đáp án hình 7 đã ghép

CHƯƠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
§ 1: Hai góc đối đỉnh.
Bài 1: ……………………………….
Bài 2:
·AOB

a)

⇒

là hai góc kề bù nên

·AOB

+

·
BOC

= 180o

OA và OC là hai tia đối nhau.
·AOB

Tương tự
⇒

và

·
BOC

và

·AOD

là hai góc kề bù nên

·AOB

+

·AOD

= 180o

OB và OD là hai tia đối nhau.
·
BOC

·AOD

Do đó
và
có mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia
nên là hai góc đối đỉnh.
b) Gọi Om là tia phân giác của góc BOC và On là tia phân giác của góc AOD. Ta

có
Mà
Nên

·
COB

·
mOC

=

·
mOC

Do đó

·AOD

=

·
nOC

=

·
nOA

+

1
·

·
nOA
2 COD

;

=

1
2 ·AOD

B

.

C

O

A

(hai góc đối đỉnh)
D

.

·
mOC

= 180o

⇒

Om và On là hai tia đối nhau.

Bài 3 :
·
xOy

Ta có góc
và góc
· '
xOy
=1800.

· '
xOy

là hai góc kề bù nên

·
xOy

+

y

x

O

x'

y'


Mà

· '
xOy
·
xOy

Và

-

·
xOy

o

= 30 suy ra 2
· '
xOy

= 180o -

· '
xOy

o

o

o

= 180 + 30 = 210 nên

· '
xOy

= 105o.

= 180o – 105o = 75o.

Góc x’Oy’ và góc xOy là hai góc đối đỉnh nên
Góc yOx’ và góc xOy’ là hai góc đối đỉnh nên

·x ' Oy '
·yOx '

= 75o

= 105o.

Bài 4:
a) Các tia OA và OC, OB và OD là các tia đối nhau, do đó hai góc BOC và AOD

là hai góc đối đỉnh.
b) ……………………………..

Bài 5:
·AOC

·
COA
'

Ta có
+
o
0
180 – 90 = 90o.

o

= 180 mà

·AOC

o

= 90 nên

·A ' OC

D

=

B

45°

Vì OB’ là tia phân giác của góc A’OC, nên
·A ' OC
= 45o.

·
COB
'

=

1
2

A'

A

O

C

B'

·
·
·
BOB
' = BOA

+ ·AOC + COB
'

= 45o + 90o + 45o = 180o, do đó OB và OB’ là hai tia đối
nhau. Từ đó suy ra hai góc AOB và A’OB’ là hai góc đối đỉnh.
·A ' OD

b)
45o.

+

·
·
DOB
+ BOA

·
·
·A ' OD
DOB
= 90o BOA
o
o
= 180 mà
,
= 45 , nên
= 180o – 90o –

Bài 6 :

a) Hai góc AOM và BON có một cặp cạnh là hai tia đối nhau, cặp cạnh còn lại không
đối nhau nên hai góc đó không phải là góc đối đỉnh.
b)Ta có

·
BOC

=

·AOM

= 40o (đối đỉnh).

M

A

N

40°

40°

B

O
C


Suy ra

·
BOC

=

·
BON

( cùng bằng 40o) (1).

Hai góc BOC và BON là hai góc kề, có tổng là 80o < 180o nên cạnh chung OB nằm
giữa hai cạnh OC, ON (2).
Từ (1) và (2) suy ra OB là tia phân giác của góc CON.
Bài 7:
·
BOC

·AOD

Gọi
và
là hai góc đối đỉnh. Tia OE là tia phân giác của góc BOC và tia
OF là tia đối của tia OE.
Ta phải chứng minh OF là tia phân giác của góc AOD
Giả sử tia OF không phải là tia phân giác của góc AOD, vẽ tia OF’là tia phân giác
của góc AOD, thế thì OF’ là tia đối của tia OE. Như vậy hai tia OF và OF’ đều là tia
đối của tia OE, đó là điều vô lí. Vậy điều giả sử là sai, suy ra tia OF là tia phân giác
của góc AOD.
Bài 8:

Qua O vẽ 6 đường thẳng đôi một phân biệt nên có:
2.6 = 12 (tia)
Có 12 tia gốc O, mỗi tia tạo với 1 tia trong 11 tia còn lại thành 11 góc nên có:
11.12 = 132 (góc)
Tuy nhiên mỗi góc đã được tính hai lần.
Số góc thực sự có là: 132 : 2 = 66 (góc)
Có 6 đường thẳng nên trên hình có 6 góc bẹt.
Số các góc nhỏ hơn góc bẹt trong hình có là:
66 – 6 = 60 (góc)
Mỗi góc trong 60 góc này đều có một góc đối đỉnh với nó, tạo thành một cặp góc đối
đỉnh. Vậy số cặp góc đối đỉnh nhỏ hơn góc bẹt có là:
60 : 2 = 30.
Bài 9:


Có 12 góc không có điểm trong chung, tổng của chúng
bằng 360o, nếu tất cả các góc này đều < 30o thì tổng của
chúng < 360o, vô lý. Vậy phải tồn tại một góc lớn hơn
hoặc bằng 30o.

A
C

F

2
1

O

F'

E

D
B

§ 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
Bài 1:………..
A

Bài 2:

60°

a) Xem hình vẽ.
b) Đo được góc ABM = 30o, góc ACM = 30o.

M

N
H

c) Đo được góc MHM = 120o.
B

C

Bài 3:
Theo giả thiết ta có:

·AOM

·
MOB

·AOB

+

·
BOC

= 180o.

