BÀI tập HÌNH học 12 ôn THI cực HAY

Trần Sĩ Tùng

Khối đa diện

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD = a 3 . Từ trung điểm E của DC dựng
EK ^ SC (K Î SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK).
Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác định góc a.
a3 3 sin 3a
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
.
8 sin3 a
HD:
a) ·
C ¢BI ¢ với I¢ là trung điểm của A¢B¢
Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD:

V = h3 tan 2 a - 1 ,

Sxq = 4h 2 tan 2 a - 1 .

Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a, ·
CAC¢ = a, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD:

ab3

b) V =

c) a = arctan

2
2

sin 2a b2 - a 2 sin 2 a
Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 600. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD:
V = a3 6 ; Sxq = 4a2 6
Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
1 - cos a
.
cos a

Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh ·
AJI = a.
HD:

Sxq = 4h2

b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD:

b) V =

3a3
2

; Sxq = 3a2

3
tan 2 a - 3

.

4 tan a - 3
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
Trang 9


Khối đa diện

Trần Sĩ Tùng

a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
7
a2
c) Stp =
(7 3 + 21)
12
6
Baøi 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 900).
A¢AB = a.
a) Chứng minh: ·
HD:

b) b = a

b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanb = 2 tana.
1
c) Sxq = a2(1 + sina + 1 + sin 2 a )
HD:
b) V = a3sina
2

Baøi 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho ·
BAA¢ = 450.
a) Tính thể tích lăng trụ.

b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.

a2 2
2
b) Sxq = a2(1 +
).
8
2
Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo
nhị diện cạnh CC¢ là 2j.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢.
b) Gọi a là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 900).
Tính j biết a + j = 900.
HD:

a) V =

HD:

a) V =

2d 3 tan 3 j
3 tan 2 j - 1

b) tana =

1
3 tan 2 j - 1

;

j = arctan

2
2

Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt
bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai
mặt này hợp với nhau một góc a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác định góc a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ .
a 3
. Gọi AK là đường cao của DABC; vẽ KH ^ BB¢. ·
AHK = a.
2
3a3
b) V =
cot a .
2
Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S1, S2.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết ·
BA¢D = 1v. Tính thể tích khối hộp.

HD:

a)

Trang 10


Trần Sĩ Tùng
HD:

Khối đa diện
a) Sxq = 2 S12 + S22

b) V =

S1S2
2
.
2 4 S2 - S 2
2

1

Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh: ·
CAC ¢ = a vaø ·
AC ¢B = b .
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a + b ). cos(a - b )
c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi mà

A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất.
d3 2
khi a = b = 300 (dùng Côsi).
32
Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, µA = 600. Chân
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy.
Cho BB¢ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD:

c) 2(cos2a – sin2b) = 1

HD:

a) 600

b) V =

; Vmax =

3a3
; Sxq = a2 15 .
4

Baøi 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·
BAD = 600;
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a.
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢.

p
c) Đặt b = ·
ABB¢A¢, ABCD . Tính a biết a + b = .
4
HD:
a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.

(

b) SBDD¢B¢ =

)

a2 3
; SACC¢A¢ = a2tana
3 sin a

c) a = arctan

17 - 3
4

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Trang 11


Khối tròn xoay

Trần Sĩ Tùng

CHƯƠNG II
KHỐI TRÒN XOAY
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
· Mặt cầu:
S(O; R) = { M OM = R}
· Khối cầu: V (O; R) = {M OM £ R}
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính r = R 2 - d 2 .
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính
bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (D đgl tiếp tuyến của (S)).
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp
Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
tiếp xúc với mặt cầu
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
Hình trụ

trên mặt cầu
mọi đường sinh của hình trụ
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
Hình nón
đáy của hình nón
đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (D là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu
Diện tích

S = 4p R 2

Thể tích

4
V = p R3
3

Trụ
Sxq = 2p Rh

Nón

Sxq = p Rl

Stp = Sxq + 2Sñaùy

Stp = Sxq + Sñaùy

V = p R2h

1
V = p R2h
3

Trang 12


Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay
VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu

Baøi 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ^ ( ABC ) .
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,
SC
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính R =
.
2
b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d. Một góc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S.
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.

a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, ·
BAC = 6 00 .
Baøi 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD) và
SA = a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm
điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc
với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Baøi 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung
trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh DSMK : DSOA ( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng IS = R 3
Baøi 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.

Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
Trang 13


Khối tròn xoay

Trần Sĩ Tùng

khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
Baøi 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I.
Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.
Baøi 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Baøi 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ^
(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
M, K.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ
Baøi 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên

đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện
OO¢AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Baøi 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc 600 .
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Baøi 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Baøi 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối
trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Baøi 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết
diện.
Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai

(

)

đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi h > a < h 2 + 4 R 2 .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Trang 14

Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 9. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng R 3 ; A và B là hai điểm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Baøi 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một góc bằng x và
và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một góc bằng y.
a) Tính bán kính R theo h, x, y.
b) Tính Sxq, Stp và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.
Baøi 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của
hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 300.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’.
b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’.
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Baøi 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao
h = R 2 . Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số
thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi (a ) là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’
và mặt phẳng (a ) .

c) Chứng minh rằng (a ) là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
R 2
.
2
VẤN ĐỀ 3: Mặt nón – Hình nón – Khối nón
Baøi 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối
nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc 600 . Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S
và đáy (C).
Baøi 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 300 và cạnh IM = a.
Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.
Trang 15


Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

ÔN TẬP TỔNG HỢP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
· = a , hạ SH vuông góc với

SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt ACM
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD:

a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxVSAHC=
b) AK =

asin a
1 + sin 2 a

, SK =

a
1 + sin 2 a

,V=

a3
12
a3 sin 2a

24(1 + sin 2 a )

· = 2a . Trên đường thẳng d qua A
Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC
và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.

AK
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
= x . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
AI
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
2a.cos a
HD:
a) AH =
b) SMNPQ = 4a 2 x (1 – x )sin a .
cos 2 a + 4
æ
2ö
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x çç 0 < x <
÷ và AC = AD = BC = BD = 1.
2 ÷ø
è
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
3
2 x2 1 - 2x2
2
; MaxV =
khi x =
3
3
9 3
Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa

đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai
điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
HD:

b) V =

là: 2xy = a 2 .
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho

OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
a3
định x, y để thể tích tứ diện này bằng
.
4
æ aö
æa ö
a3
HD:
a) MN = 2a 2 + ( x - y )2
b) V =
( x + y ) , (x, y) = ç a; ÷ hoặc ç ; a ÷ .
6
è 2ø
è2 ø
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
Trang 19

Khi trũn xoay

Trn S Tựng

a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD.
a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a.
b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung
ú theo a v a.
ổ
a3
1 ử
a tan a
tan a , Stp = a2 ỗ 1 +
b) d =
ữ
6
cos a
ố cos a ứ
Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng
gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It
ã = 90o.
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc ASB
a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u.
b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R.
HD:

a) V =

3
Rh ( 2R h )

2
Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.
a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH.
b) Gi J l trung im ca on CE. Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM.
HD:

HD:

b) V =

a) IH =

2

2a x - a
2

2

b) JM =

ổ
a 5
a
a ử 5a2
x
MinJM =
khi x =

ỗ
ữ +
2ứ
4
2
2
ố

4a + x
Baứi 8. Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD. Mt phng (A'BM)
ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H.
a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng
A'B ti mt im c nh.
b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong
trng hp M l trung im ca cnh AD.
c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM
vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM.
V
1
HD:
a) MH ct AÂB ti trung im I ca AÂB.
b) 1 =
V2 11
Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng
gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a 3 .
a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
a3
3
3, d=

a
HD:
b) V =
12
2
Baứi 10. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC.
AM
b) Gi M l im chia trong on AD theo t s
= 3 . Hóy tớnh khong cỏch t im
MD
M n mt phng (ABC).
c) Tớnh th tớch t din ABDC.
a
2a3
HD:
a) d(ADÂ, BÂC) = a b) d(M, (ABÂC)) =
c) V =
2
3
Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt
Trang 20


Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.

b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD:

a) V = pa3 6

b) 2a2 – 2 ( m + n ) a + mn = 0

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) và
SA = a 2 .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ·
ACM = a . Hạ SN ^ CM .
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a và a .
b) Hạ AH ^ SC , AK ^ SN . Chứng minh rằng SC ^ ( AHK ) và tính độ dài đoạn HK.
a3 2
HD:
a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V =
sin 2a
6
a cos a
b) HK =
1 + sin 2 a
Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
AB AC
+
= 3.

i) Chứng minh rằng
AM AN
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
1
1 2 2 2
a +b +c
b) V = abc
HD:
a) SG =
3
9
Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
· = 60° .
SCB
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi ( a ) và hình chóp S.ABCD.
a 6
a2 6
HD:
a) d(BC, SD) =
b) S =
3
4
Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0 £ x £ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).

b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
2x
1
HD:
b) d(M, (SAC)) =
c) V = ya(a + x)
2
6
3
a 3
a
d) MaxV =
khi x =
8
2
Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; ·
ABC = 300 ; SBC là tam
Trang 21


Khối tròn xoay

Trần Sĩ Tùng

giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB.
a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.

HD:

1
a) cos·
SAB =
3

a3 2
b) V =
24

Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µA = 1200 , BD = a > 0. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:

V1 1
=
V2 12

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =

a 3
và góc
2

·
BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.

