Nghiên cứu các giải pháp cân bằng động lực học cho cơ cấu phẳng nhiều khâu, nhiều bậc tự do

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

--------

NGUYỄN THẾ ANH

Nghiên cứu các giải pháp cân bằng động lực cho cơ
cấu phẳng nhiều khâu, nhiều bậc tự do.
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
CHUYÊN NGÀNH CƠ ĐIỆN TỬ

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN PHONG ĐIỀN

Hà nội - 2015
1


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình do tơi tự làm và nghiên cứu. Trong
luận văn có sử dụng một số tài liệu tham khảo trong nƣớc và nƣớc ngoài. Những
tài liệu tham khảo này đã đƣợc trích dẫn và liệt kê trong mục tài liệu tham khảo.

Hà nội, ngày......tháng…..năm..........
Học viên

Nguyễn Thế Anh

2

MỤC ỤC
T AN

A P Ụ ................................................................................................... 1

LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... 2
MỤC ỤC ................................................................................................................ 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..................................... 5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ ............................................................ 7
DANH MỤC CÁC BẢNG ....................................................................................... 9
ỜI M Đ U ........................................................................................................ 10
Chƣơng 1 ............................................................................................................... 11
CƠ S LÝ THUYẾT VỀ CÂN BẰNG KHỐI ƢỢN CƠ CẤU PHẲNG ........ 11
1.1. Giới thiệu tổng quan về cân bằng lực cơ cấu phăng ............................ 11
1.2. Lực quán tính thu gọn và ngẫu lực quán tính thu gọn ........................ 12
1.3. Các điều kiện cân bằng khối lƣợng tổng quát ...................................... 13
1.4. Biến đổi các điều kiện cân bằng khối lƣợng về dạng đại số ................ 14
1.4.1. Điều kiện cân bằng lực quán tính dưới dạng biểu thức đại số ............. 14
1.4.2. Điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính dưới dạng biểu thức đại số .... 16
1. . Vận dụng phần mềm xây dựng chƣơng trình tính tốn . ..................... 19
1.5.1 Tính tốn số động h c c cấu phẳng. ................................................... 19
1.5.2. í d áp d ng phần mềm xây dựng các điều kiện cân bằng động lực. . 22
Chƣơng 2 ............................................................................................................... 26
CÁC GIẢI PHÁP KỸ THUẬT ĐỐI VỚI CÂN BẰNG ........................................ 26
KHỐI ƢỢN CƠ CẤU PHẲNG ....................................................................... 26
2.1. Giới thiệu chung ................................................................................... 26
2.2. Cân bằng cơ cấu nhờ các đối trọng ...................................................... 27
2.3. Cân bằng nhờ các cơ cấu phụ trợ ......................................................... 28

2.3.1. Cân bằng c cấu nhờ bánh răng hành tinh........................................... 28
2.3.2. Cân bằng c cấu nhờ cam phẳng .......................................................... 32
2.3.3 C cấu hình bình hành .......................................................................... 33
2.3.4. C cấu cân bằng Lanchester ................................................................. 34
2.3.5. Một số giải pháp khác ........................................................................... 35

3


Chƣơng 3 ............................................................................................................... 37
MỘT SỐ THÍ DỤ ÁP DỤNG ............................................................................... 37
3.1. C n ằng khối lƣợng của cơ cấu

kh u ph ng ................................... 37

3.1.1. Mơ hình động h c và hệ phư ng trình liên kết ..................................... 37
3.1.2. Thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính .................................... 38
3.1.3. Thiết lập các điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính .......................... 40
3.1.4. Các giải pháp cân bằng c cấu 4 khâu ................................................. 41
3. . C n ằng khối lƣợng của cơ cấu

kh u ph ng ................................... 45

3.2.1. Mơ hình động h c và hệ phư ng trình liên kết ................................... 45
3.2.2. Thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính .................................... 47
3.2.3. Điều kiện c n bằng ngẫu lực quán tính ............................................... 50
3.2.4. Các giải pháp cân bằng c cấu 6 khâu phẳng ...................................... 52
3.3. Thiết lập điều kiện c n ằng của cơ cấu

kh u ph ng........................ 57

3.3.1. Mơ hình động h c và hệ phư ng trình liên kết ................................... 57
3.3.2. Thiết lập các điều kiện cân bằng lực quán tính ................................... 59
3.3.3. Điều kiện c n bằng ngẫu lực quán tính ............................................... 62
3.3.4. Các giải pháp cân bằng c cấu 8 khâu phẳng ...................................... 64
3.4. Thiết lập điều kiện cân bằng của cơ cấu 3RRR ................................... 69
3.4.1. mơ hình động h c và phư ng trình liên kết........................................... 69
3.4.2. Các điều kiện cân bằng lực quán tính ................................................... 71
3.4.3. Các điều kiện c n bằng ngẫu lực quán tính .......................................... 75
3.4.4. Các giải pháp cân bằng c cấu 3RRR .................................................. 76
3.5. Thiết lập điều kiện cân bằng của cơ cấu 3RPR.................................... 82
3.5.1. mơ hình động h c và phư ng trình liên kết........................................... 82
3.5.2 Cân bằng lực quán tính bằng phư ng pháp lắp thêm đối tr ng ........... 85
3.5.3

hư ng pháp c n bằng Mơmen qn tính ............................................ 88

