Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

Giảng viên hướng dẫn: TS. Vũ Trọng Lưỡng

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN,
ĐẠO HÀM RIÊNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sơn La, tháng 05 năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

CÁC BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN,
ĐẠO HÀM RIÊNG

Thuộc nhóm ngành khoa học: Tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Vũ Thị Hồng Nhung

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Nguyễn Thị My

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Nguyễn Thị Ngoan

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Vũ Thị Ngọc Mai

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Nguyễn Như Quỳnh

Giới tính: Nữ

Dân tộc: Kinh

Lớp: K55 ĐHSP Toán

Khoa: Toán – Lý – Tin

Năm thứ 3/Số năm đào tạo: 4
Ngành học: Sư phạm Toán

Sinh viên chịu trách nhiệm chính: Vũ Thị Hồng Nhung
Người hướng dẫn: TS. Vũ Trọng Lưỡng

Sơn La, tháng 05 năm 2017


Mục lục

Lời cảm ơn

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I

Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân
1

2

4
11

Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1

Định luật thứ hai của Newton về chuyển động . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời . . . . . . 15

1.3

Phương trình vi phân cho các mạch điện . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4

Phương trình phóng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1

Mô hình quần thể đơn loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Mô hình thú mồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3

Mô hình cạnh tranh hai loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng

23

1

Phương trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

Phương trình dao động của màng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4

Sự khuếch tán trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5

Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1


KẾT LUẬN

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39

2

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy T.S Vũ Trọng Lưỡng, người đã
định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp đỡ chúng em về tài liệu nghiên
cứu cũng như động viên chúng em có nghị lực hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Lý - Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng KHCN
& HTQT, thư viện trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K55 ĐHSP Toán. Những ý
kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng
em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này chúng em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự
giúp đỡ quý báu nói trên.

Sơn La, tháng 9 năm 2016
Nhóm sinh viên thực hiện
Vũ Thị Hồng Nhung
Nguyễn Thị My
Vũ Thị Ngọc Mai
Nguyễn Thị Ngoan
Nguyễn Như Quỳnh


MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình vi phân và đạo hàm riêng là những nội dung mới mẻ, thú vị nhưng sinh viên
thường gặp nhiều khó khăn trong việc nghiên cứu học tập nội dung này. Đặc biệt việc học tập
nghiên cứu các mô hình giải tích dưới dạng phương trình vi phân và đạo hàm riêng của các
quá trình hiện tượng vật lí, hóa, sinh, đây là kiến thức mới và được sử dụng nhiều trong giải
tích và ứng dụng. Các bài toán về phương trình vi phân và đạo hàm riêng là các bài toán hay
có nhiều ứng dụng trong khoa học kĩ thuật và đời sống. Vì vậy, chúng em chọn đề tài nghiên
cứu là các bài toán dẫn đến phương trình vi phân và đạo hàm riêng.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Đề tài được thực hiện nhằm củng cố và nâng cao kiến thức về phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng.
- Tìm hiểu và tổng hợp có hệ thống các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương
trình đạo hàm riêng.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng
trong hóa học, sinh học, vật lí.
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày với giáo viên hướng dẫn từ đó
tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoàn
thành đề tài.
6. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
4


Với mục đích như vậy ngoài phần mở đầu, ký hiệu và kiến thức liên quan đề tài này được
chia ra làm hai chương với những nội dung chính như sau:
Chương I:
Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân.
Bao gồm:
1. Một số mô hình toán học trong vật lí, cơ học, kĩ thuật
- Định luật thứ hai của Newton về chuyển động.
- Phương trình dao động của con lắc.
- Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời.
- Phương trình vi phân cho các mạch điện.
- Phương trình phóng xạ.

2. Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể
- Mô hình quần thể đơn loài.
- Mô hình thú mồi.
- Mô hình cạnh tranh hai loài.
Chương II:
Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm riêng.
Bao gồm:
- Phương trình dao động của dây.
- Phương trình dao động của màng.
- Phương trình truyền nhiệt.
- Phương trình truyền sóng.
- Sự khuếch tán trong không gian ba chiều.
- Phương trình Laplace.

