Nghiên cứu sự ổn định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tác dụng của tải trọng khác nhau

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
..................................

Hoàng Hữu Tân

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ
HÌNH DẠNG KHÁC NHAU CHỊU TẢI TRỌNG
KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2010


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

.......................................
Hoàng Hữu Tân

NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM CÓ
HÌNH DẠNG KHÁC NHAU CHỊU TẢI TRỌNG
KHÁC NHAU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS – TS Nh÷ Ph−¬ng Mai

HÀ NỘI – 2010

Nghiờn cu s nh ca tm cú hỡnh dng khỏc nhau chu ti trng khỏc nhau

1. Tính cấp thiết của đề tài.
Ngy nay, nhng cụng trỡnh v mỏy múc ngy cng s dng nhiu nhng vt
liu dng tm v v mng ngy cng nhiu. Chớnh vỡ vy, vic nghiờn cu v tớnh toỏn
t m cú ý ngha vụ cựng quan trng cứng không thôi thì cha đủ để phán đoán khả
năng làm việc của công trình. Trong nhiều trờng hợp, đặc biêt là các kết cấu chịu nén
hoặc nén cùng với uốn, tuy tải trọn cha đạt đến giá trị phá hủy và có khi còn nhỏ hơn
giá trị cho phép về điều kiện bền và điều kiện cứng nhng kết cấu vẫn có thể mất khả
năng bảo toàn hình dáng ban đầu ở trạng thái biến dạng và chuyển sang dạng cân bằng
khác.Nội lực trong dạng cân bằng mới sẽ phát triển rất nhanh và làm cho công trình bị
phá hủy. Đó là hiện tợng mất ổn định.
Vào cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX, đã xảy ra nhiều tai nạn do kết cấu công trình bị
mất ổn định và dẫn đến phá hủy. Ví dụ :
ở Liên Xô cũ, trong khoảng thời gian 1951 - 1967 đã có 39 công trình kết cấu thép bị
phá hủy, trong số đó có 17 trờng hợp ( 44%) là do nguyên nhân mất ổn định.
Hiện nay, yêu cầu phát triển kinh tế đòi hỏi phải xây dựng các công trình lớn và nhẹ,
trong đó thờng dùng các thanh chịu nén có chiều dài lớn, dễ mất ổn định. Do đó việc
nghiên cứu ổn định công trình là cần thiết và có ý nghĩa thực tế.
2. Mục đích của đề tài.
- Tính lực tới hạn, ứng suất và chuyển vị chuyển vị của tm dới tác động của tải
trọng khác nhau.
- ảnh hởng của điều kiện liên kết đến lực tới hạn, ứng suất và chuyển vị.

3. Cơ sở khoa học và thực tiễn của đề tài.
- Tm có ứng dụng rộng rãi trong xây dựng, công nghiệp.. Do tác động của nhiều dạng
tải trọng khác nhau ( áp lực của gió, sóng biển, nhiệt độ,..) kết cấu có thể bị mất ổn

1

Hc viờn Hong Hu Tõn

CHKT 2008 - 2010


Nghiờn cu s nh ca tm cú hỡnh dng khỏc nhau chu ti trng khỏc nhau

định gây nên sự phá hủy hoặc ảnh hởng đến hoạt động của công trình, do đó việc
nghiên cứu bài toán ổn định của tm là rất cần thiết.
- Việc tìm ra sự liên hệ giữa hệ số liên kết với lực tới hạn, ứng suất tới hạn sẽ góp phần
dự đoán và phòng tránh sự mất ổn định của công trình .

4.Ni dung lun vn gm:
Chng 1: Cỏc phng trỡnh c bn v tm.
Trỡnh by túm tt cỏc phng trỡnh c bn v tm, Quan h ng sut -bin
dng, Quan h gia ni lc v ng sut, quan h bin dng v chuyn v, phng
trỡnh cõn bng tnh hc v cỏc iu kin biờn.
Chng II: S n nh ca tm nhiu lp
Trong chng ny, tụi trỡnh by cỏc vn c bn ca lý thuyt n hi trong vn
n nh ca tm nhiu lp lm vic ngoi min n hi.
Chng III: Mt s bi toỏn c th v n nh ca tm.

