Mối liên hệ giữa hệ động lực rời rạc và liên tục
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.31 KB, 47 trang )
❇é ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❇➳❝❤ ❦❤♦❛ ❍➭ ◆é✐
❇ï✐ ❳✉➞♥ ❉✐Ö✉
▼è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝
rê✐ r➵❝ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❚❤➵❝ sÜ ❑❤♦❛ ❤ä❝
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ❚♦➳♥ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ö
◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿
✶✳ P●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ▼✐♥❤
✷✳ ❚❙✳ ❍➭ ❇×♥❤ ▼✐♥❤
❍➭ ◆é✐ ✲ ✷✵✶✵
▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥
❚➠✐
①✐♥
❝❛♠
➤♦❛♥
❧✉❐♥
✈➝♥
♥➭②
❧➭
❝➠♥❣
tr×♥❤
♥❣❤✐➟♥
❝ø✉
❝ñ❛
r✐➟♥❣
t➠✐✳
❈➳❝
❦Õt q✉➯ ✈✐Õt ❝❤✉♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➳❝ ➤➲ ➤➢î❝ sù ♥❤✃t trÝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤å♥❣ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤✐
➤➢❛ ✈➭♦ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥➟✉ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr✉♥❣ t❤ù❝ ✈➭ ❧➭ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛
q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♠ tó❝ ❝ñ❛ t➠✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♥❤ã♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t➵✐ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲
❚✐♥ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❇➳❝❤ ❑❤♦❛ ❍➭ ◆é✐✳
❚➳❝ ❣✐➯
❇ï✐ ❳✉➞♥ ❉✐Ö✉
✷
▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣ ♣❤ô ❜×❛
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶
▲ê✐ ❝❛♠ ➤♦❛♥
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✸
❇➯♥❣ ❦ý ❤✐Ö✉
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✺
▼ë ➤➬✉
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✻
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✼
▼ô❝ ❧ô❝
✳
✳
✳
✳
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
✳
❈❤➢➡♥❣ ✶ ✿ ❚æ♥❣ q✉❛♥
✶✳✶
❍➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥
✾
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✾
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✾
✶✳✶✳✶
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇♦❝❤♥❡r
✶✳✶✳✷
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✵
✶✳✶✳✸
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇♦❤r
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✶
✶✳✶✳✹
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤❡♦ ❦✐Ó✉ ❤é✐ tô tõ♥❣ ➤✐Ó♠
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✸
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✹
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✼
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷✵
✳
✳
✳
✳
✳
✳
❉➲② sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝
✸
✳
✳
✳
✶✳✹
✳
✳
✳
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝
✳
✳
✳
✶✳✸
✳
✳
✳
❉➲② sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥
✳
✳
✳
✶✳✷
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✶✳✺
❱➭✐ ♥Ðt ✈Ò ❧Þ❝❤ sö ✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷✶
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✿ ◗✉❛♥ s➳t ♥❣❤✐Ö♠ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
✷✸
✈✐ ♣❤➞♥
✷✳✶
●✐í✐ t❤✐Ö✉ ❜➭✐ t♦➳♥
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷✸
✷✳✷
❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✷✹
✷✳✸
▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✸✵
✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ ✿ ◗✉❛♥ s➳t ♥❣❤✐Ö♠ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣
✸✸
tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥
✸✳✶
●✐í✐ t❤✐Ö✉ ❜➭✐ t♦➳♥
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✸✸
✸✳✷
❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✸✺
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✹✷
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✹✸
❑✐Õ♥ ♥❣❤Þ ❝❤♦ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t✐Õ♣ t❤❡♦
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✹✹
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✹✺
❑Õt ❧✉❐♥ ❝❤✉♥❣
✳
✳
❈➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