5


KÍ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
KÍ HIỆU
Giả sử Ω là một tập mở trong Rn . x ∈ Ω và hàm số u : Ω → R. Khi đó ta kí hiệu:
1.

∂u
( hoặc uxi (x)) là đạo hàm riêng của u theo biến xi tại điểm x.
∂xi

2.

∂ 2u
(x) ( hoặc uxj xi (x)) là đạo hàm riêng cấp hai của u theo các biến xj , xi tại điểm x.

∂xj ∂xi

3. Dm u =

∂αu
sao cho |α| = α1 + α2 + ... + αn = m là tập hợp tất cả các đạo hàm
∂xα1 1 ...∂xαnn

riêng cấp m của hàm u. Ở đó α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn gọi là đa chỉ số.

4. Khi m = 1 ta kí hiệu ∇ là vectơ gradient.

∂2
gọi là toán tử Laplace.
2
i=1 ∂xi
n

5. ∆ =

6. Ω ⊂ Rn được gọi là một miền nếu Ω là tập mở và là tập liên thông. Giả sử Ω là một miền
bị chặn trong Rn , kí hiệu ∂Ω là biên của Ω. Ta nói Ω thuộc lớp C k nếu tại mỗi điểm x0 ∈ ∂Ω
tồn tại một lân cận Ux0 của điểm x0 trong Rn sao cho ∂Ω ∩ Ux0 nằm trên siêu mặt

xi = f (x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn )

Với f ∈ C k (G), G là miền biến thiên của đối số. Ta nói Ω trơn nếu thuộc lớp C k , với mọi k .
Ta nói miền Ω trơn từng khúc nếu biên của nó được hợp bởi hữu hạn các mặt cong trơn. Đối
với các miền này ta có công thức Ostrogradsky - Gauss sau
n

Ω i=1

∂ui
dx =
∂xi
6

n

ui vi ds
∂Ω i=1


Ở đây u = (u1 , u2 , ..., un ) là hàm vectơ từ Ω vào Rn và ui ∈ C 1 (Ω), còn v = (v1 , v2 , ..., vn )
là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài của ∂Ω. Trong trường hợp u là hàm vô hướng
chúng ta đặt uj = 0, j = i và ui = u thì công thức Ostrogradsky - Gauss trở thành công thức
Gauss-Green
∂u
dx =
∂xi
Ω

uvi ds
∂Ω

Từ công thức này thay u bởi uv, u, v ∈ C 1 (Ω) ta có công thức tích phân từng phần sau
u
Ω

∂v

dx = −
∂xi

v
Ω

∂u
dx +
∂xi

uvvi ds
∂Ω

Bây giờ ta xét công thức Ostrogradsky - Gauss trong trường hợp n = 3 khi đó hàm vectơ
→
−
u (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

với P, Q, R ∈ C 1 (Ω), tổng
∂P
∂Q ∂R
+
+
∂x
∂y
∂z
−
−
được gọi là divergence của →
u , ký hiệu div →

u . Đó là một đại lượng vô hướng. Công thức

Ostrogradsky - Gauss được viết dưới dạng vectơ như sau
→
−
−
u→
n ds

−
div →
u dxdydz =
Ω

∂Ω

hay
(

∂P
∂Q ∂R
+
+
)dxdydz =
∂x
∂y
∂z

Ω

(P cos α + Q cos β + R cos γ)ds
∂Ω

−
với →
n = (cos α, cos β, cos γ). Công thức Ostrogradsky - Gauss có thể phát biểu như sau
−
Thông lượng của trường vectơ →
u (x, y, z) qua mặt ∂Ω hướng ra ngoài bằng tích phân bội
−
ba của div →
u trên miền Ω

