối tổng quát.[29]
Các thí nghiệm cũng chỉ ra rằng thời gian đo bởi những
đồng hồ trong trường hấp dẫn — thời gian riêng, thuật
ngữ của vật lý học — không tuân theo các định luật của
thuyết tương đối hẹp (hàm ý thời gian bị cong). Trong
ngôn ngữ của hình học không thời gian, nó không được
đo bằng mêtric Minkowski. Như trong trường hợp lực
hấp dẫn Newton, điều này gợi ra lý thuyết tương đối
rộng cần một hình học tổng quát để miêu tả. Ở quy mô
nhỏ, mọi hệ quy chiếu rơi tự do đều tương đương với
nhau và miêu tả xấp xỉ bằng mêtric Minkowski. Hệ quả
là, chúng ta sẽ cần phải tổng quát hình học Minkowski
thành hình học các không gian cong. Tenxơ mêtric xác
định lên cấu trúc hình học — đặc biệt nó cho phép đo
độ dài và góc — khác với mêtric Minkowski của thuyết
tương đối hẹp, nó là mêtric tổng quát của mêtric đa
tạp giả-Riemann. Hơn nữa, mỗi mêtric Riemann được
kết hợp một cách tự nhiên với một loại liên thông đặc
biệt, liên thông Levi-Civita, và thực tế liên thông này
thỏa mãn nguyên lý tương đương và làm cho không
thời gian của thuyết tương đối tổng quát trên phương
diện cục bộ giống với không thời gian Minkowski (có
nghĩa là khi chọn hệ tọa độ quán tính cục bộ phù hợp,

tenxơ mêtric của thuyết tương đối rộng trở thành tenxơ
mêtric Minkowski, cũng như đạo hàm riêng bậc nhất và
các hệ số liên thông triệt tiêu - tương đương với không
có trường hấp dẫn ở hệ toạ độ cục bộ này). Tenxơ mêtric
thể hiện tính động lực của hình học không thời gian,
nó cho thấy vật chất ảnh hưởng lên hình học như thế
nào cũng như sự xuất hiện của nó trong phương trình
chuyển động của hạt thử.[30]
• Trong không thời gian Minkowski phẳng, với hệ
tọa độ xµ → (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (ct, x, y, z) một
trong những bất biến Lorentz là “khoảng không


2.3

Phương trình trường Einstein

5

thời gian” giữa hai sự kiện

∆s2
1.

2.

3.

•

2.3

khối lượng-năng lượng, thì chúng ta cần phải lựa chọn
ưu tiên một hệ quy chiếu quán tính và do đó đòi hỏi
2
2
2
2
2
2
2 2
2
µ quán
tại2 +dz
một2hệ
chiếu
tính toàn cục, điều này
= −c ∆t +∆x +∆y +∆z = ds = −c dt +dxtồn
+dy
= quy
ηµν dx
dxν
là không được phép trong thuyết tương đối tổng quát.
Nếu ds2 < 0 thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế Nhờ nguyên lý tương đương Einstein, ngoài khối lượng,
giới (world line) kiểu thời gian (time-like), và mọi năng lượng thì ứng suất cũng trở thành một nguồn cho
sự kiện thực có liên hệ nhân quả với nhau-một sự trường hấp dẫn. Và tenxơ ứng suất–năng lượng ngay
kiện nằm trong nón ánh sáng của sự kiện kia-sẽ lập tức tổng quát cho không thời gian cong và trở thành
tenxơ miêu tả mật độ nguồn cho trường hấp dẫn. Để
nằm trên đường kiểu thời gian.
cho phép thu về trường hợp giới hạn của lực hấp dẫn

Nếu ds2 > 0 thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế Newton cổ điển, một cách tự nhiên chúng ta giả thiết
giới kiểu không gian (space-like), đây là khoảng rằng phương trình trường hấp dẫn liên hệ tenxơ ứng
không thời gian giữa hai sự kiện mà một sự kiện suất–năng lượng hạng hai với một tenxơ độ cong hạng
hai gọi là tenxơ Ricci, tenxơ này có ý nghĩa vật lý miêu
nằm ngoài nón ánh sáng của sự kiện kia.
tả một trường hợp đặc biệt của hiệu ứng thủy triều: nó
Nếu ds2 = 0 thì hai sự kiện nằm trên tuyến thế cho biết sự thay đổi thể tích của một đám nhỏ hạt thử
giới không (null-world line), hay chúng nằm trên ban đầu đứng yên tương đối với nhau, và sau đó rơi tự
đường đi của ánh sáng.
do trong trường hấp dẫn. Trong thuyết tương đối hẹp,
định luật bảo toàn năng lượng–động lượng tương ứng
Bất biến Lorentz là đại lượng không đổi khi
với phương trình toán học là phân kỳ của tenxơ ứng
chúng ta chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa
suất–năng lượng phải bằng 0 (hay tự do). Công thức
độ khác.
này cũng được tổng quát hóa sang cho không thời gian
cong bằng cách thay thế đạo hàm riêng thông thường
theo các trục tọa độ của đa tạp cong bằng đạo hàm hiệp
Tenxơ mêtric Minkowski là
biến của các tọa độ, đạo hàm này được nghiên cứu trong


hình học vi phân. Các định luật bảo toàn phải luôn thỏa
−1 0
0
0
mãn ở phạm vi cục bộ — hay là phân kỳ hiệp biến của
 0 +1 0


0
ηµν = 
.
tenxơ mật độ ứng suất–năng lượng bằng 0, và do vậy
0

0 +1 0
phân kỳ hiệp biến của vế bên kia phương trình trường
0
0
0 +1
- vế cho biết độ cong cục bộ của không thời gian - cũng
với dấu mêtric (−, +, +, +) . Trong thuyết
phải bằng 0. Ban đầu, Einstein nghĩ rằng vế hình học
tương đối rộng, các tenxơ mêtric gµν thay
này chỉ có tenxơ Ricci (phân kỳ hiệp biến của tenxơ này
thế cho tenxơ ηµν và vẫn đảm bảo đại lượng
khác 0), nhưng sau đó ông phát hiện ra phương trình
ds2 = gµν dxµ dxν là bất biến Lorentz cục bộ.
trường cần phải tuân theo định lý phân kỳ hiệp biến tự
Đồng thời tenxơ mêtric cho phép nâng và hạ
do - và ông đã tìm ra dạng phương trình đơn giản nhất
chỉ số của các tenxơ khác. Các phương trình
tuân theo định lý này, mà ngày nay gọi là Phương trình
vật lý viết dưới dạng phương trình tenxơ có
trường Einstein:
một thuận lợi là dạng phương trình của nó
không thay đổi khi chúng ta chuyển sang hệ
tọa độ khác bất kỳ (thể hiện cho tính hiệp
1

8πG
Rµν − R gµν = 4 Tµν .
biến tổng quát và nguyên lý tương đương
2
c
Einstein).[31]
Vế trái của phương trình là tenxơ Einstein, phân kỳ
hiệp biến của tenxơ này bằng 0. Tenxơ này là tổ hợp
của tenxơ Ricci Rµν và tenxơ mêtric gµν = gνµ . Đặc
Phương trình trường Einstein
biệt

Tuy đã nhận ra được hình học Riemann là công cụ toán
học cần thiết nhằm mô tả các hiệu ứng hấp dẫn, chúng
ta còn cần phải xác định thêm những nguồn của trường
hấp dẫn. Trong mô hình hấp dẫn Newton, nguồn hấp
dẫn là khối lượng. Trong thuyết tương đối hẹp, khối
lượng là một thành phần trong đại lượng tổng quát
hơn là tenxơ năng lượng–động lượng, bao gồm mật độ
năng lượng và mật độ động lượng cũng như ứng suất
(bao gồm áp suất và lực cắt). Tenxơ năng lượng–động
lượng không chứa năng lượng của trường hấp dẫn.[32]
Nếu nguồn hấp dẫn trong thuyết tương đối rộng chỉ là

R = g αβ Rαβ
là độ cong vô hướng Ricci, với g αβ có thể coi là các
phần tử của ma trận nghịch đảo của ma trận có phần
tử gαβ . Tenxơ Ricci liên hệ với tenxơ độ cong Riemann
Rα µβν thông qua phép thu gọn chỉ số
Rµν = Rα µαν .

Mặt khác, hệ số liên thông (hay ký hiệu Christoffel, nó
không phải là tenxơ) có thể được tính từ tenxơ mêtric,


6

3 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ỨNG DỤNG CƠ BẢN

Γα µν =

1 αβ
g (∂ν gβµ + ∂µ gβν − ∂β gµν )
2

Rµν = 0.

và tenxơ độ cong Riemann (miêu tả độ cong nội tại cục do vô hướng độ cong R là hàm của tenxơ Ricci nên nó
cũng bằng 0 trong phương trình chân không.
bộ của không thời gian) bằng
Ngoài cách dẫn ra phương trình Einstein tuân theo
định luật bảo toàn năng lượng-động lượng ở trên, chính
Rα µβν = ∂β Γα µν −∂ν Γα µβ +Γα βλ Γλ µν −Γα νλ Γλ µβ Einstein và nhà toán học David Hilbert còn nêu ra
phương pháp biến phân cho tác dụng Einstein-Hilbert
ở đây ∂ν = ∂x∂ ν là đạo hàm riêng. Trong thuyết tương và cũng thu được phương trình trường. Phương pháp
đối rộng, tenxơ độ xoắn bằng 0, do đó hệ số Christoffel biến phân có đặc điểm là nó thuận lợi cho việc tổng
có tính đối xứng Γα µν = Γα νµ cũng như tenxơ Ricci quát hay mở rộng thuyết tương đối tổng quát.
Rµν = Rνµ .
Các nhà vật lý cũng đã đề xuất ra những lý thuyết khác
Trên vế phải của phương trình trường, Tµν là tenxơ so với thuyết tương đối tổng quát và thu được những
mật độ ứng suất–năng lượng. Định luật bảo toàn năng phương trình trường khác nhau. Những lý thuyết này

lượng-động lượng cục bộ tương đương với phân kỳ hiệp cũng dựa trên ba điều kiện mà thuyết tương đối tổng
biến (đạo hàm hiệp biến) của nó
quát thỏa mãn:
∇β T αβ = T αβ ;β = 0
với
Tµν = gµα gνβ T αβ , và gαβ ;β = g µν ;ν = 0
Tenxơ Einstein
1
Gµν = Rµν − Rgµν
2
và

∇ν Gµν = Gµν ;ν = 0
Một khi giải phương trình Einstein và tìm được nghiệm
là tenxơ mêtric (cho phép xác định được cấu trúc hình
học của đa tạp không thời gian), chúng ta sẽ miêu tả
được chuyển động của hạt (hay kể cả ánh sáng-photon)
trong trường hấp dẫn thông qua phương trình đường
trắc địa,
µ
ν
d2 xα
α dx dx
+
Γ
=0
µν
dλ2
dλ dλ

với λ là tham số của đường trắc địa. Tất cả các phương
trình trên được viết trong hệ tọa độ xα bất kỳ. Tất cả các
tenxơ và hệ số Christoffel có thành phần viết theo ký
hiệu chỉ số trừu tượng, và tuân theo quy tắc tính tổng
Einstein.[33] Để cho kết quả tiên đoán phù hợp với kết
quả lý thuyết Newton về quỹ đạo các hành tinh và khi
trường hấp dẫn yếu, Einstein tìm ra hằng số tỷ lệ trong
phương trình κ = 8πG/c 4 , với G là hằng số hấp dẫn và c
là tốc độ ánh sáng.[34] Khi không có vật chất hay bức xạ,
tenxơ mật độ ứng suất–năng lượng bằng 0, và chúng ta
thu được phương trình chân không Einstein,

1. Các phương trình tuân theo nguyên lý hiệp biến
tổng quát (và nguyên lý tương đương Einstein).
2. Phương trình trường tuân theo định luật bảo toàn
năng lượng-động lượng cục bộ đối với mọi tenxơ
mêtric.
3. Khi trường hấp dẫn yếu và vận tốc các vật thể là
nhỏ so với tốc độ ánh sáng, lý thuyết sẽ thu về mô
hình hấp dẫn Newton và cơ học cổ điển.
Ngoài ba điều kiện trên thì các lý thuyết này còn
có thêm một số giả thiết khác, và do đó những lý
thuyết đề xuất này phức tạp hơn về mặt toán học
so với thuyết của Einstein. Ví dụ một số lý thuyết
như thuyết Brans–Dicke, teleparallelism, và thuyết
Einstein–Cartan (thuyết này coi tenxơ độ xoắn khác
0).[35]

3 Định nghĩa và các ứng dụng cơ
bản

Một số nét khái quát ở phần trước chứa mọi thông tin
cần thiết để miêu tả thuyết tương đối rộng, các tính
chất quan trọng của nó, những hệ quả chủ yếu và việc
ứng dụng lý thuyết đề xây dựng các mô hình vật lý.

3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
uyết tương đối tổng quát là lý thuyết mêtric về tương
tác hấp dẫn. Phương trình nền tảng của lý thuyết là
phương trình trường Einstein, trong đó liên hệ giữa
hình học của đa tạp tựa Riemann bốn chiều của không
thời gian với năng lượng và động lượng chứa trong


3.2

Cơ sở cho mô hình vật lý

không thời gian đó.[36] Những quá trình hiện tượng
trong cơ học cổ điển được gán cho nguyên nhân lực hấp
dẫn tác dụng (như vật rơi tụ do, chuyển động trên quỹ
đạo của các hành tinh, và quỹ đạo của các vệ tinh nhân
tạo), tương ứng với chuyển động quán tính trong hình
học cong của không thời gian trong thuyết tương đối
rộng; không có lực hấp dẫn làm lệch quỹ đạo chuyển
động của vật khỏi đường thẳng. ay vào đó, lực hấp
dẫn là do sự thay đổi tính chất của không thời gian,
dẫn đến làm thay đổi quỹ đạo của vật trở thành đường
“ngắn nhất” có thể mà vật sẽ tự nhiên chuyển động
theo (hay đường trắc địa trong hình học vi phân).[37]

Còn nguồn gốc độ cong của không thời gian là do năng
lượng và động lượng của vật chất. Như nhà vật lý John
Archibald Wheeler phát biểu, không thời gian nói cho
vật chất cách chuyển động; vật chất nói cho không thời
gian cong như thế nào.[38]

7
nghiệm là một mô hình vật lý thỏa mãn các định luật
tương đối tính tổng quát cũng như các định luật vật lý
khác chi phối sự có mặt của vật chất.[43]
Phương trình trường Einstein là hệ phương trình vi
phân riêng phần phi tuyến cho những kết quả đáng tin
cậy, do vậy rất khó để tìm được nghiệm chính xác.[44]
Tuy vậy, các nhà vật lý đã giải được một số nghiệm
chính xác, mặc dầu chỉ có vài ba nghiệm có ý nghĩa vật
lý trực tiếp.[45] Những nghiệm chính xác nổi tiếng nhất,
và cũng có nhiều ứng dụng trong vật lý thực nghiệm đó
là: mêtric Schwarzschild, mêtric Reissner–Nordström
và mêtric Kerr, chúng là các nghiệm của phương trình
chân không Einstein và mỗi nghiệm tương ứng với
một kiểu lỗ đen;[46] và mêtric Friedmann–Lemaître–
Robertson–Walker và “vũ trụ de Sier”, mỗi loại miêu
tả một vũ trụ có tính động lực.[47] Những nghiệm chính
xác hấp dẫn về mặt lý thuyết bao gồm “vũ trụ Gödel”
(mở ra khả năng kỳ lạ cho phép du hành ngược thời
gian trong không thời gian cong), “nghiệm sóng-pp”
cho sóng hấp dẫn, “không gian Taub-NUT” (mô hình
vũ trụ đồng nhất, nhưng phi đẳng hướng), và “không
gian phản de Sier” (mà gần đây trở lên quan trọng
trong “phỏng đoán Maldacena” của lý thuyết dây).[48]