❇➯♥❣ ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t
Z
R
C
Rn
X
AA(X)
KAA(X)
AP(X)
BC(X)
BUC(X)
l∞ (X)
aa(X)
kaa(X)
H(f )
α
Tα
T (f |R , ε)
T (ϕ|Z , ε)
Tˆ(ϕ|{tn } , ε)
Rf
{tn }
[t]
{t}
❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥
❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝
❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè ♣❤ø❝
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤ù❝
n
❝❤✐Ò✉
Ox1 x2 ...xn
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
X
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❝♦♠♣❛❝t ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
X
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝✱ ❜Þ ❝❤➷♥ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
X
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉✱ ❜Þ ❝❤➷♥ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➲② sè ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥
X
X
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➲② sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
X
X
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➲② sè ❝♦♠♣❛❝t ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
❇❛♦ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè
f
❉➲② sè ✈í✐ ♣❤➬♥ tö tæ♥❣ q✉➳t ❧➭
αn
❚♦➳♥ tö ❞Þ❝❤ ❝❤✉②Ó♥
f
❚❐♣
❞Þ❝❤ ❝❤✉②Ó♥ ❝ñ❛
❚❐♣
❞Þ❝❤ ❝❤✉②Ó♥ ❝ñ❛ ❞➲② sè
❚❐♣
❞Þ❝❤ ❝❤✉②Ó♥ ❝ñ❛ ❞➲② sè
❚❐♣ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè
ϕn
ϕ
tr➟♥
{tn }
f
❉➲② ❝➳❝ q✉❛♥ s➳t ➤➢î❝ s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù t➝♥❣ ❞➬♥
P❤➬♥ ♥❣✉②➟♥ ❝ñ❛ sè t❤ù❝
P❤➬♥ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ sè t❤ù❝
✺
t
t
X
▼ë ➤➬✉
▼è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❝➳❝ ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝ rê✐ r➵❝ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝✱ ✈í✐ ý t➢ë♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ➳♥❤
①➵ P♦✐♥❝❛rÐ✱ ➤ã♥❣ ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥✳ ❈➳❝
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❝➳❝ ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝ ♥➭② ➤➲ ❝ã ♠ét ❧Þ❝❤ sö ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❧➞✉ ➤ê✐✱ ❦❤ë✐ ♥❣✉å♥ tõ
❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t✐➟♥ ♣❤♦♥❣ ❝ñ❛ ▲②❛♣✉♥♦✈ ✈➭ P♦✐♥❝❛rÐ✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ♥❛②✱ ➤➲ ❝ã r✃t ♥❤✐Ò✉
❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈Ò ❝➳❝ ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝ rê✐ r➵❝ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝✱ ♥❤➢ sù tå♥ t➵✐✱
tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉✱ tÝ♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥✱ tÝ♥❤ æ♥ ➤Þ♥❤✱ tÝ♥❤ æ♥ ➤Þ♥❤ t✐Ö♠
❝❐♥✱ tÝ♥❤ t✉➬♥ ❤♦➭♥✱ tÝ♥❤ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✱ tÝ♥❤ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠✳
❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝ ♥➭② ✈➱♥ ❝❤➢❛ ➤➢î❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét
❝➳❝❤ ➤➬② ➤ñ ♥❤✃t✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ♥❤➺♠ ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ❣✐➯✐ q✉②Õt ♠ét ♣❤➬♥ ❝ñ❛
❜➭✐ t♦➳♥ tr➟♥✳
◆ã✐ r✐➟♥❣✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ❣✐÷❛ tÝ♥❤ ❤➬✉ t✉➬♥
❤♦➭♥✱ tÝ♥❤ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤②✱ ✈➭ tÝ♥❤ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝
♥➭②✳
✻
❑Õt ❝✃✉ ❧✉❐♥ ✈➝♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❣å♠ ✸ ❝❤➢➡♥❣✿
❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ♥➟✉ r❛ ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳❝
♥❤❛✉ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✱ ❞➲② sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✱ ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st
❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✱ ❞➲② sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ❝❤Ø r❛ ♠ét
t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ✭➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✮ ➤Ó ❦✐Ó♠ tr❛ ❦❤✐ ♥➭♦ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ q✉❛♥ s➳t
{x(tn )}n∈Z
❧➭
❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✈➭ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ❧➭ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ t➳❝ ❣✐➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ♥❣❤✐Ö♠
❝❤Ø ♥Õ✉ ❞➲② q✉❛♥ s➳t
x(t)
{x(tn )}n∈Z
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❧➭ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥Õ✉ ✈➭
❧➭ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ t➳❝ ❣✐➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ✈➭ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ♥❣❤✐Ö♠
♣❤✐❝ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ❞➲② q✉❛♥ s➳t
x(t)
❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ❧➭ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r✲
{x(n)}n∈Z
✼
❧➭ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✳
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
➜➬✉
t✐➟♥
t➳❝
❣✐➯
①✐♥
➤➢î❝
❜➭②
tá
❧ß♥❣
❜✐Õt
➡♥
s➞✉
s➽❝
❝ñ❛
♠×♥❤
➤Õ♥
❝➳❝
t❤➬②
❣✐➳♦ P●❙✳❚❙❑❍✳ ◆❣✉②Ô♥ ❱➝♥ ▼✐♥❤ ✈➭ ❚❙✳ ❍➭ ❇×♥❤ ▼✐♥❤ ✈× sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤✱
tr✉②Ò♥ t❤ô ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈➭ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐Ö♠ q✉ý ❜➳✉ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝
❝ò♥❣ ♥❤➢ sù q✉❛♥ t➞♠ t❤➢ê♥❣ ①✉②➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì ➞♥ t×♥❤✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ q✉➳
tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤✐Ö✉ ❍✉② ✈➭ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❤➭♥❤
✈✐➟♥ ❝ñ❛ ❳➟✲♠✐✲♥❛ ✬✬ ❉➳♥❣ ➤✐Ö✉ t✐Ö♠ ❝❐♥ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣✬✬✱
❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ø♥❣ ❞ô♥❣ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ♥❤✐Ò✉ ý ❦✐Õ♥ q✉ý ❜➳✉
❝❤♦ ♥é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➳❝ ❣✐➯ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ❇❛♥ ❈❤ñ ♥❤✐Ö♠ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ø♥❣
❞ô♥❣✱ P❤ß♥❣ ❚æ ❝❤ø❝ ❝➳♥ ❜é✱ ❱✐Ö♥ ➜➭♦ t➵♦ s❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥
t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❝➳❝ ❛♥❤ ❝❤Þ ❡♠ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❇➳❝❤ ❦❤♦❛ ❍➭ ◆é✐ ✈Ò sù q✉❛♥
t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❍➭ ◆é✐✱ t❤➳♥❣ ✶✵ ♥➝♠ ✷✵✶✵
❚➳❝ ❣✐➯
❇ï✐ ❳✉➞♥ ❉✐Ö✉
✽
❈❤➢➡♥❣ ✶
❚æ♥❣ q✉❛♥
✶✳✶
❍➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥
❚r♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈➭✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛
♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ♥ã✳ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥
❤♦➭♥
❞➢í✐
❇❛♥❛❝❤
X
➤➞②
✳ ◆Õ✉
➤➢î❝
f
t➳❝
❣✐➯
tr×♥❤
❜➭②
✈í✐
f
❧➭
❤➭♠
❧➭ ❤➭♠ sè ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝✱ tr♦♥❣
♥❤❐♥
Rk
❣✐➳ trÞ
tr♦♥❣
❦❤➠♥❣
❣✐❛♥
❤♦➷❝ ♣❤ø❝ t❤× ❝➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
❞➢í✐ ➤➞② ❝ò♥❣ sÏ ➤➢î❝ ❤✐Ó✉ ♠ét ❝➳❝❤ t➢➡♥❣ tù✳
✶✳✶✳✶
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❇♦❝❤♥❡r
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳
sè t❤ù❝
{αn }n∈Z
❍➭♠ sè
f : R → X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
❝ã t❤Ó trÝ❝❤ ➤➢î❝ ♠ét ❞➲② ❝♦♥
❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥Õ✉ tõ ❜✃t ❦× ❞➲②
{αn }n∈Z
s❛♦ ❝❤♦
lim f (t + αn )
n→∞
❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤ù❝✳
◆Õ✉
f
❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦×
❚❤❐t ✈❐②✱ tõ ❜✃t ❦× ❞➲② sè
❝❤♦
{αn (modT )} → α0
✳
{αn }n∈Z
❑❤✐ ➤ã
T
t❤× ♥ã ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ ♠ét ❞➲② ❝♦♥
lim f (t + αn ) = f (t + α0 ).
n→∞
♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ t❤× ♥ã ❜Þ ❝❤➷♥✳
➤➢❛ r❛ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✻✷✳
✾
{αn }n∈Z
◆❣♦➭✐ r❛ ♥Õ✉
s❛♦
f
❧➭
❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ✈➭✐ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❞♦ ❇♦❝❤♥❡r
tử ị ể
ĩ
{n }
n = n(k)
ó
{n }
sẽ ợ í ệ
ột số ủ
f
ế
ị ĩ ở
số
ồ
í ệ
ủ
ế
= {n }
+ = {n + n }, =
ế
n = n(k)
ột số t tì t tử ị ể
T f = g
ế
g(t) = lim f (t + n )
n
tì ết
T
ợ
ộ tụ ề
ử ụ í ệ ị ĩ ủ số t ợ ết s
số
s
f
ợ ọ t ế ớ ọ số
T f
tồ t
tồ t
ủ số
ủ số
H(f ) = {g :
ị ý
f
ị ý
ế
f
ợ ị ĩ s
s
T f = g
ộ tụ ề
ột số t ế ỉ ế
f
ột số t tì ớ ọ
}.