ĐẠO HÀM
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b), x0 ∈ (a; b). Giới hạn hữu hạn (nếu có)
của tỷ số

f (x) − f (x0 )
khi x −→ x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0 , kí hiệu là
x − x0
7


f (x0 ) hay y (x0 ). Như vậy
f (x0 ) = lim

x→x0

f (x) − f (x0 )
x − x0

Nếu đặt
x − x0 = ∆x∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )

thì ta có
∆y
∆x→0 ∆x

f (x0 ) = lim

Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x0 và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương
ứng của hàm số.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Một phương trình vi phân thường (gọi tắt là phương trình vi phân) là một phương trình
chứa ẩn hàm x = x(t) của một biến độc lập t ∈ R và những đạo hàm x, x , x”, ... của ẩn hàm.
Cấp của một phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong
phương trình. Như vậy, một phương trình vi phân cấp n có dạng
F (t, x, x , ..., xn ) = 0

(0.1)

Ở đó F là hàm đã biết. Phương trình (0.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu F là hàm
tuyến tính đối với các hàm đối với các biến x, x , , ..., xn , trong trường hợp ngược lại, phương
trình (0.1) gọi là phi tuyến. Phương trình (0.1) gọi là otonom nếu F không phụ thuộc tường
minh vào t, tức là F = F (x, x , ..., xn ), và gọi là không otonom nếu F phụ thuộc tường minh
vào t.
Nói riêng, một phương trình vi phân cấp một có thể viết dưới dạng
F (t, x, x ) = 0

(0.2)

Hàm x = x(t), t ∈ I, gọi là một nghiệm hiện( còn gọi là nghiệm tường minh) của (0.2) nếu
F (t, x(t), x (t)) = 0 trong (0.1). Hệ thức ψ(t, x) = 0 gọi là nghiệm ẩn của (0.2) nếu nó xác định
8


một hoặc nhiều hàm x = φ(t) thỏa mãn F (t, φ(t), φ (t)) = 0. Mặc dù ta có thể không giải được
tường minh x từ hệ thức ψ(t, x) = 0 nhưng ta có thể tính được φ (t) = −

ψt
nếu ψx = 0
ψx

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Giả sử U là một tập mở trong không gian R3

f :U →R
M (x, y, z) → f (M ) = f (x, y, z)

là một hàm số xác định trên tập hợp U , M0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ U vì U là một tập hợp mở nên với
η > 0 đủ nhỏ, ta có (x0 , y0 , z0 ) ∈ U với mọi x ∈ (x0 − η, x0 + η). Nếu hàm số một biến số
g : (x0 − η, x0 + η) → R
x −→ g(x) = f (x, y0 , z0 )

có đạo hàm tại điểm x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của hàm số f theo biến x
tại điểm M0 = (x0 , y0 , z0 ) và được kí hiệu là fx (M0 ) = fx (x0 , y0 , z0 ) hoặc

∂f

(x0 , y0 , z0 ) hoặc
∂x

Df (x0 , y0 , z0 )

a) Một phương trình liên hệ giữa các biến độc lập (x1 , x2 , ..., xn ) và các ẩn hàm u1 (x1 , .., xn ), ...un (x1 ,
và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm đó gọi là một phương trình đạo hàm riêng.
Ví dụ
x

∂f
∂f
+y
=0
∂x
∂y

Dạng phương trình tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp m của các ẩn hàm
u1 , ..., uN đối với các biến độc lập x1 , ..xn là
F (x, u(x), Du(x), ..., Dm u(x)) = 0, x ∈ Ω, m ∈ N∗

với f là hàm, và u : Ω → R là hàm cần tìm.

9

(0.3)


b) Các cấp của phương trình (0.3) là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình
(0.3). Một phương trình không có mặt các đạo hàm riêng thì không phải là một phương trình

đạo hàm riêng.
Phương trình đạo hàm riêng cấp một, cấp hai của ẩn hàm u đối với hai biến x, y có dạng
∂u ∂u
, )=0
∂x ∂y

(0.4)

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
, ,
,
,
)=0
∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

(0.5)

F (x, y, u,
F (x, y, z,

c) Phương trình (0.3) được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng
aα (x)Dα u = f
|α|≤m