Trong chng ny, tụi trỡnh by mt s bi toỏn tớnh toỏn c th i vi tm hỡnh
ch nht v tm hỡnh tam giỏc vuụng.
Chng IV: ng dng phng phỏp phn t hu hn bng cỏch s dng
ANSYS.
Trong chng ny, tụi trỡnh by mt s lnh c bn ca phn mm ANSYS s
dng trong tớnh toỏn v tm. ng dng ANSYS tớnh toỏn mt s bi toỏn c
th v tm.

- Kt lun chung
Với sự quan tâm, chỉ bảo và hớng dẫn tận tình của PGS TS Nhữ Phơng Mai
và sự cố gắng của bản thân, tôi đã hoàn thành đề tài này. Nội dung trình bày của đề tài

2
Hc viờn Hong Hu Tõn

CHKT 2008 - 2010


Nghiờn cu s nh ca tm cú hỡnh dng khỏc nhau chu ti trng khỏc nhau

chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót, những hạn chế.Rất mong đợc các thầy
cô và các bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để đề tài đạt chất lợng cao hơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 10 năm 2010
Học viên

Hong Hu Tõn

3
Hc viờn Hong Hu Tõn

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Chương I : Các phương trình cơ bản của tấm
I. Các khái niệm cơ bản về tấm

X

h

Miên trung gian

Z

Y

Hình 1.1 Phần tử tấm
Tấm là vật thể hình chữ nhật mà chiều cao vật thể nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước
của bề rộng. Mặt phẳng xy là mặt phẳng trung gian của tấm. Chiều dày của tấm h là
khoảng cách giữa hai bề mặt của tấm, a là chiều rộng của tấm .
- Tấm dày là tấm mà

h 1
≥ , đó là loại 3-D ( Trường hợp ứng suất khối)
a 5

- Tấm mỏng là tấm mà

h 1
≤ khi đó ứng suất theo hướng bề dày là rất nhỏ so với hai
a 5

hướng còn lại và có thể bỏ qua khi tính toán ( bỏ qua σ zz so với σ yy và σ xx )
Trong phần này chúng ta xem xét các tấm mỏng bằng vật liệu đàn hồi tuyến tính, xác
định theo định luật Hook
Các giả thuyết:

1. Chuyển vị và biến dạng của tấm là nhỏ. Bỏ qua biến dạng của mặt phẳng trung bình
(Không biến dạng trong mặt phẳng trung gian.)

4
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

2. Tải trọng thẳng và vuông góc với mặt phẳng trung gian (Giả thuyết Kirchoff)
3. Ứng suất σ z theo hướng tác dụng vào mặt phẳng trung gian là rất nhỏ so với những
hướng khác, có thể bỏ qua.
Các giả thuyết về tấm tương tự như các giả thuyết Bernoulli về uốn thanh trong miền
đàn hồi của các vật liệu.
II.Quan hệ ứng suất- biến dạng. Quan hệ giữa nội lực và ứng suất.
Các tấm có chiều dày h, đặt nằm ngang chịu tác dụng của lực, mặt phẳng xy là mặt
phẳng trung bình, trục z là trục vuông góc với mặt phẳng xy và có hướng xuống dưới .
Mxy
Mx
Ny

y

Mxy
Mx

σxy

σxz

x

Sy

y

σyy

Sx

Qy

Nx

z

z
x

Qx

Hình 1.2. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Xét phân tố diện tích vô cùng nhỏ vuông góc với trục y ,
Tại điểm K ứng suất pháp theo phương y là σ yy , ứng suất tiếp là σ yx và σ yz
Tổng ứng suất theo chiều dày của tấm, chúng ta thu được nội lực.
Chuyển nội lực về mặt phẳng trung gian, ta được :
N y = ∫ σ yy dz
h

S y = ∫ σ yx dz
h

M y = ∫ zσ yy dz

(1-1a)

h

5
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Q y = ∫ σ yz dz
h

M yx = ∫ zσ yx dz
h

Tương tự như vậy, chúng ta thu được các thành phần nội lực theo phương x :
N x = ∫ σ yy dz
h