Khi mà thuyết tương đối thay thế năng hấp dẫn vô
hướng của vật lý cổ điển thành tenxơ đối xứng hạng
hai, thì đồng thời tenxơ này sẽ thu về trường hợp giới
hạn cổ điển trong những điều kiện xác định. Đối với
trường hấp dẫn yếu và chuyển động có vận tốc tương
đối chậm so với tốc độ ánh sáng, lý thuyết cho kết quả
tiên đoán trùng với tiên đoán của định luật vạn vật hấp Do rất khó để tìm được nghiệm chính xác, các nhà vật
dẫn Newton.[39]
lý đã tìm cách giải phương trình trường Einstein bằng
Được xây dựng trên công cụ tenxơ, thuyết tương đối phương pháp “tích phân số" trên máy tính, hoặc xét
tổng quát thể hiện tính hiệp biến tổng quát: mỗi những nhiễu loạn nhỏ trong nghiệm chính xác. Trong
định luật của nó và hơn nữa các định luật thiết lập lĩnh vực mô phỏng lý thuyết bằng máy tính, người
trên khuôn khổ tương đối tính tổng quát—sẽ có dạng ta sử dụng các siêu máy tính để mô phỏng hình học
phương trình như nhau trong mọi hệ tọa độ.[40] Căn bản của không thời gian và giải phương trình Einstein cho
hơn, lý thuyết không chứa bất kỳ một cấu trúc hình học những tình huống quan trọng như sự va chạm và sát
cơ sở bất biến nào, hay thuyết tương đối rộng có đặc nhập hai lỗ đen hay cấu trúc của vũ trụ trên khoảng
tính độc lập với phông cơ sở không thời gian (ứng với cách lớn.[49] Đặc biệt, phương pháp này có thể áp dụng
mỗi sự phân bố vật chất và năng lượng thì lại có một cho một hệ bất kỳ nếu khả năng tính toán của siêu máy
dạng hình học không thời gian khác nhau). Nó cũng tính cho phép, và có thể tiếp cận được những câu hỏi
thỏa mãn điều kiện chặt chẽ của nguyên lý tương đối căn bản như điểm kỳ dị hấp dẫn. Chúng ta có thể tìm
tổng quát, tức là mọi định luật vật lý phải như nhau những nghiệm xấp xỉ bằng lý thuyết nhiễu loạn như
đối với mọi quan sát viên.[41] Trên cục bộ, như đòi hỏi “tuyến tính hóa hấp dẫn”[50] và phương pháp tổng quát
của nguyên lý tương đương, không thời gian cong trở hóa của nó “khai triển hậu Newton”, cả hai phương
thành không thời gian Minkowski, và các định luật vật pháp này đều do Einstein phát triển. Phương pháp sau
lý tuân theo bất biến Lorentz cục bộ.[42]
cung cấp cách tiếp cận có hệ thống nhằm giải ra hình
học không thời gian với sự phân bố vật chất chuyển
động chậm so với tốc độ ánh sáng. Phương pháp khai
3.2 Cơ sở cho mô hình vật lý

triển chứa các chuỗi số hạng; với số hạng thứ nhất
đại diện cho đóng góp của hấp dẫn Newton, trong khi
Khái niệm cốt lõi trong mô hình vật lý tương đối những số hạng tiếp sau thể hiện những hiệu chỉnh nhỏ
tính tổng quát đó là tìm nghiệm của phương trình hơn của lý thuyết Newton từ thuyết tương đối tổng
trường Einstein. Khi có phương trình Einstein và những quát.[51] Phương pháp mở rộng của phương pháp này
phương trình hay điều kiện giới hạn cụ thể khác về tính gọi là “hình thức tham số hóa hậu Newton”, cho phép
chất của vật chất (như phương trình trạng thái, hoặc so sánh một cách định lượng giữa những tiên đoán của
giả định về tính đối xứng của không thời gian, hoặc thuyết tương đối rộng với những lý thuyết thay thế phi
phương trình điều kiện biên, điều kiện ban đầu) thì lượng tử khác.[52]
nghiệm của phương trình sẽ là một đa tạp tựa Riemann
(thông thường đa tạp này được xác định bởi tenxơ
• Nghiệm Schwarzchild: miêu tả không thời gian
mêtric theo những hệ tọa độ đặc biệt), và trường vật
tĩnh có tính đối xứng cầu, bên ngoài bán kính
chất cụ thể xác định trên đa tạp đó. Vật chất cũng phải
Schwarzchild. Nó là nghiệm của phương trình
thỏa mãn bất kỳ một điều kiện phụ nào của các phương
chân không với Tµν = 0
trình khác mô tả tính chất của nó. Hay ngắn gọn, mỗi


8

4

HỆ QUẢ CỦA LÝ THUYẾT EINSTEIN

Trong hệ tọa độ cầu xµ → (ct, r, θ, ϕ)
4.1 Sự giãn thời gian do hấp dẫn và dịch
sử dụng dấu mêtric (-, +, +, +), mêtric

chuyển tần số
Schwarzchild là [53]
(
)
rs ) 2 2 (
rs )−1 2 2 ( 2
ds2 = c2 dτ 2 = − 1 −
c dt + 1 −
dr +r dθ + sin2 θ dφ2 ,
r
r
với
1. τ là thời gian riêng (đo bởi đồng hồ gắn cùng với
hạt thử di chuyển trên tuyến thế giới kiểu thời
gian)
2. t là tọa độ thời gian (đo bởi một đồng hồ đứng yên
nằm rất xa so với nguồn hấp dẫn),
3. r là tọa độ xuyên tâm (đo bằng chu vi đường tròn
chia cho 2π, các đường tròn nằm trên mặt cầu có
tâm tại nguồn hấp dẫn),
4. θ là độ dư vĩ (tính từ cực bắc, đơn vị radian),
5. φ là kinh độ (radian), và

Minh họa hiệu ứng dịch chuyển tần số do hấp dẫn khi ánh sáng
thoát khỏi bề mặt của thiên thể khối lượng lớn.

6. r là bán kính Schwarzschild của nguồn hấp dẫn,
nó là hệ số tỷ lệ liên hệ với khối lượng M của Ban đầu, bằng giả sử nguyên lý tương đương là thỏa
“nguồn hấp dẫn không có điện tích và không mãn,[55] Einstein đã chứng tỏ trường hấp dẫn ảnh
quay” và r = 2GM/c 2 .[54]

hưởng tới sự trôi đi của thời gian. Khi ánh sáng truyền
vào trường hấp dẫn mạnh thì tần số của nó tăng lên
(hay bước sóng giảm đi-dịch chuyển xanh), trong khi
hay dạng ma trận của mêtric
)
 (
 ánh sáng truyền theo hướng ngược lại-thoát ra khỏi
− 1 − 2GM
0
0
0
trường hấp dẫn thì tần số của nó giảm (hay bước sóng
2
c r
(
)
2GM −1


0
1
−
0
0
.tăng-dịch chuyển đỏ); kết hợp lại, hai hiệu ứng này gọi
c2 r
gµν = 

0
0

r2
0  chung là dịch chuyển tần số do hấp dẫn. Tần số ánh
0
0
0 r2 sin2 θ sáng trong một hệ quy chiếu cục bộ cũng chính là thời
gian đo được trong hệ quy chiếu đó. Do vậy, tổng quát
hơn, một quá trình sẽ diễn ra chậm chạp khi gần thiên
Ta thấy khi hạt thử nằm rất xa nguồn hấp
thể khối lượng lớn so với cùng quá trình đó diễn ra ở
dẫn r → ∞ hoặc khi không có nguồn hấp
một nơi xa hơn; hiệu ứng này gọi là sự giãn thời gian
dẫn M = 0 thì mêtric Schwarzschild gµν trở
do hấp dẫn-hay nói về mặt hình học, thời gian bị cong
thành mêtric Minkowski ηµν sau khi chuyển
do sự có mặt của vật chất.[56]
từ tọa độ cầu sang tọa độ (ct, x, y, z).
Tỷ số r/r là rất nhỏ, đối với Mặt Trời có bán
kính Schwarzschild xấp xỉ 3 km, trong khi
nó có bán kính gần 700.000 km. Tỷ số này sẽ
tương đối lớn đối với lỗ đen và sao neutron.
Ta thấy tại r = r thì mêtric trở lên kỳ dị (còn
gọi là chân trời sự kiện), thực ra đây là kỳ dị
do chúng ta sử dụng hệ tọa độ cầu chứ không
hẳn là kỳ dị thực. Khi lựa chọn hệ tọa độ phù
hợp, kỳ dị này biến mất và chỉ có r = 0 mới là
điểm kỳ dị vật lý.

4

Hệ quả của lý thuyết Einstein

Hiệu ứng dịch chuyển đỏ đã được đo trong phòng thí
nghiệm[57] và ở những quan sát thiên văn.[58] Sự giãn
thời gian trong trường hấp dẫn của Trái Đất cũng được
đo nhiều lần bằng các đồng hồ nguyên tử,[59] và nhờ
hiệu chỉnh sai lệch thời gian do hiệu ứng này cho phép
Hệ thống định vị toàn cầu (GPS) hoạt động chính xác
tới vài mét.[60] Những kiểm nghiệm trong trường hấp
dẫn mạnh thực hiện trên quan sát các pulsar đôi.[61] Tất
cả các kết quả thí nghiệm và quan sát đều phù hợp với
thuyết tương đối tổng quát với sai số nhỏ.[62] Tuy vậy, ở
mức độ chính xác hiện nay, những quan sát này không
thể loại trừ một số lý thuyết thay thế thuyết tương đối
rộng cũng dựa trên nguyên lý tương đương, và một số
lý thuyết thì bị bác bỏ.[63]

uyết tương đối rộng có một số hệ quả vật lý. Một
số xuất hiện trực tiếp từ những tiên đề của lý thuyết, 4.2
trong khi một số khác chỉ trở lên rõ ràng sau hơn 90
năm nghiên cứu kể từ khi Einstein công bố lý thuyết
này.

Ánh sáng bị lệch và sự trễ thời gian do
hấp dẫn


4.3

Sóng hấp dẫn

9
lên hình học của không gian.[70]

4.3 Sóng hấp dẫn

Ánh sáng bị bẻ cong (phát ra từ nguồn điểm màu xanh) gần vật
thể nén đặc (có màu xám)

uyết tương đối tổng quát tiên đoán quỹ đạo của ánh
sáng bị bẻ cong trong trường hấp dẫn; ánh sáng lan
truyền gần vật thể khối lượng lớn bị kéo về phía vật
đó. Hiệu ứng này đã được xác nhận từ các quan sát ánh
sáng phát ra từ những ngôi sao, thiên hà hay quasar ở
xa bị lệch đi khi đi gần Mặt Trời.[64]
Hiệu ứng này và những tiên đoán liên quan là do thực
tế ánh sáng truyền theo đường trắc địa kiểu ánh sáng
hay đường trắc địa không—một đường tổng quát hóa
những đường thẳng mà ánh sáng truyền đi trong vật
lý cổ điển. Những đường trắc địa này cũng là sự tổng
quát hóa tính bất biến của tốc độ ánh sáng trong thuyết
tương đối hẹp.[65] Khi chúng ta khảo sát các mô hình
không thời gian một cách phù hợp (hoặc là phía bên
ngoài bán kính Schwarzschild, hoặc khi có nhiều vật
thể tham gia thì sử dụng phương pháp khai triển hậu
Newton),[66] thì một vài hiệu ứng của hấp dẫn lên sự
lan truyền của ánh sáng xuất hiện. Mặc dầu hiện tượng
lệch ánh sáng có thể suy ra được khi chúng ta xét ánh
sáng truyền trong một hệ quy chiếu đang rơi tự do,[67]
nhưng kết quả tính thu được cho góc lệch chỉ bằng một
nửa giá trị so với kết quả của thuyết tương đối rộng.[68]

Một hiệu ứng có liên hệ gần gũi với ánh sáng bỉ bẻ cong
là hiệu ứng trễ thời gian do hấp dẫn (hay trễ Shapiro),
hiện tượng tín hiệu ánh sáng truyền từ điểm A tới điểm
B sẽ mất thời gian lâu hơn nếu có một trường hấp dẫn
giữa hai điểm đó so với khi không có trường hấp dẫn.
Đã có nhiều thí nghiệm thành công kiểm tra hiệu ứng
này với độ chính xác cao.[69] Trong phương pháp tham
số hóa hậu Newton (PPN), các phép đo bao gồm cả độ
lệch ánh sáng và độ trễ thời gian do hấp dẫn xác định
một tham số γ, chứa sự ảnh hưởng của trường hấp dẫn

Vành các hạt thử bị ảnh hưởng khi có sóng hấp dẫn đi qua.

Có một vài điểm tương tự giữa trường hấp dẫn yếu và
điện từ học đó là, sự tương tự giữa sóng điện từ và sóng
hấp dẫn: những biến đổi nhỏ của mêtric của không
thời gian lan truyền với tốc độ ánh sáng.[71] Hình dung
đơn giản nhất về sóng hấp dẫn có thể thấy là tác dụng
của nó lên vành hạt thử đặt trong vùng sóng truyền
qua. Sóng hình sin lan truyền qua vành hạt theo hướng
vuông góc với mặt phẳng vành làm bóp méo vành theo
kiểu dao động điều hòa (minh họa hình bên phải).[72]
Do phương trình trường Einstein là phi tuyến, sóng hấp
dẫn có cường độ bất kỳ không tuân theo nguyên lý
chồng chập, khiến cho việc miêu tả nó rất khó khăn.
Tuy vậy, đối với trường yếu chúng ta có thể áp dụng
phương pháp xấp xỉ tuyến tính. Những sóng hấp dẫn
được tuyến tính hóa là đủ chính xác để miêu tả các loại
sóng lan truyền đến Trái Đất từ những sự kiện vũ trụ từ
rất xa nếu các máy dò phát hiện ra chúng. Khi đến Trái

Đất, do nguồn sản sinh ra sóng hấp dẫn ở rất xa cho
nên biên độ sóng thu được ở các máy dò được tính toán
vào khoảng cỡ 10−21 hay nhỏ hơn. Các phương pháp
phân tích dữ liệu thu được từ máy dò sử dụng đặc điểm
của sóng hấp dẫn tuyến tính hóa đó là chúng có thể
phân tích thành tổng các chuỗi tuần hoàn, hay chuỗi
Fourier.[73]
Một số nghiệm chính xác miêu tả sóng hấp dẫn mà
không cần đến phương pháp xấp xỉ, như đoàn sóng
truyền qua chân không[74] còn gọi là “vũ trụ Gowdy”,
một loại vũ trụ đang giãn nở chứa đầy sóng hấp dẫn.[75]
Nhưng đối với sóng hấp dẫn sinh ra từ những sự kiện
thiên văn vật lý, như hai lỗ đen quay trên quỹ đạo


10

4

quanh nhau và cuối cùng sáp nhập lại, hoặc các vụ nổ
siêu tân tinh, những sự kiện này chỉ có thể thực hiện
mô phỏng trên siêu máy tính bằng các mô hình phù
hợp.[76]

HỆ QUẢ CỦA LÝ THUYẾT EINSTEIN

điều củng cố cho ông tin rằng cuối cùng ông đã tìm ra
dạng đúng của phương trình trường hấp dẫn.[80]

Hiệu ứng này có thể suy trực tiếp từ nghiệm chính

xác là mêtric Schwarzschild (miêu tả không thời gian
Ngày 11 tháng 2 năm 2016, nhóm Hợp tác Khoa học xung quanh vật thể khối lượng hình cầu)[81] hoặc sử
LIGO và Virgo thông báo đã đo được trực tiếp sóng hấp dụng phương pháp khai triển hậu Newton.[82] Về bản
dẫn phát ra từ cặp lỗ đen khối lượng sao sáp nhập vào chất hiệu ứng dịch chuyển điểm cận nhật là do ảnh
nhau mở ra một lĩnh vực mới đó là thiên văn sóng hấp hưởng của hấp dẫn lên hình học của không gian và sự
dẫn.[77][78][79]
đóng góp của năng lượng tự có (self-energy) của nguồn
hấp dẫn (thể hiện bởi tính phi tuyến của phương trình
trường Einstein).[83] Sự tiến động cận điểm đã được
4.4 Hiệu ứng quỹ đạo và tính tương đối quan sát cho một số hành tinh với độ chính xác cao
(Sao ủy, Sao Kim và Trái Đất),[84] cũng như ở hệ đôi
của phương hướng
pulsar, mà ở đây hiệu ứng thể hiện rõ cỡ vài bậc độ
lớn.[85]
uyết tương đối tổng quát tiên đoán một số kết quả 4.4.2 Giảm chu kỳ quỹ đạo
khác lạ về chuyển động quỹ đạo của vật thể so với cơ
học cổ điển. Nó tiên đoán sự tiến động của điểm cận
nhật của quỹ đạo hành tinh, cũng như sự giảm chu kỳ
quỹ đạo do hệ phát ra sóng hấp dẫn và các hiệu ứng
liên quan đến tính tương đối của phương hướng.
4.4.1

Sự tiến động của điểm cận nhật

Hiện tượng giảm chu kỳ quỹ đạo ở pulsar PSR1913+16: lượng
thời gian giảm tính bằng giây, theo dõi trên ba thập kỷ.[86]

Quỹ đạo Newton (đỏ) và Einstein (xanh) của hành tinh quay
quanh ngôi sao.

