BÀI tập GIẢI TÍCH 12 ôn THI cực HAY

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

a) 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2 = 0

b) x 3 - 3 x 2 + 3(1 - m) x + 1 + 3m = 0

c) 2 x 3 - 3mx 2 + 6(m - 1) x - 3m + 12 = 0

d) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0

e) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0
f) x 3 - 3mx + 2 m = 0
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a) x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m 2 - 3m + 2) x + 2 m(2 m - 1) = 0

b) x 3 - 3mx + 2 m = 0

c) x 3 - (2m + 1) x 2 + (3m + 1) x - (m + 1) = 0
d) x 3 - 3 x 2 + 3(1 - m) x + 1 + 3m = 0
Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 b) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0
1 3
x -x+m = 0
3
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
c) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0

d)

a) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 b) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0
1 3 5 2
7
x - x + 4x + m + = 0
d) x 3 - mx 2 + (2 m + 1) x - m - 2 = 0
3
2
6
Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
c)

a) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0

b) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0

c) x 3 + 3 x 2 - 9 x + m = 0

d) x 3 - x 2 + 18mx - 2 m = 0

Trang 27


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của

tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là:

y – y0 = f ¢(x0).(x – x0)
(y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
ì f ( x ) = g( x )
(*)
í f '( x ) = g '( x )
î
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) :

· Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
· Tính y¢ = f¢ (x). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0).
· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0).
· D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1)
· Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m.
· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
ì f ( x ) = kx + m

(*)
í f '( x ) = k
î
· Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:
+ D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana
+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
1
+ D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = a
k -a
+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì
= tan a
1 + ka
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm A( x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0).
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
· D đi qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0)
(2)
· Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
· Phương trình đường thẳng D đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
Trang 28


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

ì f ( x) = k( x - x A ) + yA
(*)
í
î f '( x ) = k
· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.
Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C): y = 3 x 3 - x 2 - 7 x + 1 tại A(0; 1)

b) (C): y = x 4 - 2 x 2 + 1 tại B(1; 0)

3x + 4
2
tại C(1; –7)
d) (C): y = x + 1 tại D(0; 3)
2x - 3
2x -1
Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
c) (C): y =

x2 - 3x + 3
tại điểm A có xA = 4
x -2
3( x - 2)
tại điểm B có yB = 4
b) (C): y =
x -1
x +1
c) (C): y =
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

x -2

a) (C): y =

d) (C): y = 2 x - 2 x 2 + 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C): y = x 3 - 3 x + 1 tại điểm uốn của (C).
1 4
9
x - 2 x 2 - tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
4
4
Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
f) (C): y =

a) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và d: y = 7 x + 4 .
b) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và (P): y = - x 2 + 8 x - 3 .
c) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và (C’): y = x 3 - 4 x 2 + 6 x - 7 .
Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
5 x + 11
tại điểm A có xA = 2 .
a) (C): y =
2x - 3
b) (C): y = x 2 - 7 x + 26 tại điểm B có xB = 2.
Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng S cho trước:
2x + m
1
a) (C): y =
tại điểm A có xA = 2 và S = .

x -1
2
x - 3m
9
b) (C): y =
tại điểm B có xB = –1 và S = .
x+2
2
c) (C): y = x3 + 1 - m( x + 1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
2x -1
a) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 5 ; k = 12
b) (C): y =
; k = –3
x -2
x2 - 3x + 4
c) (C): y =
; k = –1
d) (C): y = x 2 - 4 x + 3 ; k = 2
x -1
Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:
Trang 29


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

x3
2x -1

3
- 2 x 2 + 3 x + 1 ; d: y = 3x + 2
b) (C): y =
; d: y = - x + 2
3
x -2
4
2
x - 2x - 3
1
3
c) (C): y =
; d: 2 x + y - 5 = 0
d) (C): y = x 4 - 3 x 2 + ; d: y = –4x + 1
4x + 6
2
2
Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C): y =

x3
x
2x -1
a) (C): y =
- 2 x 2 + 3 x + 1 ; d: y = - + 2
b) (C): y =
; d: y = x
x -2
3
8

x2 + 3
x2 + x - 1
c) (C): y =
; d: y = –3x
d) (C): y =
; d: x – 2
x +1
x+2
Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
x3
x3
- 2 x 2 + x - 4; a = 600
b) (C): y =
- 2 x 2 + x - 4; a = 750
3
3
3x - 2
c) (C ) : y =
; a = 450
x -1
Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a:
a) (C): y =

x3
a) (C): y =
- 2 x 2 + x - 4; d : y = 3 x + 7; a = 450
3
x3
1
- 2 x 2 + x - 4; d : y = - x + 3; a = 30 0

b) (C): y =
3
2
4x - 3
; d : y = 3 x; a = 450
c) (C ) : y =
x -1
3x - 7
d) (C ) : y =
; d : y = - x; a = 60 0
-2 x + 5
x2 - x + 3
; d : y = - x + 1; a = 60 0
e) (C ) : y =
x -2
Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
x 2 + (2m + 1) x - 2 + m
tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
a) (C): y =
x +1
2 x 2 + mx - 1
b) (C): y =
; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
x -3
Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho
trước:
(3m + 1) x - m 2 + m
(m ¹ 0) tại điểm A có yA = 0 và d: y = x - 10 .
x+m

Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C): y =

a) (C): y = - x 3 + 3 x - 2 ; A(2; –4)

b) (C): y = x 3 - 3 x + 1 ; B(1; –6)
æ 3ö
1 4
3
x - 3 x 2 + ; D ç 0; ÷
2
2
è 2ø
3x + 4
f) (C): y =
; F(2; 3)
x -1
x2 - x + 2
h) y =
; H(2; 2)
x -1

2

c) (C): y = ( 2 - x 2 ) ; C(0; 4)

d) (C): y =

x +2
; E(–6; 5)

x -2
x2 - 3x + 3
g) (C): y =
; G(1; 0)
x -2
e) (C): y =

Trang 30


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

VN 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
1. iu kin cn v hai ng (C1): y = f(x) v (C2): y = g(x) tip xỳc nhau l h
phng trỡnh sau cú nghim:
ỡ f ( x ) = g( x )
(*)
ớ f '( x ) = g '( x )
ợ
Nghim ca h (*) l honh ca tip im ca hai ng ú.
2. Nu (C1): y = px + q v (C2): y = ax2 + bx + c thỡ
(C1) v (C2) tip xỳc nhau phng trỡnh ax 2 + bx + c = px + q cú nghim kộp.
Baứi 1. Tỡm m hai ng (C1), (C2) tip xỳc nhau:

a) (C1 ) : y = x3 + (3 + m) x 2 + mx + 2; (C2 ) : truùc hoaứnh
b) (C1 ) : y = x 3 - 2 x 2 - (m - 1) x + m; (C2 ) : truùc hoaứnh
c) (C1 ) : y = x 3 + m( x + 1) + 1; (C2 ) : y = x + 1
d) (C1 ) : y = x 3 + 2 x 2 + 2 x - 1; (C2 ) : y = x + m

