ĐỀ THI HSG TOÁN 9 năm học 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2016-2017
Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức:

P=

1
3
2
−
+
x +1 x x +1 x - x +1

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P ≥ 0.
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n ∈ Z.
Bài 3: (4 điểm)
Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1
a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15



1 

1





b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1+ ÷ 1+ ÷.
x
y
Bài 4: (3 điểm)
Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
Bài 5: (2 điểm)
Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde sao cho 3 abcde = ab
Bài 6: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm
của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai
đường thẳng MG và AH song song với nhau.
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
·
b) Tính số đo góc HOG
.
----------------- HẾT-------------------

Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.


PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ
ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1
(4đ)

HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

a) ĐKXĐ: x ≥ 0
1
3
2
−
+
P=
x +1 x x +1 x - x +1
1
3
2
−
+
= x +1
x +1 x - x +1 x - x +1

)(
)
x - x +1 − 3 + 2 ( x +1)
=
=
( x +1) ( x - x +1) (

0,25

0,5

(

x+ x

)(

1,0

)

x +1 x - x +1

x
x - x +1
b) x ≥ 0
=

0,75
0,5



x - x +1 =  x − ÷ + ≥
2 4 4


x
≥0
P=
x - x +1
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
1

Bài 2
(2đ)

Bài 3
(4đ)

2

3

3

0,5
0,5

Ta có n(n+1) M2 => P M2
n(n+1)(n-1) M3=> PM3
Mà (2,3) = 1 => P M6

0,5
0,5
0,5

0,5

a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
= x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15
= x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15
= (x +y)2 + 2000(x + y) + 15
= 12 + 2000.1+15 = 2016

0,5
0,5
0,5
0,5

1 

1



+
b) P = 1+ ÷1+ ÷ = 1 + + + = 1 +
y x xy
xy
xy
 x  y 

=1+

1

1

1
1
2
+
=1+
xy xy
xy

1

x+y

1

0,5
0,5

Ta có: x + y ≥ 2 xy 1 ≥ 2 xy
 1 ≥ 4 xy
1
≥4

xy
2
≥ 1+ 2.4=9
P=1+
xy
1

Vậy GTNN của P là 9  x = y =
2

0,5
0,25
0,25


Bài 4
(3đ)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
 (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0
 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0
Đặt t = x2 + 5x + 4 ta được phương trình:
t(t + 2) - 24 = 0
2
 t + 2t - 24 = 0
 t2 - 4t + 6t - 24 = 0
 t(t - 4) + 6(t - 4) = 0
 (t - 4)(t + 6) = 0
 t = 4 hoặc t = -6
Với t = 4 ta được x2 + 5x + 4 = 4  x = 0; x = -5
Với t = -6 ta được x2 + 5x + 4 = -6  x2 + 5x + 10 = 0
 (x +

Bài 5
(2đ)

5 2 15

) +
= 0. Pt vô nghiệm.
2
4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5
Đặt x = ab , y = cde ta có abcde = 1000x + y

1000
<1100
x

0,5
0,5
0,5
0,25

0,25

=> 31< x<33
Vậy x = 32 và x3 = 32768
Bài 6
(5đ)

0,5

0,5
0,25
0,25
0,25

với 10 ≤ x < 100, 0 ≤ y < 1000 (1)
Ta có: x3 = 1000x + y (2)
Từ (1),(2)=> 1000x ≤ x3 < 1000x+1000
=> 1000 ≤ x2 < 1000+

0,25
0,5

0,25
0,25
A

M

B

O
G

D

H

C

a) ∆ADH và ∆GBM có:
·
·
= GBM

(=900)
ADH
·
·
= GMB
( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
AHD
=> ∆ADH ∆GBM (g-g)
=>

DH AD
=
BM GB

=> DH.GB = BM.DA
b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)
2
2
∆ADO vuông cân tại O => AD = DO. 2
2
DH.GB = BM.DA = BO.
. DO. 2 =BO.DO
2

∆MBO vuông cân tại M => BM = BO.

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,25
0,25
0,5


=>
=>
=>
=>
=>

DH DO
·
·
=
mà ODH
= GBO
(=450)
BO GB

∆ODH

∆GBO (c-g-c)

·
·
= BGO
DOH
·

·
·
·
·
·
+ HOG
+ GOB
= BGO
+ GOB
+ OBG
(=1800)
DOH
·
·
= OBG
= 450
HOG

Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25