M

·
MON

⊥

ON hay
= 90o hay
·
·
·AOM
·
MOB
BON
NOC

o
+
= 90 (2), suy ra
+
= 90o.
=

(1) và OM

Từ (1), (2), (3) suy ra

·
NOC

=

B

N

·
BON

C

A

O

.

Dễ dàng thấy tia ON nằm giữa hai tia OB và OC.
Do đó ON là tia phân giác của góc BOC
Bài 4 :
3 giờ, 9 giờ kim phút và kim giờ tạo
thành góc vuông. 6 giờ kim giờ và
kim phút tạo thành góc bẹt.

11

12

11

1

10

2

9

3
8

4
7

6

5

12

1

10

2

9

3
8

4
7

6

5


h

Bài 5:

y

a) Tia Oh, Oy và Ot đều thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa

tia Ox mà Oh vuông góc với Ox mà:

⊥

Oh
=

1
2

·
xOh
= 90o

Ox nên
o

o

60 = 30 , nên

;

·
xOy

o

= 60 ;

·
xOt

=

1
·
2 xOy

t

x'

O

x

· + tOh
· = xOh
· ;
xOt

· = xOh
·
· = 90o − 30o = 60o.
tOh
− xOt
·
·
xOh

> xOy

b) Ta có:
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oh, Ot lại là tia phân giác
·
xOy
của
nên tia Oy nằm giữa hai tia Oh và Ot. Ta có:
·
·
xOy
+ ·yOh = xOh
·
·
xOh
= xOh
− ·yOh = 90o − 60o = 30o.
· = 30o
xOt

. Tia Oy nằm giữa hai tia Oh và Ot và
·
hOt

Do đó tia Oy là tia phân giác của góc

.

Bài 6:
·

mOy
= ·yOn = 90o

a) Ta có:
·
·
⇒ xOm
+ nOz

(Om

= 90o (2)

⊥

On) (1)

·yOt = ·yOh = 1 tOh
· .
2


·yOn + nOz
·

Mà

(Om là tia phân giác của góc

Nên từ (1) và (2) suy ra

·yOn

⇒

=

·
xOy

)

·
nOz

·yOz

Oz là tia phân giác của
.
b) Gọi Om, On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc kề bù xOy và yOz.
Ta có :
·
xOn

=

·
xOm

=

·
xOy
·
mOy
=
2

·
zOy
·
nOz
=
2

·
·
·
⇒ mOn = mOy + nOy

=

·
·yOz
xOy
+
2
2

.

o

180
·
mOn
=
= 90o
·xOy + ·yOz = 180
⇒
2
o

Vì
Bài 7:
Ta có:
⇒

·AOC < ·AOB

(60o < 90o)

Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB.

·
⇒ BOC
= ·AOB − ·AOC

= 90o – 60o = 30o (1).

Tương tự ta có tia OD nằm giữa hai tia OA và

OB.
o
o
o
·
·
·
⇒ AOD = AOB − DOB = 90 − 60 = 30

·
·
⇒ AOD < AOC

(30o < 60o)

·
⇒ DOC
= ·AOC − ·AOD

⇒ ·AOD < ·AOC < ·AOB

= 60o – 30o = 30o
(30o < 60o < 90o)

B
C
E

D

O

A


⇒

Tia OC nằm giữa hai tia OD và OB.

b) Vì OB là tia phân giác của góc DOE nên
·
DOE

=2

·
DOB

= 2.60o = 120o

·
·
⇒ DOC < DOE

⇒

(30o < 120o)

Tia OC nằm giữa hai tia OD và OE.

·
·
·
⇒ COE = DOE − DOC

= 120o – 30o= 90o

⇒

OE

⊥

OC.

Bài 8:
a) Tia OB nằm giữa hai tia Ox, Oy nên

Tia OA nằm giữa hai tia Ox, OB nên
Vậy

·AOB = ·AOx

·
·
·
BOx
= xOy
− BOy
= 90o − 30o = 60o

·AOB = BOx
·
− ·AOx = 60o − 30o = 30o

= 30o.

Do đó tia OA là tia phân giác của góc Box.
b) Tia Oy là tia phân giác của góc

AOC (đề bài)
nên

·AOC = 2 ·AOy

= 2.60o = 120o.

30°

Tia OB nằm giữa hai tia OA, OC

30 °

Nên
·
BOC
= ·AOC − ·AOB = 120o − 30o = 90o

Do đó OB

⊥

OC.

§ 3: CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG
THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG.
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài 1:

A

M

N

P

B

D

Q

C

E


·
MAB

a)

·
MAB

b)

·ACB

c)

·ADP

d)
e)

·ABC
·
CAQ

và
và
và
và
và

·ABC

·ADF

·AED
·ADE
·
DAQ

là một cặp góc so le trong.
là một cặp góc trong cùng phía.
là một cặp góc đồng vị.
là một cặp góc kề bù.
là một cặp góc trong cùng phía.

·AED

f)
và
là một cặp góc so le trong.
Bài 2: ………
·
·
BCD
= BCA
+ ·ACD
Bài 3: Ta có:
= 60o + 70o = 130o.
Hai góc trong cùng phía ABC và BCD có:
·ABC + BCD
·
= 50o + 130o = 180o
nên AB // CD.
Bài 4:

Ta biết rằng hai góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường
thẳng song song.
·
BAx
+ ·ABy = α + 4α = 5α .
Nếu

5α

= 180o, tức là

α

= 36o thì Ax // By.