3.5.4 Áp d ng tính tốn số. ............................................................................. 91
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 97

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Ý nghĩa

u

Véctơ tọa độ suy rộng loại hai

w,v

Véctơ thành phần của vector u

uk

Thành phần vector u

eui

Véctơ có các phần tử là hằng số của kh u thứ i
a trận thông số hình học của kh u thứ i

Ci

Phƣơng trình liên kết của cơ cấu

f (u)

D

a trận tham số hình học của cơ cấu

Bi

a trận là các thơng số hình học của cơ cấu

I*

a trận đơn v
Khối lƣợng đối trọng l p vào kh u thứ i

mi*

Chiều dài đối trọng l p vào kh u thứ i

ei*

Tọa độ đối trọng l p vào kh u thứ i

*
i

rSi

Véctơ v trí khối t m kh u thứ i

vSi

Véctơ vận tốc khối t m kh u thứ i

Si

Khối tâm của khâu thứ i
Khối lƣợng và chiều dài khâu thứ i

mi , l i

Oi

i

i

Hệ tọa độ động g n với kh u thứ i
Gốc tọa độ động g n với kh u thứ i

Oi

ômen quán tính khối của kh u thứ i đối với trục đi qua khối
tâm S i và vng góc với m t ph ng chuy n động của nó
ơmen qn tính an đầu của kh u thứ i

I Si
I Si0

ômen quán tính của đối trọng l p kh u thứ i

I Si*
Fx* , Fy*

Thành phần lực quán tính thu gọn của cơ cấu

MO*

Mơmen lực qn tính thu gọn của cơ cấu

Si

,

Si

x Si , ySi

i

Các tọa độ khối tâm của khâu i (trong hệ tọa độ động)
Các tọa độ khối tâm của khâu i (trong hệ tọa độ cố đ nh)
Góc quay của khâu thứ i

5


i
i
i

Vận tốc góc của khâu i
Gia tốc góc của các khâu thứ i
Hệ số hình học của kh u thứ i

H

a trận moment quán tính

Dv

a trận jaco ian của

theo v

a trận jaco ian của theo w
Dw
S1, S2, k1, k2 Các ma trận điều kiện c n ằng

6


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình vẽ,
đồ thị

Tên hình vẽ, đồ thị

Trang

Chƣơng 1
Hình 1.1

Định nghĩa các hệ t a độ.

12

Hình 1.2

S đồ thuật tốn phư ng pháp lặp Newton-Raphson

21

Chƣơng 2
Hình 2.1

Lắp đối tr ng cho khâu i.

27

Hình 2.2.

S đồ cân bằng lực quán tính c cấu bốn khâu phẳng

27

Hình 2.3

Cân bằng ngẫu lực cho c cấu

28

Hình 2.4

Cân bằng ngẫu lực quán tính từng khâu với các cặp bánh
răng
S đồ cân bằng ngẫu lực c cấu 3RRR

29

31

Hình 2.7

S đồ cân bằng ngẫu lực c cấu 3RRR d ng c cấu hình
bình hành
Cân bằng ngẫu lực qn tính với c cấu cam phẳng

Hình 2.8

Cân bằng ngẫu lực với c cấu hình bình hành

32

Hình 2.9

33

Hình 2.10

Cân bằng ngẫu lực c cấu 3RPR nhờ c cấu hình bình
hành
Cân bằng lực qn tính nhờ c cấu Lanchester

Hình 2.11

Các thí d về cách bố trí các c cấu có chuyển động ngược

35

Hình 2.5

Hình 2.6

30

31

34

Chƣơng 3
S đồ động h c và các hệ t a độ của c cấu bốn khâu
phẳng
Cân bằng khối lượng c cấu bốn khâu phẳng

36

42

Hình 3.6

So sánh trị số của lực quán tính thu g n của c cấu 4
kh u phẳng trước và sau khi cân bằng
hư ng án c n bằng ngẫu lực quán tính c cấu 4 kh u
phẳng bằng bánh răng
Trị số của ngẫu lực quán tính c cấu 4 kh u phẳng sau
khi cân bằng
S đồ động h c và các hệ t a độ của c cấu sáu khâu phẳng