Trong thuyết tương đối rộng, cận điểm quỹ đạo (điểm
của quỹ đạo gần nhất với khối tâm của hệ) sẽ tiến
động—hay quỹ đạo không phải là elip, mà gần giống
với elip khi nó quay quanh khối tâm, mà sẽ là đường
cong giống cánh hoa hồng (xem hình bên). Einstein
lần đầu tiên tìm ra được kết quả này khi ông sử dụng
phương pháp xấp xỉ mêtric về giới hạn Newton và coi
hành tinh có khối lượng không đáng kể so với Mặt Trời.
Đối với ông, kết quả tính toán lượng dịch chuyển điểm
cận nhật của Sao ủy bằng với giá trị mà nhà thiên văn
Urbain Le Verrier phát hiện ra vào năm 1859, chính là

eo thuyết tương đối tổng quát, hệ sao đôi sẽ phát ra
sóng hấp dẫn và vì vậy hệ mất năng lượng. Vì sự mất
mát này, khoảng cách quỹ đạo giữa hai vật thể sẽ giảm
dần, và tương ứng là chu kỳ quỹ đạo. Trong hệ Mặt Trời
hoặc ở những hệ sao đôi, hiệu ứng này rất nhỏ và khó
quan sát được. Nhưng đối với hệ pulsar đôi gồm hai sao
neutron quay quanh nhau, trong đó có một hoặc cả hai
là pulsar: những đài thiên văn vô tuyến trên Trái Đất
sẽ nhận được những xung vô tuyến rất đều đặn từ các
pulsar này, chúng được coi là những đồng hồ chính xác
nhất trong tự nhiên, và cho phép việc đo các tham số
quỹ đạo của hệ trở lên rất chính xác. Do sao neutron là
những vật thể nén đặc và quay quanh nhau ở khoảng
cách nhỏ cho nên lượng năng lượng của sóng hấp dẫn
chúng phát ra là đáng kể.[87]


5.2

Thiên văn sóng hấp dẫn

11

Hai nhà thiên văn vô tuyến Hulse và Taylor là những
người đầu tiên ghi nhận sự suy giảm chu kỳ quỹ đạo do
phát ra sóng hấp dẫn từ hệ pulsar PSR1913+16 mà họ
đã phát hiện ra năm 1974. Đây là khám phá gián tiếp
ra sóng hấp dẫn đầu tiên và họ nhận giải Nobel Vật lý
vì khám phá này.[88] Từ đó tới nay, các nhà thiên văn
đã phát hiện ra một vài hệ pulsar đôi khác, đặc biệt hệ
PSR J0737-3039 chứa cả hai pulsar.[89]
4.4.3

Hiệu ứng trắc địa và kéo hệ quy chiếu

Có một số hiệu ứng tương đối tính tổng quát liên quan
trực tiếp đến tính tương đối của phương hướng.[90] Một
hiệu ứng đó là độ lệch trắc địa: trục quay của một con
quay trong không thời gian cong sẽ bị lệch đi trong
quá trình con quay di chuyển trên quỹ đạo khi so sánh
hướng của nó với một vật cố định ở rất xa, như ngôi
sao chẳng hạn—cho dù con quay cố giữ hướng trục
quay của nó cố định một hướng. Hiệu ứng này thể hiện
bằng toán học chính là quá trình “chuyển dịch song
song” của một vectơ trên đường trắc địa trong đa tạp
cong.[91] Đối với hệ Mặt Trăng–Trái Đất, khi coi Mặt
Trăng là một “vectơ", hiệu ứng này đã được đo bằng
cách chiếu tia laser lên một tấm phản quang đặt trên

Mặt Trăng do các nhà du hành vũ trụ để lại khi đổ bộ
lên Mặt Trăng (phương pháp định tầm Mặt Trăng).[92]
Gần đây, hiệu ứng trắc địa đã được đo với độ chính xác
hơn 0,3% từ bốn con quay hồi chuyển siêu dẫn đặt trên
vệ tinh Gravity Probe B quay trên quỹ đạo cực quanh
Trái Đất.[93][94]

Chữ thập Einstein: bốn hình ảnh của cùng một quasar tạo ra bởi
thấu kính hấp dẫn

Sự lệch ánh sáng do hấp dẫn dẫn đến một hiện tượng
thiên văn vật lý mới. Nếu có một thiên thể khối lượng
lớn nằm giữa kính thiên văn và vật thể ở xa thì chúng
ta sẽ thu được nhiều hình ảnh bị méo mó của vật này.
Hiệu ứng này được gọi là thấu kính hấp dẫn.[100] Phụ
thuộc vào khoảng cách, nguồn phát, và sự phân bố khối
lượng của thiên thể thấu kính, chúng ta có thể thu được
nhiều hơn hai ảnh, hay thậm chí là một vành tròn gọi là
vành Einstein, hoặc dạng cung.[101] Các nhà thiên văn
lần đầu tiên phát hiện ra thấu kính hấp dẫn vào năm
1979;[102] Kể từ đó tới nay, hàng trăm thấu kính hấp dẫn
đã được phát hiện và nghiên cứu.[103] Ngay cả khi nhiều
Trường hấp dẫn gần một thiên thể quay quanh trục của hình ảnh của cùng vật thể hiện ra quá gần nhau trong
nó có tính động lực cao, hiệu ứng này gọi là hấp dẫn từ bức ảnh chụp, các nhà khoa học vẫn đo được hiệu ứng
hay hiệu ứng kéo hệ quy chiếu. Một quan sát viên ở vị này, ví dụ, do đối tượng mục tiêu quá sáng; hiệu ứng
trí xa sẽ nhận thấy vật thử ở gần thiên thể quay bị “kéo "vi thấu kính hấp dẫn" đã được quan sát thấy.[104]
theo” chiều quay của thiên thể đó. Hiện ứng này thể
hiện rất rõ ở vùng không thời gian quanh lỗ đen quay, ấu kính hấp dẫn trở thành một công cụ quan trọng
vùng này được miêu tả bằng mêtric Kerr. Khi ta một vật trong thiên văn quan sát. Các nhà vũ trụ học sử dụng
đặt vào “vùng sản công” của lỗ đen, việc nó bị kéo theo nó để phát hiện và ước tính sự phân bố của vật chất tối,

chiều quay của lỗ đen là không thể tránh khỏi.[95] Sử họ sử dụng “thấu kính tự nhiên” để quan sát các thiên
dụng hướng của các con quay hồi chuyển trên đường hà ở xa và có được phương pháp độc lập nhằm ước tính
trắc địa ta cũng thực hiện được kiểm nghiệm hiệu ứng hằng số Hubble. Nhờ phân tích, đánh giá thống kê từ dữ
quan
này.[96] Có một số thử nghiệm gây tranh cãi khi các liệu các thấu kính đã cung cấp những manh mối [105]
thiên
hà.
trọng
trong
sự
tiến
hóa
cấu
trúc
của
các
nhà vật lý sử dụng vệ tinh LAGEOS để kiểm nghiệm
xác nhận hiệu ứng này.[97] Tàu thăm dò Mars Global
Surveyor thám hiểm Sao Hỏa cũng đã được sử dụng để 5.2 Thiên văn sóng hấp dẫn
kiểm tra hiệu ứng này.[98][99] Kết quả thí nghiệm từ tàu
Gravity Probe B cũng xác nhận hiệu ứng này với độ
chính xác khoảng 15%.[94]

5
5.1

Các ứng dụng thiên văn vật lý
Thấu kính hấp dẫn

Bằng quan sát các hệ pulsar đôi đã cung cấp những

kết quả gián tiếp khẳng định sự tồn tại của sóng hấp
dẫn (xem phần Giảm chu kỳ quỹ đạo ở trên). Sóng hấp
dẫn phát ra từ những nguồn xa xôi trong vũ trụ đã
được quan sát trực tiếp (như các sự kiện GW150914 và
GW151226), và là mục tiêu chính của các dự án nghiên
cứu liên quan đến thuyết tương đối hiện nay.[77][78][106]


12

Minh họa sóng hấp dẫn phát ra từ hệ pulsar PSR J0348+0432
và sao lùn trắng đồng hành.

Vài trạm quan sát thăm dò sóng hấp dẫn đang hoạt
động trên mặt đất, nổi bật là các máy dò sóng hấp
dẫn sử dụng giao thoa kế laser như GEO 600, LIGO,
TAMA 300 và VIRGO.[107] Nhiều kính thiên văn vô
tuyến quan sát sự biến đổi nhỏ trong chu kỳ quay của
các pulsar mili giây nhằm phát hiện sóng hấp dẫn ở
dải tần số 10−9 đến 10−6 Hertz phát ra từ sự kiện sáp
nhập hai lỗ đen.[108] Đài quan sát châu Âu trên không
gian, eLISA/NGO, hiện tại đang được phát triển,[109]
với phi vụ thử nghiệm tiên phong (LISA Pathfinder)
được phóng lên vào năm 2015,[110] và đã thu được
kết quả thí nghiệm vượt mong đợi của các nhà khoa
học.[111][112][113]

5

CÁC ỨNG DỤNG THIÊN VĂN VẬT LÝ

Mô phỏng dựa trên các phương trình của thuyết tương đối tổng
quát: một ngôi sao suy sụp hình thành lên lỗ đen và phát ra sóng
hấp dẫn.

Về mặt thiên văn vật lý, tính chất quan trọng nhất của
các thiên thể nén đặc là chúng cung cấp một cơ chế
hiệu quả rất cao cho sự biến đổi năng lượng hấp dẫn
thành bức xạ điện từ.[119] á trình bồi tụ, vật chất khí
hay bụi bị thu hút về các lỗ đen, là nguyên nhân phát
sáng rất mạnh của một số thiên thể, điển hình là nhân
các thiên hà hoạt động trên quy mô thiên hà hoặc các
vi quasar ở những thiên thể cấp độ sao.[120] Đặc biệt,
sự bồi tụ cũng dẫn đến hình thành chùm tia tương đối
tính, chùm hạt và bức xạ năng lượng cao với các hạt bị
bắn ra với vận tốc gần bằng tốc độ ánh sáng.[121] uyết
tương đối tổng quát đóng một vai trò quan trọng cho
mô hình hóa tất cả những hiện tượng này,[122] và nhiều
an sát sóng hấp dẫn cũng hứa hẹn bổ sung cho dữ quan sát đã cung cấp những bằng chứng thực nghiệm
liệu quan sát từ sóng điện từ.[114] Chúng cho phép các cho sự tồn tại của lỗ đen với tính chất phù hợp với tiên
nhà vật lý thu được thông tin về các lỗ đen và những đoán của lý thuyết.[123]
thiên thể nén đặc khác như sao neutron và sao lùn
trắng, về sự kiện phát nổ siêu tân tinh, và giai đoạn hình Lỗ đen cũng là mục tiêu mong muốn tìm kiếm trong
thành còn sơ khai của vũ trụ, bao gồm dấu hiệu của loại nghiên cứu sóng hấp dẫn (xem phần sóng hấp dẫn ở
trên). á trình sáp nhập các hệ lỗ đen đôi sẽ phát
“dây vũ trụ" được các nhà lý thuyết dự đoán.[115]
ra sóng hấp dẫn với tín hiệu rất mạnh khi đến được
máy dò trên Trái Đất, và sóng hấp dẫn phát ra ở giai
đoạn trước khi hai lỗ đen trộn thành một có thể coi là
5.3 Lỗ đen và các thiên thể nén đặc

“ngọn nến chuẩn” nhằm đo khoảng cách đến hệ lỗ đen
và cung cấp phương pháp độc lập cho nghiên cứu sự
giãn nở của vũ trụ ở khoảng cách lớn.[124] Sóng hấp dẫn
phát ra từ sự kiện lỗ đen khối lượng sao bị hút vào lỗ
Bất cứ khi nào tỉ số giữa khối lượng của vật và bán đen siêu khối lượng mang lại cho các nhà vật lý thông
kính của nó trở lên đủ lớn vượt qua một giới hạn, các tin về hình học của lỗ đen lớn hơn.[125]
nhà lý thuyết tiên đoán sẽ hình thành một lỗ đen, vùng
của không thời gian mà không một thứ gì, kể cả ánh
sáng có thể thoát ra được. Trong những mô hình được 5.4 Vũ trụ học
chấp nhận hiện nay về quá trình tiến hóa sao, các sao
neutron với khối lượng xấp xỉ 1,4 lần khối lượng Mặt
Trời, và các lỗ đen có khối lượng từ vài lần đến vài chục
lần khối lượng Mặt Trời được cho là trạng thái cuối Mô hình chuẩn về vũ trụ học hiện nay dựa trên phương
cùng trong quá trình tiến hóa của các ngôi sao có khối trình trường Einstein có chứa hằng số vũ trụ học Λ, do
lượng lớn.[116] Tại tâm của các thiên hà thường có lỗ nó có ảnh hưởng quan trọng đến động lực trên quy mô
đen siêu khối lượng với khối lượng từ vài triệu tới một lớn của vũ trụ,
chục tỷ lần khối lượng Mặt Trời,[117] và sự có mặt của
nó được cho là có vai trò quan trọng trong quá trình
hình thành thiên hà cũng như các cấu trúc ở cấp độ lớn
1
Rµν − R gµν + Λ gµν = κ Tµν
hơn.[118]
2