3a3
16
Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy
a 3
điểm M sao cho AM =
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
3
khối chóp S.BCNM .
HD:

V=

HD:

V=

10 3a 3
27

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ·
BAD = 600 , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)
đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’.
Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
HD:

a3 3
V=
18

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Trang 22


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

CHNG III
PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN

I. VECT TRONG KHễNG GIAN
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
uuur uuur uuur
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú: AB + AD = AC
uuur uuur uuur uuuur
+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
uur uur r
uuur uuur
uur
Ta cú:

IA + IB = 0 ;
OA + OB = 2OI
+ H thc trng tõm tamuuugiỏc:
Gr l trng tõm cauuu
tam
giỏc
tu
r uuuCho
r uuu
r uuu
r ABC,
uuur Ouuu
r ý.
r
Ta cú:
GA + GB + GC = 0;
OA + OB + OC = 3OG
+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý.
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur
uuur
Ta cú:
GA + GB + GC + GD = 0;
OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r
r r
r
+ iu kin hai vect cựng phng: a vaứ b cuứng phửụng (a ạ 0) $! k ẻ R : b = ka

+ im M chia on thng AB theo t s k (k ạ 1), O tu ý.
uuur uuur
uuur
uuur
uuur OA - kOB
Ta cú:
MA = k MB;
OM =
1- k
2. S ng phng ca ba vect
ã Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
r
r r r
r
ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect a, b , c , trong ú a vaứ b khụng cựng
r
r r r
r
r
phng. Khi ú: a, b , c ng phng $! m, n ẻ R: c = ma + nb
r r r
r
ã Cho ba vect a, b , c khụng ng phng, x tu ý.
r
r
r
r
Khi ú:
$! m, n, p ẻ R: x = ma + nb + pc
3. Tớch vụ hng ca hai vect

ã Gúc gia hai vect trong khụng gian:
uuur r uuur r
r r
AB = u , AC = v ị (u , v ) = ã
BAC (00 Ê ã
BAC Ê 1800 )
ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
r r r
rr r r
r r
+ Cho u , v ạ 0 . Khi ú:
u.v = u . v .cos(u , v )
r r
r r
rr
+ Vi u = 0 hoaởc v = 0 . Qui c: u.v = 0
r r
rr
+ u ^ v u.v = 0
r
r
+ u = u2

Trang 23


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho
r r ba
r trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
r2 r 2 r 2
rr rr r r
Chú ý:
i = j = k = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của vectơ:r
r
r r r
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk
r
r
b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Î R
r r
· a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
· ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
ìa1 = b1
ï
ía2 = b2
ïa = b
3
î 3
r
r

r
r
· 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)
r r r
r
r
r
· a cùng phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Î R)

r r
· a=b Û

ìa1 = kb1
a a
a
ï
Û ía2 = kb2
Û 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ¹ 0)
b1 b2 b3
ïa = kb
3
î 3
r r
· a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
r
· a = a12 + a22 + a22

rr
· a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r

· a 2 = a12 + a22 + a32
rr
a1b1 + a2 b2 + a3b3
a.b
r r
r r r
· cos(a , b ) = r r =
(với a, b ¹ 0 )
a.b
a 2 + a 2 + a2 . b 2 + b2 + b 2
1

2

3

1

2

3

3. Tọa độ của điểm:
uuur
a) Định nghĩa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
· M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )
uuur

· AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2
æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M ç A
;
;
÷
1- k
1- k ø
è 1- k
æ x + x B y A + y B zA + zB ö
· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ç A
;
;
÷
è
2
2
2 ø
· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
æ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC ö
Gç A
;
;
÷
3
3
3
è
ø
· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

Trang 24


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

ổ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC ử
Gỗ A
;
;
ữ
ố
4
4
4
ứ
4. Tớch cú hng ca hai
r vect: (Chng
r trỡnh nõng cao)
a) nh ngha: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) .

r

r

ổ a2

a1 a2 ử
ữ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 )

ỗb b
ữ
b
b
b
b
3
3
1
1
2 ứ
ố 2
Chỳ ý: Tớch cú hng ca hai vect l mt vect, tớch vụ hng ca hai vect l mt s.
b) Tớnh cht:
r r
r
r r
r
r
r r r
r r
r r
r
ộở j , k ựỷ = i ;
[k , i ] = j
ã ộở i , j ựỷ = k ;
ã [a, b] ^ a;
[a, b] ^ b
r r
r r

r
r r
r r
r r
ã [a, b] = a . b .sin ( a, b )
ã a, b cựng phng [a, b] = 0

[ ar , b ] = ar b = ỗ

a3

;

a3

a1

;

c) ng dng ca tớch cú hng:
r r
r r r
r
ã iu kin ng phng ca ba vect: a, b v c ng phng [a, b].c = 0
uuur uuur
ã Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD:
SY ABCD = ộở AB, AD ựỷ
1 uuur uuur
ã Din tớch tam giỏc ABC:
SD ABC = ộở AB, AC ựỷ

2
uuur uuur uuur
ã Th tớch khi hp ABCD.AÂ BÂ CÂDÂ:
VABCD . A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA '
VABCD =

ã Th tớch t din ABCD:

1 uuur uuur uuur
[ AB, AC ]. AD
6

Chỳ ý:
Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai ng thng vuụng gúc,
tớnh gúc gia hai ng thng.
Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch tam giỏc; tớnh th tớch khi
t din, th tớch hỡnh hp; chng minh cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh
cỏc vect cựng phng.

r r
rr
a ^ br a.b = 0
r
r r r
[
a vaứ
b
cuứ
n
g

phửụng

a
,b] = 0
r r r
r r r
a, b , c ủong phaỳng [ a , b ] .c = 0
5. Phng trỡnh mt cu:
ã Phng trỡnh mt cu (S) tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R:
( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2
ã Phng trỡnh x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vi a2 + b 2 + c 2 - d > 0 l phng trỡnh
mt cu tõm I(a; b; c) v bỏn kớnh R =

a2 + b2 + c2 - d .