H(f ) t t
g H(f ) H(g) = H(f )
số t
t
f
= sup |f (t)|
AP(X) = {f : f
ột số t
}
ó
t
ợ tr ị
.
số t
AP(Rk )
f : R R
ột t tự
f : R Rk
ợ í ệ
AP(R)
t ứ
ị ý
ợ ế
ị ĩ ở tr
AP(X)
X = C
ột số tr
X
ĩ ó ó ớ é
ó ớ é t ộ ớ ớ
ữ ế
f AP(X)
F
ột số tụ ề tr t trị ủ
F f AP(X) ế f AP(X) inf |f (t)| > 0 tì
t
ứ
ú ý
tì
1
AP(X).
f (t)
ị ý
ế
ộ tụ ề tì
f
{fn } AP(X) số t lim fn = g
n
g AP(X)
AP(X)
ột ị ủ ứ
tt số t r tự tế ó ị ủ ỏ
t ó tí t
ể ứ trì t ột ỏ tự t r
ớ ề ệ tì
AP(X)
ó ớ é t tí
ể tr ờ ỏ ú t ế ột ể ị ĩ ủ
số t ó ị ĩ ủ r
ị ĩ ủ r
ị ĩ
t số tự
ột t ợ
S
ủ
R ợ ọ trù t t ố ế tồ
L s [a, a + L] S = ớ ọ a R
ể ột t
S
trù t t ố ế ù ủ ó ỉ
ợ é ứ ữ ớ ộ ỏ ột trị ó
ị ĩ
f : R X ột số
ó
f
ợ ọ t
t ể r ế ớ ọ
> 0 t
T (f |R , ) = { R : f (t + ) f (t) < , t R}
trù t t ố ĩ tồ t số
L > 0 s ớ ọ a R [a, a + L]
T (f |R , ) =
ế
f
T (f |R , )
ợ ọ t
ị ể ủ
ột số t ớ ì
tị ủ số
f (ã + nT )
T
tì
f.
ó tể ễ t
T (f |R , )
í ồ tị ủ số
f
trù t t ố ì ồ
í ụ
f (t) = a sin t + a sin t 2, 0 = a X
ột số t t ể r ột tổ qt số
f (t) = aeit + beit
2
, a, b X(a = 0, b = 0)
ột số t t ể r t
í ụ
t tứ ợ
n
ak eik t , (ak X, k R)
P (t) =
k=1
số t t ể r
ị ý
f AP(X)
ế ỉ ế
f
số t t ể
r ó ị ĩ t
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❳❡♠ ❬✼✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✹❪✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✺✳
❈❤♦
f
✈➭
fn , n ∈ Z
❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
X✳ ❑❤✐ ➤ã✿
✶✮
❚❐♣ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ ❤➭♠
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛
✷✮
f
✸✮
◆Õ✉
fn → g
✹✮
◆Õ✉
f
✶✳✶✳✹
β
❦❤✐
{f (t), t ∈ R} ❧➭ t❐♣ ❝♦♥
❜Þ ❝❤➷♥❀
R❀
n → ∞ t❤× g
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
tå♥ t➵✐ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉ t❤× ♥ã ❝ò♥❣ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
❳❡♠ ❬✶✵✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✺❪
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❤❡♦ ❦✐Ó✉ ❤é✐ tô tõ♥❣ ➤✐Ó♠
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻✳
✈➭
❧➭ t✐Ò♥ ❝♦♠♣❛❝t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❐♣
X✱ ❞♦ ➤ã f
❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉ tr➟♥
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
f
❍➭♠ sè
f :R→X
❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tõ ❤❛✐ ❞➲② sè
❜✃t ❦× ❝ã t❤Ó trÝ❝❤ ➤➢î❝ ❝➳❝ ➤å♥❣ ❞➲② ❝♦♥
α⊂α✱β⊂β
s❛♦ ❝❤♦
Tα+β f = Tα Tβ f, ✭❤é✐ tô tõ♥❣ ➤✐Ó♠✮.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❈❤ó ý ✶✳✷✳
α
✭✶✳✶✮