S x = ∫ σ yx dz
h

M x = ∫ zσ yy dz

(1-1b)

h

Qx = ∫ σ yz dz
h

M xy = ∫ zσ yx dz
h

Giá trị trên được gọi là nội lực và mô ment nội lực của tấm. Theo thuyết ứng suất tiếp
tương đương, chúng ta có :
Sx = Sy = S
Mxy = Myx = H
Thay thế các thành phần ứng suất trên các phan tố của tấm bằng nội lực trong mặt
phẳng trung bình như là các thành phần nội lực : mô ment uốn, lực dọc trục, lực cắt,
mô ment xoắn của thanh . Các thành nội lực : Nx, Ny, S, Mx, My, Qx, Qy, H là hàm của
toạ độ x,y.
Trong tấm chịu uốn bởi ngoại lực vuông góc với mặt phẳng trung gian. Chúng ta xét
các thành phần nội lực : uốn và xoắn ;Mx, My, Qx, Qy, H .
Chiều dương của các nội lực nói trên : Nx, Ny, S, Mx, My, Qx, Qy cũng như chiều dương
của ứng suất pháp tuyến trên mặt cắt có pháp tuyến trùng với chiều dương của trục toạ
độ như trên hình vẽ 1.3. Khi mặt cắt có pháp tuyến theo chiều ngược với chiều dương
của trục toạ độ, dấu của nội lực sẽ có chiều ngược lại.
6
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

x
M

N

y

P

Q

z

Qy
H

My

Mx
S

M

Qx
Mx

H

P

M

y

'
x

N

'

x

Nx

H

S

'

My

N
S''

x

N

Q'x

Q

'

y

Q'y

Hình 1.3 Biểu diễn các lực trên các cạnh của phân tố
Phương trình cân bằng:
Xét điều kiện cân bằng của phân tố diện tích trong mặt phẳng trung gian có diện tích là
dxdy.
Ở cạnh trái MN của phân tố, các thành phần nội lực : Qx, Mx, H.
Ở cạnh phải QP, các thành phần nội lực:
Qx* = Qx +

∂Qx
∂M x
∂H
dx , M x* = M x +
dx , H x* = H +
dx
∂x

∂x
∂x

Ở cạnh trên MP, các thành phần nội lực : Qy, My, H.
Ở cạnh dưới MQ, các thành phần nội lực :
Q *y = Q y +

∂Q y
∂y

dy , M *y = M y +

∂M y
∂y

dy , H x** = H +

∂H
dx
∂x

Chiếu lên trục z, ta có các phương trình cân bằng sau:
∂Qx ∂Q y
+
+ p=0
∂x
∂y

(1-2)

7
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Qx =

∂M x ∂H
+
∂x
∂y

∂M y

Qy =

∂y

+

(1-3)

∂H
∂x

(1-4)

Phương trình kết hợp:
2
∂2M x
∂2H ∂ M y
+
2
+
+ p=0
∂x∂y
∂y 2
∂x 2

(1-5)

III. Quan hệ biến dạng và chuyển vị. Phương trình cân bằng tĩnh học
Chuyển vị tại điểm (x, y,z) tương ứng là (u, v, w).
Chuyển vị tại điểm (x, y,0) tương ứng là (u0, v0 , w0 ).
Giả thuyết 1:
ε zz =

∂w
= 0 với W =W(x,y)
∂z

Giả thuyết 2: u0 =0, v0 = 0.
Xét phân tố song song trục với x, theo định luật của Kickoff:
tgα =

∂w
∂x

u = − z.sin α = − z.tgα = − z.

∂w
(1-6)
∂x
Z

α
w
Z

u
u0

Hình1.4. Mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

8

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Chuyển vị tại điểm A(x,y,z) và A0(x,y,0).
Tương tự với trục y :
tgβ =

∂w
∂y

v = − z.sin β = − z.tgβ = − z.

∂w
∂y

(1-8)

Theo phương trình Cauchy :
ε xx

∂u
∂2w
=
= − z 2 = − zχ x
∂x
∂x

ε yy =

∂v
∂2w
= − z 2 = − zχ y
∂y
∂y

(1-8)