Trang 25


Trần Sĩ Tùng
a) A ( 2; -1; 7 ) , B ( 4; 5; -2 )
d) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1)

PP Toạ độ trong không gian
b) A(4; 3; -2), B(2; -1;1)
e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2)

c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4)
f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1)

Baøi 8. Cho bốn điểm A, B, C, D.

· Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
· Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
· Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
· Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.
· Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A.
a) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), D (-3; -1; 2) b) A (1; 0; 0 ) , B ( 0;1; 0 ) , C ( 0; 0;1) , D ( -2;1; -1)
c) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)
e) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
g) A(2; 4;1), B(-1; 0;1), C (-1; 4; 2), D(1; -2;1)
i) A(3; 4; 8), B(-1; 2;1), C (5; 2; 6), D (-7; 4; 3)

Baøi 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
· Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.
· Tính thể tích khối hộp.
a) A (1; 0;1) , B ( 2;1; 2 ) , D (1; -1;1) , C ' ( 4; 5; -5 )
c) A(0; 2;1), B(1; -1;1), D (0; 0; 0;), A '(-1;1; 0)

d)
f)
h)
k)

A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 )
A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C (1; -2; 2), D(4; 2; 3)
A(-3; -2; 6), B(-2; 4; 4), C (9; 9; -1), D (0; 0;1)

b) A(2; 5; -3), B(1; 0; 0), C (3; 0; -2), A '(-3; -1; 2)
d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (-1;1;1), C '(1; -2; -1)

Baøi 10. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều.
c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH.
Baøi 11. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4).
a) Chứng minh SA ^ (SBC), SB ^ (SAC), SC ^ (SAB).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều.
c) Vẽ SH ^ (ABC). Gọi S¢ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S¢ABC là tứ diện đều.
Baøi 12. Cho hình hộp chữ nhật
OABC.DEFG.
Gọi uuu
I là
tâm
của
uur uuu
r
r uuu
r uuu
r hình hộp.
a) Phân tích các vectơ OI , AG theo các vectơ OA, OC , OD .
uur
uuur uuur uur
b) Phân tích vectơ BI theo các vectơ FE , FG , FI .
Baøi 13. Cho hình lập phương
ABCD.EFGH.
uuur
uuur uuur uuur
a) Phân tích vectơ AE theo các vectơ AC , AF , AH .
uuur uuur uuur
uuur

b) Phân tích vectơ AG theo các vectơ AC , AF , AH .
Baøi 14. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB¢. Chứng
minh rằng MN ^ A¢C.
Baøi 15. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB¢, CD, A¢D¢ lần
lượt lấy các điểm M, N, P sao cho B¢M = CN = D¢P = x (0 < x < 1). Chứng minh AC¢ vuông
góc với mặt phẳng (MNP).

Trang 29


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
x + xB
y +y
z +z
– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: x I = A
; yI = A B ; zI = A B .
2
2
2
AB

– Bán kính R = IA =
.
2
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 (*).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
– Xác định tâm J và bán kính R¢ của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngồi)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

với a2 + b 2 + c 2 - d > 0

thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =

a2 + b2 + c2 - d .

Baøi 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 2 y + 1 = 0

b) x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 8y - 2 z - 4 = 0

c) x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0

d) x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2z - 86 = 0

e) x 2 + y 2 + z2 - 12 x + 4 y - 6 z + 24 = 0

f) x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0

g) x 2 + y 2 + z 2 - 8 x + 4 y + 2 z - 4 = 0

h) x 2 + y 2 + z2 - 3 x + 4 y = 0

k) x 2 + y 2 + z2 - 6 x + 2 y - 2z + 10 = 0
i) 3 x 2 + 3y 2 + 3z2 + 6 x - 3y + 15z - 2 = 0
Baøi 2. Xác định m, t, a, … để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
a) x 2 + y 2 + z2 - 2(m + 2) x + 4my - 2mz + 5m 2 + 9 = 0
b) x 2 + y 2 + z2 - 2(3 - m) x - 2(m + 1) y - 2mz + 2m 2 + 7 = 0
c) x 2 + y 2 + z2 + 2(cos a + 1) x - 4 y - 2 cos a .z + cos 2a + 7 = 0
d) x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 2 cos 2 a ) x + 4(sin 2 a - 1) y + 2 z + cos 4a + 8 = 0
e) x 2 + y 2 + z2 - 2 ln t. x + 2 y - 6 z + 3 ln t + 8 = 0
f) x 2 + y 2 + z2 + 2(2 - ln t ) x + 4 ln t.y + 2(ln t + 1)z + 5 ln 2 t + 8 = 0
Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R:
a) I (1; -3; 5), R = 3

b) I (5; -3; 7), R = 2 c) I (1; -3; 2), R = 5 d) I (2; 4; -3), R = 3
Trang 30


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

Baøi 4.
a)
d)
Baøi 5.
a)
d)

Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A:
I (2; 4; -1), A(5; 2; 3)
b) I (0; 3; -2), A(0; 0; 0)
I (4; -4; -2), A(0; 0; 0)
e) I (4; -1; 2), A(1; -2; -4)
Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với:
A(2; 4; -1), B(5; 2; 3)
b) A(0; 3; -2), B(2; 4; -1)
A(4; -3; -3), B(2;1; 5)
e) A(2; -3; 5), B(4;1; -3)

Baøi 6.
a)
c)
e)

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với:
A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)
b) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 )
A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
d) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
A(6; -2; 3), B(0;1; 6), C (2; 0; -1), D(4;1; 0)
f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2)

c) I (3; -2;1), A(2;1; -3)

c) A(3; -2;1), B(2;1; -3)
f) A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)

Baøi 7. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm trong mặt phẳng (P) cho
trước, với:
ì A(1; 2; 0), B(-1;1; 3), C (2; 0; -1)
ì A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0)
a) í
b) í
(
P
)
º
(
Oxz
)
î
î( P ) º (Oxy )
Baøi 8. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T), với:
ìI (-5;1;1)
ìI (-3; 2; 2)
b) í
a) í
2
2
2
2

2
2
î(T ) : x + y + z - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0
î(T ) : x + y + z - 2 x + 4 y - 8z + 5 = 0
VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).
· I1I 2 < R1 - R2 Û (S1), (S2) trong nhau
· I1I 2 > R1 + R2 Û (S1), (S2) ngồi nhau

· I1I 2 = R1 - R2 Û (S1), (S2) tiếp xúc trong

· I1I 2 = R1 + R2 Û (S1), (S2) tiếp xúc ngồi

· R1 - R2 < I1I 2 < R1 + R2 Û (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.
Baøi 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu:
ìï x 2 + y 2 + z2 - 8 x + 4 y - 2 z - 4 = 0
ìï( x + 1)2 + ( y - 2)2 + ( z - 3)2 = 9
a) í 2
b)
í 2
2
2
2
2
ïî x + y + z + 4 x - 2 y - 4 z + 5 = 0
ïî x + y + z - 6 x - 10 y - 6z - 21 = 0
ìï x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 10 z + 5 = 0
ìï x 2 + y 2 + z2 - 8 x + 4 y - 2z - 15 = 0
c) í 2
d)

í 2
2
2
2
2
ïî x + y + z - 4 x - 6 y + 2z - 2 = 0
ïî x + y + z + 4 x - 12 y - 2 z + 25 = 0
ìï x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 6 y + 4z + 5 = 0
ìï x 2 + y 2 + z2 + 4 x - 2 y + 2 z - 3 = 0
e) í 2
f)
í 2
2
2
2
2
ïî x + y + z - 6 x + 2 y - 4z - 2 = 0
ïî x + y + z - 6 x + 4 y - 2z - 2 = 0
Baøi 2. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt cầu:
ìï( x - 2)2 + ( y - 1)2 + ( z + 3)2 = 64
ìï( x - 3)2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = 81
a) í
b)
í
2
2
2
2
2
2

2
2
ïî( x - 4) + ( y + 2) + ( z - 3) = (m + 2)
ïî( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m - 3)
ìï( x + 2)2 + ( y - 2)2 + ( z - 1)2 = 25
ìï( x + 3)2 + ( y + 2)2 + (z + 1)2 = 16
c) í
d)
í
2
2
2
2
2
2
2
2
ïî( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) = (m - 1)
ïî( x - 1) + ( y - 2) + ( z - 3) = (m + 3)

Trang 31


PP Toạ độ trong không gian
1.

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm là mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu
Tập hợp điểm là mặt cầu

Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất (P) nào đó.
– Tìm hệ thức giữa các toạ độ x, y, z của điểm M. Chẳng hạn có dạng:
( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2

2.

hoặc: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).
Tìm tập hợp tâm mặt cầu
ì x = f (t )
ï
– Tìm toạ độ của tâm I, chẳng hạn: í y = g(t ) (*)
ïîz = h(t )
– Khử t trong (*) ta có phương trình tập hợp điểm.
– Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).