Baứi 2. Tỡm m hai ng (C1), (C2) tip xỳc nhau:

a) (C1 ) : y = x 4 + 2 x 2 + 1; (C2 ) : y = 2mx 2 + m
b) (C1 ) : y = - x 4 + x 2 - 1; (C2 ) : y = - x 2 + m
1
9
c) (C1 ) : y = - x 4 + 2 x 2 + ; (C2 ) : y = - x 2 + m
4
4
d) (C1 ) : y = ( x + 1)2 ( x - 1)2 ; (C2 ) : y = 2 x 2 + m
(2m - 1) x - m 2
e) (C1 ) : y =
; (C2 ) : y = x
x -1
x2 - x + 1
f) (C1 ) : y =
; (C2 ) : y = x 2 + m
x -1
VN 3: Lp phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th
(C1): y = f(x) v C2): y = g(x)
1. Gi D: y = ax + b l tip tuyn chung ca (C1) v (C2).
u l honh tip im ca D v (C1), v l honh tip im ca D v (C2).
ã D tip xỳc vi (C1) v (C2) khi v ch khi h sau cú nghim:
ỡ f (u) = au + b
(1)
ùù f '(u) = a
(2)
ớ
(3)
ùg(v ) = av + b

=
g
'(
v
)
a
(4)
ùợ
ã T (2) v (4) ị f (u) = g (v) ị u = h(v)
(5)
ã Th a t (2) vo (1) ị b = j(u)
(6)
ã Th (2), (5), (6) vo (3) ị v ị a ị u ị b. T ú vit phng trỡnh ca D.
2. Nu (C1) v (C2) tip xỳc nhau ti im cú honh x0 thỡ mt tip tuyn chung ca (C1) v
(C2) cng l tip tuyn ca (C1) (v (C2)) ti im ú.
Baứi 1. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th:

a) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = - x 2 + 5 x - 11
b) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = - x 2 - x - 14
Trang 31


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

c) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = x 3 + 3 x - 10
VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
· Gọi M(x0; y0) Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f¢ (x0).

· Vì
D // d
nên
f¢ (x0) = kd
(1)
1
hoặc
D^d
nên
f¢ (x0) = (2)
kd

· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) Î (C).

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho

trước:
x2 + 3x + 6
1
; d: y = x
x +1
3
2
x + x +1
b) (C): y =
; d là tiệm cận xiên của (C)
x +1
x2 + x - 1
; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
c) (C): y =

x -1
x2 - x + 1
d) (C): y =
; d: y = x
x
Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C): y =

a) (C): y = x 3 + x 2 + x + 10 ; d: y = 2 x

b) (C): y =

x2 - x + 1
; d: y = –x
x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) Î d.
· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM
(1)
í
(2)
î f '( x ) = k
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM
(3)
· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

a) (C ) : y = - x 3 + 3 x 2 - 2
b) (C ) : y = x 3 - 3 x + 1
Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
x2 + x + 2
; d là trục hoành
x -1
x 2 + 3x + 3
d) (C ) : y =
; d: x = 1
x+2

x +1
; d là trục tung
x -1
2x2 + x
c) (C ) : y =
; d: y = 1
x +1
x+3
e) (C ) : y =
; d: y = 2x + 1
x -1
a) (C ) : y =

b) (C ) : y =

Trang 32

Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

Baứi 3. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ớt nht mt tip tuyn vi (C):

x2 - 6x + 9
x 2 + 3x + 3
; d l trc tung
b) (C ) : y =
; d l trc tung
x +1
-x + 2
2x +1
3x + 4
; d: x = 3
d) (C ) : y =
; d: y = 2
c) (C ) : y =
x -2
4x - 3
Baứi 4. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c hai tip tuyn vi (C):
a) (C ) : y =

x2 + x - 2
x2 - x -1
; d l trc honh
b) (C ) : y =
; d l trc tung

x+2
x +1
x 2 + 3x + 3
c) (C ) : y =
; d: y = 5
x+2
Baứi 5. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ba tip tuyn vi (C):
a) (C ) : y =

a) (C ) : y = - x 3 + 3 x 2 - 2 ; d: y = 2

b) (C ) : y = x 3 - 3 x ; d: x = 2

c) (C ) : y = - x 3 + 3 x + 2 ; d l trc honh d) (C ) : y = x 3 - 12 x + 12 ; d: y = 4
e) (C ) : y = x 4 - x 2 - 2 ; d l trc tung
e) (C ) : y = - x 4 + 2 x 2 - 1 ; d l trc tung
Baứi 6. T im A cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
ổ4 4ử
1
a) (C ) : y = x 3 - 9 x 2 + 17 x + 2 ; A(2; 5)
b) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 4; A ỗ ; ữ
3
ố9 3ứ
c) (C ) : y = 2 x 3 + 3 x 2 - 5; A(1; -4)
Baứi 7. T mt im bt kỡ trờn ng thng d cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
a) (C ) : y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1 ; d: x = 2

b) (C ) : y = x 3 - 3 x ; d: x = 2

VN 6: Tỡm nhng im m t ú cú th v c

2 tip tuyn vi th (C): y = f(x) v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(xM; yM).
ã Phng trỡnh ng thng D qua M cú h s gúc k: y = k(x xM) + yM
ã D tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
ỡ f ( x ) = k ( x - x M ) + yM
(1)
ớ
(2)
ợ f '( x ) = k
ã Th k t (2) vo (1) ta c: f(x) = (x xM).f (x) + yM
(3)
ã Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3) cú 2 nghim phõn bit x1, x2.
ã Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau f (x1).f (x2) = 1
T ú tỡm c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tip im nm v hai phớa vi trc
ỡ(3) coự 2 nghieọm phaõn bieọt
honh thỡ ớ
ợ f ( x1 ). f ( x2 ) < 0
Baứi 1. Chng minh rng t im A luụn k c hai tip tuyn vi (C) vuụng gúc vi nhau.

Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ú:
ổ
1ử
a) (C ) : y = 2 x 2 - 3 x + 1; A ỗ 0; - ữ
ố
4ứ
c) (C ) : y =

b) (C ) : y =

x2 + 2x + 2
; A(1; 0)
x +1

d)
Trang 33

x2 + x +1
; A(1; -1)
x +1


Trn S Tựng

Hm s lu tha m logarit

II. LOGARIT
1. nh ngha
ã Vi a > 0, a ạ 1, b > 0 ta cú: log a b = a aa = b
ỡa > 0, a ạ 1
Chỳ ý: log a b cú ngha khi ớ
ợb > 0
lg b = log b = log10 b
ã Logarit thp phõn:
n

ổ 1ử
ã Logarit t nhiờn (logarit Nepe): ln b = loge b (vi e = lim ỗ 1 + ữ ằ 2, 718281 )
ố nứ
2. Tớnh cht

ã log a 1 = 0 ;

log a a b = b ;

log a a = 1 ;

a

loga b

= b (b > 0)

ã Cho a > 0, a ạ 1, b, c > 0. Khi ú:
+ Nu a > 1 thỡ log a b > loga c b > c
+ Nu 0 < a < 1 thỡ log a b > loga c b < c
3. Cỏc qui tc tớnh logarit
Vi a > 0, a ạ 1, b, c > 0, ta cú:
ổbử
ã log a (bc) = log a b + loga c
ã log a ỗ ữ = log a b - log a c ã log a ba = a loga b
ốcứ
4. i c s
Vi a, b, c > 0 v a, b ạ 1, ta cú:
log a c
ã log b c =
hay log a b. log b c = log a c
log a b
ã log a b =

1

log b a

1
log a c (a ạ 0)
a

ã log aa c =

Baứi 1. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:

a) log 2 4.log 1 2
d) 4
g)

log2 3

+9

4
log

3

b) log 5
2

log 1 a

7

c) loga 3 a
log9 2

+ 4 log8 27

h) log3 6.log8 9.log6 2

i) 92 log 3 2

+ 4 log81 5

l) 25log 5 6 + 49log 7 8

m) 5

e) log

log a3 a.log a4 a1/3

1
. log27 9
25

2 2

8

f) 27

a

log3 5

k) 81
n) 9

1
log6 3

+ 27

+4

log 9 36

1
log8 2

+3

4 log 9 7

1+ log 9 4

o) 3

+4

2 - log 2 3

3-2 log 5 4

log125 27

+5

q) lg(tan10 ) + lg(tan 20 ) + ... + lg(tan 890 )
r) log8 ộở log 4 (log2 16)ựỷ .log2 ộở log3 (log 4 64)ựỷ
Baứi 2. Cho a > 0, a ạ 1. Chng minh: log a (a + 1) > loga +1 (a + 2)
Trang 55

p) log

6

3.log3 36


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
HD: Xét A =

Trần Sĩ Tùng

log a+1 (a + 2)
loga +1 a + loga +1 (a + 2)
= log a+1 a.log a+1 (a + 2) £
=
log a (a + 1)
2

log a+1 a(a + 2) loga +1 (a + 1)2

=
<
=1
2
2
Baøi 3. So sánh các cặp số sau:
1
2
3
a) log3 4 vaø log 4
b) log 0,1 3 2 vaø log 0,2 0,34 c) log 3
vaø log 5
3
5
4
4

d) log 1
3

1
1
vaø log 1
80
15 + 2
2

g) log 7 10 vaø log11 13
HD:

d) Chứng minh: log 1
3

2
1
log6
3 2

e) log13 150 vaø log17 290

f) 2 log6 3 vaø

h) log 2 3 vaø log3 4

i) log 9 10 vaø log10 11

1
1
< 4 < log 1
80
15 + 2
2

e) Chứng minh: log13 150 < 2 < log17 290
g) Xét A = log 7 10 - log11 13 =

log7 10.log7 11 - log7 13
log7 11

1 æ

10.11.7
10
11 ö
+ log7 .log 7 ÷ > 0
ç log 7
log7 11 è
7.7.13
7
7ø
h, i) Sử dụng bài 2.
Baøi 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho log2 14 = a . Tính log 49 32 theo a.
=

b) Cho log15 3 = a . Tính log 25 15 theo a.
c) Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;

1
log81 100

.

d) Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a.
2

Baøi 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

49
theo a, b.
8

b) Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.
a) Cho log 25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3 5

c) Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b.
d) Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

a) bloga c = c loga b

b) log ax (bx ) =

log a b + log a x
1 + log a x

c)

log a c
= 1 + log a b
log ab c

a+b 1
= (log c a + logc b) , với a2 + b2 = 7ab .
3
2
1
e) log a ( x + 2 y) - 2 log a 2 = (log a x + loga y ) , với x 2 + 4 y 2 = 12 xy .
2
d) log c

f) log b+ c a + log c- b a = 2 log c+ b a.logc- b a , với a2 + b2 = c2 .

Trang 56


Trần Sĩ Tùng
g)

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

k (k + 1)
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
=
.
log a x loga2 x log a3 x log a4 x
logak x 2 log a x

h) log a N .log b N + log b N .logc N + logc N .log a N =
i) x = 10

1
1- lg z

, nếu y = 10

1
1-lg x

vaø z = 10

1
1-lg y

log a N .log b N .logc N
.
log abc N

.

k)

1
1
1
1
+
+ ... +
=
.
log2 N log3 N
log2009 N log2009! N

l)

log a N - log b N loga N
, với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.
=
log b N - logc N logc N

Trang 57


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

Trần Sĩ Tùng

III. HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y = xa (a là hằng số)
Số mũ a

Hàm số y = xa

Tập xác định D

a = n (n nguyên dương)

y = xn

D=R

a = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y = xn

D = R \ {0}

a là số thực không nguyên

y = xa

D = (0; +¥)

Chú ý: Hàm số y =

1
xn

không đồng nhất với hàm số y = n x (n Î N *) .

b) Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ¹ 1).
· Tập xác định:
D = R.
· Tập giá trị:
T = (0; +¥).
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang.
· Đồ thị:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
c) Hàm số logarit y = log a x (a > 0, a ¹ 1)
· Tập xác định:
D = (0; +¥).
· Tập giá trị:
T = R.
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
· Đồ thị:
y
y
y=logax

O

x

1

O

x

1

0
a>1
Trang 58

y=logax


Trn S Tựng

Hm s lu tha m logarit

2. Gii hn c bit
ã

lim (1 +

x đ0

1
x) x

x

ex -1
=1
x đ0 x

ln(1 + x )
=1
x đ0
x

ổ 1ử
= lim ỗ 1 + ữ = e
x đƠ ố
xứ

ã lim

ã lim

3. o hm
ã

( xa )Â = a xa -1 ( x > 0) ;

( n x )Â =

Chỳ ý:

ã

ã

1
n

n x n -1

( ua )Â = a ua -1.uÂ

( a x )Â = a x ln a ;

( au )Â = au ln a.uÂ

( e x )Â = e x ;

( eu )Â = eu .uÂ

( loga x )Â = x ln1 a ;

( loga u ) = u lnu a

( ln x )Â = 1

( ln u )Â = uÂ

x

(x > 0);

( n u )Â =

ổ vụựi x > 0 neỏu n chaỹn ử
ỗ vụựi x ạ 0 neỏu n leỷ ữ .
ố
ứ

uÂ
n

n u n-1

u

Baứi 1. Tớnh cỏc gii hn sau:

ổ x ử
a) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố 1 + x ứ

x

ổ 3x - 4 ử
d) lim ỗ
ữ
x đ+Ơ ố 3 x + 2 ứ

ổ 1ử

b) lim ỗ 1 + ữ
x đ+Ơ ố
xứ
x +1
3

ln x - 1
x đe x - e

g) lim

x +1
x

ổ x +1 ử
e) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố 2 x - 1 ứ

x

e2 x - 1
x đ0 3 x

h) lim

e x - e- x
esin 2 x - esin x
k) lim
l) lim

xđ0 sin x
x đ0
x
Baứi 2. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
3

a) y = x 2 + x + 1
d) y = 3 sin(2 x + 1)

b) y = 4

x +1
x -1
3

e) y = cot 1 + x 2

x +3
11
5
h) y = 9 + 6 x 9
g) y = sin
4
Baứi 3. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:

d) y = e

2x + x 2

g) y = 2 x .ecos x

b) y = ( x 2 + 2 x )e - x
e) y = x.e
h) y =

Baứi 4. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:

1
x- x
3

3x
2

x - x +1

Trang 59

2 x -1

ổ 2x +1 ử
f) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố x - 1 ứ

x

ex - e
xđ1 x - 1

i) lim
m)

c) y = 5

3

a) y = ( x 2 - 2 x + 2)e x

ổ x +1 ử
c) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố x - 2 ứ

lim x ( e - 1)
1
x

xđ+Ơ

x2 + x - 2
x2 + 1

f) y =
i) y =

1- 3 2x
1+ 3 2x
4

x2 + x + 1
x2 - x + 1

c) y = e-2 x .sin x
f) y =

e2 x + e x
e2 x - e x

i) y = cos x .ecot x


Hm s lu tha m logarit

Trn S Tựng

a) y = ln(2 x 2 + x + 3)

b) y = log 2 (cos x )

c) y = e x .ln(cos x )

d) y = (2 x - 1) ln(3 x 2 + x )

e) y = log 1 ( x 3 - cos x )

f) y = log3 (cos x )

2

(

ln(2 x + 1)
i) y = ln x + 1 + x 2
x +1
2x +1
Baứi 5. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:
g) y =

ln(2 x + 1)

a) y = x.e

-

h) y =

x2
2 ;

)

b) y = ( x + 1)e x ; y - y = e x

xy = (1 - x 2 )y

c) y = e4 x + 2e- x ;

y  - 13 y - 12 y = 0

d) y = a.e - x + b.e -2 x ; y + 3 y + 2 y = 0

g) y = e- x .sin x;

y + 2 y + 2 y = 0

4
h) y = e- x .cos x; y( ) + 4 y = 0

i) y = esin x ;
l) y =

1 2 x
x .e ;
2

y cos x - y sin x - y = 0

k) y = e2 x .sin 5 x; y - 4 y + 29 y = 0

y - 2 y + y = e x

m) y = e4 x + 2e - x ; y - 13y - 12 y = 0

n) y = ( x 2 + 1)(e x + 2010);

y =

2 xy
2

x +1

+ e x ( x 2 + 1)

Baứi 6. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:

ổ 1 ử
a) y = ln ỗ
ữ;
ố1+ x ứ

xy + 1 = e y

c) y = sin(ln x ) + cos(ln x ); y + xy + x 2 y = 0

b) y =

1
; xy = y ộở y ln x - 1ựỷ
1 + x + ln x

d) y =

1 + ln x
; 2 x 2 y = ( x 2 y 2 + 1)
x (1 - ln x )

x2 1
+ x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1;

2 y = xy + ln yÂ
2 2
Baứi 7. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh sau vi hm s c ch ra:
e) y =

a) f '( x ) = 2 f ( x ); f ( x ) = e x ( x 2 + 3 x + 1)
b) f '( x ) +

1
f ( x ) = 0;
x

f ( x ) = x 3 ln x

c) f '( x ) = 0; f ( x ) = e2 x -1 + 2.e1-2 x + 7 x - 5
d) f '( x ) > g '( x ); f ( x ) = x + ln( x - 5); g( x ) = ln( x - 1)
1
e) f '( x ) < g '( x ); f ( x ) = .52 x +1; g( x ) = 5 x + 4 x ln 5
2

Trang 60


Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
ìb > 0
ax = b Û í

ỵ x = log a b

Với a > 0, a ¹ 1:

1. Phương trình mũ cơ bản:

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a f ( x ) = a g( x ) Û f ( x ) = g( x )

Với a > 0, a ¹ 1:

a) Đưa về cùng cơ số:

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
a M = a N Û (a - 1)( M - N ) = 0
b) Logarit hố:
a f ( x ) = b g ( x ) Û f ( x ) = ( log a b ) . g ( x)
c) Đặt ẩn phụ:
f (x)
ì
, t > 0 , trong đó P(t) là đa thức theo t.
P ( a f ( x ) ) = 0 Û ít = a
· Dạng 1:
ỵP(t) = 0

a a 2 f ( x ) + b (ab) f ( x ) + g b2 f ( x ) = 0

· Dạng 2:

Chia 2 vế cho b

2 f ( x)

ỉ
, rồi đặt ẩn phụ t = ç ÷
èbø

f ( x)

· Dạng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f ( x ) Þ b f ( x ) =

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
· Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1).
· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy
nhất:
é f ( x ) đồng biến và g( x ) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
êë f ( x ) đơn điệu và g( x ) = c hằng số
· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) Û u = v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
éA = 0
ìA = 0
· Phương trình A2 + B2 = 0 Û í
· Phương trình tích A.B = 0 Û ê
B

=
0
ë
ỵB = 0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
ì f ( x) ³ M
ì f ( x) = M
Nếu ta chứng minh được: í
thì
(1) Û í
ỵ g( x ) = M
ỵg( x ) £ M
Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hố):

b) ( 3 - 2 2 )

a) 9 3 x -1 = 38 x -2
c) 4 x

2

-3 x + 2

e) 2 x

2

-1

ỉ1ư
g) ç ÷
è2ø

+ 4x

+ 2x

2

+2

2

+ 6 x +5

= 42 x

2

= 3x + 3x

2

2

+3 x +7

=2

l)