Trong đó aα , f là các hàm số đã cho. Phương trình tuyến tính này được gọi là thuần nhất
nếu f ≡ 0

Phương trình (0.3) được gọi là nửa tuyến tính nếu nó có dạng
aα (x)Dα u + a0 (Dm−1 u, ..., Du, u, x) = 0
|α|=m

Phương trình (0.3) được gọi là tựa tuyến tính nếu nó có dạng
aα (Dm−1 u, ..., Du, u, x)Dα u + a0 (Dm−1 u, ..., Du, u, x) = 0
|α|=m

Phương trình (0.3) được gọi là phi tuyến tính hoàn toàn nếu nó không phụ thuộc tuyến tính
vào các đạo hàm bậc cao nhất.
d) Hệ (u1 , ..., uN ) được gọi là nghiệm của (0.3) nếu khi thay hệ đó vào (0.3) ta được một
đồng nhất thức của các biến độc lập.

10


Chương I
Các bài toán dẫn đến phương trình vi phân
1

Một số mô hình toán học trong vật lý, cơ học, kĩ thuật
Như đã trình bày ở trên, trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, vật lý và khoa học xã hội ta thường

gặp các bài toán dẫn đến việc xác định một hàm thỏa mãn phương trình có chứa một hay nhiều
đạo hàm của hàm đó. Các phương trình như vậy gọi là phương trình vi phân.
Dưới dây là một số bài toán vật lí, cơ học, kĩ thuật, sinh học,... dẫn đến việc nghiên cứu
phương trình vi phân.

1.1

Định luật thứ hai của Newton về chuyển động

Định luật Newton mô tả chuyển động của chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của lực

F có dạng
F = ma

trong đó a là gia tốc của chất điểm
Ta xét một vài trường hợp đơn giản của chuyển động
(i) Vật có khối lượng m rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực
Trong trường hợp này
F = mg

Với
a=

d2 y
dt2

11


y(t) là chiều cao của vật rơi tại thời điểm t so với mặt đất. Để xác định quy luật chuyển động

ta cần tìm hàm y(t) thỏa mãn phương trình
m

d2 y
= mg
dt2

(1.1)

Nếu tính đến lực cản của không khí và xem rằng lực này tỉ lệ với vận tốc của vật rơi, thì

F = ma − k.

dy
dt

và phương trình chuyển động có dạng
m

d2 y
dy
= mg − k
2
dt
dt

(1.2)

Bây giờ ta đi tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.2)
Để đơn giản ta chọ các hệ số bằng 1,phương trình trở thành :
y” + y = 1

(1.3)

y” + y = 0

(1.4)

Xét phương trình thuần nhất

Có phương trình đặc trưng :

λ2 + λ = 0

với nghiệm là : λ = 0; λ = −1
Hệ nghiệm cơ bản của (1.4) là 1, e−t
Nghiệm riêng : y(t) = A; y = 0; y” = 0 thay vào (1) ta được A = 1
Vậy nghiệm tổng quát của (1.3) là
y(t) = C1 + C2 e−x + 1

(ii) Phương trình chuyển động của con lắc đơn
Xét dao động của một con lắc đơn. Giả sử con lắc có dộ dài L, khối lượng của trục có thể
bỏ qua và khối lượng của con lắc là m
12


Gọi θ là góc tạo bởi con lắc với phương thẳng đứng. Thế năng của con lắc là
Wt = mgL(1 − cos θ)

Nếu trục đứng đặt tại gốc tọa độ thì tại góc θ, tọa độ trọng tâm của con lắc là
X = (x, y) = (L sin θ, L(cos θ − 1))

Khi đó
dx dy
dθ
dθ
dχ
= ( , ) = (L cos θ
− L sin θ )
dt
dt dt
dt

dt

và do đó động năng của con lắc là
1
dX
Wd = m
2
dt

2

1
dx
dy
1
dθ
dθ
1
dθ
= m ( )2 + ( )2 = m L2 cos2 θ( )2 + L2 sin2 θ( )2 = mL2 ( )2 .
2
dt
dt
2
dt
dt
2
dt