∂2w
1 ∂v ∂u
+ ) = −z
= − zχ xy
∂x∂y
2 ∂x ∂y

ε xy = (

χ x , χ y , χ xy là độ cong, góc xoay của mặt trung gian sau khi biến dạng

IV. Phương trình vi phân độ võng của tấm. Điều kiện biên
Đối với tấm đàn hồi, ta có:
σx =

E
E
(ε x + µε y ) , σ y =
(ε y + µε x ) ,
2
1− µ2
1− µ

σ xy =

E
ε xy ,
1+ µ

Thay thế các biến dạng của mặt phẳng trung gian trong phương trình (1-8), ta thu được

mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị:
σx =

E
∂2w
∂2w
[
ε
µε
(
µ
)]
+
−
z
+
0, x
0, y
∂x 2
∂y 2
1− µ 2

σy =

E
∂2w
∂2w
+
−
z

+
[
ε
µε
(
µ
)]
0, y
0, x
∂y 2
∂x 2
1− µ2

9

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

σ xy

E 1− µ
∂2w
=
[ε 0, xy + µε 0, y − z (
)]
∂x∂y

1− µ2 2

Lực màng thu được:
N x = ∫ σ x dz =
h

h/2

E
∂2w
∂2w
{
[
ε
µε
z
(
µ
+
−
+
∫ 1 − µ 2 0,x 0, y ∂x 2 ∂y 2 )]}dz
−h / 2

Sau khi tích phân, chúng ta thu được:
Nx =

E
(ε 0, x + µε 0, y )
1− µ 2

Ny =

E
(ε 0, y + µε 0, x )
1− µ2

S=

(1-9a)

E 1− µ
ε 0, xy
1+ µ2 2

Tương tự, ta thu được mô ment uốn và mô ment xoắn :
Mx = −

⎛ ∂2w
E.h 3
∂2w ⎞
⎟
⎜
.
µ
.
+
12(1 − µ 2 ) ⎜⎝ ∂x 2
∂y 2 ⎟⎠

Hoặc :
⎛ ∂2w
∂2w ⎞
M x = − D.⎜⎜ 2 + µ . 2 ⎟⎟
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎛ ∂2w
∂2w ⎞
M y = − D.⎜⎜ 2 + µ . 2 ⎟⎟
∂x ⎠
⎝ ∂y

(1-9b)

⎛ ∂2w ⎞
⎟⎟
H = − D(1 − µ ).⎜⎜
⎝ ∂x∂y ⎠

Trong đó:
D=

E.h 3
12(1 − µ 2 )

(1-10)

Theo một cách khác, ta viết (1-9b) bằng các biến độ cong:
M x = − D( χ x + µ .χ y )

Qx = − D.

∂ 2
∇ w
∂x
10

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

M x = − D( χ y + µ .χ x )

Q y = − D.

∂ 2
∇ w
∂y

(1-11)

H = − D.(1 − µ ) χ xy

Theo đó chúng ta thu được ứng suất như là độ bền của vật liệu :
Theo các lực màng:
σx =

N
Nx
S
; σ y = y ; σ xy =
h
h
h

(1-12)

Theo mô ment uốn và mô ment xoắn
σ x = z.

12M
12 M x
; σ y = z. 3 y ;
3
h
h

σ xy = z.

12 H
;
h3

(1-13)

σz =0

V. Điều kiện biên :
Theo hàm chức năng F:
Hàm F là hàm của lực màng.Chúng ta xét điều kiện cân bằng của mặt phẳng trung
gian như là hàm áp suất Airy trong vấn đề tấm đàn hồi bao gồm cả điều kiện tĩnh và
điệu kiện động.
1. Điều kiện tĩnh học
Tại điểm thuộc mặt phẳng trung gian có phương pháp tuyến là phương l với các cosin
chỉ phương lx, ly , lực f*(fx, fy):
N x .l x + S .l y = f x*

(1-14)

S .l x + N y .l y = f y*

2. Điều kiện động học:
Trên mặt phẳng trung gian có các chuyển vị u0, v0 . tương ứng chúng ta tìm được các
thành phần biến dạng theo mối quan hệ của Cauchy. Từ đó ta xác định các lực màng
theo công thức (1-9a) .

11
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Chúng ta có:
Nx =

∂F E.h 3
=
.(ε 0, x + µ .ε 0, y )
∂y 2 1 − µ

Ny =

∂F E.h 3
=
.(ε 0, y + µ .ε 0, x )
∂x 2 1 − µ

S =−

∂F
E.h 1 − µ
=
.
.γ 0, xy
∂x∂y 1 − µ 2 2

Tuy nhiên , sự tính toán là rất phức tạp. Vì vậy nếu các điều kiện biên trên mặt phẳng
trung gian được thay thế bới các bài toán về chuyển vị.
Hàm chuyển vị w :
x

a
b

b

y

y

Hình 1.5. Tấm bị ngàm

x

a

Hình1.6. Tấm tựa tự do

Phương trình bậc bốn của chuyển vị phụ thuộc vào điều kiện đầu w’ , w’’, w’’’ . Chúng
tôi giả định rằng các trục x và y được lấy song song với các cạnh bên của tấm có thể
ngàm, tự do hoặc tựa tự do.
*Trường hợp ngàm
Trên cạnh là vuông góc với trục x (x=0,x=a) , ta có :
w=o;