5.4

Vũ trụ học

13

đồng nhất và đẳng hướng, nó không nhất thiết suy ra
từ phương trình Einstein, phương trình này cần thiết để
tính ra hệ số a(t)) gắn với dạng phân bố của vật chất.[129]
eo Nguyên lý vũ trụ học hàm ý tenxơ mật độ năng
lượng-động lượng của vật chất và bức xạ trong vũ trụ
có dạng giống với tenxơ mật độ năng lượng-động lượng
của chất lỏng tương đối tính lý tưởng có mật độ ρ(t) và
áp suất p(t) (cả hai có thể biến đổi theo thời gian) và
tenxơ mật độ năng lượng-động lượng có dạng
(
p)
T µν = ρ + 2 uµ uν + pg µν
c

Cung vành móng ngựa màu xanh là hình ảnh của một thiên hà
ở xa đã được phóng đại và uốn cong thành gần một vành bởi
trường hấp dẫn mạnh của thiên hà đỏ ở giữa.

với uµ là bốn vận tốc của vật chất, và g µν là thành
phần của ma trận nghịch đảo của ma trận có thành
phần gµν . Tiếp theo, sử dụng mêtric chúng ta tính ra
được hệ số Christoffel và tenxơ Ricci, vô hướng Ricci.
Cùng với tenxơ mật độ năng lượng-động lượng thay
vào phương trình trường Einstein chúng ta thu được
hai phương trình Friedmann độc lập sau khi sắp xếp lại
các số hạng[129]
( )2
a˙
8πG
kc2

Λc2
=
ρ− 2 +
a
3
a
3
(
)
a
¨
4πG
3p
Λc2
=−
ρ+ 2 +
a
3
c
3

H2 =

với a chấm có nghĩa là đạo hàm theo thời gian của a và
H là tốc độ giãn nở của Vũ trụ gọi là tham số Hubble
hay hằng số Hubble (giá trị hiện tại của nó là H0 , và
Mô hình vụ nổ lớn, sự giãn nở đang tăng tốc của vũ trụ.
a˙ = H0 a hay có dạng tương tự v = H0 d như thường
viết ở định luật Hubble). Từ hai phương trình ta thấy
H phụ thuộc vào cả mật độ năng lượng, độ cong của

với gµν là tenxơ mêtric.[126] Dựa trên Nguyên lý vũ
không thời gian cũng như hằng số Λ . Nếu hằng số vũ
trụ học, vũ trụ là đồng nhất và đẳng hướng trên quy
trụ học lấn át mật độ năng lượng, bức xạ của vật chất
mô lớn, các nhà vật lý tìm ra được mêtric Friedmann–
(cả vật chất tối và vật chất thường) trong vũ trụ thì ở
Lemaître–Robertson–Walker (mêtric FLRW) là nghiệm
phương trình Friedmann thứ hai có vế trái lớn hơn 0 và
chính xác của phương trình Einstein mô tả vũ trụ đang
a
¨/a > 0 dẫn đến sự giãn nở của vũ trụ tăng tốc. Ngoài
nở ra hay co lại,[127] cho phép mô tả sự tiến hóa của vũ
hai phương trình trên chúng ta còn có thêm phương
trụ từ xấp xỉ 13,8 tỷ năm về trước, khởi nguyên từ Vụ
trình của định luật bảo toàn ∇ν T µν = 0
nổ lớn.[128] Mêtric FLRW là:[129]
Phương trình Friedmann có thể giải chính xác khi giả
(
)sử thêm phương trình trạng thái của chất lỏng lý tưởng
2
dr
ds2 = −c2 dt2 +a(t)2
+ r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2
1 − kr2
p = wρc2 ,
với a(t) là hệ số tỷ lệ chỉ phụ thuộc thời gian, hằng
số k phụ thuộc vào độ cong của không thời gian và với p là áp suất, ρ là mật độ của chất lỏng trong hệ tọa
được chuẩn hóa thành −1, 0, 1 tương ứng với mô hình độ đồng chuyển động vàw là hằng số.
vũ trụ mở, phẳng hay đóng. Các biến r, θ, ϕ là các tọa Trong trường hợp vũ trụ phẳng (k = 0) và khi Λ=0,
độ đồng chuyển động, mà mỗi thiên hà có giá trị cố nghiệm cho hệ số tỷ lệ là

định riêng. Khoảng cách vũ trụ học vật lý (khoảng cách
thực) đối với hai thiên hà cách nhau một khoảng r và
2
ở thời gian t cho trước (trong mô hình vũ trụ phẳng a(t) = a t 3(w+1)
0
k = 0) là a(t)r, mà tăng dần theo thời gian đối với vũ
trụ đang giãn nở. Để xác định được hệ số a(t), chúng ta vớia0 là hằng số tích phân tuân theo lựa chọn điều kiện
phải giải phương trình Einstein với mêtric FLRW (thực đầu. Họ nghiệm cho tham sốw là rất quan trọng trong
chất mêtric là dạng tổng quát đối với vũ trụ có tính mô hình vũ trụ học.


14

6 CÁC KHÁI NIỆM MỞ RỘNG
vật lý phát triển một lý thuyết hoàn thiện về hấp dẫn
lượng tử, mà vẫn chưa có được[143] (xem phần Hấp dẫn
lượng tử bên dưới).

6 Các khái niệm mở rộng

Ảnh khảo sát chứa khoảng 1,5 triệu thiên hà với dịch chuyển đỏ
0 < z < 0,1)

Khi các tham số (như mật độ trung bình của vật chất, áp
suất bức xạ…) được đo từ các dự án khảo sát vũ trụ,[130]
và phối hợp với các dữ liệu khác nhằm kiểm tra các hệ
quả mà mô hình chuẩn vũ trụ học tiên đoán.[131] Các
hệ quả tiên đoán, hầu hết phù hợp với dữ liệu quan sát,
bao gồm lượng nguyên tố hóa học hình thành trong
giai đoạn tổng hợp hạt nhân nguyên thủy của vũ trụ

sơ khai từ Vụ nổ lớn,[132] cấu trúc lớn của vũ trụ,[133]
cũng như sự tồn tại và tính chất của “tiếng vọng nhiệt"
từ thời điểm khởi nguyên của vũ trụ, bức xạ phông vi
sóng vũ trụ.[134]
Các dự án khảo sát tốc độ giãn nở của vũ trụ cho phép
các nhà vật lý ước tính được tổng lượng vật chất trong
vũ trụ, mặc dù bản chất của một số loại vẫn còn là bí ẩn.
Khoảng 90% lượng vật chất là vật chất tối, mà có tương
tác hấp dẫn, nhưng lại không tham gia vào tương tác
điện từ, và do vậy không thể quan sát trực tiếp được.[135]
Chưa có một lý thuyết nào miêu tả dạng vật chất mới
này, mà phù hợp với khuôn khổ của Mô hình chuẩn
trong vật lý hạt[136] hoặc phải đề xuất lý thuyết sửa đổi
mô hình hấp dẫn.[137] Dữ liệu thu được từ các dự án
khảo sát dịch chuyển đỏ từ các vụ nổ siêu tân tinh từ
xa và đo lường từ bức xạ nền vi sóng cũng chỉ ra quá
trình tiến hóa của vũ trụ bị ảnh hưởng lớn bởi hằng số
vũ trụ học gây ra sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ (miêu tả
khái quát ở trên), hay tương đương, bởi một dạng năng
lượng kỳ lạ kết hợp trong phương trình trạng thái, gọi
là năng lượng tối, mà bản chất của nó vẫn chưa biết
được.[138]
Có một giai đoạn xảy ra rất nhanh từ vụ nổ lớn đó là pha
lạm phát,[139] một giai đoạn giãn nở gia tốc cực nhanh
của vũ trụ trong khoảng thời gian cực ngắn 10−33 giây.
Nó được nêu ra từ năm 1980 với mục đích giải thích một
số kết quả quan sát không là hệ quả của mô hình vũ trụ
học cổ điển, như sự đồng nhất gần như hoàn hảo của
bức xạ nền vũ trụ.[140] Những khảo sát gần đây về bức
xạ nền vi sóng vũ trụ cho kết quả về chứng cứ đầu tiên

của kịch bản này.[141] Tuy thế, có nhiều kịch bản lạm
phát khác nhau mà hiện tại chưa thể nói kịch bản nào
là phù hợp nhất nếu rút ra từ dữ liệu thực nghiệm.[142]
Một câu hỏi lớn hơn nữa trong vật lý của vũ trụ sơ khai,
trước cả giai đoạn lạm phát và gần với mô hình vũ trụ
học tiên đoán tồn tại kỳ dị của Vụ nổ lớn. Câu trả lời
cho trạng thái của giai đoạn sơ khai này đòi hỏi các nhà

6.1 Cấu trúc nhân quả và hình học toàn
cục

Timelike
Infinity

Distant
Future

Distant
Spacetime

Photon
Ray

Lightlike
Infinity

Distant
Spacetime

Spacelike

Infinity

Distant
Past

time
space

Biểu đồ Penrose–Carter cho phép thể hiện vũ trụ Minkowski rộng
vô hạn trên biểu đồ giới hạn.

Trong thuyết tương đối rộng, không vật nào có vận
tốc bằng hoặc vượt tốc độ ánh sáng. Không có sự ảnh
hưởng nào từ sự kiện A có thể đến vị trí X trước khi
ánh sáng gửi từ A đến X (xem thêm phần Chuyển sang
tương đối tính ở trên). Hệ quả của nó là bằng cách sử
dụng mọi tuyến thế giới của ánh sáng (light worldlinehay đường trắc địa không) chúng ta sẽ thu được thông
tin về cấu trúc nhân quả của không thời gian. Cấu trúc
này được thể hiện bằng biểu đồ Penrose–Carter trong
đó những vùng không gian lớn vô hạn và khoảng thời
gian lớn vô hạn được co lại một cách compact hóa để
vừa với một biểu đồ nhỏ, trong khi vẫn cho phép ánh
sáng chuyển động trên đường nghiêng 45° hoặc 135°
như trong các biểu đồ Minkowski.[144]
Nhận thức được vai trò quan trọng của cấu trúc nhân
quả, nhà toán học Roger Penrose và những người khác
đã phát triển ra hình học toàn cục. Trong hình học này,
đối tượng nghiên cứu không phải là một nghiệm đặc
biệt (hoặc họ nghiệm) của phương trình Einstein, mà
là những liên hệ thỏa mãn cho mọi đường trắc địa, ví

dụ như phương trình Raychaudhuri, cũng như những
giả thiết không cụ thể về bản chất của vật chất (như
được miêu tả thành các điều kiện năng lượng) và sử
dụng để suy ra các kết quả tổng quát.[145]


6.3

6.2

Kỳ dị

15

Chân trời

điểm khác phân biệt giống như các kiểu tóc ở người.
Nó không phụ thuộc vào sự phức tạp về cấu trúc cũng
như thành phần, trạng thái của thiên thể trước khi suy
sụp hấp dẫn hình thành lên lỗ đen, lỗ đen sinh ra (sau
Sử dụng hình học toàn cục, người ta chứng minh khi quá trình suy sụp phát ra sóng hấp dẫn) có những
được một số không thời gian chứa những mặt biên đặc điểm rất đơn giản.[148]
gọi là chân trời (hay chân trời sự kiện), mặt phân Đáng chú ý hơn nữa, có một bộ các định luật gọi là cơ
chia một vùng tách khỏi phần còn lại của không thời học lỗ đen, tương tự như các định luật nhiệt động lực
gian. Ví dụ hay gặp nhất đó là các lỗ đen: nếu khối học. Ví dụ, định luật hai của cơ học lỗ đen, diện tích của
lượng bị nén vào một vùng không gian đủ nhỏ (như chân trời sự kiện của lỗ đen tổng quát sẽ không bao giờ
được nêu trong phỏng đoán vòng-hoop conjecture), giảm theo thời gian, tương tự như entropy của hệ nhiệt
với bán kính Schwarzschild tương ứng trong nghiệm động lực học. Định luật này giới hạn năng lượng mà
Schwarzschild[146] ), và ánh sáng không thể thoát từ bên chúng ta có thể thu được theo nghĩa cổ điển từ một lỗ
trong ra ngoài. Do không có vật nào vượt qua được ánh đen quay (ví dụ theo tiến trình Penrose).[149] Có chứng

sáng, mọi vật chất rơi vào trong đều bị giam giữ lại. Tuy cứ mạnh cho rằng các định luật của cơ học lỗ đen thực
mọi vật không thể thoát ra ngoài nhưng việc vượt qua tế chỉ là tập con của các định luật nhiệt động lực học,
chân trời sự kiện đi vào bên trong lỗ đen là có thể, và và diện tích chân trời sự kiện tỷ lệ với entropy của
chân trời của lỗ đen chỉ là kỳ dị toán học chứ không nó.[150] Kết quả này dẫn đến sự sửa đổi các định luật cơ
phải là kỳ dị vật lý thực (cũng xem phần Cơ sở cho mô học lỗ đen ban đầu: như định luật thứ hai sẽ trở thành
hình vật lý ở trên).[147]
một phần của định luật thứ hai trong nhiệt động lực
học, diện tích chân trời lỗ đen không thể giảm—trong
khoảng thời gian những quá trình khác đảm bảo rằng,
trên toàn thể entropy luôn tăng. Khi xét trên phương
diện là một vật trong cân bằng nhiệt động với nhiệt độ
khác không, lỗ đen sẽ phát ra bức xạ nhiệt. Những tính
toán bán cổ điển cho thấy kết quả đúng như vậy, với
bề mặt hấp dẫn đóng vai trò là nhiệt độ trong định luật
Planck. Bức xạ này gọi là bức xạ Hawking (xem phần
lý thuyết lượng tử bên dưới).[151]
Ngoài chân trời sự kiện ở các lỗ đen còn có những loại
chân trời khác. Trong mô hình vũ trụ đang giãn nở,
một quan sát viên sẽ thấy rằng một số vùng không thời
gian trong quá khứ không bao giờ quan sát được (“chân
trời hạt”), và một số vùng trong tương lai không bao
giờ bị ảnh hưởng (chân trời vũ trụ học).[152] Ngay cả
trong không thời gian Minkowski phẳng, được miêu tả
bằng một quan sát viên đang chuyển động gia tốc đều
(không gian Rindler), sẽ có chân trời xuất hiện kết hợp
với dạng bức xạ bán cổ điển gọi là “hiệu ứng Unruh”.[153]
Mặt cầu sản công của lỗ đen quay, dựa vào tính chất mặt cầu
sản công mà về lý thuyết có thể lấy được năng lượng từ một lỗ
đen quay.