❳❡♠ ❬✼✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✼❪✳
❚r♦♥❣ t❤ù❝ tÕ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó ❤➭♠ sè
f
❧➭ ❤➬✉
t✉➬♥ ❤♦➭♥ tr♦♥❣ ❜✃t ❦× ❦✐Ó✉ ❤é✐ tô ♥➭♦ s❛✉ ➤➞②✿ ❤é✐ tô tõ♥❣ ➤✐Ó♠✱ ❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥ t❐♣
❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❤é✐ tô ➤Ò✉✳
✶✸
✶✳✷
❉➲② sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✹✳
▼ét t❐♣ ❝♦♥
tå♥ t➵✐ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✺✳
l
s❛♦ ❝❤♦
❈❤♦
E ⊂Z
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ trï ♠❐t t➢➡♥❣ ➤è✐ tr➟♥
Z
♥Õ✉
[a, a + l] ∩ E = ∅ ✈í✐ ♠ä✐ a ∈ Z✳
ϕ:Z→X
❧➭ ♠ét ❞➲② sè ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
X✳
❑❤✐ ➤ã✱
ϕ
ε > 0✱ t❐♣
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ❞➲② sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐
T (ϕ|Z , ε) = {m ∈ Z : ϕn+m − ϕn < ε, ∀n ∈ Z}
❧➭ trï ♠❐t t➢➡♥❣ ➤è✐ tr➟♥
Z✱
♥❣❤Ü❛ ❧➭✱
tå♥ t➵✐
L > 0
s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐
a ∈ Z✱
[a, a + L] ∩ T (ϕ|Z , ε) = ∅✳
❚❐♣
T (ϕ|Z , ε)
❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✶✳
◆Õ✉
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
✲❞Þ❝❤ ❝❤✉②Ó♥ ❝ñ❛
ϕ
✳
f (t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ t❤× ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0✱ T (f |R , ε)∩Z
❧➭ trï ♠❐t t➢➡♥❣ ➤è✐ tr➟♥
❍Ö q✉➯ ✶✳✷✳✶✳
ε
◆Õ✉
Z✳
f (t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ t❤× {f (n), n ∈ Z} ❧➭ ♠ét ❞➲②
sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣
T (f |R , ε) ∩ Z ⊂ T (f |Z , ε)
♥➟♥ t❛ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤✳
❍Ö q✉➯ ✶✳✷✳✷✳
♥❤➢ s❛✉✿
◆Õ✉
f (t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ t❤× ❤➭♠ sè f
f (t) = f ([t])∀t ∈ R ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
✶✹
➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
trú ó ủ
Z
tr
R
ó ột trò q trọ tr ị
ĩ số t số t tr
ệ ở rộ
ị ĩ tí t ủ số ị tr tờ rờ r
{tn }nZ
ó trú ó ột ệ ề ễ ị ĩ t ể
ủ r tr ò tí ợ tr trờ ợ ể ợt q ó
ú t sử ụ ý tở r ột số ột ế ủ ột số
ó ú ý r ế
f
ột số t tì ế ủ
số t ợ ế
ột số t
f
s
|Z
|Z
f
tr
Z
ột
ột số t tì tồ t
ế ủ
f
tr
Z
ét ó
ú t tớ ị ĩ s
ị ĩ
{tn }nZ
: {tn }nZ X
ột t rờ r ợ s ế t tứ tự t
ột số ó
tồ t ột số t
ó ột
ợ ọ t ế
f : R X s (tn ) = f (tn ) ớ ọ n Z
: {tn }nZ X
ủ ột số t tr t rờ r
t ế ó ế
{tn }nZ
ị ĩ rt tự
trự rt ó ể ể tr ột số trớ ị ĩ
tr
{tn }nZ
t
ú t sẽ r s ột ề ệ ủ
tí t ủ số tr trờ ợ ệt
tn n 0
n
ệ ề
sử
tn n 0
n
: {tn }nZ Rk
ột