∂w
=0
∂x

(1-15)

Trên cạnh là vuông góc với trục y (y=0,y=b) ta có :
w=o;

∂w

=0
∂y

(1-16)

12
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

*Tựa tự do
Trên cạnh là vuông góc với trục x (x=0,x=a) với
w = o ; M x = − D(

∂2w
∂2w
+
µ
.
)=0
∂x 2
∂y 2

(1-17)

∂2w
Cạnh đó vẫn thẳng theo phương y do đó 2 = 0 và điều kiện mô ment bằng không là

∂y

:

∂2w
=0
∂x 2

Trên cạnh vuông góc với trục y (y=0,y=b) , ta có :
w = o ; M y = − D(

∂2w
∂2w
+
µ
.
)=0
∂y 2
∂x 2

Cạnh đó vẫn thẳng theo phương x do đó

(1-18)
∂2w
= 0 và điều kiện mô ment bằng không là
∂x 2

∂2w
=0
∂y 2

*Biên tự do:
Trên cạnh đó, chúng ta có ba điều kiện của nội lực : mô men uốn, lực cắt, mô men
xoắn bằng 0. Do đó số điều kiên biên lớn hơn số điều kiện cần thiết (là 2). Kirchoff đã
thay thế hai điều kiện liên hệ giữa mô men uốn và lực cắt bằng 1 điều kiện .Trong hình
1-7, tại điểm cách trục x một đoạn là y và vuông góc với trục x, chúng ta có mô ment
uốn là H. Thay thế mô men H bằng một cặp ngẫu lực và có độ lớn là H/dy và có chiều
ngược nhau. Tại tiết diện vuông góc với mặt phẳng trung gian và cách nhau một đoạn
dy. Trên mặt cắt có toạ độ y + dy, giá trị của mô men uốn là H+dH được thay thế bằng
ngẫu lực tương ứng, có chiều ngược nhau :

13
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

∂H
dy
H + dH H dH H
H ∂H
∂y
=
+
=
+
=
+

dy
dy dy dy
dy
dy ∂y

H/dy

x

2H

H/dy

2H
2H

H/dy + H
y
dy

dy
y

Hình 1.7

2H

Biểu diễn các lực tác dụng

Hình 1.8. Tấm có biên tự do

Ta có hai hệ lực theo chiều ngược nhau để thay thế mô men xoắn trên mặt cắt ngang.
Một hệ lực có hướng lên trên và một hệ lực có hướng xuống dưới sai số của các lực là
∂H
∂H
. Do đó ta có mô men xoắn phân bố với cường độ
được thay thế bằng Qx. Hợp
∂y
∂y

lực của hệ lực đó cùng với lực cắt Qx tạo thành hệ lực tương đương Q xeq
Q xeq = Q x + dH = Q x +
Q xeq = − D.

∂H
∂y

(1-19a)

⎡∂3w
∂ 2
∂3w
∂3w ⎤
(
2
µ
).
∇ w − D(1 − µ )
=
−

D
+
−
⎢ 3
⎥
∂x
∂x∂y ⎦
∂x∂y 2
⎣ ∂w

(1-19b)

14
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

nếu biên vuông góc với trục x là tự do, Điều kiện biên : mô ment uốn, lực cắt, mô ment
xoắn bằng 0 thay thế bằng phương trình mô ment uốn và lực cắt bằng 0
Mx = 0⇒

∂2w
∂2w
+
µ
.
=0

∂x 2
∂y 2

(1-20a)

Q xeq = 0 ⇒

∂3w
∂3w
+
(
2
−
µ
).
=0
∂x 3
∂x∂y 2

(1-20b)

Nếu biên vuông góc với trục y là tự do, điều kiện cân bằng là :
∂2w
∂2w
M y = 0 ⇒ 2 + µ. 2 = 0
∂y
∂x