Hình 3.7

S đồ gắn đối tr ng cho c cấu sáu khâu

52

Hình 3.8

So sánh trị số của lực quán tính thu g n c cấu 6 kh u
theo phư ng y trước và sau cân bằng

53

Hình 3.1
Hình 3.2
Hình 3.3
Hình 3.4
Hình 3.5

7

40

43
44
45


53

Hình 3.12

So sánh trị số lực qn tính thu g n c cấu 6 kh u theo

phư ng x trước và sau cân bằng
hư ng án c n bằng ngẫu lực quán tính c cấu 6 kh u
bằng bánh răng
Đồ thị ngẫu lực quán tính trước và sau cân bằng của c
cấu 6 kh u
Đồ thị ngẫu lực quán tính khi cân bằng của c cấu 6 kh u

Hình 3.13

S đồ động h c và các hệ t a độ của c cấu tám khâu phẳng

57

Hình 3.14

S đồ gắn đối tr ng cho c cấu tám khâu

64

Hình 3.15

So sánh lực quán tính Fx giữa c cấu tám kh u
trước và sau khi cân bằng
So sánh lực quán tính Fy c cấu
kh u c cấu
trước và sau khi cân bằng
S đồ gắn các bánh răng hành tinh lên c cấu tám
khâu (cân bằng ngẫu lực của c cấu)
Đồ thị ngẫu lực quán tính của c cấu tám khâu trước và sau
khi c n bằng

Đồ thị so sánh ngẫu lực quán tính của c cấu tám
kh utrước và sau cân bằng
S đồ động h c và các hệ t a độ của c cấu tay máy song
song phẳng có cấu trúc 3RRR
S đồ gắn đối tr ng của c cấu 3RRR

65

Kết quả trước và sau cân bằng lực quán tính
của c cấu 3
Cân bằng ngẫu lực cho c cấu 3RRR

78

82

Hình 3.25

Kết quả trước và sau cân bằng ngẫu lực quán tính c cấu
3RRR
S đồ động h c các hệ t a độ c cấu 3RPR

Hình 3.26

Mơ hình một chân robot lắp thêm khâu ph

83

Hình 3.27

Cân bằng lực và ngẫu lực qn tính cho c cấu 3RPR

89

Hình 3.28

Đồ thị lực qn tính trước và sau cân bằng c cấu 3RPR.

93

Hình 3.29

Đồ thị momen qn tính trước và sau cân bằng c cấu
3RPR

93

Hình 3.9
Hình 3.10
Hình 3.11

Hình 3.16
Hình 3.17
Hình 3.18
Hình 3.19
Hình 3.20
Hình 3.21
Hình 3.22
Hình 3.23
Hình 3.24

8

54
55
56

66
66
67
68
69
77

79

82


DANH MỤC CÁC BẢNG
ảng

Tên bảng

Trang

Các tham số hình h c-khối lượng của c cấu 4 khâu
Kết quả tính tốn sau khi c n bằng lực quán tính c cấu 4
khâu
Các tham số hình h c-khối lượng của c cấu 6 khâu

40
41

Kết quả tính tốn số với phư ng án c n bằng lực qn tính
c cấu 6 kh u
Các thơng số hình h c-khối lượng ban đầu của c cấu
tám khâu
Kết quả tính tốn số với phư ng án c n bằng lực quán
tính c cấu kh u
Các tham số hình h c-khối lượng của c cấu 3
ban đầu

54

77

Bảng 3.9

Các tham số của c cấu 3
đã c n bằng hoàn tồn lực
qn tính
Mơmen qn tính các bánh răng lắp vào c cấu 3RRR