=

x 2 +4

xf) 5

-1

ỉ1ư
h) ç ÷
è2ø

4 -3 x

i) 3 x .2 x+1 = 72
x +10
16 x -10

= 3+2 2

d) 52 x - 7 x - 52 x.35 + 7 x .35 = 0

+1

2

x -2

2x

x +7

= 25
1-2 x

ỉ1ư
.ç ÷
è2ø

=2

k) 5 x +1 + 6. 5 x – 3. 5 x -1 = 52

x +5
x
0,125.8 -15

m) (
Trang 61

5 + 2)

x -1

=(

x -1

5 - 2 ) x +1


Hm s lu tha m logarit

Trn S Tựng

VII. BT PHNG TRèNH M
ã Khi gii cỏc bt phng trỡnh m ta cn chỳ ý tớnh n iu ca hm s m.
ộ ỡa > 1
ờ ớ f ( x ) > g( x )
a f ( x ) > a g( x ) ờ ợ
ờ ỡớ0 < a < 1
ờở ợ f ( x ) < g( x )
ã Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp gii tng t nh i vi phng trỡnh m:
a v cựng c s.
t n ph.
.
Chỳ ý: Trong trng hp c s a cú cha n s thỡ:
a M > a N (a - 1)( M - N ) > 0
Baứi 1. Gii cỏc bt phng trỡnh sau (a v cựng c s):

a) 3

ổ1ử
ỗ ữ
ố3ứ

x2 - 2 x

x - x -1

c) 2 x + 2 - 2 x + 3 - 2 x
e) 9 x

2

-3 x + 2

- 6x

g) 4 x 2 + x.2 x

2

2

+4

-3 x + 2

+1

ổ1ử
b) ỗ ữ
ố2ứ

> 5x + 1 - 5x + 2

<0

d) 3

x

x 6 -2 x 3 +1

x -1

+3

1- x

ổ1ử
<ỗ ữ
ố2ứ

x -2

-3

< 11

f) 6 2 x +3 < 2 x +7 .33 x -1

2

2

+ 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12

h) 6.x 2 + 3 x .x + 31+

x

< 2.3 x .x 2 + 3x + 9

i) 9 x + 9 x +1 + 9 x + 2 < 4 x + 4 x +1 + 4 x + 2

k) 7.3 x +1 + 5 x +3 Ê 3 x + 4 + 5 x + 2

l) 2 x +2 + 5 x +1 < 2 x + 5 x +2

m) 2 x -1 .3 x + 2 > 36

n) (

x -3

x +1

10 + 3 ) x -1 < (
1

p)

Ê2

2

10 - 3 ) x +3

o) (

x -1

2 x -2 x
Baứi 2. Gii cỏc bt phng trỡnh sau (t n ph):
x

x

x

a) 2.14 + 3.49 - 4 0
c)

2
( x - 2)
2( x - 1)
x
4 -2
+ 83

> 52

2 + 1)

x +1

q)

1
2
x
2 -1

b)

1
1
-1
-2
x
4
-2x

2 - 1) x -1

1

2 3 x +1

x+4 x

d) 8.3

x

(

-3 Ê 0

+ 91+

4

x

x

>9

e) 25.2 x - 10 x + 5 x > 25

f) 52 x + 1 + 6 x + 1 > 30 + 5 x .30 x

g) 6 x - 2.3 x - 3.2 x + 6 0

h) 27 x + 12 x > 2.8 x

i)

1
49 x

1
- 35 x

l) 252 x - x

2

+1

1
Ê 25 x

+ 92 x - x

k) 3
2

+1

34.252 x - x

2

1
+1
ổ 1 ửx

r) ỗ ữ + 3 ỗ ữ
ố3ứ
ố3ứ

-2

2 x +1

m) 3 2 x - 8.3 x +

o) 4 x + x - 1 - 5.2 x + x - 1 + 1 + 16 0
2
ổ 1 ửx

x +1

p)

(

ổ1ử
-ỗ ữ
ố8ứ

<0

- 9.9

3 + 2) +(
3x

1 +1
2-1
x
x <9

t) 2
+2

x+4

x

ổ1ử
s) ỗ ữ
ố4ứ

> 12

x
2
- 12

x+4

>0
x
3 - 2) Ê 2

x -1

- 128 0

u) ( 22 x + 1 - 9.2 x + 4 ) . x 2 + 2 x - 3 0
Trang 70

Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) 2

x

x
2
<3

+1

b)

2.3 x - 2 x + 2
£1
3x - 2 x
32 - x + 3 - 2 x
e)
³0
4x - 2

x +4

d) 3

c)

g)

21- x - 2 x + 1
£0
2 x -1

f)

+2

3x + x - 4
x2 - x - 6

2 x+4

> 13

>0

2

-3x 2 - 5 x + 2 + 2x > 3 x .2x -3x 2 - 5 x + 2 + ( 2x ) 3x

Baøi 4. Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:

a) 4 x - m.2 x + m + 3 £ 0
c)

b) 9 x - m.3 x + m + 3 £ 0
d) (

2x + 7 + 2x - 2 £ m

2

x
2 + 1) + (

2

x -1
2 - 1)
+m=0

Baøi 5. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

a) (3m + 1).12 x + (2 - m).6 x + 3 x < 0 , "x > 0.

b) (m - 1)4 x + 2 x +1 + m + 1 > 0 , "x.

c) m.9 x - ( 2m + 1) 6 x + m.4 x £ 0 , "x Î [0; 1].

d) m.9 x + (m - 1).3 x +2 + m - 1 > 0 , "x.

e) 4 cos x + 2 ( 2m + 1) 2

cos x

+ 4 m 2 - 3 < 0 , "x. f) 4 x - 3.2 x +1 - m ³ 0 , "x.

g) 4 x - 2 x - m ³ 0 , "x Î (0; 1)

h)

3 x + 3 + 5 - 3 x £ m , "x.

i) 2.25 x - (2m + 1).10 x + (m + 2).4 x ³ 0 , "x ³ 0. k) 4 x -1 - m.(2 x + 1) > 0 , "x.
Baøi 6. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
2
1
ì
+1
1
ì 2
æ 1 öx
+1
ïïæ 1 ö x
ï
> 12
(1)
a) íçè 3 ÷ø + 3 çè 3 ÷ø
b) í2 x - 2 x > 8
ï
ïî4 x 2 - 2 mx - (m - 1)2 < 0
2 2
(
)

(
)
ïî m - 2 x - 3 m - 6 x - m - 1 < 0 (2)
ìï2
- 9.2 + 4 £ 0
c) í 2
ïî(m + 1) x + m( x + 3) + 1 > 0
2 x +1

x

2
1
ì
+2
æ 1 öx
ïïæ 1 ö x
> 12
d) íç 3 ÷ + 9. ç 3 ÷
è ø
è ø
ï 2
îï2 x + ( m + 2 ) x + 2 - 3m < 0

(1)
(2)

Trang 71

(1)

(2)

(1)
(2)