Bài 5:
·
DAB
= 360o − (140o + 90o ) = 130o

y

x

A

α

4α
B

B

E

sau đó dùng dấu hiệu cặp

góc

50°

trong cùng phía bù nhau.
A
D

140°
40°
C

F

Bài 6:
a) Nếu tia Ct nằm trong góc xOy thì phải có xCt = 60o.
·
xCt
Nếu tia Ct nằm ngoài góc xOy thì phải có
= 120o.
o
o
o

b) a hoặc 180 – a .
Bài 7:
a) Kẻ tia Oy’ là tia đối của tia Oy thì
(hai góc kề bù)

·y ' Oa + ·AOy

M

= 180

o

A
z'

z

30°

y'

150°

30°
N

O

y

·AOy

·AOy '

= 150o nên
= 30o
·AOy ' = OAz
·
Suy ra
(=30o), do đó Az // Oy’hay Az // Oy.
·
z· 'AO = xOy
= 150o
b) Oy // Az’ nên
. OM và ON lần lượt là tia phân giác của góc xOy và
·AOM = OAN
·
z’OA, do đó
(= 75o), suy ra OM // AN.
Mà

Bài 8:
Ta có

·
xAB

và

·yBA

là hai góc tron cùng phía.
·xAB + ·yBA = 180o

Do vậy Ax // By khi
3
α+ α
⇔
2
= 180o.
5
α
⇔ 2
= 180o
5
⇔ α
2
= 180o : = 72o
⇔ α
= 72o.

y

x

A

B

§ 4: TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.
Bài 1:
·
·ACN
·
·ACN
MAC
MAC
Ta có
và
là hai góc trong cùng phía,
+
= 70o + 110o = 180o nên AB // CD.
⊥
⊥
Ta có BD CD và AB // CD . Vậy BD AB.
Bài 2:
·
·AIB CID
=
(đối đỉnh) ;
·
·IAB ICD
=
(so le trong và AB // CD);
·
·
IDC
IBA

=
(so le trong và AB // CD).
µ
¶
µ −C
º = 40o
µ
¶
C1 + C2 = 180o
C
C
C
1
2
1
2
Bài 3:
và
nên tính được
= 110o,
= 70o.
o
¶
¶
⇒ D1 = C2 = 70
a//b
(hai góc so le trong);


o

¶
µ
⇒ D2 = C1 = 110

a//b
Bài 4:

AC // Oy
AB // Ox

(hai góc so le trong).

o
µ µ
⇒ C1 = O = 50
o
µ µ
⇒ A1 = C1 = 50

µ
A3

(hai góc đồng vị);

(hai góc so le trong);
¶A = ¶A
2
4
= 50o;
= 130o.

Từ đó tính được
Bài 5:
·ADC = BAD
·
Ta có
(so le trong và AB // CD).
o
·
·ADC
BAD
= 30
Mà
nên
= 30o.
·
·
CDE
= DEF
Mặt khác
(so le trong và CD // EF).
·
·
CDE
DEF
Mà:
= 50o nên
= 50o.
·ADE = ·ADC + CDE
·

Ta có:
= 30o + 50o = 80o.
Bài 6:
·
·
·ACD
BAC
+ ·ACD
BAC
⇒
o
o
o
Ta có:
= 155 + 25 = 180 ,
và
là hai góc trong cùng phía
AB // CD.
(1)
·DCE + CEF
·
·
·
CEF
CDE
⇒
o
o
o
Mặt khác, có

= 40 + 140 = 180 ,
và
là hai góc trong cùng phía
CD //
EF.
(2)
Từ (1) và (2) có AB // EF.
Bài 7:
Vẽ tia EF // AB (hình vẽ)
I.
Ta có EF // AB, AB // CD.
⇒
A
B
EF // CD.
115°
·
BAE
+ ·AEF
F
E
Ta có
= 180o ( hai góc trong cùng phía và AB // EF)
·AEF
⇒
⇒ ·AEF
140°
o
o
115 +

= 180
= 65o.
D
C
o
·FEC + ECD
·
= 180
Ta còn có:
( hai góc trong cùng phía và EF //
CD)
·
·
+ 140o = 180o ⇒ FEC
= 40o
⇒ FEC
Vậy

·AEC

Bài 8:

=

·AEF + FEC
·

= 65o + 40o = 105o.
B

A
E
C

70°
F

40°
D


Vẽ tia EF song song với AB. (hình vẽ)

⇒
Ta có AB // CD (Theo đề bài), EF // AB
EF // CD.
·
·
FED
= CDE
Ta có:
= 40o (so le trong và EF // CD).
Bài 9:
a) Theo đề bài ta có:
Hai góc DAC và ACB là hai góc so le trong mà
·
DAC
= ·ACB
nên AD // BC.

m
E
y

A

I

D

x

·
EAB

Hai góc FAB và ABC là hai góc so le trong mà
=
B
C
·ABC
nên AE // BC.
Theo tiên đề Ơ-clit, qua điểm A chỉ có một đường thẳng song song với BC nên đường thẳng
∈
chứa các tia Ax, Ay trùng nhau; mà D và E lần lượt Ax, Ay do đó ba điểm D, A, E thẳng
hàng.
· = BCI
·
xIC
b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng m và đường thẳng xy, vì xy // BC nên `
(hai

góc so le trong).
·
BCI
⊥
Do m BC tại C nên
= 90o.
⊥
Điều này chứng tỏ m
xy.
Bài 10:
Giả sử đường thẳng d không cắt Oy mà đường thẳng d song song với Oy. Vì Ox cắt Oy tại O nên Ox
cắt đường thẳng d, nghĩa là đường thẳng d không song song với Ox, trái với đề bài. Vậy đường
thẳng d cắt Oy.