Q yeq = 0 ⇒

∂3w
∂3w
(
2
µ
).
=0
+
−
∂y∂x 2
∂y 3

(1-21a)

(1-21b)

Với tấm chịu lực phân bố có xu hướng tăng lên ở góc, lực ở 2 góc có giá trị là 2H được
biểu diễn như hình trên.
Nếu điều kiện biên ở cạnh tự do của tấm cho lực phân bố, chúng ta cần xác định các
phương trình cân bằng điều kiện biên.
Gối đàn hồi
1. Gối đàn hồi
Chú ý rằng gọi k là độ cứng chống uốn của gối đàn hồi, chuyển vị của điểm dọc
theo canh là là k Qxeq .
Ở cạnh vuông góc với trục y như hình sau, chúng ta có thể viết điều kiện biên :
Tại y = b
⎡∂3w
∂3w ⎤
w = − k .D ⎢ 3 + (2 − µ ).
⎥

∂y∂x 2 ⎦
⎣ ∂y

(1-22a)

15
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

∂2w
∂2w
M y = 0 ⇒ 2 + µ. 2 = 0
∂y
∂x

(1-22b)

x

y
z
Hình 1.9. Gối đàn hồi
2. Ngàm đàn hồi :
Gọi độ cứng chống xoay của ngàm đàn hồi là c, chuyển vị góc tại điểm dọc theo
các cạnh là cMbend
Tại y = b

w=0

⎛ ∂2w
∂w
∂2w ⎞
= c.M y = −c.D⎜⎜ 2 + µ . 2 ⎟⎟
∂y
∂x ⎠
⎝ ∂y

(1-23)
(1-24)

VI. Các loại tấm cơ bản
Tấm dày.
Đối với tấm dày, các biến dạng tại mặt phẳng trung bình là nhỏ so với chuyển vị
uốn và độ võng. Theo đó, chúng ta có thể bỏ qua trong tính toán. Các lực N,S
tương ứng gây ra ứng suất rất nhỏ trong tính toán. Lý thuyết tấm dày được sử dụng
khi

1 w 1
≤ ≤
8 h 5

Trường hợp này rất phổ biến trong kiến trúc dân dụng
Tấm chịu nén

16
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Trường hợp này, ngoại lực ở mặt phẳng trung gian không có biến dạng uốn và độ
võng. Hàm F tuân theo công thức sau :
∇4F = 0

(1-25)

Tấm mỏng
Với tấm mỏng, chuyển vị màng và chuyển vị uốn là tương đương và nó có hai
trường sau :
Tấm mỏng với độ võng nhỏ : (
Tấm mỏng với độ võng lớn : (

w 1
≤ )
h 2

w 1
≥ )
h 2

VII.Kết luận chương I.
Trong chương này, chúng ta tìm hiểu về các loại tấm có hình dạng khác nhau với
các điều kiện biên khác nhau. Qua đó, ứng với mỗi trường hợp ta thu được các điều
kiên biên khác nhau và các phương trình cân bằng tĩnh học khác nhau.
Chương II: SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM NHIỀU LỚP

1. Phương trình vi phân của tấm chịu uốn
Xét sự cân bằng của 1 phân tố nhỏ cắt ra từ tấm bởi các cặp mặt phẳng song song với
các mặt phẳng xz và yz như hình vẽ. Chúng ta có các nội lực trong mặt phẳng trung
gian của tấm là Nx, Ny và Nxy = Nyx (lực trên một đơn vị chiều dài của tấm ). Chiếu các
lực trên theo phưoơng x và y và giả thiết rằng trên tấm không có lực khối và lực tiếp
tuyến tác dụng theo phương của các mặt của tấm, chúng ta thu được các phương trình
cân bằng tĩnh học:
∂N x ∂N xy
+
=0
∂x
∂y
∂N xy
∂x

+

∂N xy
∂y

(2-1)

=0

17
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010

Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

x

Ny

Nx

Nx

Nx dx
X

Nxy
Nyx

Nyx dy N y
y

Nxydy
y

Ny dy
y

y

Hình 2.1. Phân tố tấm nhiều lớp
Khi xem xét các lực thể hiện trên trục z, chúng ta phải đưa vào giá trị độ uốn của tấm
và tổng các góc xoay nhỏ giữa Nx và Ny trên các cạnh đối diện của phân tố này. Chiếu

trên trục z ta được giá trị độ uốn của lực uốn Nx :
− N x dy

∂N x
∂w ∂ 2 w
∂w
+ (N x +
dx)( + 2 dx)dy
∂x
∂x
∂x ∂x

Bỏ qua vô cùng lớn bậc cao :
Nx

∂N x ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy
2
∂x
∂x ∂x

(a)