Hm s lu tha m logarit

Trn S Tựng

VIII. BT PHNG TRèNH LOGARIT
ã Khi gii cỏc bt phng trỡnh logarit ta cn chỳ ý tớnh n iu ca hm s logarit.
ộ ỡa > 1
ờ ớ f ( x ) > g( x ) > 0
log a f ( x ) > log a g( x ) ờ ợ
ờ ỡớ0 < a < 1
ờở ợ0 < f ( x ) < g( x )
ã Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp gii tng t nh i vi phng trỡnh
logarit:
a v cựng c s.
t n ph.
.
Chỳ ý: Trong trng hp c s a cú cha n s thỡ:
log a A
log a B > 0 (a - 1)( B - 1) > 0 ;
> 0 ( A - 1)( B - 1) > 0
log a B
Baứi 1. Gii cỏc bt phng trỡnh sau (a v cựng c s):

a) log 5 (1 - 2 x) < 1 + log

5

b) log 2 (1 - 2 log 9 x ) < 1

( x + 1)

c) log 1 5 - x < log 1 ( 3 - x )
3

e) log 1 (log 2
3

d) log 2 log 1 log5 x > 0

3

3

1 + 2x
)>0
1+ x

f) ( x 2 - 4 ) log 1 x > 0
2

g) log 1 ộở log4 ( x 2 - 5 )ựỷ > 0

h) 6

log26

x

+ x log6 x Ê 12

3
log x
k) 2( 2 ) + x log2 x
2

i) log 2 ( x + 3 ) 1 + log2 ( x - 1)
l) log3 ổ log 1 x ử 0
ỗ
ữ
ố
2 ứ
ộ
ự
ộ
n) log 1 ở log5 x 2 + 1 + x ỷ > log3 ờ log 1
ờở 5
3
Baứi 2. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:

(

)

m) 2 log8 ( x - 2) + log 1 ( x - 3) >

(

8

)

ự
x2 + 1 - x ỳ
ỳỷ

lg ( x 2 - 1)
a)
<1
lg (1 - x )

b)

c)

lg ( x 2 - 3 x + 2 )
>2
lg x + lg 2

d) x log2 x + x 5log x 2 - log 2 x - 18 < 0

3x - 1
>0
x2 +1

f) log3 x .log2 x < log3 x 2 + log2

e) log x

2
3

2

g) log x (log 4 (2 x - 4)) Ê 1

x2 - 3x - 4

h) log3 x - x 2 (3 - x ) > 1

i) log x ( x 2 - 8 x + 16 ) 0

k) log 2 x ( x 2 - 5 x + 6 ) < 1

5

Trang 72

3

log 2 ( x + 1) - log3 ( x + 1)

>0

x

4


Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

æ
x -1 ö
l) log x +6 ç log 2
÷>0
x+2ø
è
3

m) log x -1 ( x + 1) > log x 2 -1 ( x + 1)

n) (4 x 2 - 16 x + 7).log3 ( x - 3) > 0

o) (4 x - 12.2 x + 32).log2 (2 x - 1) £ 0

Baøi 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log 2 x + 2 log x 4 - 3 £ 0

b) log 5 (1 - 2 x ) < 1 + log

c) 2 log5 x - log x 125 < 1

d) log 2 x 64 + log x 2 16 ³ 3

e) log x 2.log2 x 2. log 2 4 x > 1

f) log 21 x + log 1 x 2 < 0
2

g)

2
log 4 x
log 2 x
+
>
1 - log 2 x 1 + log 2 x 1 - log 22 x

h)

i) log 21 x - 6 log 2 x + 8 £ 0

k)

5

( x + 1)

4

1
2
+

£1
4 + log 2 x 2 - log 2 x
log32 x - 4 log3 x + 9 ³ 2 log3 x - 3

2

l) log 9 (3 x 2 + 4 x + 2) + 1 > log 3 (3 x 2 + 4 x + 2) m)
n)

p)

1
o) log x 100 - log100 x > 0
2

1 - 9 log21 x > 1 - 4 log 1 x
8

1
2
+
<1
5 - log5 x 1 + log5 x

8

1 + log23

x
>1

1 + log3 x

q) log x 2. log x 2 >
16

1
log2 x - 6

Baøi 4. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) ( x + 1)log20,5 x + (2 x + 5) log0,5 x + 6 ³ 0

b) log 2 (2 x + 1) + log 3 (4 x + 2) £ 2

5+ x
3
2
5- x < 0
>
d)
x
log 2 ( x + 1) log 3 ( x + 1)
2 - 3x + 1
Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
1
log1/ 2 ( x 2 - 2 x + m ) > -3
b) log x 100 - log m 100 > 0
2
2
1 + log m x

1
2
d)
+
<1
>1
5 - logm x 1 + log m x
1 + log m x
lg

c)
Baøi 5.

a)
c)
e)

f) log x -m ( x 2 - 1) > log x -m ( x 2 + x - 2)

log2 x + m > log2 x

Baøi 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

a) log 2 ( 7 x 2 + 7 ) ³ log2 ( mx 2 + 4 x + m ) , "x
b) log 2

(

)

(

)

x 2 - 2 x + m + 4 log 2 x 2 - 2 x + m £ 5 , "x Î[0; 2]

c) 1 + log5 ( x 2 + 1) ³ log 5 (mx 2 + 4 x + m ) , "x.
æ
æ
æ
m ö 2
m ö
m ö
d) ç 2 - log 1
÷ x - 2 ç 1 + log 1
÷ x - 2 ç 1 + log 1
÷ > 0 , "x
ç
ç
ç
1+ m ÷
1+ m ÷
1+ m ÷
è
2
ø
è
2
ø
è

2
ø
Baøi 7. Giải bất phương trình, biết x = a là một nghiệm của bất phương trình:
a) log m ( x 2 - x - 2 ) > log m ( - x 2 + 2 x + 3 ) ;
b). log m (2 x 2 + x + 3) £ log m (3 x 2 - x );

a = 9/ 4.

a =1
Trang 73


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

Trần Sĩ Tùng

Baøi 8. Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):

a)
Baøi 9.

a)

c)

ìlog 2 x + log x 2 < 0
(1)
1
ï 1
í 2

4
ï x 2 + mx + m 2 + 6 m < 0
(2)
î
Giải các hệ bất phương trình sau:
ì
x2 + 4
ï
>0
í x 2 - 16 x + 64
ïlg x + 7 > lg( x - 5) - 2 lg 2
î
ìïlog2 - x ( 2 - y ) > 0
í
ïîlog4 - y ( 2 x - 2 ) > 0

ìïlog (5 x 2 - 8 x + 3) > 2
b) í x
2
4
ïî x - 2 x + 1 - m > 0

(

) (

(1)
(2)

ì( x - 1) lg 2 + lg 2 x +1 + 1 < lg 7.2 x + 12

ï
b) í
ïîlog x ( x + 2 ) > 2
ìïlog ( y + 5) < 0
d) í x -1
ïîlog y +2 (4 - x ) < 0

Trang 74

)


Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

IX. ÔN TẬP HÀM SỐ
LUỸ THỪA – MŨ – LOGARIT

Baøi 1. Giải các phương trình sau:

a)
c)

22 x -1.4 x +1
8

x -1

0, 2 x + 0,5

b) 9 3 x -1 = 38 x -2

= 64

(0, 04) x
=
25

5

(

1
e) 7 x +2 - .7 x +1 - 14.7 x -1 + 2.7 x = 48
7
æ
g) çè 2(2
i)

1
x +3 2 x
)

1
1- lg x 2
x 3

=

f) 3 x

x -1

2

+2

- 9.2 x

+2

m)

-1

- 36.3 x

2 x +1

x +2

e) 9 x
g) 3

=3

2

-3

d)