Baøi 1. Cho hai điểm A(1; 2; 1), B(3; 1; –2). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
MA
b)
=2
c) MA 2 + MB 2 = k 2 (k > 0)
a) MA 2 + MB 2 = 30
MB
Baøi 2. Cho hai điểm A(2; –3; –1), B(–4; 5; –3). Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho:
a) MA 2 + MB 2 = 124

b)

MA
3

=
2
MB

c) ·
AMB = 900

e) MA 2 + MB 2 = 2(k 2 + 1) (k > 0)
Baøi 3. Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu sau khi m thay đổi:
d) MA = MB

a) x 2 + y 2 + z2 - 4 x - 6 y + 2(m - 3)z + 19 - 2m = 0
b) x 2 + y 2 + z 2 + 2(m - 2) x + 4 y - 2 z + 2m + 4 = 0
c) x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 4 y + 2(m + 1)z + 2m 2 + 6 = 0
d) x 2 + y 2 + z2 - 4(2 + cos m) x - 2(5 + 2 sin m )y - 6 z + cos 2m + 1 = 0
e) x 2 + y 2 + z2 + 2(3 - 4 cos m) x - 2(4 sin m + 1)y - 4 z - 5 - 2 sin 2 m = 0

Trang 32


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
r r
r
· Vectơ n ¹ 0 là VTPT của (a) nếu giá của n vuông góc với (a).
r r

· Hai vectơ a , b không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song
hoặc nằm trên (a).
r
r
Chú ý:
· Nếu n là một VTPT của (a) thì kn (k ≠ 0) cũng là VTPT của (a).
r r
r r r
· Nếu a , b là một cặp VTCP của (a) thì n = [ a , b ] là một VTPT của (a).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A2 + B 2 + C 2 > 0
r
· Nếu (a) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A; B; C ) là một VTPT của (a).
r
· Phương trình mặt phẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n = ( A; B; C ) là:
A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
3. Các trường hợp riêng
Các hệ số
D=0
A=0
B=0
C=0
A=B=0
A=C=0
B=C=0
Chú ý:

Phương trình mặt phẳng (a)
Ax + By + Cz = 0
By + Cz + D = 0

Ax + Cz + D = 0
Ax + By + D = 0
Cz + D = 0
By + D = 0
Ax + D = 0

Tính chất mặt phẳng (a)
(a) đi qua gốc toạ độ O
(a) // Ox hoặc (a) É Ox
(a) // Oy hoặc (a) É Oy
(a) // Oz hoặc (a) É Oz
(a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy)
(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)

· Nếu trong phương trình của (a) không chứa ẩn nào thì (a) song song hoặc chứa
trục tương ứng.
x y z
· Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
+ + =1
a b c
(a) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình:

(a): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
(b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

· (a), (b) cắt nhau Û A1 : B1 : C1 ¹ A2 : B2 : C2

· (a) // (b) Û

A1 B1 C1 D1
=
=
¹
A2 B2 C2 D2

· (a) º (b) Û

A1 B1 C1 D1
=
=
=
A2 B2 C2 D2

· (a) ^ (b) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
5. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M0 ,(a ) ) =
A2 + B 2 + C 2

Trang 33


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định một điểm thuộc (a) và một VTPT của nó.
r
Dạng 1: (a) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B;C ) :
(a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
r r
Dạng 2: (a) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp VTCP a , b :
r r r
Khi đó một VTPT của (a) là n = [ a , b ] .
Dạng 3: (a) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0:
(a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
Dạng 4: (a) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
r uuur uuur
Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (a) là: n = éë AB, AC ùû
Dạng 5: (a) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
r
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP u .
r uuur r
– Một VTPT của (a) là: n = éë AM , u ùû
Dạng 6: (a) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
r
VTCP u của đường thẳng (d) là một VTPT của (a).
Dạng 7: (a) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
r r
– Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
r r r
– Một VTPT của (a) là: n = [ a , b ] .
– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 Þ M Î (a).
Dạng 8: (a) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
r r
– Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.

r r r
– Một VTPT của (a) là: n = [ a , b ] .
– Lấy một điểm M thuộc d1 Þ M Î (a).
Dạng 9: (a) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
r r
– Xác định các VTCP a , b của các đường thẳng d1, d2.
r r r
– Một VTPT của (a) là: n = [ a , b ] .
Dạng 10: (a) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
r
r
– Xác định VTCP u của (d) và VTPT nb của (b).
r
r r
– Một VTPT của (a) là: n = éë u , nb ùû .
– Lấy một điểm M thuộc d Þ M Î (a).
Dạng 11: (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):
r r
– Xác định các VTPT nb , ng của (b) và (g).
r
r r
– Một VTPT của (a) là: n = éëub , ng ùû .
Dạng 12: (a) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
– Giả sử (a) có phương trình: Ax + By + Cz+D = 0 ( A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ) .
– Lấy 2 điểm A, B Î (d) Þ A, B Î (a) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,(a )) = k , ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (a) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
– Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R.
r uur

– Một VTPT của (a) là: n = IH
Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở
lớp 11.
Trang 34


Trần Sĩ Tùng
Baøi 1.
a)
d)
Baøi 2.
a)
d)
Baøi 3.
a)
c)

PP Toạ độ trong không gian
r
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có VTPT n cho trước:
r
r
r
M ( 3;1;1) , n = ( -1;1;2 )
b) M ( -2;7; 0 ) , n = ( 3; 0;1) c) M ( 4; -1; -2 ) , n = ( 0;1;3 )
r
r
r
M ( 2;1; -2 ) , n = (1; 0; 0 )
e) M ( 3;4;5 ) , n = (1; -3; -7 ) f) M (10;1;9 ) , n = ( -7;10;1)