Tượng tự như Nx, ta được giá trị của lực uốn Ny :
N xy

∂N xy ∂w
∂2w

dxdy +
dxdy
∂x∂y
∂x ∂y

(b)

Theo giả thuyết về tấm bị nén,ta thu được lực cắt Nxy = Nyx trên trục z. Đối với trường
hợp kéo nén đơn, các lực cắt theo phương z viết như sau :
2 N xy

∂N xy ∂w
∂N xy ∂w
∂2w
dxdy +
dxdy +
dxdy
∂y ∂x
∂x ∂y
∂x∂y

(c)

18
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Nhân các phương trình (a), (b), (c) với qdxdy và sử dụng công thức (2-1), ta thu được
phương trình cân bằng sau :
∂ 2 M xy ∂ 2 M y
∂2M x
∂2w
∂2w
∂2w
+
N
2
(
2
)
+
N
−
+
=
−
q
+
N
x
y
xy
∂x∂y
∂x∂y
∂y 2
∂x 2

∂x 2
∂y 2

Cho
Thay biểu thức (1-9b) trong chương 1 cho các lực Mx, My và Mxy, chúng ta có phương
trình sau :
∂4w
∂4w
∂4w 1
∂2w
∂2w
∂2w
2
(
2
)
+
+
=
q
+
N
+
N
+
N
x
y
xy
∂x∂y

∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D
∂x 2
∂y 2

(2-2)

Trong trường hợp của các lực vuông góc với bề mặt trung bình của tấm. chúng ta thu
được phương trình biến dạng hay là phương trình của Germaine-sophie:
∂4w
∂4w
∂4w q
2
+
+
=
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 D

II. Ứng dụng của lý thuyết đàn hồi trong các vấn đề ổn định của tấm :
II.1. Lý thuyết đàn hồi :

σ
N

α

0

σ

t

σ

0

ε

Hình 2.2. Biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng và ứng suất

19
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

Từ đồ thị σ (ε ) với các thí nghiệm xoắn. Môđun đàn hồi E tương ứng tg α 0 Vẽ đường
tiếp tuyến với đường cong môđun tại N. tiếp tuyến đường Et0 là tg α 1
Et0 =

dσ
dε

(2-3)

Hãy từ N đến O, góc giữa đường ON và trục ngang ε là môđun của pháp tuyến E s0
E s0 =

σ
ε

(2-4)

Giá trị Et0 và E s0 phụ thuộc vào ε
Với hệ số Poisson µ , Bên trong khu vực đàn hồi, chúng ta có được 0,25 < µ < 0,3. Khi
có xảy ra biến dạng dẻo, µ giá trị sẽ tăng lên và giới hạn là 0,5 Giả sử là vật liệu chưa
được nén khi µ = 0,5 (không xảy ra bất kỳ sự biến dạng của khối lượng)
Trong trạng thái ứng suất phức tạp, trong trường hợp cường độ ứng suất σ i và cường
độ biến dạng ε i sẽ được xác định như sau :
σi =

1
(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy2 + τ yz2 + τ zx2 )
2

(2-5)

εi =

1
3
(ε x − ε y ) 2 + (ε y − ε z ) 2 + (ε z − ε x ) 2 + (γ xy2 + γ yz2 + γ zx2 )
2
2

(2-6)

σ x , σ y , σ z : Ứng suất pháp
τ xy , τ yz , τ zx : Ứng suất trượt
ε x , ε y , ε z : Biến dạng dài
γ xy , γ yz , γ zx : Biến dạng góc

Chúng ta giả định rằng σ i phụ thuộc vào ε i bởi các biểu thức sau đây:
σ i = E s .ε i

(2-7)

Mối quan hệ giữa biến dạng dài và ứng suất tiếp theo biểu thức :

20
Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

⎫
⎧
1
3
.(σ x − S ) ⎪
⎪ε x − .θ =
3
2.E s
⎪
⎪

⎪
⎪
1
3
.(σ y − S )⎬
⎨ε y − .θ =
3
2.E s
⎪
⎪
⎪
⎪
3
⎪
⎪γ xy = .τ xy
Es
⎭
⎩

(2-8)