§ 5: TỪ VUÔNG GÓC ĐẾN SONG SONG.
Bài 1:
Giả sử đường thẳng c không cắt đường thẳng b mà đường thẳng c song song với đường thẳng b.
Như vậy qua điểm A nằm ngoài đường thẳng b có hai đường thẳng a và c cùng song song với
đường thẳng b nên theo tiên đề Ơ-clit về đường thẳng song song thì đường thẳng c trùng với
đường thẳng a. Điều này trái với đề bài. Vậy đường thẳng c cắt đường thẳng b.
Bài 2: ............................
Bài 3: .....................
Bài 4: ................
Bài 5:
Kẻ tia Ex // AM, ta có
µ
µ
·AME
·AME E
E

1
1
và
là hai góc trong cùng phía nên
+
= 180o
µ
µ
E
1
⇒ E1
150o +
= 180o
= 30o.


µ
E
1

+

¶
E
2

=
¶E
2

·
MEN

hay 30o +

¶
E
2

= 90o

¶
⇒ E2

=60o
¶
·
·
E
ENB
ENB
2
⇒
o
o
o
+
có = 60 + 120 = 180 ,
và
là hai góc trong cùng phía

Ex // BN.

Ta lại có
Ex / / AM 
 ⇒ AM / / BN hay a / / b
Ex / / BN 

a/ / b 
⇒ a ⊥c ⇒
b ⊥ c
điều phải chứng minh.

§ 6: ĐỊNH LÝ
Bài 1:
· , x· ' O 'y'
xOy

GT

KL

nhọn;
Ox // O’x’; Oy // O’y’
·
xOy
= x· ' O ' y '

y'

Vẽ tia

OO’ như
hình bên,

1

y

ta có:
µ =O
¶'
O
1
1
µ
O
1

µ '1
O

¶
O
2

µ '2
O

(Vì
và
¶O = O

¶ '
2
2
(Vì

Suy ra
Do đó:
b)
GT

KL

2

x'

O'
1

2

O

đồng vị, Ox // O’x’);

x

và
đồng vị, Oy // O’y’);
µ

¶
¶ ' +O
¶'
O1 + O2 = O
1
2
·
xOy
= x· ' O ' y '.
y

· , x· ' O 'y'
xOy

tù;
Ox // O’x’; Oy // O’y’
·
xOy
= x· ' O ' y '

y'

Giả sử có hình
vẽ như hình
bên.

⇒
Tia Ox cắt tia O’y’ tại A
Ax // O’x’; Oy // Ay’.
·

· ' xOy
·
·xAy '
xOy
xAy
Ta có:
=
(
=
đồng vị, Oy // Ay’);
(1)

x

O
O'

x'


·xAy ' = x· ' O ' y ' xAy
· '
x· ' O ' y '
(
và
đồng vị, Ax // O’x’)
·xOy = x· ' O ' y '.

.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra
Bài 2:
a)

KL

a

a
a // b

b)

b

≠ b, a / / c, b / / c

GT
KL

c

≠ b, a ⊥ c , b ⊥ c

GT

a
a // b

GT

b

Bài 3:

¶
zAt

và

·
hMk
KL

a

·
xOy
·
xOy

và
¶zAt hMk
·
=

·
hMk

a)

c

phụ nhau,
phụ nhau

·
xOy

Chứng minh:
·
¶
xOy
zAt
Ta có
và
phụ nhau (giả thiết)
·
·
¶
¶
xOy
xOy
⇒ zAt
⇒ zAt
+
= 90o
= 90o . (1)

Mặt khác,
và
phụ nhau (giả thiết)
·
·
xOy
⇒ hMk
+
= 90o
·
·
xOy
⇒ hMk
= 90o .
(2)
¶zAt hMk
· .
=
Từ (1) và (2) suy ra
b) Tương tự câu a).

Bài 4:
•
GT

KL

·
xOy

y

x· ' O ' y '

và
đều
nhọn, Ox // O’x’ và Oy //
O’y’
·
xOy
x· ' O ' y '
=

y'
O

M
O'

x
x'


·
·
xMy
' = xOy

·

xMy
' = x· ' Oy '

Gọi giao điểm của Ox và Ox’ là M, ta có
(hai góc đồng vị) và
đồng vị)
·
·x ' Oy '
xOy
Từ đó suy ra
=
.
Chú ý: Có nhiều cách chứng minh, bạn đọc hãy tự tìm thêm cách chứng minh khác.
Xét trường hợp một góc nhọn, một góc tù
•
GT

KL

·
xOy

x· ' O ' y '

x

và
tù,
Ox // O’x’, Oy // O’y’.
·

xOy
x· ' O ' y 'm = 180o
+

(hai g

z

y'

O'

M
Vẽ tia Oz’ là tia đối của tia
O
O’x’, khi đó hai góc xOy và
zO’y’ là hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song : Ox
x'
·
· 'y'
xOy
zO
//O’z, Oy //O’y’ nên
=
.
·zO ' y ' + ·y ' O ' x ' = 180o
·
xOy
x· ' O ' y '
Mặt khác

(hai góc kề bù), do đó
+
= 180o.

y

§ 7: ÔN TẬP CHƯƠNG.
Bài 1:
Vì Az là tia phân giác của góc xAB
o
·
·zAB = xAB = 110 = 55o.
⇒
2
2
x

A

t

Tương tự Bt là tia phân giác của góc ABy nên:
o
·
·ABt = ABy = 110 = 55o
·
= ·ABt
⇒ zAB
2
2

( = 55o)
z
y
B
Do vậy Az // Bt.
Bài 2:
·
mAx
' + x· ' AB = 180o
Ta có:
(hai góc kề bù)
·mAx ' + 110o = 180o ⇒ mAx
·
' = 70o
.
o
·
·mAz ' = mAx ' = 70 = 35o.
·
mAx
'
2
2
Vì Az là tia phân giác của
nên
Nết đường thẳng AB cắt hai đường thẳng Az, Bt và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị
bằng nhau thì Az và Bt song song với nhau.
·
·
·ABt

mAz
=35o ; mAz
Ta có:
và
là một cặp góc đồng vị.