Do định luật bảo toàn năng lượng của con lắc

1
dθ
E = mL2 ( )2 + mgL(1 − cos θ)
2
dt
E là hằng số, nên lấy đạo hàm hai vế ta nhận được
0 = mL2 (

dθ d2 θ
dθ
)( 2 ) + mgL sin θ .
dt dt
dt

Chia cả hai vế của phương trình cho θ ta nhận được phương trình dao động của con lắc

m

mg
d2 θ
=−
sin θ.
2
dt
L

Khi dao động là dao động nhỏ, tức là khi θ nhỏ, ta có thể xấp xỉ sin θ bởi θ và nhận được
phương trình tuyến tính
d2 θ
mg

m
=−
θ
dt
L

Đặt w2 =

g
, ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng
L
d2 θ
= −w2 θ.
dt

Đây là phương trình dao động của một vật dao động điều hòa.
13


Nếu tính cả lực cản của không khí thì từ định luật thứ hai của Newton, ta suy ra phương
trình dao động tắt dần của con lắc sẽ là

m

d2 θ
dθ
= −k − w2 sin θ.
dt
dt

(iii) Chuyển động của hệ : Quả cầu và lò xo.
Ta treo quả cầu nhỏ khối lượng m vào một lò xo, kéo quả cầu xuống rồi thả ra và khảo sát
chúng trong trường hợp hệ có cản và hệ không cản.
a) Hệ không có cản
Bỏ qua lực cản, lực tổng tác dụng lên hệ bằng
F = mg − k(d + y),
k là độ cứng của lò xo.

Ở trạng thái cân bằng y = 0, thì các lực cân bằng, suy ra kd = mg . Lực tổng là −ky và
phương trình chuyển động có dạng
m

d2 y
= −ky
dt2

(1.5)

Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phương trình (1.5). Để đơn giản ta cho các hệ số bằng 1 khi
đó ta được phương trình
y” + y = 0

Có phương trình đặc trưng là
λ2 + 1 = 0

với nghiệm là
λ = i, λ = −i

Hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.6) là cos t, sin t
Nghiệm tổng quát :

y(t) = C1 cos t + C2 sin t
14

(1.6)


b) Hệ có cản
Ta có lực cản tỉ lệ với vận tốc

dy
dy
. Lực tổng là −ky − c (hằng số C được gọi là hệ số
dt
dt

cản). Từ định luật hai Newton ta viết phương trình chuyển động
m

d2 y
dy
= −ky − c
2
dt
dt

(1.7)

Ta sẽ đi tìm nghiệm của (1.8) .Để đơn giản ta cho các hệ số bằng 1
Khi đó ta có phương trình
(1.8)

y” + y + y = 0

Xét phương trình đặc trưng
λ2 + λ + 1 = 0

có nghiệm là

√
√
3
1
3
−1
+
i; λ = −
i
λ=
2
2
2
2

Hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.8) là
√

e

−1
t

2

√
3 −1 x
3
cos
t, e 2 sin
t
2
2

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.8)
√
y(t) = C1 e

1.2

−1
t
2

cos

3
t
2

√
+ C2 e

−1
t
2

sin(

3
t)
2

Phương trình chuyển động của hành tinh trong Hệ Mặt Trời

Xét chuyển động của một hành tinh xung quanh Mặt Trời. Giả sử Mặt Trời cố định tại gốc
tọa độ trong R3 và hành tinh tương đối nhỏ sao cho lực tác động lên Mặt Trời là không đáng
kể. Mặt Trời gây ra một lực tác động lên hành tinh tuân theo định luật hấp dẫn của Newton,
tức là Mặt Trời gây ra một lực lên hành tinh ở vị trí x ∈ R3 theo hướng Mặt Trời, có độ lớn
là Gms mp /r2 , trong đó ms là khối lượng của Mặt Trời, mp là khối lượng của hành tinh, G là
hằng số hấp dẫn, r là khoảng cách giữa Mặt Trời và hành tinh.
15