6.3 Kỳ dị

Những nghiên cứu ban đầu về các nghiệm chính xác
của phương trình trường Einstein, nổi bật là nghiệm
Schwarzschild đối xứng cầu (thường dùng để miêu tả
lỗ đen dừng (đứng yên) và không quay) và nghiệm Kerr
đối xứng trục (dùng để miêu tả lỗ đen dừng, quay quanh
trục của nó, lỗ đen này có thêm những đặc trưng mới
như mặt cầu sản công-ergosphere). Bằng sử dụng hình
học toàn cục, các nhà vật lý sau đó đã phát hiện thêm
những tính chất tổng quát của lỗ đen. Đó là miêu tả
bằng vật lý các lỗ đen chỉ đơn giản cần mười một tham
số xác định bao gồm năng lượng (1 tham số), động
lượng (3), mômen động lượng (3), vị trí của nó tại thời
gian cụ thể (3) và điện tích (1) lỗ đen. Đây chính là phát
biểu của định lý về đặc trưng duy nhất của lỗ đen: “các
lỗ đen không có tóc”, nghĩa là nó không có những đặc

Một đặc trưng tổng quát khác—và khá nhiễu loạn—
của thuyết tương đối tổng quát đó là sự xuất hiện của
những kỳ dị không thời gian. Chúng ta có thể miêu
tả cấu trúc không thời gian bằng sử dụng các đường
trắc địa kiểu thời gian cũng như các đường truyền tia
sáng— mọi con đường khả dĩ mà ánh sáng hay vật
chất có thể di chuyển được. Nhưng một số nghiệm của
phương trình trường Einstein có những “mỏm sắc”—
những vùng gọi là kỳ dị không thời gian, nơi đường trắc
địa của ánh sáng và hạt kết thúc đột ngột, và hình học
của không thời gian không còn được xác định. Trong
trường hợp thú vị hơn, có những “kỳ dị độ cong”, nơi

các đại lượng đặc trưng bởi độ cong không thời gian,


16

7 MỐI QUAN HỆ VỚI THUYẾT LƯỢNG TỬ

như độ cong vô hướng Ricci hoặc bình phương độ cong
Riemann, nhận giá trị vô hạn.[154] Những ví dụ thường
gặp về không thời gian với kỳ dị tương lai—nơi tuyến
thế giới kết thúc (worldline)—là nghiệm Schwarzschild,
miêu tả điểm kỳ dị bên trong lỗ đen dừng không quay
(xem Cơ sở cho mô hình vật lý ở trên),[155] hoặc nghiệm
Kerr miêu tả vòng kỳ dị bên trong một lỗ đen dừng quay
quanh trục của nó.[156] Nghiệm Friedmann–Lemaître–
Robertson–Walker và những không thời gian khác
miêu tả vũ trụ có điểm kỳ dị quá khứ nơi các tuyến
thế giới bắt đầu, hay ở kỳ dị của Vụ Nổ Lớn, cũng
như chúng có những điểm kỳ dị tương lai (như Vụ co
lớn).[157]
Những nghiệm miêu tả ở trên có một số đặc điểm đối
xứng—và do vậy đã được đơn giản hóa—và biết đâu sự
xuất hiện của những kỳ dị này chỉ là sự lý tưởng hóa
nhân tạo (do giả sử tính đối xứng và chọn hệ tọa độxem mục Chân trời ở trên).[158] Tuy nhiên theo định lý
điểm kỳ dị, chứng minh bằng phương pháp của hình
học toàn cục, nói rằng: các điểm kỳ dị là những đặc
điểm chung nội tại của thuyết tương đối tổng quát, và
sự suy sụp hấp dẫn của ngôi sao thực với khối lượng
đủ lớn trở thành lỗ đen không tránh khỏi xuất hiện
điểm kỳ dị này[159] cũng như tồn tại điểm kỳ dị ở sự

khởi đầu của những mô hình vũ trụ đang giãn nở.[160]
Tuy vậy, định lý này nói rất ít về đặc điểm của các kỳ
dị, và hiện nay đang có những nỗ lực nghiên cứu nhằm
phân loại cấu trúc những thực thể này (như phỏng đoán
BKL).[161] “Phỏng đoán sự kiểm duyệt vũ trụ" phát biểu
rằng mọi kỳ dị tương lai thực (cấu hình vật chất không
có đối xứng hoàn hảo, cũng như các đặc tính thực khác)
bị ẩn giấu an toàn bên dưới chân trời sự kiện, và do vậy
quan sát viên ở xa sẽ không nhìn thấy được. Tuy chưa
có chứng minh chặt chẽ bằng toán học, các mô phỏng
máy tính đều ủng hộ kết quả của phỏng đoán này.[162]

6.4

Phương trình tiến hóa

Mỗi nghiệm của phương trình Einstein chứa toàn bộ
lịch sử của một không thời gian mà nó miêu tả — nó
không chỉ chụp lại vật thể hoạt động như thế nào mà
còn là toàn bộ không thời gian có thể chứa vật chất.
Nghiệm miêu tả trạng thái của vật chất và hình học
khắp nơi và tại mỗi thời điểm trong không thời gian.
Do tuân theo nguyên lý hiệp biến tổng quát (tính bất
biến của phương trình các định luật vật lý dưới mọi
phép biến đổi hệ tọa độ), lý thuyết của Einstein không
đủ để xác định phương trình tiến hóa theo thời gian
của tenxơ mêtric. Nó phải kết hợp với các điều kiện tọa
độ, tương tự như phép trộn chuẩn (gauge fixing) trong
những lý thuyết trường khác.[163]
Để hiểu phương trình trường Einstein như là hệ

phương trình vi phân riêng phần, sẽ thuận lợi khi
chúng ta thiết lập chúng theo cách miêu tả sự tiến hóa
của cấu trúc hình học theo thời gian. Điều này được
thực hiện trong hình thức “3+1”, với không thời gian
tách ra thành 3 chiều không gian và 1 chiều thời gian.

Ví dụ như hình thức luận ADM.[164] Cách phân tách
này cho thấy các phương trình tiến hóa của không thời
gian trong thuyết tương đối rộng hoạt động trơn tru:
phương trình luôn luôn tồn tại nghiệm xác định duy
nhất, và phù hợp với điều kiện ban đầu định trước.[165]
Những hình thức luận phân tách phương trình Einstein
là cơ sở cho ngành mô phỏng không thời gian trong
thuyết tương đối trên siêu máy tính.[166]

6.5 Các đại lượng toàn cục và giả cục bộ

Khái niệm phương trình tiến hóa có liên hệ mật thiết
với những khía cạnh khác của vật lý tương đối tính tổng
quát. Trong lý thuyết Einstein, chúng ta không thể có
được một định nghĩa chung cho một thuộc tính có vẻ
đơn giản của một hệ như tổng khối lượng (hay năng
lượng). Lý do chính đó là trường hấp dẫn—như những
trường vật lý khác— phải được gán cho một lượng năng
lượng xác định, nhưng các nhà vật lý đã chứng minh
rằng về cơ bản chúng ta không thể cục bộ hóa (hay
định xứ) năng lượng hấp dẫn (tức là không xác định cụ
thể được năng lượng hấp dẫn ở phạm vi cục bộ).[167]
Mặc dù vậy, chúng ta vẫn có thể xác định tổng khối
lượng của hệ (khối lượng toàn cục), hoặc sử dụng kỹ

thuật “quan sát viên ở xa vô tận” (khối lượng ADM)[168]
hoặc các đối xứng phù hợp (khối lượng Komar).[169]
Nếu chúng ta trừ vào tổng khối lượng của hệ bởi năng
lượng do sóng hấp dẫn mang ra xa vô tận, kết quả thu
được gọi là khối lượng Bondi đối với quan sát viên ở
xa vô tận.[170] Cũng giống như trong vật lý cổ điển, các
nhà vật lý đã chứng minh được những khối lượng này
phải dương.[171] Và cũng có tương ứng định nghĩa khối
lượng (năng lượng) toàn cục với việc định nghĩa động
lượng và mômen động lượng trên toàn cục.[172] Cũng đã
có những cố gắng cho việc định nghĩa những đại lượng
giả cục bộ, như khối lượng của một hệ cô lập bằng cách
chỉ sử dụng những đại lượng được xác định bên trong
phạm vi của không thời gian chứa hệ đó. Mục đích của
việc này là nhằm thu được những đại lượng giả cục
bộ có ích trong việc miêu tả hệ cô lập, như việc phát
biểu chính xác bằng toán học phỏng đoán vòng (hoop
conjecture).[173]

7 Mối quan hệ với thuyết lượng tử
uyết tương đối tổng quát là một trong hai trụ cột của
vật lý hiện đại, trụ cột kia chính là thuyết lượng tử, cơ
sở cho hiểu biết của chúng ta về vật chất từ các hạt cơ
bản đến vật lý trạng thái rắn.[174] Tuy nhiên, câu hỏi
mở về mối liên hệ giữa hai lý thuyết vẫn là bài toán
khó của vật lý hiện đại.


7.2

7.1

Hấp dẫn lượng tử

17

Lý thuyết trường lượng tử trong
không thời gian cong

Lý thuyết trường lượng tử thông thường, cơ sở của vật
lý hạt cơ bản, được xác định trong không thời gian
Minkowski phẳng; lý thuyết này miêu tả hành trạng
của các hạt vi mô trong trường hấp dẫn rất yếu và coi
như bỏ qua giống như thường gặp trên Trái Đất.[175]
Để miêu tả những lúc hấp dẫn trở lên đủ mạnh để ảnh
hưởng tới vật chất lượng tử, nhưng chưa đủ mạnh để
cần thiết phải lượng tử hóa hấp dẫn, các nhà vật lý phải
thiết lập lý thuyết trường lượng tử trong không thời
gian cong. Những lý thuyết này dựa trên thuyết tương
rộng miêu tả bối cảnh không thời gian cong, trên đó xác
định một trường lượng tử nhằm miêu tả hành trạng của
vật chất lượng tử trong không thời gian đó.[176] Sử dụng
lý thuyết này, Hawking và các nhà vật lý chứng minh
được lỗ đen phát ra dạng phổ bức xạ vật đen các hạt Minh họa hình chiếu của đa tạp Calabi–Yau, một trong những
lượng tử gọi là bức xạ Hawking, dẫn đến hệ quả của sự cách compact hóa những chiều ngoại lai được mô tả bởi lý thuyết
bốc hơi lỗ đen trong thời gian dài.[177] Như đã miêu tả dây.
ngắn ở trên, bức xạ này đóng vai trò quan trọng trong
nhiệt động lực học lỗ đen.[178]

7.2

Hấp dẫn lượng tử

2

1

2

3

Khi các nhà vật lý cố gắng tổng quát hóa những lý
thuyết trường lượng tử thông thường, và sử dụng vật
lý hạt cơ bản để miêu tả các tương tác cơ bản cũng như
gộp cả tương tác hấp dẫn vào đã dẫn đến những vấn
đề nghiêm trọng. Ở mức năng lượng thấp, cách tiếp
cận này đã thành công, với kết quả là lý thuyết trường
hữu hiệu (lượng tử) về hấp dẫn được mọi người chấp
nhận.[182] Tuy nhiên đối với mức năng lượng cao, kết
quả của mô hình mất đi tính tiên đoán của nó (“không
tái chuẩn hóa được”).[183]

1
2

4

2
Sự đòi hỏi cho tính nhất quán giữa cách miêu tả lượng
tử về vật chất và miêu tả hình học cấu trúc không thời

gian,[179] cũng như sự xuất hiện của kỳ dị không thời
gian (nơi độ cong hình học ở thang vi mô), ám chỉ cần
thiết có một lý thuyết đầy đủ về hấp dẫn lượng tử: để
miêu tả đặc điểm gần kỳ dị bên trong lỗ đen, và ở thời
điểm sơ khai của vũ trụ, lý thuyết đòi hỏi hấp dẫn và
cấu trúc không thời gian đi kèm được miêu tả bằng
ngôn ngữ của vật lý lượng tử.[180] Cho dù đã có những
nỗ lực lớn, chưa một lý thuyết hoàn chỉnh và nhất quán
nào về hấp dẫn lượng tử hiện nay được công nhận rộng
rãi, ngay cả khi hứa hẹn một số ứng cử viên đầy sáng
giá.[181]

1
2

2
1

3

3

2

1

1

4
4

1

4

1
2

3

2

2

1
Mạng lưới spin đơn giản sử dụng trong hấp dẫn lượng tử vòng.

những viên gạch cơ bản, mà thay vào đó là những dây
dao động rất nhỏ và có một chiều.[184] Lý thuyết này
hứa hẹn một cách miêu tả thống nhất cho mọi hạt và
các tương tác, bao gồm cả hấp dẫn;[185] nhưng cái giá
phải trả là những đặc điểm kì lạ trong lý thuyết dây như
Một lý thuyết nhằm vượt qua những trở ngại này là lý không gian có thêm 6 chiều phụ thêm ngoài 3 chiều đã
thuyết dây,lý thuyết lượng tử không coi các hạt điểm là có.[186] Trong giai đoạn mà các nhà lý thuyết dây gọi


18

10
Hanford, Washington (H1)

Livingston, Louisiana (L1)

1.0
0.5
0.0

Strain (10

-21

)

-0.5
-1.0

H1 observed

L1 observed
H1 observed (shifted, inverted)

Numerical relativity
Reconstructed (wavelet)
Reconstructed (template)

Numerical relativity
Reconstructed (wavelet)
Reconstructed (template)

Residual

Residual

1.0
0.5
0.0
-1.0
0.5
0.0
-0.5

Normalized amplitude

-0.5

Frequency (Hz)

là “cuộc cách mạng siêu dây lần hai”, người ta đã nêu
ra phỏng đoán sự kết hợp lý thuyết dây và sự thống
nhất với thuyết tương đối tổng quát và siêu đối xứng
thành một lý thuyết gọi là siêu hấp dẫn[187] tạo nên một
phần của mô hình giả thuyết với 10 chiều không gian
và 1 chiều thời gian gọi là thuyết M, một lý thuyết xác
định duy nhất và nhất quán về hấp dẫn lượng tử. Tất
cả các lý thuyết này đều chưa được thực nghiệm kiểm
chứng.[188]

CHÚ THÍCH

512

Một cách tiếp cận khác đó là thủ tục lượng tử hóa
256
chính tắc trong cơ học lượng tử. Sử dụng hình thức
128
luận về giá trị ban đầu của thuyết tương đối rộng (xem
64
32
Phương trình tiến hóa ở trên), các nhà vật lý thu được
0.30
0.35
0.40
0.45
0.30
0.35
0.40
0,45
Time (s)
Time (s)
phương trình Wheeler–deWi (phương trình tương tụ
như phương trình Schrödinger) nhưng đáng tiếc là nó
đã không đúng.[189] Tuy thế, với biến Ashtekar được Quan sát sóng hấp dẫn từ hệ hai lỗ đen sát nhập GW150914.
đưa ra,[190] dẫn đến một mô hình hứa hẹn khác đó là
hấp dẫn lượng tử vòng. Trong thuyết này, không gian
được miêu tả bằng cấu trúc lưới như mạng lưới spin, và cứu thuyết tương đối bằng công cụ toán học nhằm tìm
nó tiến hóa trong thời gian theo những bước rời rạc.[191] hiểu bản chất của các kỳ dị và những tính chất cơ bản
của phương trình trường Einstein,[201] cũng như gia
Phụ thuộc vào đặc điểm nào của thuyết tương đối tổng
tăng sử dụng siêu máy tính để mô phỏng (như miêu
quát và thuyết lượng tử được giữ nguyên, và mức độ
tả quá trình các lỗ đen va chạm và sát nhập) trong lĩnh