·ABt

Do đó nếu
= 35o thì Az // Bt
o
o
·
·
⇒ ABy = 2 ABt = 2.35 = 70
·ABy

Do vậy khi
= 70o thì Az // Bt.
Bài 3:
·AOB
·
BOC
o
D
a)
= 120 ;
= 30o.
·DOB COD

·
·BOC
A
B
b)
=
= 60o.
·
·
·
DOA
COA
DOC
=
= 60o.
C'
C
O
·AOD = DOB
·
và OD nằm giữa hai tia OA, OB nên OD là tia
phân giác của góc AOB.
·AOC ' = BOC
·
= 30o
c)
.
Bài 4:
y
·

·
xOy
⇒ xAm
a) Am // Oy (giả thiết)
=
( cặp góc đồng
m
µ
º
µ
¶
A1 = A2 O1 = O2
t
vị) ;
;
(giả thiết)
H
µ
µ
n
⇒ A1 = O1
2
2
(cùng bằng một nửa của hai góc bằng nhau)
1
1
⇒
O
x
A

An // Ot (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
⇒
⊥
⊥
b) AH
Ot (giả thiết)
AH An ( quan hệ song song
và vuông góc).
Hai góc OAm và xAm là hai góc kề bù, tia An là tia phân giác của góc xAm suy ra tia AH là
tia phân giác của góc OAH.
Bài 5:
a) Qua C kẻ CF // AB, hãy chứng minh CF // DE.
Đáp số: x = 90o.
b) Qua K, kẻ KG // HI, hãy chứng minh KG // MP.
c) Đáp số: y = 80o.
Bài 6:

µ µ
∆ABC A − B
GT:
,
= 90o; CH là đường cao hạ từ C của
∆ABC
.
·
·
HAC
= BCH
.
KL:

Chứng minh:

H

A

C

M

B


⊥

·
BAC

·
·
BAM
+ MAC

o

Tại A kẻ AM AC. Vì
> 90 nên tia AM nằm giữa hai tia AB, AC nên
=
·
·

·
·
·
BAC
BAC
MAC
MAC
⇒ BAM
=
;
= 90o.
·
·
⇒ BAM
BAC
=
= 90o.
·
µ
BAC
B
Theo giả thiết
=
= 90o.
·
·
·
·
µ
µ

HCA
= BAM
HCA
.
⇒ BAM
⇒ B
B
=
mà
(hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
=
·
·ACB BCH
·
HCA
Tia CA nằm giữa hai tia CB và CH do vậy
+
=
·HAC
là góc ngoài tại A của tam giác ABC, nên
·
µ + ·ACB 
HAC
=B
·
·
 
 ⇒ HAC = BCH
·BCH = B
µ + ·ACB 


Bài 7:
·
µ ; HCK
·
¶
HCA
=B
=B
1
2

y

(cặp góc có cạnh tương ứng vuông

góc cùng nhọn).
µ =B
¶
·
·
B
HCA
= HCK
1
2
Vì
(gt) nên
.

K

x
H

1
B

CHƯƠNG 2: TAM GIÁC.
§ 8: TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC.
Bài 1:
A
µA B
µ
µA
µ ⇒ 3 = 2.
B
=3
Ta có: 2
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
µA B
µ µA − B
µ 30o
µA
= =
=
= 30o
⇒ 3
⇒ µA
3 2 3− 2

1
= 30o
= 30o.3 = 90o;
µ
B
µ
⇒ B
2
= 30o
= 30o . 2 = 60o.
µ
µA B
µ
C
Ta có: +
+ = 180o
µ
µA B
µ
⇒ C
o
= 180 – ( + ) = 180o – (90o + 60o) = 30o.
A
Bài 2:

2

C

D

B

C


µA

µ
B

Bài 3:

o

µ
C

= 100 ; = 60 ; = 20o.
·
BDC
= µA + ·ABD
b)
= 130o.
a)

o

·
·

·
·
CAD
+ BAD
= BAC
BAC
Ta có:
,
= 90o.
A
·
·
CAD
+ BAD
= 90o
Nên
(1).
·
·
HDA
DAH
Mặt khác ADH vuông tại H nên
+
= 90o
(2)
B
C
D H
·
·

·
BAD
DAH
BAH
Mà
=
(AD là tia phân giác
) (3).
·CAD + CDA
·
.
Từ (1), (2) và (3) có
Bài 4:
·
·ADB DBC
Do AD // BC, nên
=
= 15o ( hai góc so le trong). Trong tam giác vuông BCD có:
·
·
·
·
·
BCD
+ DBC
+ BDC
BDC
⇒ BDC
o
o

o
o
= 180 , nên 90 + 15 +
= 180
= 75o.
·ADC = ·ADB + BDC
·
= 15o + 75o = 90o
⊥
Ta có:
vì tia DB nằm giữa hai tia DA và DC), vậy DC AD.
⊥
Ta lại có AB AD (giả thiết), suy ra BC // CD.
Bài 5:
·ACB = 40o
·
·
ECD
= 50o
BCD
⊥
Dễ dàng ta có
và
, suy ra
= 90o hay BC
CD.
Bài 6:
µA ·ADE
Do AC // DE nên
=