Áp dụng định luật thứ hai của Newton ta có phương trình vi phân
mp

d2 x
x
=
−Gm
m
s

p
dt2
|x|3

Để đơn giản, ta có thể đổi đơn vị sao cho các hằng số bằng 1 và nhận được phương trình
vi phân
x
d2 x
= F (x) = − 3
2
dt
|x|

hay viết dưới dạng hệ cấp một tương đương



dx

 =v

dt

dv
x


 =− 3
dt
|x|

(1.9)

Hệ này được gọi là hệ lực xuyên tâm Newton.
Chú ý rằng: F (x) là một trường lực xuyên tâm và bảo toàn, do
x
= gradU (x)
|x|3

ở đó thế năng U cho bởi
U (x) = −

1
|x|

Bây giờ ta xét một đường cong nghiệm của phương trình này. Momen góc l và năng lượng
toàn phần E được coi là những hằng số đối với thời gian vì chúng bằng nhau tại mọi điểm của
đường cong. Trường hợp l = 0 tương ứng với chuyển động dọc theo đường thẳng hướng tới
hoặc đi khỏi Mặt Trời. Vì vậy ta giả thiết l = 0.
Đưa vào hệ tọa độ cực (r, θ) dọc theo đường cong nghiệm chúng là những hàm của thời
gian (r(t), θ(t)). Vì momem góc l = r2

dθ
dθ
là hằng số khác không nên dấu của
không đổi
dt
dt

dọc theo mỗi đường cong nghiệm, bởi vậy θ luôn tăng hoặc giảm theo thời gian. Vì vậy ta có

thể xem r là hàm của θ dọc theo đường cong nghiệm.
Đặt W (t) =

1
, chú ý rằng W cũng là hàm của θ và W = −U . Ta có động năng là
r(t)
K=

1 dr 2
dθ
( ) + (r )2 .
2 dt
dt
16


Do r =

1
, ta có
W
dr
−1 dW dθ
dW
= 2
= −l
dt
W dθ dt
dθ

Mặt khác, rθ =

l
= lW. Thay các biểu thức này vào biểu thức ở trên của động năng K ta
r

được
l2
K=
2

dW
dθ

2

+ W2

.

Bây giờ ta tìm một phương trình vi phân liên hệ giữa W và θ.
Chú ý rằng K = E − U = E + W , ta có
dW
dθ

2

+ W2 =

Đạo hàm hai vế theo θ, sau đó chia cho

2
(E + W ).
l2

dE
2dW
và dùng
= 0 (bảo toàn năng lượng), ta
dθ
dθ

nhận được phương trình
d2 W
1
+
W
=
,
dθ2
l2

ở đó

1
là hằng số.
l2

Chú ý rằng đây chính là phương trình dao động điều hòa với ngoại lực hằng số

1.3

1
.
l2

Phương trình vi phân cho các mạch điện

Xét mạch điện gồm một điện trở R, một cuộn cảm L và một tụ điện C mắc nối tiếp.
Trong mạch, ta cho một dòng điện chạy qua mỗi nhánh. Gọi iR , iL , iC lần lượt là các dòng
điện chạy qua R, L và C . Định luật về dòng cảm của Kirchhoff nói rằng tổng dòng chạy vào
một nút bằng tổng dòng chạy ra khỏi nút đó, tức là
iR = iL = −iC

Trạng thái của mạch điện được đặc trưng bởi dòng điện i và điện áp qua mỗi nhánh. Kí
hiệu các điện áp này lần lượt là VR , VL , VC ta có
VR + VL − VC = (V(β) − V(α) + (V(α) − V(γ) − (V(β) − V(γ) ) = 0
17


Điện trở trong nhánh R áp đặt một " quan hệ hàm " trên iR , VR
VR = F (iR )

trong đó F ∈ C 1 (R).
Tiếp theo, ta xét sự chuyển tiếp theo thời gian của trạng thái vật lí
(i(t), V (t)) = (iR (t), iL (t), iC (t), VR (t), VL (t), VC (t)).