số ó
ột
số t ế ớ ọ
T(|{tn } , ) = {m Z : (tn+m ) (tn ) < ,
trù t t ố ĩ tồ t
L>0
> 0 t
ớ
nZ
s ớ ọ
}
ủ ớ
a R [a, a + L]
T(|{tn } , ) =
r
ệ
T (|{tn } , )
ề
t
ị
í ệ ở ụ từ
sử ụ
ú
ể
nZ
T (|{tn } , )
t
sử
ụ
ủ
í
ệ
tr
ú t ế ệ
T(|{tn } , )
{tn }
ự
t
T(|{tn } , )
ủ ớ sử ụ
ó tể ễ t
T(|{tn } , )
ì
í
ữ
ớ ọ
T (|{tn } , )
nZ
T(|{tn } , ) T (|{tn } , )
t ì
ệ
ý
sẽ ợ tể ệ
rõ tr ứ s
ứ
ì
ột số t ị ĩ tr
số t
tr
f
s
|{tn } = f |{tn }
ét số
Z
ó ột số t ì t
f
f |Z
{tn }
tồ t ột
ế ủ
f
ột số t
ó t s
T (f |Z , /3) = {m Z : f (n + m) f (n) < /3, n Z}
trù t t ố tr
Z
ề ó ế t ớ
T (f |Z , /3)
T(f |Z , /3) = {m Z : f (n + m) f (n) < /3,
ũ trù t t ố tr
ớ
m T(f |Z , /3)
Z
sẽ ứ
ớ
k := tk k
ớ
nZ
s
}
ủ ớ
T(f |Z , /3) T(|{tn } , )
t ó
t
(tn+m ) (tn )
=
f (tn+m ) f (tn )
=
f (n + m + n+m ) f (n + n )
f (n + m + n+m ) f (n + m) + f (n + m) f (n)
+ f (n) f (n + n )
/3 + /3 + /3 = ,
ở ó số tứ t tứ ỏ
ó số tứ ỏ
T(|{tn } , )
t
/3
/3
tí tụ ề ủ
tết ề ó ứ tỏ
f
tr
m T(|{tn } , )
trù t t ố
ị ể
T (f |R , ) T (|Z , ) T(|{tn } , )
ó tí t s ế
ú trù t t ố tì ủ t t ì tr t tr ũ trù
t t ố
í t sẽ ợ sử ụ ể ứ tr ết q í
ủ ú t
số st tr
ị ĩ
ột số tụ
ế ớ ọ số tự
f : R X ợ ọ st tr
(sn ) tồ t ột số (sn ) s
lim lim f (t + sn sm ) = f (t)
m n
ớ ọ
t R.
ớ tr ể tứ ĩ tồ t số
g
s
g(t) = lim f (t + sn ),
f (t) = lim g(t sm ).
n
m
ợ ị ớ ỗ
ú ý
tR
g
ì ộ tụ tr ỉ ộ tụ ể số
ợ
t tết tụ
ú ý
ừ ị ĩ tr ó tể t số số tụ
t ề số st tr
ú ý
t ó
f
ế ớ tr ề tr t ì t t
K R tì
ột số t st tr
ệ ề
ế
f, f1
f2
số st tr
ột số
tự t ì tì
f
f1 + f2
số st tr
f (t) := f (t + ), t R ột số st tr
f(t) = f (t), t R ột số st tr
trị
ứ
Rf
ủ
f
ột t tề t ì
ị ý
f
ị
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳✼✳
◆Õ✉
X s❛♦ ❝❤♦ fn → f
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
{fn } ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ tr➟♥
❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥
R t❤× f
❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✳
❳❡♠ ❬✶✼✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶✵❪✳
◆Õ✉ ❦Ý ❤✐Ö✉
AA(X)
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ✈í✐ ❝❤✉➮♥
s✉♣
f = sup f (t)
t∈R
t❤×
AA(X)
sÏ trë t❤➭♥❤ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❑Ý ❤✐Ö✉
KAA(X)
❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❝➳❝ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝✱ ❝♦♠♣❛❝t ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ t❤× ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝
s❛✉
AP(X) ⊂ KAA(X) ⊂ AA(X) ⊂ BC(R, X).