= 60o (hai góc so le trong)
µ
B
= 180o – (60o + 25o) = 95o.
µ
µ
C
B
Bài 7: Giả sử
> , ta có:
µB − C
µ
µ
·
µ C
·
2
DAH
B
DAH
=
, suy ra
=2
= 2.15o = 30o.
µ
µ
µ C
µ
C
B

B
o
o
= 90 , từ đó suy ra
= 60 và
Mặt khác +
= 30o.
µ
µ
µ C
µ
C
B
B
Nếu <
, chứng minh tương tự, ta có
= 30o và
= 60o.
Bài 8: Góc ADB là góc ngoài của tam giác ADC, ta có:


·ADB

=

Ta lại có

µ
C

µ
B
µ
B

+

·
DAC

= 1,5

µ
C
µ
C

=

µ
C

và

+

µA
µA

1

2 µA

+

µ
B
µ
B

+

mà
µ
C

µ
C

·ADB
o

= 80o nên

µ
C

+

1
2 µA

= 180 , từ đó ta tìm được
o

µ
C
µ
C

µ
C
= 160o – 2 .
µ
µA
C
o
o
= 60 và = 160 – 2 .
µA
o
= 60 và = 80o.

⇒ µA

= 80o

o

= 40 ,
o

µ
B
µ
B

Ta lại có
= 1,5 và
+ +
= 180 , từ đó ta tìm được
= 40 ,
Bài 9: Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta lần lượt có:
µ
µA
µ
C
B
+
A
1=
1
µ
µB
µA C
1=
+
µC
µA B
µ
1

C
=
+
1
B
1
Cộng theo từng vế của các đẳng thức trên, ta được:
µC
µ
µA
µB
µA B
µ C
1 +
1 + 1= 2( + + ) = 2.180o = 360o.
Bài 10:
·
·
·
µA
BCD
BDC
BDC
o
o
a)
là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác DAC nên
> = 90 ; 90 <
< 180o
·

⇒ BDC
là góc tù.
µB
b)
= 60o.
Bài 11:
·ADC B
µ
µ
µA
·ABD µA
C
x
a)
=
+ 2;
= 1+
(tính chất góc
·ADC ·ADB B
µ
µA
4 A
ngoài tam giác), suy ra
= + 2–
32 1
µC B
µ
µA
µ C
µA

µA
=
(vì 2 = 1)
1 –
·
·ABC
µ
ABC
∆
E
E
C
B
D
b) Xét AEB có
là góc ngoài nên
=
µA
- 3 (1)
µ
µA
µ
µA C
∆
E
Xét AEC có 4 là góc ngoài nên
= 4(2)
Cộng từng vế các đẳng thức (1) và (2) ta được:
·ABC µA µA
µ

µ
µ
µ C
µA
µA
µ
C
E
B
E
2
=
- 3 + 4= (vì 3 = 4 ). Vậy
A

µ −C
µ
B
=
2
Bài 12:…………………………….
Bài 13:

M

E

D

N

B

C


·AMN = B
µ +D
µ ·AMN
∆
(
là góc ngoài của MBD);
·ANM = C
µ +E
µ ·ANM
∆
(
là góc ngoài của NEC);
µA ·AMN ·ANB
∆
AMN có
+
+
= 180o.
µ
µA B
µ
µ
µ
C

D
E
Vậy
+
+ +
+ = 180o.

§ 9: HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
Bài 1:
1.

∆

∆

µ
C

ABC = DEF thì các cạnh tương ứng bằng nhau., các góc tương ứng bằng nhau, nên
µF
=
= 46o.
2. Tương tự BC = EF = 15cm.
·ABD = DBC
·
·ABC ·ABD DBC
·
·ABC
·ABD
∆

∆
3. a) ABD = CBD, nên
mà
=
+
nên
=2
=
·
⇒ ABD
80o
= 40o.
·
·
BCD
∆
∆
BAD
⊥
b) ABD = CBD, nên
=
= 90o, vậy BC
DC.
Bài 2:
⇒
∆
∆
a)
ACO = BDO
AC = BD = 2cm; OC = OD = 3cm; OA = OB = 2,5cm.

µA B
µ
∆
∆
b)
=
(vì ACO = BDO) ở vị trí so le trong, nên AC // BD.
Bài 3:
µ
µ
µ
µ
µA D
µ
C
F
B
E
=
= 50o,
=
= 60o;
=
= 70o.
Bài 4: ……………
Bài 5:
µ
µ B
µ
µ C

µ
⇒ µA D
∆
∆
E
F
Ta có ABC = DEF (giả thiết)
=
;
= ;
= .
µA
µ
µ
µ
E
D
B
Vì = 53o; = 32o nên
= 53o; = 32o.
µ
µA B
µ
µA
µ
C
B
o
o
Ta lại có

+ +
= 180 . Vì
= 53 ;
= 32o
µ
µ
µ
µ C
C
⇒
⇒ C
⇒F
o
o
o
o
53 + 32 + = 180
= 95
=
= 95o.
∆
∆
∆
∆
∆
∆
Bài 6: PMN = DEF hay MNP = EFD do vậy ABC = EFD.