Bảng 3.10

Các thông số ban đầu của c cấu 3

91

Bảng 3.11

Các thông số sau khi c n bằng c cấu 3

92

Bảng 3.12

Mơmen qn tính các bánh răng lắp vào c cấu 3RPR

92

Bảng 3.1
Bảng 3.2
Bảng 3.3
Bảng 3.4
Bảng 3.5
Bảng 3.6
Bảng 3.7
Bảng 3.8

9

51

63
65
76

80

ỜI MỞ ĐẦU
Trong quá trình vận hành, các chi tiết máy chuy n động tạo ra các lực (và ngẫu
lực) quán tính. Hệ lực quán tính gây ra các phản lực động phụ tại các ổ đỡ và
cũng có tr số biến thiên. Các phản lực phụ là một trong những ngun nhân
chính gây ra hiện tƣợng dao động có hại tại móng máy và các chi tiết máy. Tốc
độ quay của máy càng lớn thì tr số của lực qn tính càng lớn và do đó iên độ
dao động của máy càng lớn.
Cân bằng khối lƣợng của cơ cấu đƣợc hi u là biện pháp làm giảm ho c triệt tiêu
nguồn kích động dao động xuất phát từ các lực quán tính của các kh u động.
Trong nhiều năm, vấn đề cân bằng khối lƣợng của các cơ cấu máy đã đƣợc nhiều
nhà nghiên cứu quan tâm.
Luận văn này tập trung nghiên cứu các giải pháp c n ằng lực qn tính nhằm
làm giảm ho c triệt tiêu hồn tồn lực qn tính thu gọn (hay véctơ chính của hệ
lực quán tính và ngẫu lực quán tính thu gọn (hay véctơ mơmen chính của hệ lực
qn tính) của cơ cấu. Các giải pháp cân bằng khối lƣợng dựa trên các điều kiện
cân bằng khối lƣợng. Đó là các i u thức đại số bi u diễn các điều kiện triệt tiêu
lực quán tính thu gọn và ngẫu lực quán tính thu gọn của cơ cấu. Từ các điều kiền
cân bằng, ta có th x y dựng chƣơng trình tính đ xác đ nh và chọn lựa các tham
số hình học - khối lƣợng của các khâu một cách phù hợp.
Luận văn đƣợc chia làm 3 chƣơng. Chƣơng 1 trình ày cơ sở l thuyết về c n
ằng khối lƣợng cơ cấu ph ng . Chƣơng

trình ày các giải pháp k thuật đối với

c n ằng khối lƣợng cơ cấu ph ng. Chƣơng 3 trình ày một số thí dụ áp dụng với
các cơ cấu nhiều kh u và nhiều ậc tự do.
Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Phong Điền đã tận tình hƣớng dẫn
em hồn thành luận văn này.

10


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ CÂN BẰNG KHỐI ƢỢNG CƠ CẤU PHẲNG
Chƣơng này trình ày các l thuyết về c n ằng lực và ngẫu lực quán tính
thu gọn, các điều kiện c n ằng dƣới dạng i u thức đại số [1], [2], [3], [4], [5],
[6], [7], [15], [16], [17], [18] .
1.1. Giới thiệu tổng quan về cân bằng lực cơ cấu phăng
Cân bằng khối lƣợng của cơ cấu đƣợc hi u là biện pháp làm giảm ho c triệt
tiêu nguồn kích động dao động xuất phát từ các lực quán tính của các kh u động,
một trong những nguyên nh n chính g y ra dao động tại móng máy và làm tăng
các tải trọng động lực lên cơ cấu. Trong nhiều năm, vấn đề cân bằng khối lƣợng
của các cơ cấu máy đã đƣợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm.
Cân bằng khối lƣợng cơ cấu đƣợc chia thành hai dạng:
Cân bằng lực quán tính (shaking force balancing) nhằm làm giảm ho c triệt tiêu
hoàn toàn lực quán tính thu gọn (hay véctơ chính của hệ lực qn tính) của cơ cấu.
Lực qn tính có th đƣợc cân bằng hoàn toàn bằng cách l p thêm các đối trọng
vào các khâu ho c thay đổi phân bố khối lƣợng ho c v trí khối tâm của từng khâu.
Tuy nhiên, giải pháp cân bằng này làm tăng khối lƣợng chung của toàn bộ cơ cấu,
tăng ngẫu lực phát động của động cơ và có th làm tăng các phản lực động lực tại
các khớp nối giữa các khâu trung gian.
Cân bằng ngẫu lực quán tính (shaking moment balancing) nhằm làm giảm ho c
triệt tiêu hoàn toàn ngẫu lực quán tính thu gọn của cơ cấu. So với cân bằng lực
quán tính, vấn đề cân bằng ngẫu lực quán tính phức tạp hơn nhiều. Ngẫu lực qn
tính khơng th cân bằng đƣợc hoàn toàn nhờ thay đổi phân bố khối lƣợng của các
khâu. Giải pháp cho vấn đề này là l p thêm các khâu phụ ( ánh răng, cơ cấu cam,
ho c cơ cấu thanh răng đ tạo các ngẫu lực cân bằng.
Tuy nhiên, mọi giải pháp cân bằng khối lƣợng đều phải dựa trên các điều kiện cân

bằng khối lƣợng. Đó là các i u thức đại số bi u diễn các điều kiện triệt tiêu lực
quán tính thu gọn và ngẫu lực quán tính thu gọn của cơ cấu. Từ các điều kiện cân
bằng, ta có th xác đ nh và chọn lựa các tham số hình học - khối lƣợng của các
khâu một cách phù hợp.