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✸✳
t❤×
◆Õ✉
f ∈ AA(X) ✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ♥ã f
tå♥ t➵✐✱ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉ tr➟♥
R
f ∈ AA(X)✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳✹✳
●✐➯ sö
F : R → X✱ F (t) =
t
0
f (s)ds
✈í✐
f ∈ AA(X)✳
❑❤✐ ➤ã
F ∈ AA(X) ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ RF = {F (t)|t ∈ R} ❧➭ t✐Ò♥ ❝♦♠♣❛❝t✳
▼ét sù ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ r✃t ❧í♥ ❣✐÷❛ ♠ét ❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈➭ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝
❧➭ ♠ét ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ♣❤➯✐ t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❧✐➟♥ tô❝
➤Ò✉✳ ❱Ý ❞ô s❛✉ ➤➞② sÏ ❝❤Ø r❛ ➤✐Ò✉ ➤ã✿
✶✾
❱Ý ❞ô ✶✳✸✳✸✳
❈➳❝ ❤➭♠ sè
1
√
2 + sin t + sin 2t
f (t) := cos
✈➭
√
sin t + sin 2t
√
2 + cos t + cos 2t
g(t) := arctan
❧➭ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉✳ ❱➭ ✈× ✈❐② ♥ã ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♠ét
❤➭♠ sè ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
✶✳✹
❉➲② sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝
❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✱ tr♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐
sÏ ➤➢❛ r❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② sè ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝✳
❑Ý ❤✐Ö✉
l∞ (X)
❣✐❛♥ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❞➲② sè ❜Þ ❝❤➷♥ ✭❝➯ ❤❛✐ ❝❤✐Ò✉✮ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
X
❧➭ ❦❤➠♥❣
✈í✐ ❝❤✉➮♥
s✉♣
x := sup xn < +∞.
n∈Z
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳✽✳
❞➲② sè ♥❣✉②➟♥
❉➲② sè
x ∈ l∞ (X) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐
(kn )✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ❞➲② sè ❝♦♥ (kn ) s❛♦ ❝❤♦
lim lim xp+kn −km = xp
✭✶✳✺✮
m→∞ n→∞
✈í✐ ♠ä✐
p ∈ Z.
●✐í✐ ❤➵♥ tr♦♥❣ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✶✳✺✮ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ tå♥ t➵✐ ❞➲②
yp = lim xp+kn ,
n→∞
✷✵
{yn }
s❛♦ ❝❤♦
✭✶✳✻✮
xp = lim ypkm
m
ợ ị ớ ỗ
pZ
ợ tt số st tr trị tr
ó ủ
l (X)
ợ í ệ
X
sẽ ột
aa(X)
ét ề ị sử
ị ĩ số t t ệ t tr ột
ủ r tr r r t
ũ ờ ỉ r sự t ữ ị ĩ í ệ
số
ị ể
T
ũ ợ t trể ở r tr
ị ĩ r t ệ t tr ột ủ
ị ĩ ủ r ị ĩ t tệ t ệ ỉ r tí
t t số ủ
AP(X)
tí t ó í ớ é t ộ
trừ ớ ớ ể ỉ r ột ệ ó ủ
trì t tì ị ĩ rt ó tự ệ ể ề
ó ờ t sử ụ ị ĩ ủ r
ị ý t ệ tr tr ủ r
r ó t ũ r ệ số st tr ó
tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✻ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝❤♦ ❞➲②
β = −α
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❛❧♠♦st ❛✉t♦♠♦r♣❤✐❝ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ tõ ❞➲②
♠ét ❞➲② ❝♦♥
α⊂α
s❛♦ ❝❤♦
T−α Tα f = f
✷✷
✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ❤➭♠ sè
α
f
❜✃t ❦× ❝ã t❤Ó trÝ❝❤ ➤➢î❝
✭❤é✐ tô tõ♥❣ ➤✐Ó♠✮✳
st ệ t ủ
trì
ớ tệ t
r ú t ứ ệ ộ ự t t trì
s
dx