§ 10: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC CẠNH – CẠNH – CẠNH

Bài 1:
Bốn tam giác bằng nhau (các cạnh bằng nhau và bằng 1,5cm, các góc bằng nhau và bằng 60o).
Bài 2:
∆
∆
a)
ABM = ACM (c.c.c)
A
∆
∆
b) Ta có: ABM = ACM
⇒ ·AMB = ·AMC
(hai góc tương ứng).
·AMB + ·AMC
Vì
= 180o(kề bù)
B
C
2 ·AMB = 2 ·AMC
M
o
Nên
= 180
180o
⇒ ·AMB = ·AMC
⇒
2
⊥
= 90o
AM BC.

=
Bài 3:
∆
∆
AMB = AMC
·
⇒ ·ABM = ACM
(hai góc tương ứng)
·ABC
·ACB
A
Hay
=
.
·
·ABC
·ACB
BAC
Ta lại có:
+
+
= 180o
D
E
·
·ABC
⇒ BAC
+2
= 180o
180o − ·ABC

B
C
M
⇒ ·ABC
2
=
(1).
o
·
·ADE = 180 − BAC
2
Chứng minh tương tự ta có:
(2)
·ABC ·ADE
·ABC
·ADE
Từ (1) và (2) suy ra
=
. Vì
và
đồng vị nên
DE // BC.
E
Bài 4:
D

A

B

C


∆

ABC =
o
90 .

∆

ADE (c.c.c) suy ra

·
BAC

=

·
DAE

. Ta lại có

·
BAC

+

·
DAE

o

= 180 nên

·
BAC

=

·
DAE

=

∆
∆
∆
∆
Bài 5: Trong hình (a) có ABM = ACN; ABN = ACM.
Trong hình (b), bạn hãy tìm 4 tam giác bằng nhau ngoài ra có hai cặp tam giác cũng bằng nhau.
Bài 6:
C
∆
∆
∆
∆
Bạn hãy chứng minh IAC = IAB; IAB = KAB theo
A
·IAC IAB

·KAB.
·
K
trường hợp cạnh – cạnh – cạnh để suy ra
=
=
I
Bài 7:
B
a) Hai tam giác AMB và AMC có:
A
AB = AC (giả thiết)
AM chung
BM = MC (giả thiết)
·
·
M
MAC
∆
∆
MAB
Vậy AMB = AMC (c – c - c), suy ra
=
, do đó
AM là tia phân giác của góc BAC.
b) Hai tam giác ANB và ANC có:
B
C
AB = AC (giả thiết)
N

AN chung
NB = NC (giả thiết)
·
·NAC
NAB
∆
∆
Vậy ANB = ANC (c – c – c), suy ra
=
, do đó AN là tia phân giác của góc BAC.
Vì AM, AN đều là tia phân giác của góc BAC nên tia AM và tia AN trùng nhau, hay ba điểm A, M,
N thẳng hàng.
·ANB
·ANC
·ANB
·ANC
∆
∆
c) Theo câu (b) thì ANB = ANC (c – c – c) nên
=
, mà
+
=
·ANB
·ANC
⊥
180o, do đó
=
= 90o , suy ra AN
BC. Mặt khác ba điểm A, M, N thẳng hàng

⊥
nên MN
BC. Ta lại có N là trung điểm của BC. Vậy MN là đường trung trực của đoạn
thẳng BC.
Bài 8:

∆

P

∆

Gọi E là trung điểm của AB. Nối PE, PEA = PEB (vì PE
chung, PA = PB, EA = EB)
1
·
·
⇒ PEA
2 ·AEB
PEB
=
=
= 90o.
⊥
Vậy PE là trung trực của AB (vì PE AB và EA = EB). Chứng
minh tương tự ta cũng có SE và QE là trung trực của AB. Vậy P, Q,
S thẳng hàng.

S
A

E

Q

B


§ 11: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC (CẠNH – GÓC – CẠNH)
(c.g.c)
Bài 1:
x
- Vẽ góc xAy = 90o
- Trên tia Ax vẽ đoạn thẳng AB = 3cm.
B
- Trên tia Ay vẽ đoạn thẳng AC = 3cm.
- Vẽ đoạn thẳng BC.
3cm
µ
µ
C
B
Dùng thước đo góc, ta đo được
= = 45o.
Bài 2:
A
y
3cm
C
∆

∆
a)
OAC = OBC (c.g.c).
x
b) Gọi I là giao điểm giữa AB và OC.
A
∆
∆
Xét OAI và OBI có:
C
O
·AOI
·
BOI
z
OA = OB (giả thiết);
=
.
B
(Oz là tia phân giác của góc xOy); OI (cạnh chung)
y
⇒ ∆
∆
OAI = OBI (c.g.c).
·
·
OIB
⇒ OIA
=
(hai góc tương ứng).