[192]
thay đổi các đặc điểm khác,
đã có rất nhiều lý
vực số hóa thuyết tương đối (numerical relativity).[202]
thuyết được đưa ra nhằm cạnh tranh với thuyết hấp
Sau sự kiện quan sát được trực tiếp sóng hấp dẫn bởi
dẫn lượng tử, như động lực học tam phân,[193] tập nhân
Advanced LIGO, lĩnh vực thiên văn sóng hấp dẫn đã
[194]
[195]
quả,
mô hình twistor
hoặc mô hình dựa trên
mở ra một nhánh ứng dụng mới cho thuyết tương đối
[196]
tích phân đường về vũ trụ lượng tử.
tổng quát.[79][203][204] Một thế kỷ sau khi được công bố,
Mọi lý thuyết miêu tả trong phần này vẫn có những thuyết tương đối rộng vẫn đang là lĩnh vực nghiên cứu
vấn đề trong lý luận, khái niệm và phỏng đoán mà sôi nổi và đầy hứa hẹn trong nhiều thập kỷ tới.[205]
chưa vượt qua được. Và chúng đối mặt với chung một
vấn đề đó là, chưa có một cách nào nhằm đưa các kết
quả lý thuyết ra kiểm chứng bằng thực nghiệm được 9 Xem thêm
(và do vậy cho phép các nhà vật lý quyết định được lý
thuyết nào có triển vọng trở lên đúng và loại bỏ những
• Giới thiệu thuyết tương đối rộng
lý thuyết nào), mặc dù có hy vọng trong tương lai điều
• Lý thuyết tương đối hẹp
này sẽ thay đổi khi các dữ liệu thực nghiệm trong vật
lý hạt cơ bản năng lượng cao cũng như từ các quan sát
thiên văn học cho phép với độ chính xác cao hơn và

tinh tế hơn.[197]
10 Chú thích

8

Trạng thái phát triển

uyết tương đối rộng đã nổi lên như là một mô hình
thành công lớn về lực hút hấp dẫn và vũ trụ học, mà
nó đã vượt qua được rất nhiều quan sát và thí nghiệm
kiểm chứng một cách mạch lạc. Tuy nhiên, có những
dấu hiệu cho thấy lý thuyết chưa hoàn chỉnh.[198] Vấn
đề về hấp dẫn lượng tử và câu hỏi về tính thực tại
của các kỳ dị không thời gian vẫn đang là những câu
hỏi mở mang tính thời sự.[199] Dữ liệu quan sát mang
lại chứng cứ cho năng lượng tối và vật chất tối cho
thấy các nhà vật lý cần phải tìm kiếm một nền vật lý
mới.[200] Ngay cả với bản thân lý thuyết, thuyết tương
đối tổng quát là mỏ vàng giàu tiềm năng cho những
khám phá mới. Nhiều nhà vật lý tương đối tính nghiên

[1] “GW150914: LIGO Detects Gravitational Waves”. Blackholes.org. Truy cập ngày 24 tháng 4 năm 2016.
[2] “Nobel Prize Biography”. Nobel Prize Biography. Nobel
Foundation. Truy cập 25 tháng 2 năm 2011.
[3] Pais 1982, ch. 9 đến 15, Janssen 2005; tập hợp những bài
báo cập nhật và những nghiên cứu hiện nay, bao gồm
cả các bài báo gốc có trong Renn 2007; bài đánh giá có
trong Renn 2005, tr. 110ff. Những bài viết sớm nhất của
Einstein gồm Einstein 1907, và Pais 1982, ch. 9. Bài báo
quan trọng ông miêu tả phương trình trường của mình

trong Einstein 1915, và Pais 1982, ch. 11–15
[4] Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b và Reissner
1916 (sau được bổ sung trong Nordström 1918)
[5] “"Scientific Background on the Nobel Prize in
Physics 2011. e accelerating universe."” (PDF).
Nobelprize.org. tr. 2. Truy cập 12 tháng 10 năm 2011..


19
[6] Einstein 1917, và Pais 1982, ch. 15e
[7] Bài báo gốc của Hubble Hubble 1929; bản điện tử đánh
giá của Singh 2004, ch. 2–4
[8] Như báo cáo trong Gamow 1970. Einstein bác bỏ hằng
số vũ trụ học là quá sớm, ông đã không suy nghĩ cẩn
thận hơn về hằng số này, xem Vũ trụ học bên dưới
[9] Trong Pais 1982, tr. 253–254
[10] Kennefick 2005, Kennefick 2007
[11] Pais 1982, ch. 16
[12] orne, Kip (2003). “Warping spacetime”. e future of
theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen
Hawking’s 60th birthday. Cambridge University Press.
tr. 74. ISBN 0-521-82081-2., Extract of page 74
[13] Israel 1987, ch. 7.8–7.10, orne 1994, ch. 3–9
[14] Phần Hiệu ứng quỹ đạo và tính tương đối của phương
hướng, Sự giãn thời gian do hấp dẫn và dịch chuyển tần
số và Ánh sáng bị lệch và trễ thời gian do hấp dẫn, và
những tham khảo trong từng phần.
[15] Phần Vũ trụ học và tham khảo trong phần này; lịch sử
phát minh ra lý thuyết được thảo luận trong Overbye
1999

[16] Những mô tả dưới đây theo như các lập luận của Ehlers
1973, ph. 1
[17] Arnold 1989, ch 1
[18] Ehlers 1973, tr. 5f
[19] Will 1993, ph 2.4, Will 2006, ph 2
[20] Wheeler 1990, ch 2

[30] Xem Ehlers 1973, ph. 1.4 về các kết quả thí nghiệm, cũng
như xem thêm phần Sự giãn thời gian do hấp dẫn và
dịch chuyển tần số. Nếu chúng ta chọn một liên thông
khác mà tenxơ độ xoắn khác không (hay hệ quy chiếu
quán tính cục bộ được phép quay) thì chúng ta có một
lý thuyết sửa đổi khác là lý thuyết Einstein–Cartan
[31] Misner, orne & Wheeler 1973, § 8 và 13
[32] Ehlers 1973, tr. 16, Kenyon 1990, ph. 7.2, Weinberg 1972,
ph. 2.8
[33] Ehlers 1973, tr. 19–22; đối với nội dung suy ra phương
trình trường, xem phần 1 và 2 của ch. 7 trong Weinberg
1972. Trong đa tạp không thời gian bốn chiều, tenxơ
Einstein là tenxơ duy nhất thỏa mãn phân kỳ tự do với
nó là hàm tổ hợp của tenxơ mêtric, cũng như đạo hàm
riêng bậc nhất và bậc hai của tenxơ mêtric, do vậy cho
phép không thời gian của thuyết tương đối hẹp như
là một nghiệm của phương trình trường khi không có
nguồn hấp dẫn, xem Lovelock 1972. Tenxơ ở cả hai vế là
tenxơ hạng hai, do đó chúng có thể được biểu diễn bằng
ma trận 4×4, mỗi ma trận chứa mười thành phần độc
lập; và do đó phương trình trường Einstein là hệ có 10
phương trình. Cụ thể hơn nữa, theo hệ quả của mối liên
hệ hình học là đồng nhất thức Bianchi, tenxơ Einstein

tự thỏa mãn bốn đồng nhất thức này và do đó giảm số
phương trình độc lập của phương trình trường xuống
còn sáu, xem Schutz 1985, ph. 8.3
[34] Kenyon 1990, ph. 7.4
[35] am khảo tương ứng trong Brans & Dicke 1961,
Weinberg 1972, ph. 3 trong ch. 7, Goenner 2004, ph. 7.2,
và Trautman 2006.
[36] Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 hoặc ở các cuốn
sách khác về thuyết tương đối tổng quát

[21] Ehlers 1973, ph. 1.2, Havas 1964, Künzle 1972. í
nghiệm tưởng tưọng đơn giản miêu tả đầu tiên trong
Heckmann & Schücking 1959

[37] Tổng quan xem trong Poisson 2004

[22] Ehlers 1973, tr. 10f

[39] Wald 1984, sec. 4.4

[23] Những sách giới thiệu tăng dần theo độ khó và sử dụng
kiến thức toán học gồm Giulini 2005, Mermin 2005, và
Rindler 1991; đối với các thí nghiệm chính xác, xem
phần IV của Ehlers & Lämmerzahl 2006

[40] Wald 1984, ph. 4.1

[24] So sánh chi tiết giữa hai nhóm đối xứng miêu tả trong
Giulini 2006a

[38] Wheeler 1990, tr. xi

[41] Về sự khó khăn (khái niệm và lịch sử) trong xác định
nguyên lý tương đối tổng quát và phân biệt nó với
nguyên lý hiệp biến tổng quát, xem Giulini 2006b
[42] phần 5 trong ch. 12 của Weinberg 1972

[25] Rindler 1991, ph. 22, Synge 1972, ch. 1 và 2

[43] Chương giới thiệu trong Stephani et al. 2003

[26] Ehlers 1973, ph. 2.3

[44] Bài báo tổng quan về phương trình Einstein theo bối
cảnh rộng hơn ở các phương trình đạo hàm riêng với ý
nghĩa vật lý là Geroch 1996

[27] Ehlers 1973, ph. 1.4, Schutz 1985, ph. 5.1
[28] Ehlers 1973, tr. 17ff; phương pháp suy luận có thể xem
trong Mermin 2005, ch 12. Về kết quả thực nghiệm, xem
phần Sự giãn thời gian do hấp dẫn và dịch chuyển tần
số bên dưới
[29] Xem Rindler 2001, ph 1.13; đối với cách miêu tả đại
chúng xem Wheeler 1990, ch 2; cũng có sự khác nhau
giữa phiên bản hiện đại của nguyên lý và khái niệm ban
đầu mà Einstein đã sử dụng khi tìm kiếm lý thuyết rộng,
xem Norton 1985

[45] ông tin khái quát và danh sách các nghiệm xem
Stephani et al. 2003; bài viết đánh giá gần đây về nghiệm

phương trình Einstein là MacCallum 2006
[46] Chandrasekhar 1983, ch. 3,5,6
[47] Narlikar 1993, ch. 4, ph. 3.3
[48] Giới thiệu ngắn về những nghiệm này và những nghiệm
khác được trình bày trong Hawking & Ellis 1973, ch. 5


20
[49] Lehner 2002
[50] Xem Wald 1984, ph. 4.4
[51] Will 1993, ph. 4.1 và 4.2
[52] Will 2006, ph. 3.2, Will 1993, ch. 4
[53] Misner, orne & Wheeler 1973, § 23.1
[54] Misner, orne & Wheeler 1973, § 23
[55] Rindler 2001, tr. 24–26 và pp. 236–237 và Ohanian &
Ruffini 1994, tr. 164–172. Einstein suy luận ra hiệu ứng
này nhờ sử dụng nguyên lý tương đương vào đầu năm
1907, xem Einstein 1907 và quá trình tìm kiến thuyết
tương đối rộng trong Pais 1982, tr. 196–198
[56] Rindler 2001, tr. 24–26; Misner, orne & Wheeler 1973,
§ 38.5
[57] í nghiệm Pound-Rebka, xem Pound & Rebka 1959,
Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; danh sách
đầy đủ các thí nghiệm có trong Ohanian & Ruffini 1994,
bảng 4.1 ở tr. 186
[58] Greenstein, Oke & Shipman 1971; đo đạc gần đây và
chính xác nhất đối với sao Sirius B công bố trong
Barstow, Bond et al. 2005.
[59] Đầu tiên là thí nghiệm Hafele-Keating, Hafele &
Keating 1972a và Hafele & Keating 1972b, đến thí

nghiệm trên vệ tinh Gravity Probe A; khái quát về các
thí nghiệm này có trong Ohanian & Ruffini 1994, bảng
4.1 ở tr. 186
[60] ời gian trên hệ GPS liên tục được so sánh giữa đồng
hồ nguyên tử đặt trên vệ tinh và dưới mặt đất; thảo luận
về những hiệu ứng tương đối tính có trong Ashby 2002
và Ashby 2003

10

CHÚ THÍCH

[68] Xét về bản chất theo lý thuyết tương đối tổng quát
Einstein, những tính toán độ lệch ánh sáng dựa vào sự
rơi tự do chỉ tính đến ảnh hưởng của hấp dẫn lên thời
gian, mà không tính đến ảnh hưởng của hấp dẫn làm
cong không gian, xem Rindler 2001, ph. 11.11
[69] Đối với trường hấp dẫn Mặt Trời sử dụng tính hiệu rada
phản xạ từ các hành tinh như Sao Kim và Sao ủy xem
Shapiro 1964, Weinberg 1972, ch. 8, ph. 7; đối với các tín
hiệu chủ động phản hồi từ các tàu không gian (đo phát
đáp tín hiệu) xem Bertoi, Iess & Tortora 2003; đánh
giá tổng quan xem Ohanian & Ruffini 1994, table 4.4 ở
tr. 200; đối với những phép đo gần đây sử dụng tín hiệu
từ các pulsar trong hệ đôi, trường hấp dẫn từ một pulsar
đồng hành làm trễ thời gian truyền tín hiệu từ pulsar kia
xem Stairs 2003, ph. 4.4
[70] Will 1993, ph. 7.1 và 7.2
[71] Đã có quan sát gián tiếp xác nhận sự tồn tại của sóng
hấp dẫn thông qua sự mất mát năng lượng trong hệ

pulsar đôi như hệ pulsar Hulse–Taylor, mà nhờ các
quan sát này mà hai ông đã nhận giải Nobel Vật lý năm
1993. Hiện nay đang có nhiều dự án nhằm đo được trực
tiếp hiệu ứng của sóng hấp dẫn. Về thực nghiệm sóng
hấp dẫn xem Misner, orne & Wheeler 1973, part VIII.
Không giống như sóng điện từ, đóng góp chủ yếu của
sóng hấp dẫn không phải là lưỡng cực, mà là tứ cực; xem
Schutz 2001
[72] Hầu hết các sách viết về thuyết tương đối rộng nâng cao
đều có chương miêu tả phương pháp suy luận cũng như
tính chất của sóng hấp dẫn, ví dụ xem Schutz 1985, ch.
9
[73] Xem trong Jaranowski & Królak 2005
[74] Rindler 2001, ch. 13

[61] Stairs 2003 và Kramer 2004

[75] Gowdy 1971, Gowdy 1974

[62] Xem tổng hợp trong ph 2.1. của Will 2006; Will 2003, tr.
32–36; Ohanian & Ruffini 1994, ph. 4.2

[76] Xem Lehner 2002 với giới thiệu ngắn về phương pháp
mô phỏng số thuyết tương đối rộng, và Seidel 1998 cho
sự liên hệ với thiên văn quan sát sóng hấp dẫn.