11


Cho đến nay, bài toán cân bằng khối lƣợng của các cơ cấu ph ng đã đƣợc nghiên
cứu khá tổng quát. Cân bằng khối lƣợng của cơ cấu không gian phức tạp hơn nhiều
và vẫn đang tiếp tục đƣợc nghiên cứu trên thế giới.
1.2. Lực quán tính thu gọn và ngẫu lực quán tính thu gọn
Xét một cơ cấu ph ng gồm có p khâu ch u liên kết giữ, dừng và hơlơnơm (hình
1.1). Cơ cấu có th coi nhƣ một hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng.

Hình 1.1. Định nghĩa các hệ t a độ
Các thông số x Si , ySi là các tọa độ của các khối t m S i của các kh u i trong tọa
độ cố đ nh {Oxy} ,

i

là các góc quay, (

S i trong hệ tọa độ động {Oi

i i

Si

,

Si

) là các tọa độ của các khối t m

} g n với các kh u tƣơng ứng.

Các thành phần lực quán tính thu gọn Fx* , Fy* của cơ cấu và mômen lực quán tính
thu gọn của cơ cấu MO* đối với đi m O cố đ nh của hệ lực quán tính gây ra bởi p
kh u động có th bi u diễn dƣới dạng
Fx*
MO*

d
dt
d
dt

p

mi x Si , Fy*

i 1

d
dt

p

mi ySi

(1.1)

I Si

(1.2)

i 1

p

mi (x Si ySi

x Si ySi )

i 1

12

i


Trong đó mi k hiệu khối lƣợng và I Si là mơmen qn tính khối của khâu thứ i
với trục đi qua khối t m S i và vng góc với m t ph ng chuy n động của nó.
1.3. Các điều kiện cân bằng khối lƣợng tổng quát
Cơ cấu đƣợc c n ằng hồn tồn nếu lực qn tính thu gọn và ngẫu lực quán tính
thu gọn triệt tiêu. Từ đó ta có điều kiện đủ sau đ y
p

mi ri

0

(1.3)

i 1
p

mi (x Si ySi

x Si ySi )

I Si

0

i

(1.4)

i 1

Với ri

x Si , ySi

T

T

và ri

x Si , ySi . ựa vào điều kiện tổng quát (1.3 ta có th

c n ằng lực qn tính, ở đ y có nhiều cách đ r t ra điều kiện c n ằng dƣới dạng
i u thức đại số của các thông số mi , I Si ,

Si

,

Si

. Ngƣợc lại có khó khăn nhiều

hơn đ tìm ra các điều kiện c n ằng ngẫu lực qn tính dƣới dạng đại số do sự có
m t của thành phần I Si

i

Khi ch quan tâm đến cơ cấu ch có khớp quay, góc quay

i

1, 2,..., p có th

i

chọn nhƣ tọa độ suy rộng, nó cho iết chuy n động của từng kh u. Góc
nhƣ là tọa độ suy rộng loại một . Đến đ y ch ng ta đƣa ra véctơ

u

u1, u2 ,..., u2 p

T

Ở đ y các phần tử uk k

cos

1

, sin

1

, cos

2

, sin

2

,..., cos

p

i

hi u

u
T

, sin

1, 2,..., 2p là các hàm lƣợng giác của

p

i

(1.5)

, các phần tử

uk đƣợc gọi là tọa độ suy rộng loại hai . Có th thấy sau đ y, vectơ u đƣợc d ng
nhƣ nền tảng đ phát tri n hệ thống phƣơng pháp r t ra các điều kiện c n ằng lực
và ngẫu lực quán tính dƣới dạng bi u thức đại số.

13


1.4. Biến đổi các điều kiện cân bằng khối lƣợng về dạng đại số
1.4.1. Điều kiện cân bằng lực quán tính dưới dạng biểu thức đại số
Thơng thƣờng, véctơ v trí của khối t m S i có th

ri
Ởđ yi

eiu

i u diễn theo véctơ u nhƣ sau

Ci u

(1.6)

u
1,2,...p và ei là là véctơ có các phần tử là hằng số. Phần tử của ma trận

Ci 2 2p là các thông số hình học và độc lập với véctơ u .

Tƣơng tự, phƣơng trình liên kết của cơ cấu có th

f (u)

i u diễn dƣới dạng ma trận sau

d

(1.7)

Trong các trƣờng hợp đối với các cơ cấu ph ng đƣợc nối khớp ằng các khớp
quay, cơng thức (1.

có th đƣợc viết lại dƣới dạng sau:

Du = d

(1.8)

Ở đ y các phần tử của ma trận D là các tham số hình học của cơ cấu và không
phụ thuộc vào véctơ u, d là véctơ hằng số.
Nếu ta s p xếp và phân chia các phần tử của véctơ u thành hai nhóm

u=

v
,
w

(1.9)

Sẽ dẫn đến mối quan hệ sau

Dv v

Dw w = d

(1.10)

Ở đ y véctơ w đƣợc chọn sao cho số phần tử của nó ằng số phƣơng trình liên kết
và ma trận Dw là ma trận vuông và không suy iến. Một cách dễ dàng có th thu
đƣợc các ma trận Dv , Dw ằng cách đạo hàm riêng

Dv

f

w
,D
v

f
w

(1.11)

Từ công thức (1.10 ta tìm đƣợc
w

(Dw )

1

d

Dv v

b

Gv

(1.12)

Ởđ y

G

(Dw ) 1 Dv , b

(Dw ) 1 d.