·
·
·
·
OIA
OIB
OIB
⇒ OIA
Mà
+
= 180o (kề bù)
=
= 90o.
Bài 3:
a) Ta có

·
EAF

=

·
CAB

(đối đỉnh) và AE = AC, AF = AB, do đó

∆

∆
EAF = CAB.

b) Từ đó EF = BC. Vì M là trung điểm của BC, N là trung điểm của
EF nên FN = BM; AF = AB;
µF B
µ
∆
∆
=
. Vậy ABM = AFN (c.g.c)

Bài 4: Xét hai tam giác MAC và MDB, ta có:

¶
M
1

=

E
N
F
A

B

¶
M
2

M

C

C

; MB = MC,
·
DBC
∆
∆
MA = MD. Như vậy MAC = MDB (c.g.c). Từ đó ta được
=
·BCA
(góc tương ứng)

D

M
1

A

2

B


Bài 5:
a) Xét hai tam giác AB’N và CBN, ta có:
AN = NC 
 ( gt )

NB = NB '

·ANB ' = BNC
·
∆

A

C'

B

(đối đỉnh)
∆

µ
B

B'

C

µ
B

Vậy AB’N = CBN, suy ra AB’ = BC và
= ’ ở vị trí so le trong nên AB’ // BC. Cũng
chứng minh tương tự ta được AC’ = BC và AC’// BC. Từ một điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng
duy nhất song song với BC vậy AB’ và AC’ trùng nhau nên B’C’ // BC.
b) Theo chứng minh trên AB’ = BC, AC’ = BC suy ra AB’ = AC’. Hai điểm C’ và B’ nằm trên

hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC, vậy A nằm giữa B’ và C’ nên A là trung
điểm của B’C’.
Bài 6:
a)

∆

AKC và

∆

x
PKB có:
M
H
y
·AKC PKB
·
N
AK = KP (giả thiết),
=
(đối đỉnh).
KC = KP (giả thiết)
A
∆
∆
Vậy AKC = PKB (c.g.c).
·
·
CAK

KPB
B
C
K
Suy ra
=
và hai góc này ở vị trí so le trong nên AC // BP.
Ngoài ra còn suy ra AC = BP.
∆
∆
b)
ABP và NAM có:
P
AB = NA (giả thiết)
·
·ABP
BAC
o
= 180 –
(vì là hai góc trong cùng phía cát tuyến AB cắt hai đường thẳng AC //BP).
·
·
·
·
·
·
·
·
NAM
BAC

NAM
MAC
CAB
BAN
BAN
MAC
= 180o (vì
+
+
+
= 360o và lại có
= 90o;
= 90o)
·
·
·ABP NAM
BAC
o
Từ đó suy ra
=
(đều bằng 180 –
)
BP = AC (theo câu a).
AC = AM (giả thiết)
Vậy BP = AM.
∆
∆
Từ các chứng minh trên suy ra ABP = NAM (c.g.c).
·ANM
·

BAP
Vì vậy
=
.
Gọi H là giao điểm của AK với MN. Ta có:


·
HAN
⊥

+

·
NAB

+

·
BAP

o

= 180 . Vậy

·
HAN

+

·
BAP

o

= 90 , hay

·
HAN

+

·ANM

= 90o. Do đó AK

MN tại H.

∆
∆
Bài 7: Ta có: ADM = BDC (c.g.c).
·
⇒ ·AMD = BCD
.
M
A
N
·BCD
·AMD
⇒

và
so le trong
AM // BC.
Vì
E
D
·
CBE
⇒ ·ANE
∆
∆
Ta có AEN = CEB (c.g.c)
=
.
B
C
·ANE
·CBE
⇒
Vì
và
so le trong
AN // BC.
Qua A có hai đường thẳng AM và AN cùng song song với BC nên theo tiên đề Ơ-clit AM và AN
trùng nhau. Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Bài 8:
a) Ta có:
·
EAB

·
CAD

=
·
⇒ CAD
∆

=
·
EAC
=

·
CAB

+
·
CAB

+

·
EAB

.
∆

·

BAD
=

·
CAB

=

·
CAB
+ 90o

o

+ 90 ;

y

H

E

D

A
M

N
Ta có: ACD = AEB (c.g.c).
b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của CD với AB và

EB.
C
B
·
·ADM
·
NMB
∆
∆
MBD
Ta có:
=
( ACD = AEB);
=
·AMD
(đối đỉnh).
·ADM
·AMD
∆
Vì
+
= 90o ( ADM vuông tại A)
·
·
·
MBN
BMN
⇒ MNB
⇒
⊥

o
Nên
+
= 90
= 90o
EB
CD.
⊥
c) Gọi H là giao điểm của CA và ED. Giả sử CA ED
·
⇒ EHC
⊥
= 90o hay EH CA. Như vậy từ điểm E có hai đường thẳng EA và ED cùng
vuông góc với đường thẳng AC. Điều này trái với tiền đề Ơ-clit về đường thẳng vuông góc.

x


Vậy CA không vuông góc với ED.
·AOD COB
·
Bài 9: Trước hết bạn hãy chứng minh
=
rồi chứng
∆
∆
minh AOD = COB.

x

C
D

A

Bài 10:
·ACB
µA
µA
·
EAB
o
o
o
(=45 ), do đó
2 = 90 : 2 = 45 . Suy ra
2 =
·BCF
=
(kề bù với hai góc bằng nhau)
µ.
µ
⇒
F
∆
∆
B
EAB = BCF (c.g.c)
BE = BF và 1 =
·ABF F

µ
⇒ ·ABF
∆
o
Xét ABF vuông tại A có
+
= 90
+
µB
·EBF
o
= 90o.
1= 90 hay
⊥
Vậy BE = BF và BE
BF.

Bài 11:
a)

∆

AED =

y

B

O

B
1
D
2
1

F

C

A

E

∆

ACB (c – g- c), suy ra DE = BC.
·ACB
·ACB
·AED
∆
∆
b) Vì ADE = ACB nên
=
mà
+
·ABC
= 90o, do đó nếu gọi F là giao điểm của DE với BC
·
·

BEF
EBF
thì trong tam giác EBF, ta có
+
= 90o, suy ra
·
EFB
⊥
⊥
= 90o hay EF BC nghĩa là DE
BC.

E

A
D

B

F

C