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, với:
A(2;1;1), B(2; -1; -1)
b) A(1; -1; -4), B(2; 0; 5)
c) A(2; 3; -4), B(4; -1; 0)
1 ö
1 ö
æ1
ö
æ
æ 2 1ö
æ
A ç ; -1; 0 ÷ , B ç 1; - ;5 ÷ e) A ç 1; ; ÷ , B ç -3; ;1 ÷ f) A(2; -5; 6), B(-1; -3; 2)
2 ø
3 ø
è2
ø
è
è 3 2ø
è
r r
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a , b cho trước, với:
r
r
r
r
M (1; 2; -3), a = (2;1; 2), b = (3; 2; -1)
b) M (1; -2; 3), a = 3; -1; -2), b = (0; 3; 4)
r
r
r

r
M (-1; 3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4)
d) M (-4; 0; 5), a = (6; -1; 3); b = (3; 2;1)

Baøi 4. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (b ) cho
trước, với:
a) M ( 2;1; 5 ) , ( b ) = (Oxy )
b) M (1; -2;1) , ( b ) : 2 x - y + 3 = 0

c) M ( -1;1; 0 ) , ( b ) : x - 2 y + z - 10 = 0
d) M ( 3; 6; -5) , ( b ) : - x + z - 1 = 0
e) M (2; -3; 5), ( b ) : x + 2 y - z + 5 = 0
f) M (1;1;1), ( b ) : 10 x - 10 y + 20z - 40 = 0
Baøi 5. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng
toạ độ, với:
b) M (1; -2;1)
c) M ( -1;1; 0 )
d) M ( 3; 6; -5 )
a) M ( 2;1; 5 )
e) M(2; -3; 5)
f) M(1;1;1)
g) M(-1;1; 0)
h) M(3; 6; -5)
Baøi 6. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với:
a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3)
b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1)
c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6)
d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7)
e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1)
f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7)

Baøi 7. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai
điểm B, C cho trước, với:
a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3)
b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1)
d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7)
c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6)
e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1)
f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7)
Baøi 8. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (b)
cho trước, với:
ì A(3;1; -1), B(2; -1; 4)
ì A(-2; -1; 3), B(4; -2;1)
ì A(2; -1; 3), B(-4; 7; -9)
b) í
c) í
a) í
î( b ) : 2 x - y + 3z - 1 = 0
î( b ) : 2 x + 3y - 2 z + 5 = 0
î( b ) : 3x + 4 y - 8z - 5 = 0
ì A(3; -1; -2), B(-3;1; 2)
d) í
î( b ) : 2 x - 2 y - 2 z + 5 = 0
Baøi 9. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g)
cho trước, với:
a) M (-1; -2; 5), ( b ) : x + 2 y - 3z + 1 = 0, (g ) : 2 x - 3y + z + 1 = 0
b) M (1; 0; -2), ( b ) : 2 x + y - z - 2 = 0, ( g ) : x - y - z - 3 = 0

c) M (2; -4; 0), ( b ) : 2 x + 3y - 2z + 5 = 0, (g ) : 3 x + 4 y - 8z - 5 = 0
d) M (5;1; 7), ( b ) : 3x - 4 y + 3z + 6 = 0, (g ) : 3x - 2 y + 5z - 3 = 0
Baøi 10. Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)

cho trước, với:
a) M (1; 2; -3) , ( P ) : 2 x - 3y + z - 5 = 0, ( Q ) : 3 x - 2 y + 5z - 1 = 0
Trang 35


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (a) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.
· (a) và (S) không có điểm chung
Û d ( I ,(a )) > R
· (a) tiếp xúc với (S)
Û d ( I ,(a )) = R
((a) là tiếp diện)
Khi đó tiếp điểm H của (a) và (S) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
· (a) cắt (S) theo một đường tròn
Û d ( I ,(a )) < R
Khi đó tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r = R 2 - IH 2
Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
ì( P ) : 2 x + 2 y + z - 1 = 0
ì( P ) : 2 x - 3y + 6 z - 9 = 0
b) í
a) í
2
2
2

2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x - 2 y + 4z + 5 = 0
î(S ) : ( x - 1) + ( y - 3) + ( z + 2) = 16
ì( P ) : x + y - 2 z - 11 = 0
c) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0
ì( P ) : x + 2 y + 2 z = 0
e) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 2 z + 10 = 0

ì( P ) : x - 2 y + 2z + 5 = 0
d) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x - 4 y - 8z + 13 = 0
ì( P ) : z - 3 = 0
f) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 16 z + 22 = 0

Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a) ( P ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0;

(S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2(m - 1) x + 4my + 4z + 8m = 0

b) ( P ) : 4 x - 2 y + 4 z - 5 = 0;

(S ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + (z - 3)2 = (m - 1)2

c) ( P ) : 3x + 2 y - 6z + 7 = 0;

(S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2

d)
Baøi 3.
a)
c)
Baøi 4.