(1.13)

14


Đạo hàm i u thức (1.12) theo thời gian ta đƣợc

w

Gv

(1.14)

Sử dụng cơng thức (1.9) ta có th viết lại cơng thức (1.

ri

eiu

Civ v

dƣới dạng sau

Ciw w

(1.15)

Trong đó ma trận Cvi , Cwi cho ởi công thức

ri

Cvi

v

, Cwi

ri
w

,

(1.16)

Và véctơ hằng số eui là phần tử c n lại của công thức (1.15). Thay công thức
vào công thức (1.15) ta sẽ thu đƣợc

(1.1

ri

eiu

Ciw b

(Civ

Ciw G)v

(1.17)

Nó có th viết lại dƣới dạng nhƣ sau

ri

ei

Bi v

(1.18)

Ởđ y

ei

eiu

Ciw b,

(1.19)

Bi

Civ

Ciw G

(1.20)

ở đ y các phần tử của véctơ ei và ma trận Bi là các thơng số hình học của

Ch

cơ cấu và khơng phụ thuộc vào véctơ v. Đạo hàm công thức (1.1

theo thời gian

ta thu đƣợc

ri

Bi v

(1.21)

Thay công thức (1.21) vào công thức (1.3 dẫn tới
p

Bi mi v

0

(1.22)

i 1

Kết quả cuối c ng ta thu đƣợc điều kiện c n ằng lực quán tính thu gọn dƣới dạng
đại số
p

Bi mi

0

(1.23)

i 1

15


Nếu cơ cấu có p kh u động và

r

phƣơng trình liên kết thì véctơ

trong khi ma trận Bi có cỡ là 2
2

2p

2p

w

có

r

phần tử

r . Từ cơng thức (1. 3 ta thu đƣợc

r điều kiện c n ằng dƣới dạng i u thức đại số của các đại lƣợng quán

tính và tham số hình học của cơ cấu.
1.4.2. Điều kiện cân bằng ngẫu lực quán tính dưới dạng biểu thức đại số
Điều kiện c n ằng tổng quát của ngẫu lực qn tính theo nhƣ cơng thức (1.4) gồm
có hai phần tử.
Phần tử đầu tiên
p

h1

mi (x Si ySi

x Si ySi )

(1.24)

i 1

Chú ý rằng ta có hệ thức

x Si ySi

x Si ySi

0 1 x Si
1 0 ySi

x Si , ySi

riT I* ri

0 1
. iên hệ với i u thức (1.
1 0

Ở đ y I*
p

(1.25)

dẫn đến

mi riT I* ri

h1

(1.26)

i 1

Thay công thức (1.1

p

ta thu đƣợc

T

Bi v I* Bi v

mi ei

h1

và (1. 1 vào công thức (1.

i 1

vT

p

mi BiT I* Bi v

i 1

vT S1 v

p

mi eiT I* Bi v

i 1

k1T v

(1.27)

Trong đó
p

S1

T *
i

mi B I Bi và k
i 1

T
1

p

mi eiT I* Bi

i 1

y giờ ta xét đến số hạng thứ hai của công thức (1.4)

16

(1.28)


p

h2   I Sii

(1.29)

i 1

Chú ý rằng ta có hệ thức sau:
cos2

i

Ở đ y u1i

i

.

sin2

i

cos

i

và u2i

i

.

i

i

i

u1 u2

sin

i

i

i

u1 u2

. Bi u thức (1.3

(1.30)
cũng có th viết lại dƣới

dạng ma trận nhƣ sau

i

i

u2

i

u1

i

u1

u1

i

u2

u2

T

i
i

i

0 1 u1

1 0 ui
2

Thay công thức (1.31 vào công thức (1.
i

u1

p

h2

T

i

i 1

u2

0
I Si

(1.31)

ta thu đƣợc kết quả:

i

I Si u1

0 ui
2

u T Hu

(1.32)

Ở đ y H là ma trận cỡ 2p×2p đƣợc đ nh ngh a nhƣ sau

H

0
IS1
IS1 0
0
0
0
0

0
0
0
IS 2

0
0

0
0

0
0

0
0
IS 2
0

0
0
0
0

0
0
0
0

0
0

0
I Sp

I Sp
0

a trận H có th ph n tách thành

(1.33)

ma trận con tƣơng ứng với các véctơ w, v nhƣ

sau

H
H= 1
H3

H2 

H4 


(1.34)