[63] Ohanian & Ruffini 1994, tr. 164–172
[64] Xem Kennefick 2005 cho những đo đạc đầu tiên của
đoàn thám hiểm Eddington; về kết quả của những đo
lường gần đây, xem Ohanian & Ruffini 1994, ch. 4.3. Đối

với những quan sát hiện đại chính xác nhất sử dụng
quasars xem Shapiro et al. 2004
[65] Đây không phải là một tiên đề độc lập; tính bất biến
này có thể suy ra từ phương trình trường Einstein và
Lagrangian cho phương trình Maxwell sử dụng xấp xỉ
WKB, xem Ehlers 1973, ph. 5
[66] Blanchet 2006, ph. 1.3
[67] Trong Rindler 2001, ph. 1.16; đối với ví dụ lịch sử Israel
1987, tr. 202–204; thực ra Einstein đã phát hiện sự lệch
ánh sáng truyền qua thang máy rơi tự do trong Einstein
1907 nhưng giá trị ông thu được ban đầu chỉ bằng một
nửa giá trị khi ông đã tìm ra được phương trình trường
năm 1915. Một số tính toán giả sử không thời gian là
không gian Euclid có trong Ehlers & Rindler 1997

[77] Castelvecchi, Davide; Witze, Witze (11 tháng 2 năm
2016). “Einstein’s gravitational waves found at last”.
Nature News. doi:10.1038/nature.2016.19361. Truy cập
ngày 11 tháng 2 năm 2016.
[78] B. P. Abbo et al. (LIGO Scientific Collaboration
and Virgo Collaboration) (2016). “Observation
of Gravitational Waves from a Binary Black
Hole Merger”. Physical Review Leers 116 (6).
doi:10.1103/PhysRevLe.116.061102.
[79] “Gravitational waves detected 100 years aer Einstein’s
prediction | NSF - National Science Foundation”. www.
nsf.gov. Truy cập ngày 11 tháng 2 năm 2016.
[80] Schutz 2003, tr. 48–49, Pais 1982, tr. 253–254
[81] Rindler 2001, ph. 11.9
[82] Will 1993, tr. 177–181

21
[83] Hệ quả là, trong hình thức tham số hóa hậu Newton [103] Hình ảnh của tất cả các thấu kính hấp dẫn đã được phát
(PPN), các đo đạc về hiệu ứng này xác định lên giá trị
hiện có tại trang của dự án CASTLES, Kochanek et al.
tổ hợp tuyến tính của hai số hạng β và γ xem Will 2006,
2007
ph. 3.5 và Will 1993, ph. 7.3
[104] Roulet & Mollerach 1997
[84] Những đo lường chính xác nhất sử dụng phương pháp
giao thoa kế vô tuyến đường cơ sở dài cho vị trí các hành [105] Narayan & Bartelmann 1997, ph. 3.7
tinh; xem Will 1993, ch. 5, Will 2006, ph. 3.5, Anderson
[106] Barish 2005, Bartusiak 2000, Blair & McNamara 1997
et al. 1992; tổng quan xem Ohanian & Ruffini 1994, tr.
406–407
[107] Hough & Rowan 2000
[85] Kramer et al. 2006
[86]
[87]
[88]

[89]

[108] Hobbs, George. “e international pulsar timing array
project: using pulsars as a gravitational wave detector”.
Một biểu đồ thể hiện sai số đo đạc nằm ở hình 7 trong
.
Will 2006, ph. 5.1
[109] Danzmann & Rüdiger 2003

Stairs 2003, Schutz 2003, tr. 317–321, Bartusiak 2000, tr.
70–86
[110] “LISA pathfinder overview”. ESA. Truy cập ngày 23
tháng 4 năm 2013.
Trong Weisberg & Taylor 2003, liên quan đến lịch sử
khám phá xem Hulse & Taylor 1975, về mô tả ban đầu [111] M. Armano và đồng nghiệp (2016). “Sub-Femto-g Free
của hiệu ứng suy giảm chu kỳ quỹ đạo xem Taylor 1994
Fall for Space-Based Gravitational Wave Observatories:
LISA Pathfinder Results”. Physical Review Leers 116
Kramer 2004
(23). doi:10.1103/PhysRevLe.116.231101.

[90] Penrose 2004, §14.5, Misner, orne & Wheeler 1973, [112] “LISA Pathfinder exceeds expectations”. ESA. 7 tháng 6
§11.4
năm 2016. Truy cập ngày 7 tháng 6 năm 2016.
[91] Weinberg 1972, ph. 9.6, Ohanian & Ruffini 1994, ph. 7.8 [113] “LISA Pathfinder exceeds expectations”. Benjamin
Knispel. elisascience.org. 7 tháng 6 năm 2016. Truy cập
[92] Bertoi, Ciufolini & Bender 1987, Nordtvedt 2003
ngày 7 tháng 6 năm 2016.
[93] Kahn 2007

[114] orne 1995

[94] Mô tả về phi vụ có trong Everi et al. 2001; kết quả thí [115] Cutler & orne 2002
nghiệm sơ bộ có trong Everi, Parkinson & Kahn 2007;
những dữ liệu cập nhật tại website Kahn 1996–2012.
[116] Miller 2002, bài giảng 19 và 21
[95] Townsend 1997, ph. 4.2.1, Ohanian & Ruffini 1994, tr. [117] Celoi, Miller & Sciama 1999, ph. 3
469–471
[118] Springel et al. 2005 và Gnedin 2005

[96] Ohanian & Ruffini 1994, ph. 4.7, Weinberg 1972, ph. 9.7;
miêu tả thí nghiệm kiểm tra gần đây trong Schäfer 2004 [119] Blandford 1987, ph. 8.2.4
[97] Ciufolini & Pavlis 2004, Ciufolini, Pavlis & Peron 2006, [120] Về cơ chế cơ bản, xem Carroll & Ostlie 1996, ph. 17.2;
về những loại thiên thể khác nhau có liên quan đến quá
Iorio 2009
trình bồi tụ xem Robson 1996
[98] Iorio L. (tháng 8 năm 2006), “COMMENTS,
REPLIES AND NOTES: A note on the [121] Xem Begelman, Blandford & Rees 1984. Đối với một
quan sát viên ở xa, đôi khi chùm tia này hiện lên như
evidence of the gravitomagnetic field of Mars”,
chuyển động nhanh hơn ánh sáng; và điều này đã được
Classical antum Gravity 23 (17): 5451–5454,
giải thích như là một ảo ảnh quang học mà không vi
Bibcode:2006CQGra..23.5451I,
arXiv:gr-qc/0606092,
phạm thuyết tương đối, xem Rees 1966
doi:10.1088/0264-9381/23/17/N01
[99] Iorio L. (tháng 6 năm 2010), “On the Lense–irring test [122] Đối với trạng thái tiến hóa cuối cùng của ngôi sao xem
Oppenheimer & Snyder 1939 và cho mô phỏng số Font
with the Mars Global Surveyor in the gravitational field
2003, ph. 4.1; đối với các siêu tân tinh vẫn còn những
of Mars”, Central European Journal of Physics 8 (3): 509–
vấn đề mở như miêu tả trong Buras et al. 2003; về mô
513, Bibcode:2010CEJPh…8..509I, arXiv:gr-qc/0701146,
phỏng quá trình bồi tụ và hình thành tia tương đối tính
doi:10.2478/s11534-009-0117-6
xem Font 2003, ph. 4.2. Cũng vậy, hiệu ứng thấu kính
hấp dẫn có vai trò quan trọng trong tín hiệu thu được
[100] Miêu tả về thấu kính hấp dẫn và các ứng dụng của nó
từ các pulsar phát ra tia X, xem Kraus 1998

có trong Ehlers, Falco & Schneider 1992 và Wambsganss
1998
[123] Chứng cứ bao gồm giới hạn về vùng rất nhỏ từ các
quan sát hiện tượng bồi tụ, xem Celoi, Miller & Sciama
[101] Chứng minh bằng toán học xem Schutz 2003, ch. 23; và
1999, hoặc các quan sát về chuyển động các ngôi sao
Narayan & Bartelmann 1997, ph. 3
xung quanh một vùng rất nhỏ ở trung tâm của Ngân Hà
[102] Walsh, Carswell & Weymann 1979
xem Schödel et al. 2003, và hệ quả gián tiếp về quan sát


22

[124]
[125]
[126]

[127]

10

CHÚ THÍCH

những thiên thể nén đặc, các bùng nổ tia X mà những [137] Có nghĩa là, một số nhà vật lý đặt ra câu hỏi liệu vật
vật thể ở trung tâm hoặc là sao neutron hoặc là lỗ đen
chất tối có thực sự tồn tại hay lý thuyết tương đối tổng
khối lượng sao; xem Remillard et al. 2006 và Narayan
quát của Einstein (và lý thuyết Newton) có một số sai
2006, ph. 5. an sát chân trời sự kiện của lỗ đen ở trung

lệch khi miêu tả hấp dẫn trên khoảng cách vũ trụ, xem
tâm Ngân Hà cũng đang được tiến hành, xem Falcke,
Mannheim 2006, ph. 9
Melia & Agol 2000
[138] Carroll 2001; bài viết tổng quan ở trang web Caldwell
2004. Ở dạng năng lượng này cũng vậy, các nhà khoa
Dalal et al. 2006
học tranh luận rằng chứng cứ này có thể không cần thiết
phải đòi hỏi dạng năng lượng tối mà thay vào đó cần
Barack & Cutler 2004
một lý thuyết mới về trường hấp dẫn cho mô hình vũ
trụ học, xem Mannheim 2006, ph. 10; cũng có những
Nguồn gốc của phương trình trong Einstein 1917; về
điều chỉnh mà không cần phải thay thế thuyết tương
lịch sử xem Pais 1982, tr. 285–288
đối tổng quát, ví dụ, các nhà vật lý có thể sử dụng giả
thiết sự không đồng nhất và phi đẳng hướng của vật
Carroll 2001, ch. 2
chất trong vũ trụ, xem Buchert 2007

[128] Xem Bergström & Goobar 2003, ch. 9–11; dựa trên thực [139] Giới thiệu đại cương trong Linde 1990; đối với nghiên
tế quan sát là ở thang khoảng cách lớn trên 100 Mpc, vũ
cứu gần đây xem Linde 2005
trụ của chúng ta hiện ra với vật chất và bức xạ phân bố
gần như đồng nhất và không theo một hướng ưu tiên [140] Nguyên lý vũ trụ học chỉ giả thuyết vũ trụ là đồng
nhất và đẳng hướng, chứ không nêu tại sao lại như vậy.
nào, đẳng hướng; xem Peebles et al. 1991. Tuy vậy kết
Chính xác hơn, có những vấn đề bao gồm vấn đề độ
quả quan sát gần đây từ tàu Planck cho thấy vũ trụ gần
phẳng, vấn đề chân trời,và vấn đề đơn cực; giới thiệu

đồng nhất và hơi phi đẳng hướng.
khái quát dễ hiểu có trong Narlikar 1993, ph. 6.4, cũng
xem Börner 1993, ph. 9.1
[129] “Scientific Background on the Nobel Prize in Physics
2011. e accelerating universe.” (tr 5) Nobelprize.org.
[141] Spergel et al. 2007, ph. 5,6
[130] Ví dụ với dữ liệu thu được từ tàu WMAP xem Spergel [142] Cụ thể hơn, hàm thế năng có vai trò quan trọng trong
et al. 2003
động lực của sự lạm phát chỉ đơn giản là giả thuyết, chứ
nó không được suy ra từ một lý thuyết vật lý nào
[131] Những kiểm tra này bao gồm những chi tiết quan sát
độc lập khác, ví dụ xem hình 2 trong Bridle et al. 2003 [143] Brandenberger 2007, ph. 2
[144] Frauendiener 2004, Wald 1984, ph. 11.1, Hawking & Ellis
[132] Peebles 1966; với những tiên đoán gần đây xem Coc,
1973, ph. 6.8, 6.9
Vangioni‐Flam et al. 2004; bài viết online của Weiss
2006; so sánh hệ quả lý thuyết với dữ liệu quan sát có [145] Wald 1984, ph. 9.2–9.4 và Hawking & Ellis 1973, ch. 6
trong Olive & Skillman 2004, Bania, Rood & Balser 2002,
[146] orne 1972; về những mô phỏng số xem Berger 2002,
O'Meara et al. 2001, và Charbonnel & Primas 2005
ph. 2.1
[133] Lahav & Suto 2004, Bertschinger 1998, Springel et al.
[147] Israel 1987. Phân tích chính xác bằng toán học cho thấy
2005
có một số kiểu chân trời, bao gồm chân trời sự kiện và
chân trời biểu kiến xem Hawking & Ellis 1973, tr. 312–
[134] Alpher & Herman 1948, giới thiệu đại cương có trong
320 hoặc Wald 1984, ph. 12.2; không có một hình ảnh
Bergström & Goobar 2003, ch. 11; đối với phát hiện tình
trực giác nào minh họa chân trời của một hệ cô lập mà

cờ ra bức xạ vi sóng, xem Penzias & Wilson 1965, và
không đòi hỏi kiến thức về tính chất của không thời
kết quả đo lường chính xác từ các đài quan sát vệ tinh,
gian ở vị trí vô tận, xem Ashtekar & Krishnan 2004
Mather et al. 1994 (COBE), Benne et al. 2003 (WMAP)
và kết quả mới nhất từ tàu Planck (2013) tại trang chủ. [148] Nghiên cứu đầu tiên xem Israel 1971; và xem Hawking
Những dự án trong tương lai cũng sẽ tiết lộ manh mối về
& Ellis 1973, ph. 9.3 hoặc Heusler 1996, ch. 9 và 10 về
sóng hấp dẫn trong vũ trụ sơ khởi; cung cấp thêm thông
chứng minh toán học, và Heusler 1998 cũng như Beig
tin về sự phân cực của bức xạ nền, xem Kamionkowski,
& Chruściel 2006 về những kết quả nghiên cứu gần đây.
Kosowsky & Stebbins 1997 và Seljak & Zaldarriaga 1997
[149] Các định luật cơ học lỗ đen được miêu tả lần đầu tiên
trong Bardeen, Carter & Hawking 1973; miêu tả dễ hiểu
[135] Bằng chứng cho vật chất tối được suy ra từ các tham số
hơn có trong Carter 1979; đánh giá kết quả gần đây xem
vũ trụ học và những quan sát từ động lực của các thiên
Wald 2001, ch. 2. Cuốn sách trình bày các công cụ toán
hà, siêu đám thiên hà xem Peebles 1993, ch. 18, thông
học cần thiết là Poisson 2004. Về quá trình Penrose, xem
qua hiện tượng thấu kính hấp dẫn xem Peacock 1999,
Penrose 1969
ph. 4.6, và thông qua mô phỏng cấu trúc lớn vũ trụ xem
Springel et al. 2005

[150] Bekenstein 1973, Bekenstein 1974

[136] Peacock 1999, ch. 12, Peskin 2007; hơn nữa, các khảo sát [151] Phát hiện ra lỗ đen, trên khuôn khổ cơ học lượng
cũng chỉ ra rằng đa số vật chất tối không thuộc dạng

tử, phát ra bức xạ được chứng minh đầu tiên trong
Hawking 1975; suy luận chi tiết có trong Wald 1975. Bài
của các hạt cơ bản đã biết (“vật chất phi-baryon" hay
vật chất tối), xem Peacock 1999, ch. 12
viết tổng quan trong Wald 2001, ch. 3


23
[152] Narlikar 1993, ph. 4.4.4, 4.4.5
[153]
[154]
[155]
[156]

[171] Wald 1984, tr. 295 và các trang tiếp theo; đây là kết quả
quan trọng cho câu hỏi về sự ổn định của hệ—nếu có
Về “chân trời": xem Rindler 2001, ph. 12.4. Hiệu ứng
trạng thái khối lượng âm, thì không gian chân không
Unruh: Unruh 1976, và Wald 2001, ch. 3
Minkowski phẳng với khối lượng không có thể hình
thành lên từ những trạng thái khối lượng âm này.
Hawking & Ellis 1973, ph. 8.1, Wald 1984, ph. 9.1
[172] Townsend 1997, ch. 5
Townsend 1997, ch. 2; một miêu tả kỹ lưỡng về nghiệm
[173] Định nghĩa khối lượng–năng lượng giả cục bộ bao gồm
này trong Chandrasekhar 1983, ch. 3
năng lượng Hawking, năng lượng Geroch, hoặc năng
lượng-động lượng giả cục bộ Penrose dựa trên phương
Townsend 1997, ch. 4; đối với miêu tả chi tiết xem
pháp twistor; xem bài báo Szabados 2004

Chandrasekhar 1983, ch. 6

[157] Ellis & van Elst 1999; một cái nhìn gần hơn về điểm kỳ
dị miêu tả trong Börner 1993, ph. 1.2

[174] Có rất nhiều giáo trình về cơ học lượng tử như Messiah
1999; giáo trình cơ sở như Hey & Walters 2003

[175]
[158] Có một chú ý về thực tế quan trọng của hiện tượng kỳ
dị giả quang học xuất hiện trong nhiều phương trình
sóng, “sự tụ quang”, được giải quyết khi cho các kết quả [176]
hữu hạn sau khi thay thế phương pháp xấp xỉ.
[177]
[159] Xem Penrose 1965
[160] Hawking 1966
[161] Phỏng đoán được phát biểu trong Belinskii, Khalatnikov
& Lifschitz 1971; bài viết đánh giá gần đây Berger 2002.
Nội dung của nó cũng được trình bày trên trang online
Garfinkle 2007