( x )log

+ 1 - 6.3 + 3

c) x 2 .5 x - 52 + x < 0

d) x lg

4x + 2 x - 4
£2
x -1

g) 2

-2

x +2
æ 1 ö 2- x

i) ç ÷
è3ø

2 x +1
æ 1 ö 1- x

l) ç ÷
è5ø

-2

-5

2

x

52

æ2ö
> 1+ ç ÷
è3ø
3x - 2 x
log2 ( x 2 -1)

1 2
x+ 2 x

æ1ö
m) 372. ç ÷
è3ø
Trang 75

> 1000

3 x -2

æ1ö

k) ç ÷
è3ø
-3

<2

x -3lg x +1

æ1ö
h) ç ÷
è2ø

x +2

>9
æ1ö
>ç ÷
è5ø

2 x +1 + 1

f) 8.
>5

+8 = 0

+ 12 = 0

24 ) + (

2 x -1 - 1

b)

x +1

x 2 -5

24 )
+2

x

>

x

>1
1
27

æ1ö
.ç ÷
è3ø

x

>1

x

=0

m) 3lg(tan x ) - 2.3lg(cot x )+1 = 1

6 -5 x

x+4

=3

- 12.2 x -1-

3
3+
-2 x

5+

æ 2 ö 2+ 5 x 25
a) ç ÷
<
è5ø
4

x +3

x -1

k) 4lg x +1 - 6 lg x - 2.3lg x

2

x +2

3

x 2 -5

1
64 x

h) (

2( x +1)

x

l) 2sin x + 4.2 cos x = 6
Baøi 3. Giải các bất phương trình sau:

e)

- 9 3 lg(7 - x ) = 0

f) 34 x +8 - 4.32 x +5 + 28 = 2 log2 2

+3 = 0

i) 91+ log3 x - 31+ log 3 x - 210 = 0

2

)

-7,2 x +3,9

b) 4 x -

+8 = 0

c) 64.9 x - 84.12 x + 27.16 x = 0
2

9

k) x lg x = 1000 x 2

100

2

æ5ö
=ç ÷
è3ø

x

lg x +5
x 3

a) 4 x

x 2 +2 x -11

h) 5 x. 8 x-1 = 500

=4

= 105+lg x
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
l)

2

æ 9 ö
.ç ÷
è 25 ø

2

ö
÷
ø

1
3

x +1

æ5ö

d) ç ÷
è3ø

= 10


Hm s lu tha m logarit

Trn S Tựng

Baứi 4. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:

a) 4 x - 2.52 x - 10 x > 0
c) 9.4

-

1
x

+ 5.6

-

1
x

< 4.9

-

b) 25- x - 5- x +1 50
1
x

d) 3lg x + 2 < 3lg x

g) 4 - 2

2( x -1)

2( x -2)
+8 3

+5

ổ1ử
f) 22 x +1 - 21. ỗ ữ
ố2ứ

e) 4 x +1 - 16 x < 2 log 4 8
x

2

4 -3 x

> 52

h) 3

9 x - 3 x +2 > 3 x - 9
Baứi 5. Gii cỏc phng trỡnh sau:

-2

2 x +3

ổ1ử
- 35. ỗ ữ
ố3ứ

+2 0
2 -3 x

+6 0

9x + 3x - 2 9 - 3x

i)

k)

a) log3 (3 x - 8) = 2 - x

b) log 5- x ( x 2 - 2 x + 65) = 2

c) log 7 (2 x - 1) + log7 (2 x - 7) = 1

d) log3 (1 + log3 (2 x - 7)) = 1

e) 3log3 lg

f) 9log3 (1-2 x ) = 5 x 2 - 5

x

- lg x + lg2 x - 3 = 0

g) x1+ lg x = 10 x
2

h)

( x )log

k)

lg x +7
x 4

2

lg x +lg x -2

ổ lg x ử
= lg x
i) ỗ
ữ
ố 2 ứ

ổ
ử
1
l) log3 ỗ log9 x + + 9 x ữ = 2 x
ố
2
ứ
Baứi 6. Gii cỏc phng trỡnh sau:

(

a) 2 log x 5

)

2

m) 2 log3

- 3 log x 5 + 1 = 0

5

x -1

=5

= 10 lg x +1
x -3
x -3

+ 1 = log3
x -7
x -1

b) log1/3 x - 3 log1/3 x + 2 = 0

c) log 22 x + 2 log2 x - 2 = 0

d) 3 + 2 log x +1 3 = 2 log3 ( x + 1)

(

e) log x ( 9 x 2 ) . log32 x = 4

)

f) log3 log1/2 2 x - 3 log1/ 2 x + 5 = 2
9
log22 x
2

g) lg2 (100 x ) - lg2 (10 x ) + lg 2 x = 6

h) log 2 (2 x 2 ).log2 (16 x ) =

i) log3 (9 x + 9) = x + log3 (28 - 2.3 x )

k) log 2 (4 x + 4) = log2 2 x + log2 (2 x+1 - 3)

l) log 2 (25 x +3 - 1) = 2 + log2 (5 x +3 + 1)

m) lg(6.5 x + 25.20 x ) = x + lg 25

Baứi 7. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:

2x - 6
>0
2x -1
2 - 3x
d) log1/3
-1
x

a) log 0,5 ( x 2 - 5 x + 6) > -1

b) log 7

c) log3 x - log3 x - 3 < 0
e) log1/4 (2 - x ) > log1/ 4
g)

x2 - 4
log1/2 ( x 2 - 1)

2
x +1

f) log1/3 ộở log4 ( x 2 - 5)ựỷ > 0

<0

h)

k) log 2 x +3 x 2 < 1

i) log x ộở log9 (3 x - 9)ựỷ < 1
l) 2

log 2 - x ( x 2 +8 x +15)

log 2 ( x + 1)
>0
x -1

<1

m) (0,5)
Trang 76

log1/3

x +5
x 2 +3

>1


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Sĩ Tùng

II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

ò f ( x )dx .
a

b

ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a)

· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
b

S = ò f ( x )dx

x = a, x = b là:

a

2. Tính chất của tích phân
·
·

a

ò

f ( x )dx = 0

b

ò

·

a

a

f ( x )dx = - ò f ( x )dx

a
b

b

b

a

a

a

b

ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx

· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì

b

b

a
b

a

· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const)
·

ò

a

c

b

a

c

f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx

b

ò f ( x )dx ³ 0
a

· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì

b

b

a

a

ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

ò

f [u( x )] .u '( x )dx =

u( b )

ò

f (u)du

u( a )

a

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a, b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì:
b

b

b

ò udv = uv - ò vdu
a

a

a

Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

b

a

a

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv .

Trang 84


Trần Sĩ Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên

hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b

ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và
phép tính vi phân.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2

a)

ò (x

3

+ 2 x + 1)dx

1

2

d)
g)

x

dx

ò

2

ò(

x + 1)( x - x + 1) dx

-1 x
2

+2

2

æ
ö
3
b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx
x
ø
1è

2

ò

ò

-2

4

)

+4
dx
x2

2
ò(x + x

1

)

x + 3 x dx

x2 - 2 x

dx

x3

1

e

l)

ò

1

ò(

)

4

i)

1
2

x -1
dx
x2

ò

c)

e
æ
ö
1 1
+ x 2 ÷ dx
f) ò ç x + +
x x2

ø
1è

2

2

h)

1

k)

(x

-1

e)

2

x + 23 x - 4 4 x dx

1

2 x + 5 - 7x
dx
x

8æ

1
m) ò ç 4 x ç
3
1è
3 x2

ö
÷dx
÷
ø

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
2

a)
d)

5

x + 1dx

ò

b)

2

2

2

ò

2

dx

1+ x
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
0

e)

æ
pö
a) ò sin ç 2 x + ÷ dx
è
6ø
0
p
4

tan x .dx

ò

2

cos x

0

g)

k)

p
2

dx

ò 1 + sin x

b)

e)

x +2 + x -2

ò3
0

p

d)

ò

1

x

dx
3x2
1+ x

3

dx

p
2

ò (2sin x + 3 cos x + x )dx

p
3
p
3

ò 3tan

p
4
p
2

2

x dx

1 - cos x

0

ò 1 + cos x dx

p
3

p
2

ò

h)

2

(tan x - cot x )2 dx

l)

p
6

ò

-p
2

2

x +2

0

4

f)

òx

dx

x 2 + 9.dx

0

p
6

ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx

c)

0

f)

i)

p
4

ò (2 cot

p
6
p
2

0

æp
ö
sin ç - x ÷
è4
ø dx
æp
ö
sin ç + x ÷
è4
ø

x

ò

c)

ò sin

2

2

x + 5) dx

x .cos2 xdx

0

m)

p
4

ò cos

4

x dx

0

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
1 x

a)

ò

e - e- x

x
-x
0e +e

dx

2

b)

ò

( x + 1).dx

2
1 x + x ln x

Trang 85

1 2x

c)

ò

0

e

-4

ex + 2

dx


Nguyờn hm Tớch phõn
ln 2

ũ

d)

0

g)

p
2

ũe

Trn S Tựng
2

dx
e +1
x

cos x

x

4

.sin xdx

h)

0
e

k)

1 x

ổ e- x ử
e) ũ e ỗ 1 ữdx
x ứ
ố
1

ex

e

ũ

x

x

1

1

ln x
ũ x dx
1

l)

f)

dx

i)

e

ũ

x

e

1 + ln x
dx
x

ũ

1
1

2

x
ũ xe dx

dx

02

1

ũ

m)

x
0 1+ e

0

dx

VN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s
b

Dng 1: Gi s ta cn tớnh ũ g( x )dx .
a

Nu vit c g(x) di dng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thỡ

b

u(b )

a

u(a )

ũ g( x )dx = ũ

f (u)du

b

Dng 2: Gi s ta cn tớnh

ũ f ( x )dx .

a

t x = x(t) (t ẻ K) v a, b ẻ K tho món a = x(a), b = x(b)
b

ũ

thỡ

a

b

b

a

a

( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) )

f ( x )dx = ũ f [ x(t )] x '(t )dt = ũ g(t )dt

Dng 2 thng gp cỏc trng hp sau:
f(x) cú cha

Cỏch i bin
p
p
x = a sin t ,
- ÊtÊ
2

2
x = a cos t ,
0Êt Êp

a2 - x 2
hoc

hoc

a2 + x 2
1
a2 + x 2

x = a cot t,

p
p
2
2
0
a
,
sin t
a
x=
,
cos t

ộ p pự
t ẻ ờ - ; ỳ \ {0}
ở 2 2ỷ
ỡp ỹ
t ẻ [ 0; p ] \ ớ ý
ợ2 ỵ

x = a tan t ,
hoc

x=
x 2 - a2
hoc

-

Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (i bin s dng 1):
1

1

a)

19
ũ x(1 - x) dx
1

xdx
2x + 1

ũ
0

2 3

g)

ũ

5

dx
x x2 + 4

1

c)

e) ũ x 1 - x 2 dx

f)

0

d)

x3

dx

b)

ũ

0 (1 +
1

x 2 )3

1

0

3

h)

ũ
0

x + 2x
5

1+ x2

Trang 86

ũx

0

ln 2

3

dx

x5
ũ0 x 2 + 1 dx

i)

ũ

0

3

1 - x 2 dx
ex

1 + ex

dx


Trần Sĩ Tùng
ln 3

e x dx

ò

k)

Nguyên hàm – Tích phân
l)

( e x + 1)3

0
p
2

n)

e

ò
1

p
2

sin 2 x

ò

dx

o)

e

2 + ln x dx
2x

1

p
6

3

cos x. sin x
dx
2
1
sin
+
x
0

ò

0

1
2

a)

ò

1- x

3

òx
0

b)

2

0

dx
+3

e)

2

1

2

k)

3

ò

2

ò

h)

x2 + 2 x + 2

-1

4-x

ò (x
0

dx

ò

ò

dx

l)

2

x x -1

2
2

ò

0

2

sin 2 x
dx
x + cos 2 x

2

0

2

x 2 dx

1

2

0

g)

1

dx

0

d)

2

ò 2 sin

p)

cos x + 4 sin x
Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
2

1 + 3 ln x ln x
dx
x

ò

m)

4 - x 2 dx

2

1

dx
+ 1)( x 2 + 2)

1

f)

x -1
dx
x3
x2
2

òx

4

0

xdx
+ x2 +1

1

2

1- x

òx

c)

2

i)

dx

ò

(1 + x )

2 5

0

2

dx

2 x - x 2 dx

òx

m)

0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

x
ò P( x ).e dx

a

u
dv

P(x)
e x dx

b

b

ò P( x ).cos xdx

ò P( x ).sin xdx

P(x)
cos xdx

P(x)
sin xdx

a

b

ò P( x ). ln xdx

a

a

lnx
P(x)dx

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
p
4

a)

p
2

ò x sin 2 xdx

b)

0

d)

p2
4

x co s

ò

x dx

e)

x
ò xe dx
0

k) ò e 3 x sin 5 xdx

ò x tan

2

xdx

ò x ln xdx
1

p
2

l)

0

cos x
ò e sin 2 xdx
0

3

ln 2 xdx

p)

ln x
dx
2
1 x

ò
e

Trang 87

òx

2

cos xdx

0

1

f)

ò ( x - 2)e

2x

dx

0

3

i) ò ln( x 2 - x)dx
2

e

m) ò ln 3 xdx
1

e

e

1

p

3

e

h)

p
2

òx

c)

p
4

ln 2

o)

x) cos xdx

0

0

g)

ò ( x + sin

2p
2

0

q)

ò x (e

-1

2x

+ 3 x + 1)dx