17


Trong đó H1 là ma trận cỡ (2p

r ) (2p

r ) , H2 là ma trận 0 cỡ (2p

H 3 là ma trận 0 cỡ r (2p r ), H 4 là ma trận cỡ

r.

r

r) r ,

Từ đó (1.32) có th đƣa

về dạng

vT

h2

H1
0

0 v
H4 w

và (1.13 vào (1.3

Thay (1.1
h2

wT

vT H1 v

= vT S2 v

b

Gv

T

vT H1 v

w T H4 w

(1.35)

ta thu đƣợc kết quả sau
H4

vT H1

Gv

GT H4G v

bT H4 G v

k2T v

(1.36)

Ở đ y ma trận S2 và véctơ k 2 đƣợc cho ởi công thức

S2

H1

k2T

GT H4G

(1.37)

bT H4 G

(1.38)

Sử dụng công thức (1.27) và (1.36) điều kiện c n ằng ngẫu lực qn tính có th
viết lại dƣới dạng ma trận nhƣ sau:
vT S1

S2 v

k1T

k2T v

0

(1.39)

Cuối c ng, ta thu dƣợc điều kiện c n ằng ngẫu lực quán tính dƣới dạng đại số

S1

S2

0 , k1

k2

0

(1.40)

Trong đó ma trận S1 và S2 có cỡ là (2p

(2p

r ) (2p

r ) và k1 , k 2 là các véctơ có

r ) phần tử. C ng với việc sử dụng công thức (1.

ta thu đƣợc một tập

các điều kiện c n ằng ngẫu lực qn tính trong đó các số hạng là các đại lƣợng
qn tính và các tham số hình học của cơ cấu nhƣ mi ,
m tắt những bước cần thực hiện của thuật toán
+

ập

r

Si

,

Si

, I Si .

a độ suy rộng loại hai

:

phƣơng trình liên kết và p véctơ v trí của khối t m của kh u quay

theo công thức (1.

và (1.8).

+ Chọn các phần tử của véctơ
số phần tử của véctơ

w

w

từ các phần tử của véctơ

u

tu n theo qui t c:

ằng r , và ma trận Dw phải là ma trận vuông và không

18


suy iến. Tính ma trận Dv và Dw theo cơng thƣc (1.11 , Cvi , Cwi tính theo cơng
thức (1.16), ma trận G và véctơ b tính theo cơng thức (1.13), ma trận Bi và
véctơ ei (i

1,2,...p) tính theo cơng thức (1.19) và (1.20). Thay i u thức

của ma trận Bi vào công thức (1. 3 ta thu đƣợc điều kiện cân bằng lực quán
tính dƣới dạng bi u thức đại số.
+ Các phần tử của ma trận H1 , H 4 đƣợc xác đ nh theo mối quan hệ giữa (1.33
và (1.34).
+ Tính ma trận S1 và véctơ k1 theo công thức (1.
thức (1.3

, ma trận S2 sử dụng công

và véctơ k 2 sử dụng công thức (1.38).

+ Thay i u thức của S1 , S2 , k1 , và k 2 vào công thức (1.40) ta thu đƣợc điều
kiện cân bằng ngẫu lực quán tính dƣới dạng bi u thức đại số.
1.5. Vận dụng phần mềm xây dựng chƣơng t nh t nh tốn .
1.5.1 Tính tốn số động h c c cấu phẳng.
a.

hư ng pháp số giải hệ phư ng trình đại số phi tuyến

Nhiệm vụ xác đ nh v trí của cơ cấu đƣợc đƣa về bài tốn tìm nghiệm của một hệ
các phƣơng trình liên kết dƣới dạng các phƣơng trình đại số phi tuyến.

f1 x 1, x 2, , x r

0

f2 x 1, x 2, , x r

0

 fr x 1, x 2, , x r

0

(1.41)

ho c viết dƣới dạng:
( )
trong đó véctơ hàm f

(1.42)

f1 x , f2 x ,

, fr x

19

T

và véctơ ẩn x

T

x1, x 2, , x r .


Đ tìm nghiệm gần đ ng của hệ phƣơng trình đại số phi tuyến ngƣời ta thƣờng
sử dụng các phƣơng pháp l p (phƣơng pháp d y cung, phƣơng pháp tiếp tuyến… .
Hiện nay, phƣơng pháp l p Newton-Raphson (phƣơng pháp l p Newton mở rộng)
đƣợc sử dụng phổ biến, với các ƣớc l p nhƣ sau
- ƣớc 1: Thiết lập bi u thức giải tích của ma trận Jacobi dƣới dạng:

f
x

 J x

f1
x1
f2
x1

f1
x2
f2
x2

f1
xr
f2
x r        

fr
x1

fr
x2

fr
xr

và chọn các giá tr đầu xấp x
thỏa mãn đ nh thức | (

( )

( )

)|

[

( )

(1.43)

( )

( )

] cho véctơ x (các giá tr đầu

). Khởi gán k:=0.