= f (x, t),
dt
ở ó
f (x, t)
t t
ỏ ú t ố tr ờ
x(t)
tr
{tn }nZ
x Rk ,
t
ề t
< t < ,
x
tr t t ủ
x(t)
ột ết q ợ ết ế từ rt ó ệ ị
t ế ỉ ế q st ủ ó tr
Z
ũ t
x(t)
ủ trì
ột số t
ị ý ú ý r tr trờ ợ t q st
R
ớ ề ệ tì q st ủ ệ
t tì sẽ ế ệ
trú ột ó ủ
Rk
Z
ó
ữ ờ q t ó tể tì ể t ề ết
q q ế ề tr
ụ í ủ ú t tr ết q ớ ẹ ề ệ q
st ở ó ú t trú ó ủ t q st ó
ú t ị ĩ t q st ột t ợ rờ r
{tn }nZ
ợ s ế t
tứ tự t q st ủ ú t tt sự ó ề ý ĩ q
trọ tr tự tế ứ t t t từ t q st tr tự tế ú t
tể q st ệ
x(t)
t í tờ ể tr ột t ó
trú ó ợ ở ì ở ủ ễ ứ ề t ý tết t
ở rộ ệ t số ị tr tờ rờ r
{tn }nZ
ó trú ó ột t ó ề ứ ụ tr tự tế
ể ết ủ t t ợ ứ ột ủ
ột t ở ế tờ ể ệ t
ết q í
ổ ề s tể ệ sự ụ tộ ủ ệ ề ệ ế
ủ trì
ổ ề
sử ọ trì
x = g(x, t) ớ g H(f ) ề ó ệ
t ớ t trị ó ớ ỗ t
t ột số
K Rk
> 0 tồ
= (, K) > 0 s ế g1 , g2 H(f ) :
sup g1 (x, t) g2 (x, t) < ,
xK
xi
ệ ủ trì
x = gi (x, t)
tr
K
ớ
xi (0) K tì t ó
x1 (t) x2 (t) < ,
ớ ọ
t tộ t ì t t K
ứ
0 ủ R
x1 (0) x2 (0) <
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯
H(f ), i = 1, 2
sö
♣❤➯♥
❝❤ø♥❣✱
tå♥
t➵✐
♠ét
sè
ε > 0
❤❛✐
❞➲②
gi (x, t) ∈
s❛♦ ❝❤♦
(n)
(n)
sup g1 (x, t) − g2 (x, t) <
x∈K
(n)
✈➭ ♥❣❤✐Ö♠
(n)
✈➭
xi
(n)
❝ñ❛
x = gi (x, t)
(n)
(n)
1
,
n
x1 (0) − x2 (0) <
✈í✐
(n)
1
n
♥❤➢♥❣
(n)
sup x1 (t) − x2 (t) ≥ ε.
t∈K
(n)
❑❤✐ ➤ã✱ ✈×
xi (0) ∈ K
✈➭
K
❧➭ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt
(n)
xi (0) → x0 ,
H(f )
❚➢➡♥❣ tù✱ ✈×
i = 1, 2.
❧➭ ❝♦♠♣❛❝t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt
(n)
gi (x, t) → g(x, t) ∈ H(f ).
(n)
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧✃② ❞➲② ❝♦♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❣✐➯ t❤✐Õt
R
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛
➤➬✉✱
xi
xi (t) → xi (t)
➤Ò✉ tr➟♥ t❐♣ ❝♦♥
✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ❑❛♠❦❡ ✈➭ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❣✐➳ trÞ ❜❛♥
x = g(x, t), x(0) = x0
❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
(n)
➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐
✳
❉♦ ➤ã
x1 ≡ x2 .
(n)
sup x1 (t) − x2 (t) ≥ ε.
t∈K
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳✶✳
❝♦♠♣❛❝t ❝ñ❛
●✐➯ sö r➺♥❣
Rk
f (x, t) ❧➭ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ t❤❡♦ t ➤Ò✉ t❤❡♦ x tr➟♥ t❐♣ ❝♦♥
✈➭ ✈í✐ ♠ä✐
g ∈ H(f )✱
♥❤✃t ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❣✐➳ trÞ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ●✐➯ sö
✭✷✳✶✮✱
❦❤✐
{tn }n∈Z
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
x(t)
x˙ = g(x, t)
❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉②
❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ñ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
t❐♣ ❤î♣ rê✐ r➵❝ ➤➢î❝ s➽♣ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù t➝♥❣ ❞➬♥ ✈➭
tn − n → 0
n → ∞✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥❣❤✐Ö♠ x(t) ❧➭ ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉ ❞➲② ❝➳❝ q✉❛♥ s➳t
{x(tn )}n∈Z
❧➭ ♠ét ❞➲② ❤➬✉ t✉➬♥ ❤♦➭♥✳
✷✺