Ramond 1990, Weinberg 1995, Peskin & Schroeder 1995;
và Auyang 1995
Wald 1994, Birrell & Davies 1984
Về bức xạ Hawking xem Hawking 1975, Wald 1975;
miêu tả về lỗ đen bốc hơi trong Traschen 2000

[178] Wald 2001, ch. 3
[179] Nói đơn giản, vật chất là nguồn của độ cong không thời
gian, và khi vật chất thể hiện đặc tính lượng tử, chúng

ta cũng hy vọng rằng không thời gian cũng có tính chất
như thế, Carlip 2001, ph. 2

[180] Schutz 2003, tr. 407
[162] Sự ẩn giấu của kỳ dị tương lai đối với quan sát viên ở
xa có bản chất khác hẳn so với những kỳ dị quá khứ ở [181] Niên biểu các lý thuyết đề xuất cho hấp dẫn lượng tử
miêu tả trong Rovelli 2000
vũ trụ sơ khai như kỳ dị vụ nổ lớn, mà về nguyên lý
chúng hiện ra dưới kính thiên văn của quan sát viên ở
thời điểm sau khi diễn ra vụ nổ. Phỏng đoán sự kiểm [182] Donoghue 1995
duyệt vũ trụ được nêu ra lần đầu trong Penrose 1969; [183] Đặc biệt, khi các nhà vật lý áp dụng kĩ thuật tái chuẩn
cuốn sách miêu tả về phỏng đoán này bao gồm Wald
hóa, hàm tích phân cho phép suy luận kết quả, và khi
1984, tr. 302–305. Về những kết quả mô phỏng trên siêu
tính đến hiệu ứng năng lượng cao, trở lên không xác
máy tính xem Berger 2002, ph. 2.1
định và sai, xem Weinberg 1996, ch. 17, 18, và Goroff &
Sagnoi 1985
[163] Hawking & Ellis 1973, ph. 7.1
[184] Giáo trình cho sinh viên là Zwiebach 2004; bài viết với
[164] Arnowi, Deser & Misner 1962; miêu tả dễ hiểu trong
độ khó hơn Polchinski 1998a và Polchinski 1998b
Misner, orne & Wheeler 1973, §21.4–§21.7
[185] Ở mức năng lượng hiện tại mà các mày gia tốc đạt đến
[165] Fourès-Bruhat 1952 và Bruhat 1962; về giới thiệu một
(14 TeV), những dây này không thể phân biệt được với
cách mô phạm xem Wald 1984, ch. 10; bản trực tuyến
các hạt điểm, nhưng có điểm quan trọng là, các mode
miêu tả phương trình tiến hóa ở Reula 1998
dao động khác nhau của cùng một dây cơ bản sẽ hiện

ra tương ứng với các hạt khác nhau (về điện tích cũng
[166] Gourgoulhon 2007; bài viết miêu tả cơ sở của mô phỏng
như các tính chất lượng tử khác), xem Ibanez 2000. Lý
số thuyết tương đối, bao gồm vấn đề xuất hiện các
thuyết này thành công ở chỗ có một mode dao động
đặc điểm kỳ lạ của phương trình trường Einstein, xem
của dây tương ứng với hạt lượng tử graviton, hạt giả
Lehner 2001
thuyết truyền tương tác hấp dẫn, xem Green, Schwarz
& Wien 1987, ph. 2.3, 5.3
[167] Misner, orne & Wheeler 1973, §20.4
[186] Green, Schwarz & Wien 1987, ph. 4.2
[168] Arnowi, Deser & Misner 1962
[187] Weinberg 2000, ch. 31
[169] Komar 1959; trong giáo trình cho sinh viên cao học
[188] Townsend 1996, Duff 1996
Wald 1984, ph. 11.2; mặc dù định nghĩa theo một cách
hoàn toàn khác, có thể chứng minh sự tương đương giữa [189] Kuchař 1973, ph. 3
khối lượng Komar và khối lượng ADM trong không thời
[190] những biến này đại diện cho hình học hấp dẫn sử dụng
gian dừng, xem Ashtekar & Magnon-Ashtekar 1979
sự tương tự toán học giống với điện trường và từ trường;
[170] Nội dung giới thiệu xem Wald 1984, ph. 11.2
xem Ashtekar 1986, Ashtekar 1987


24

11

[191] Miêu tả khái quát trong iemann 2006; mở rộng hơn
có trong Rovelli 1998, Ashtekar & Lewandowski 2004
cũng như bài giảng iemann 2003
[192] Isham 1994, Sorkin 1997
[193] Loll 1998
[194] Sorkin 2005
[195] Penrose 2004, ch. 33 và các chương sau
[196] Hawking 1987
[197] Ashtekar 2007, Schwarz 2007
[198] Maddox 1998, tr. 52–59, 98–122; Penrose 2004, sec. 34.1,
ch. 30
[199] Mục Hấp dẫn lượng tử ở trên.
[200] Mục Vũ trụ học ở trên.
[201] Friedrich 2005
[202] Bài viết tổng quan về nhiều vấn đề và các kỹ thuật được
phát triển để vượt qua chúng, xem Lehner 2002

NGUỒN THAM KHẢO

• Arun, K.G.; Blanchet, L.; Iyer, B. R.; sailah, M.
S. S. (2007), Inspiralling compact binaries in quasielliptical orbits: e complete 3PN energy flux,
Bibcode:2008PhRvD..77f4035A, arXiv:0711.0302,
doi:10.1103/PhysRevD.77.064035
• Ashby, Neil (2002), “Relativity and the Global
Positioning System” (PDF), Physics Today
55 (5): 41–47, Bibcode:2002PhT….55e..41A,
doi:10.1063/1.1485583
• Ashby, Neil (2003), “Relativity in the Global
Positioning System”, Living Reviews in Relativity
6, truy cập ngày 6 tháng 7 năm 2007

• Ashtekar, Abhay (1986), “New variables for
classical and quantum gravity”, Phys. Rev. Le.
57 (18): 2244–2247, Bibcode:1986PhRvL..57.2244A,
PMID 10033673, doi:10.1103/PhysRevLe.57.2244
• Ashtekar, Abhay (1987), “New Hamiltonian
formulation of general relativity”, Phys. Rev. D36
(6): 1587–1602, Bibcode:1987PhRvD..36.1587A,
doi:10.1103/PhysRevD.36.1587

[203] Xem Bartusiak 2000 về miêu tả thiên văn sóng hấp dẫn
trước đó; các tin tức cập nhật có thể tìm tại những trang
web của các viện nghiên cứu cộng tác chính như GEO
600 và LIGO

• Ashtekar, Abhay (2007), Loop antum Gravity:
Four Recent Advances and a Dozen Frequently
Asked estions, Bibcode:2008mgm..conf..126A,
arXiv:0705.2222, doi:10.1142/9789812834300_0008

[204] Đối với các bài báo gần đây về tính phân cực của sóng
hấp dẫn hoặc chuyển động xoáy ốc của cặp vật thể
đặc chắc, xem Blanchet et al. 2008, và Arun et al. 2007;
bài viết đánh giá tổng quan nghiên cứu về cặp vật thể
đặc chắc, xem Blanchet 2006 và Futamase & Itoh 2006;
bài viết tổng quan về các thí nghiệm và quan sát kiểm
chứng thuyết tương đối rộng, xem Will 2006

• Ashtekar, Abhay; Krishnan, Badri (2004), “Isolated
and Dynamical Horizons and eir Applications”,
Living Rev. Relativity 7, truy cập ngày 5 tháng 4

năm 2015

[205] Ví dụ, xem tạp chí Living Reviews in Relativity

11

Nguồn tham khảo

• Alpher, R. A.; Herman, R. C. (1948),
“Evolution of the universe”, Nature 162
(4124): 774–775, Bibcode:1948Natur.162..774A,
doi:10.1038/162774b0
• Anderson, J. D.; Campbell, J. K.; Jurgens, R. F.;
Lau, E. L. (1992), “Recent developments in solarsystem tests of general relativity”, trong Sato,
H.; Nakamura, T., Proceedings of the Sixth Marcel
Großmann Meeting on General Relativity, World
Scientific, tr. 353–355, ISBN 981-02-0950-9
• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of
Classical Mechanics, Springer, ISBN 3-540-968903
• Arnowi, Richard; Deser, Stanley; Misner, Charles
W. (1962), “e dynamics of general relativity”,
trong Wien, Louis, Gravitation: An Introduction
to Current Research, Wiley, tr. 227–265

• Ashtekar, Abhay; Lewandowski, Jerzy (2004),
“Background Independent antum Gravity: A
Status Report”, Class. ant. Grav. 21 (15): R53–
R152, Bibcode:2004CQGra..21R..53A, arXiv:grqc/0404018, doi:10.1088/0264-9381/21/15/R01
• Ashtekar, Abhay; Magnon-Ashtekar, Anne
(1979), “On conserved quantities in general

relativity”, Journal of Mathematical Physics
20 (5): 793–800, Bibcode:1979JMP….20..793A,
doi:10.1063/1.524151
• Auyang, Sunny Y. (1995), How is antum Field
eory Possible?, Oxford University Press, ISBN 019-509345-3
• Bania, T. M.; Rood, R. T.; Balser, D. S. (2002),
“e cosmological density of baryons from
observations of 3He+ in the Milky Way”, Nature
415 (6867): 54–57, Bibcode:2002Natur.415…54B,
PMID 11780112, doi:10.1038/415054a
• Barack, Leor; Cutler, Curt (2004), “LISA Capture
Sources: Approximate Waveforms, Signalto-Noise Ratios, and Parameter Estimation
Accuracy”, Phys. Rev. D69 (8): 082005,
Bibcode:2004PhRvD..69h2005B,
arXiv:grqc/0310125v3, doi:10.1103/PhysRevD.69.082005


25
• Bardeen, J. M.; Carter, B.; Hawking, S.
W. (1973), “e Four Laws of Black Hole
Mechanics”, Comm. Math. Phys. 31 (2):
161–170,
Bibcode:1973CMaPh..31..161B,
doi:10.1007/BF01645742
• Barish, Barry (2005), “Towards detection of
gravitational waves”, trong Florides, P.; Nolan,
B.; Oewil, A., General Relativity and Gravitation.
Proceedings of the 17th International Conference,
World Scientific, tr. 24–34, ISBN 981-256-424-1
• Barstow, M; Bond, Howard E.; Holberg, J.

B.; Burleigh, M. R.; Hubeny, I.; Koester, D.
(2005), “Hubble Space Telescope Spectroscopy
of the Balmer lines in Sirius B”, Mon.
Not. Roy. Astron. Soc. 362 (4): 1134–1142,
Bibcode:2005MNRAS.362.1134B,
arXiv:astroph/0506600, doi:10.1111/j.1365-2966.2005.09359.x

• Benne, C. L.; Halpern, M.; Hinshaw, G.;
Jarosik, N.; Kogut, A.; Limon, M.; Meyer,
S. S.; Page, L.; Spergel, D. N. (2003), “First
Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe
(WMAP) Observations: Preliminary Maps and
Basic Results”, Astrophys. J. Suppl. 148 (1):
1–27, Bibcode:2003ApJS..148….1B, arXiv:astroph/0302207, doi:10.1086/377253
• Berger, Beverly K. (2002), “Numerical Approaches
to Spacetime Singularities”, Living Rev. Relativity'
5, truy cập ngày 5 tháng 4 năm 2015
• Bergström, Lars; Goobar, Ariel (2003), Cosmology
and Particle Astrophysics (ấn bản 2), Wiley & Sons,
ISBN 3-540-43128-4

• Bartusiak, Marcia (2000), Einstein’s Unfinished
Symphony: Listening to the Sounds of Space-Time,
Berkley, ISBN 978-0-425-18620-6

• Bertoi, Bruno; Ciufolini, Ignazio; Bender,
Peter L. (1987), “New test of general relativity:
Measurement of de Sier geodetic precession rate
for lunar perigee”, Physical Review Leers 58 (11):
1062–1065, Bibcode:1987PhRvL..58.1062B, PMID

10034329, doi:10.1103/PhysRevLe.58.1062

• Begelman, Mitchell C.; Blandford, Roger
D.; Rees, Martin J. (1984), “eory of
extragalactic radio sources”, Rev. Mod. Phys.
56 (2): 255–351, Bibcode:1984RvMP…56..255B,
doi:10.1103/RevModPhys.56.255

• Bertoi, Bruno; Iess, L.; Tortora, P. (2003), “A test
of general relativity using radio links with the
Cassini spacecra”, Nature 425 (6956): 374–376,
Bibcode:2003Natur.425..374B, PMID 14508481,
doi:10.1038/nature01997

• Beig, Robert; Chruściel, Piotr T. (2006),
“Stationary black holes”, trong Francoise,
J.-P.; Naber, G.; Tsou, T.S., Encyclopedia of
Mathematical Physics, Volume 2, Elsevier,
Bibcode:2005gr.qc…..2041B, ISBN 0-12-512660-3,
arXiv:gr-qc/0502041

• Bertschinger, Edmund (1998), “Simulations
of structure formation in the universe”,
Annu. Rev. Astron. Astrophys. 36 (1):
599–654,
Bibcode:1998ARA&A..36..599B,
doi:10.1146/annurev.astro.36.1.599

• Bekenstein,
Jacob

D.
(1973),
“Black
Holes and Entropy”, Phys. Rev. D7 (8):
2333–2346,
Bibcode:1973PhRvD…7.2333B,
doi:10.1103/PhysRevD.7.2333
• Bekenstein, Jacob D. (1974), “Generalized
Second
Law
of
ermodynamics
in
Black-Hole Physics”, Phys. Rev. D9 (12):
3292–3300,
Bibcode:1974PhRvD…9.3292B,
doi:10.1103/PhysRevD.9.3292
• Belinskii, V. A.; Khalatnikov, I. M.; Lifschitz, E. M.
(1971), “Oscillatory approach to the singular point
in relativistic cosmology”, Advances in Physics 19
(80): 525–573, Bibcode:1970AdPhy..19..525B,
doi:10.1080/00018737000101171;
original
paper
in
Russian:
Belinsky,
V.
A.;
Khalatnikov, I. M.; Lifshitz, E. M. (1970),

“Колебательный
Режим
Приближения
К
Особой
Точке
В
Релятивистской
Космологии”, Uspekhi Fizicheskikh Nauk
(Успехи Физических Наук), 102(3) (11): 463–500,
Bibcode:1970UsFiN.102..463B

• Birrell, N. D.; Davies, P. C. (1984), antum Fields
in Curved Space, Cambridge University Press,
ISBN 0-521-27858-9
• Blair, David; McNamara, Geoff (1997), Ripples on
a Cosmic Sea. e Search for Gravitational Waves,
Perseus, ISBN 0-7382-0137-5
• Blanchet, L.; Faye, G.; Iyer, B. R.; Sinha,
S.
(2008),
e
third
post-Newtonian
gravitational wave polarisations and associated
spherical harmonic modes for inspiralling
compact binaries in quasi-circular orbits,
Bibcode:2008CQGra..25p5003B, arXiv:0802.1249,
doi:10.1088/0264-9381/25/16/165003
• Blanchet, Luc (2006), “Gravitational Radiation

from Post-Newtonian Sources and Inspiralling
Compact Binaries”, Living Rev. Relativity 9, truy
cập ngày 5 tháng 4 năm 2015
• Blandford, R. D. (1987), “Astrophysical Black
Holes”, trong Hawking, Stephen W.; Israel,
Werner, 300 Years of Gravitation, Cambridge
University Press, tr. 277–329, ISBN 0-521-37976-8