- ƣớc 2: Gán k:=k+1, tính tốn tr số của véctơ
( )

(

(

)

) (

(

)

)

(1.44)

xác đ nh nghiệm tại ƣớc l p thứ k dƣới dạng:
(

)

( )

(1.45)

- ƣớc 3: Ki m tra điều kiện kết thúc quá trình l p theo 2 cách:
Cách 1: Ki m tra điều kiện hội tụ (|
trong đó là một giá tr

(

)

( )

|)

(1.46)

é cho trƣớc. Nếu điều kiện (1.46 là đ ng thì chuy n sang

ƣớc 4, sai quay lại ƣớc 2.
Cách 2: Ki m tra số ƣớc l p k>K

(1.47)

trong đó K là số lƣợng ƣớc l p ấn đ nh cho trƣớc. Nếu điều kiện (1.47 là đ ng thì
chuy n sang ƣớc 4, sai quay lại ƣớc 2.

20

- ƣớc 4: Xuất kết quả nghiệm

( )

, kết thúc quá trình l p.

Sơ đồ thuật giải của phƣơng pháp

Chọn 𝐱 ( ) , số ƣớc l p K
Tính J(x ( ) ), f(x ( ) )
Khởi gán k:=0

Gán k:=k+1
Tính 𝐱 (𝑘)
𝐱 (𝑘)

Sai

𝐉 (𝐱 (𝑘
𝐱 (𝑘

)

)

)𝐟(𝐱 (𝑘

)

)

𝐱 (𝑘)

k≥K
Đúng
Kết thúc
nghiệm x=𝐱 (𝑘)

Hình 1.2 S đồ thuật tốn phư ng pháp lặp Newton-Raphson
b. Tính tốn bằng số đạo hàm của một hàm số (tính ̇ ̈ )

21


Các ài tốn ph n tích động học của cơ cấu có liên quan mật thiết đến phép đạo
hàm một hàm số ( ài toán xác đ nh vận tốc và gia tốc). Trong nhiều trƣờng hợp, các
hàm số là các bi u thức giải tích phức tạp, việc đạo hàm theo con đƣờng giải tích tốn
nhiều thời gian và dễ sai sót. Phƣơng pháp đạo hàm số cho phép xác đ nh đạo hàm
gần đ ng của một hàm số với thuật tốn đơn giản.
( ) có đạo hàm liên tục đến cấp 2. Trục thời

Xét hàm số theo thời gian
gian t chia thành N đi m rời rạc [

] , các

rời rạc tƣơng ứng của hàm x là

ta có các giá tr
[

] với

ƣớc chia đều

( ). Đạo hàm bậc nhất của x theo t ký hiệu là

̇ ( ) và đạo hàm bậc hai ̈ ( ) đƣợc xác đ nh theo các đi m rời rạc nhờ công thức gần
đ ng sau

x tk

xk

x tk

xk

xk

1

xk

h

xk

1

       

2x k
h

xk

2

(1.48)
1

     

(1.49)

Hai công thức trên cho đạo hàm xấp x với sai số bé nếu ƣớc chia h đủ nhỏ.
Thí dụ một chƣơng trình thực hiện phép tính đạo hàm bậc nhất trên

atla nhƣ sau

function f=dh(t,d)
N=length(t);
dat=diff(d)./diff(t);
x=1:N-1;x=x';
fx=1:N;fx=fx';
f=[dat;dat(1)];

Theo cơng thức tính đạo hàm ở trên, nếu t có N đi m rời rạc thì đạo hàm ̇ có
N-1 giá tr rời rạc và đạo hàm ẍ có N-2 giá tr rời rạc.
1.5.2. í d áp d ng phần mềm xây dựng các điều kiện cân bằng động lực.
Đ thực hiện tính tốn đƣa ra các phƣơng án và giá tr của các thơng số hình
học áp dụng c n ằng lực và ngẫu lực quán tính cho các cơ cấu. Ta dựa vào trình tự

22


các iến đổi các điều kiện cân bằng trọng mục (1.

đ x y dựng các phƣơng trình

và điều kiện ràng uộc.
Chư ng trình Mapple tính áp d ng cho c cấu chấp hành song song 3
>
>

>

>

>
>
>
>
>
>

>

>

>

23

.


>

>

>

>

>

>

>

>

>

24

>

>

>
>

>
>

>
>
>
>

>
>
>

>

25