Cuộn cảm xác định rằng
L

diL (t)
= VL (t)
dt

trong đó L là một hằng số dương, gọi là độ tự cảm. Mặt khác, tụ điện xác định rằng
C

dVC (t)
= iC (t)
dt

trong đó C là một hằng số dương, gọi là điện dung.
Do iR = iL và iC = −iL , ta có
L

diL (t)
= VL = VC − VR = VC − F (iL )
dt
C

dVC (t)
= iC = −iL
dt

Để đơn giản, ta coi L = 1, C = 1 và nếu kí hiệu x = iL , y = VC , ta có hệ phương trình vi
phân của mạch điện



dx


 = y − F (x)
dt



dy

 = −x
dt

hay dạng tương đương
d2 x
dx
+ f (x) + x = 0
2
dt
dt

ở đó f (x) = F (x).
Đây là một dạng của phương trình Liénard. Đặc biệt, nếu f (x) = x3 − x ta có phương trình
VanderPol.

18


1.4

Phương trình phóng xạ

Thực nghiệm chỉ ra rằng các chất phóng xạ, chẳng hạn như uranium, tốc độ phóng xạ tỉ lệ
với khối lượng M (t) tại thời điểm đang xét. Ta có thể viết công thức để tính khối lượng này tại
bất kì thời điểm nào bằng cách giải phương trình sau
dM
= −kM
dt

2

Một số mô hình toán học trong sinh thái học quần thể

2.1

Mô hình quần thể đơn loài

Giả sử x(t) là số lượng của một loài tại thời điểm t (chẳng hạn dân số trên Trái Đất, số cá
dx
(t)
chép trong một ao, số nguyên tử của một chất phóng xạ,...). Khi đó dt
là tốc độ tăng trưởng
x(t)

toàn phần. Tốc độ tăng trưởng này nói chung là một hàm của thời gian và quần thể, tức là
dx
(t)
dt
= r(t, x).
x(t)

Trong một hệ đóng, tức là không có nhập cư, ta có

r(x, t) = g(t, x) − s(t, x),

ở đó g(t, x) là tốc độ sinh và s(t, x) là tốc độ tử.
Nếu g và s đã biết, tổng quát hơn là đã biết r, thì x thỏa mãn phương trình tăng trưởng
dx
= r(t, x)x.
dt

Dưới đây, ta xét hai trường hợp đơn giản.
a) Phương trình Malthus
Ta giả sử tốc độ tăng trưởng là hằng số
r(t, x) = a

19


Khi đó x thỏa mãn phương trình vi phân
dx
= ax
dt

Phương trình này với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 có nghiệm duy nhất là x(t) = x0 ea(t−t0 ) .
Từ đây suy ra x(t) → +∞ khi t → +∞ nếu a > 0 ("tăng trưởng không giới hạn") và
x(t) → 0 khi t → +∞ nếu a < 0 ("tuyệt chủng").

b) Phương trình logistic
Giả thiết tốc độ tăng trưởng hằng số là không thực tế. Do đó, ta giả sử tồn tại một "số dân
giới hạn" ξ > 0 sao cho khi x vượt quá giới hạn ξ thì tốc độ tăng trưởng trở nên âm, tức là ta
giả sử
r(t, x)

0

nếu
x

ξ

Chẳng hạn, ta có thể lấy
r(t, x) = β(ξ − x), β, ξ > 0

Khi đó, phương trình tăng trưởng có dạng
dx
= αx − βx2 = (α − βx)x, α = βξ
dt

Phương trình này được gọi là phương trình tăng trưởng giới hạn hay phương trình logistic.