Một cách tương tự chúng ta có thể áp dụng cho các thành phần biến dạng khác. Trong
trường hợp này θ là biến dạng thể tích tương đối :
θ =εx +εy +εz

(2-9)

Trong đó S là ứng suất pháp trung bình :
S=

σ x +σ y +σ z
3

(2-10)

Mối quan hệ giữa θ và S như sau :
θ=

3.(1 − 2µ )
.S
E

(2-11)

Với vật liệu không nén được, chúng ta có θ = 0. Ở trên tấm, mỗi điểm trên lớp mà
song song với mặt phẳng trung bình chịu trạng thái ứng suất phẳng .
Chúng ta có:
γ yz = γ zx = 0

σz = 0;

(2-12)

Áp dụng công thức (2-5):
σi =

1
σ x2 + σ xσ y + σ y2 + τ 2
2

(2-13)

Và
S=

σ x +σ y
3

(2-14)

Thay thế . τ xy = τ , γ xy = γ Sử dụng (2-11), công thức (2-8) được viết lại như sau:

21

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

⎧
3
3
1 − 2µ
.σ x − (
).S
−
⎪ε x =
2.E s

2.E s
E
⎪
⎪
3
3
1 − 2µ
.σ y − (
).S
−
⎨ε y =
2.E s
E
2.E s
⎪
⎪
3
.τ
⎪γ xy =
Es
⎩

(2-15)

Trong công thức (2-15) chúng ta có thể tách riêng hai thành phần: biến dạng đàn hồi và
biến dạng dẻo. Nếu chúng ta định nghĩa :
1
1
1
= +

Gn G G p

(2-16)

Ở đây
G: mođun đàn hồi
Gn : môđun đàn hồi biến dạng phẳng
Gp : môđun đàn hồi biến dạng dẻo
Mối quan hệ giữa G và E như sau :
G=

E
2(1 + µ )

(2-17)

Khi µ = 0,5 . Theo cách tương tự chúng ta có thể viết lại Gn và Gp như sau:
Gn =

En
3

;

Gp =

Ep
3

(2-18)

Thay vào biểu thức (2-16), chúng ta có được :
1 2(1 + µ ) 1
=
+
3E
En
Ep

(2-19)

Bây giờ thay thế (2-19) và (2-14) vào biểu thức (2-15), cuối cùng chúng ta có được :

22

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010


Nghiên cứu sự ổ định của tấm có hình dạng khác nhau chịu tải trọng khác nhau

⎧
1
3
(σ x − S )
⎪ε x = (σ x − µ .σ y ) +
2E p
E
⎪

⎪⎪
1
3
(σ x − S )
⎨ε x = (σ x − µ .σ y ) +
2
E
E
p
⎪
⎪
2(1 + µ )
3
.τ +
⎪γ =
E
Ep
⎪⎩

(2-20)

Phương trình 1 của (2-20) trong biểu thức trên thể hiện biến dạng đàn hồi
Phương trình 2 của (2-20) trong biểu thức trên thể hiện biến dạng dẻo
Từ (2-20) và (2-4) khi σ x = σ , σ x = 0 , chúng ta có :
ε=

σ
E

n

0

=

σ
E

+

σ
3
.(σ − )
2 .E p
3

Và
1
1 1
= 0−
E p En E

(2-21)

Cùng với công thức (2-19) v cho ta thấy đồ thị kéo và nén của Ep
Sử dụng (2-19) chúng ta có:
1
1 1 − 2µ
= 0−
Es Es
3E

(2-22)

Trong trường hợp vật liệu không nén được, chúng ta có được E s0 = E s .Hoặc một cách
khác, nếu µ = 0,5 đồ thị quan hệ σ i (ε i ) tương tự như đồ thị quan hệ trong trạng thái
đơn σ (ε ) , tức là khi µ = 0 chúng ta có được:
εi =

2
1
ε x2 + ε y2 + ε z2 + γ 2
4
3

(2-23)

Các mối quan hệ giữa σ i và ε i được tuân theo định luật Hook như sau :
∆σ i = E.∆ε i

(2-24)

II.2. Phương trình vi phân của vật liệu không nén được :

23

Học viên Hoàng Hữu Tân

CHKT 2008 - 2010