2.2

Mô hình thú mồi

Xét một quần thể gồm một loài thú và một loài mồi. Kí hiệu x(t) là số lượng loài mồi tại
thời điểm t, y(t) là số lượng loài thú tại thời điểm t. Khi đó hệ phương trình tăng trưởng của
hai loài có dạng



dx


 (t) = r1 (t, x, y)x
dt



dy

 (t) = r2 (t, x, y)y.
dt

20


Trong mô hình này ta giả sử mồi là nguồn thức ăn duy nhất của loài thú và loài mồi có
nguồn thức ăn vô hạn. Như trong trường hợp mô hình một loài ở trên, ta cũng xét hai trường
hợp tăng trưởng không giới hạn và tăng trưởng có giới hạn.
a) Mô hình thú- mồi với tốc độ tăng trưởng hằng số
Một biểu thức đơn giản cho tốc độ tăng trưởng của loài mồi có dạng
r1 (t, x, y) = a − by(a, b > 0)

Điều này có nghĩa là nếu không có loài thú (y = 0) thì loài mồi sẽ tăng trưởng theo tốc
độ hằng số a và sự xuất hiện của loài thú làm tỉ lệ này giảm một lượng tỉ lệ thuận với số thú.
Ta sử dụng biểu thức tương tự cho tốc độ phát triển của loài thú
r2 (t, x, y) = −c + dx(c, d > 0)

Điều này nghĩa là nếu không có con mồi, loài thú sẽ dần bị tuyệt chủng với tốc độ hằng c
và sự xuất hiện của con mồi làm giảm tỉ lệ tử một lượng tỉ lệ thuận với số con mồi.
Dưới các giả thiết trên, ta nhận được mô hình Lotka-Voltera cổ điển




dx

 = ax − bxy
dt


dy

 = −cy + dxy
dt

b) Mô hình thú - mồi với tốc độ tăng trưởng giới hạn
Như đã làm với phương trình logistic ở mục 2.1 b), ta sửa đổi mô hình Lotka-Volterra cổ
điển bởi " các tác động xã hội", điều này nói riêng ngăn cản sự phát triển không giới hạn của
con mồi khi không có con thú. Kết quả ta nhận được hệ



dx

 = ax − bxy − ex2
dt



dy

 = −cy + dxy − f y 2
dt

21


2.3

Mô hình cạnh tranh hai loài

Khi hai loài cùng sống với nhau và cùng chia sẻ một nguồn tài nguyên, chẳng hạn thức
ăn, ổ sinh thái hay lãnh thổ, nhiều khi chỉ một loài thắng thế làm cho loài yếu hơn đi đến diệt
vong( đây là nguyên lí cạnh tranh loại trừ). Loại này thắng vì nó khai thác nguồn tài nguyên
hiệu quả hơn, làm cho loài kia kiếm được ít hơn và không thể tăng trưởng ở tốc độ tối đa.
Mô hình sau, do Lotka và Volterra đưa ra và Gause nghiên cứu thêm, mô tả sự cạnh tranh
giữa hai loài



dx

 = ax − bxy − ex2
dt



dy

 = cy − dxy − f y 2
dt

ở đây x và y là số lượng của hai loài.

22


Chương II
Các bài toán dẫn đến phương trình đạo hàm
riêng
1

Phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây căng thẳng theo trục Ox. Bằng một cách nào đó, ta làm sợi dây dao động

và ta sẽ nghiên cứu quy luật dao động ấy của sợi dây.
Ta giả thiết sợi dây rất nhỏ, không cưỡng lại sự uốn và có lực căng T tương đối lớn so với
trọng lượng sợi dây, khiến cho ta có thể bỏ qua yếu tố trọng lượng sợi dây nói trên.
Ta chỉ xét những dao động ngang của sợi dây, tức là giả thiết khi dao động, các phần tử vật
chất của sợi dây chuyển động thẳng góc với trục Ox.
Độ lệch của các phần tử vật chất của dây mà ta kí hiệu là M so với vị trí cân bằng của nó
được kí hiệu là u. Rõ ràng hàm u phụ thuộc thời gian và hoành độ của điểm M , tức là
u = u(x, t)

Xét t = t0 thì đồ thị của đường cong biểu diễn bởi
u = u(x, t0 ) = f (x)

rõ ràng cho ta hình dáng của sợi dây tại thời điểm t = t0 .
Hơn nữa, ta giả thiết độ lệch u(x, t) của dây và đạo hàm
qua đại lượng ux 2 so với đơn vị.
23

∂u

rất nhỏ khiến cho ta có thể bỏ
∂x