( P ) : 2 x - 3y + 6z - 10 = 0;
(S ) : x 2 + y 2 + z2 + 4mx - 2(m + 1) y - 2z + +3m 2 + 5m - 4 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
I (3; -5; -2), (P ) : 2 x - y - 3z + 1 = 0
b) I (1; 4; 7), ( P ) : 6 x + 6 y - 7 z + 42 = 0
I (1;1; 2), ( P ) : x + 2 y + 2z + 3 = 0
d) I (-2;1;1), ( P ) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:

a) (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( z + 2)2 = 24 tại M(-1; 3; 0)

b) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 2 y + 4 z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0)
c) (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 3)2 + (z - 2)2 = 49 tại M(7; -1; 5)
d) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2z - 22 = 0 và song song với mặt phẳng 3 x - 2 y + 6z + 14 = 0 .
e) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y + 2z - 11 = 0 và song song với mặt phẳng 4 x + 3z - 17 = 0 .
f) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0 và song song với mặt phẳng x + 2 y + 2z + 5 = 0 .
g) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 và chứa đường thẳng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1
h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1),
D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 - 10 x + 2 y + 26 z - 113 = 0 và song song với 2 đường
thẳng: d1 :

x + 5 y - 1 z + 13
x + 7 y +1 z - 8
=
=
, d1 :
=
=
.
2
-3
2
3
-2
0

Trang 39


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng
Baøi 1. Cho tứ diện ABCD.
· Viết phương trình các mặt của tứ diện.
· Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD).
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
· Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D
qua các mặt đối diện.
· Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R
của (S).
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; 2 ) , C ( 5; 0; 4 ) , D ( 4; 0; 6 ) b) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)

c) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) d) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2)
e) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
Baøi 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Baøi 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.

c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).

Trang 40


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong khơng gian

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
r
a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t
ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ïz = z + a t
3
o
ỵ
· Nếu a1a2 a3 ¹ 0 thì (d ) :

( t Ỵ R)

x - x0 y - y0 z - z0
=
=
đgl phương trình chính tắc của d.

a1
a2
a3

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d¢ có phương trình tham số lần lượt là:
ì x = x0 + ta1
ì x = x0¢ + t ¢a1¢
ï
ï
và
d : í y = y0 + ta2
d ¢ : í y = y0¢ + t ¢a2¢
ï z = z + ta
ï z = z¢ + t ¢a¢
ỵ
0
3
ỵ
0
3
r r
ìa, a¢ cùng phương
ï
ï ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
· d // d¢ Û í ï
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t , t ¢) vô nghiệm
ï í 0
ïỵ ïỵ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r

r r
r r
ìï[ ar , ar¢] = 0
¢ cùng phương
ìa, auuuuuur
ìa, a¢ cùng phương
r
Û í
Û ír
Û í r uuuuuur
é a, M M ¢ ù ¹ 0
¢
a
,
M
M
khô
n
g
cù
n
g
phương
ỵ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Ï d ¢
ïỵë
0 0
ỵ
0 0û
ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï

· d º d¢ Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a¢2 (ẩn t, t ¢) có vô số nghiệm
ï z + ta = z¢ + t¢a¢
3
0
3
ỵ 0
r r
r r uuuuuur
ìa, a¢ cùng phương
Û í
Û a, a¢, M0 M0¢ đôi một cùng phương
ỵ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Ỵ d ¢
r
r r
r uuuuuur
Û [ a , a¢] = ëé a , M0 M0¢ ûù = 0
ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï
· d, d¢ cắt nhau Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t, t¢) có đúng một nghiệm
ïz + ta = z¢ + t ¢a¢
ỵ0
3
0
3
r
r r
r r
ì
ìa, a¢ khô
[

¢
]
n
g
cù
n
g
phương
¹
a
,
a
0
ï
Û í r r uuuuuur
Û í r r uuuuuur
¢
¢
a
a
M
M
đồ
n
g
phẳ
n
g
,
,

ïỵ[ a , a¢] .M0 M0¢ = 0
0 0
ỵ
r r
ìa, a¢ không cùng phương
ïï ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
· d, d¢ chéo nhau Û í ï
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t , t ¢) vô nghiệm
ï í 0
ïỵ ïỵ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r r uuuuuur
r r uuuuuur
Û a, a¢, M0 M0¢ không đồng phẳng Û [ a , a¢] .M0 M0¢ ¹ 0
r r
rr
· d ^ d¢ Û a ^ a¢
Û a.a¢ = 0
Trang 41


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
ì x = x0 + ta1
ï
Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: í y = y0 + ta2
ïz = z + ta
î

0
3
A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 (ẩn t)

Xét phương trình:

4.

5.

6.

7.
8.

9.

(*)

· d // (a) Û (*) vô nghiệm
· d cắt (a) Û (*) có đúng một nghiệm
· d Ì (a) Û (*) có vô số nghiệm
Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
ì x = x0 + ta1
ï
Cho đường thẳng d: í y = y0 + ta2 (1) và mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 (2)
ïz = z + ta
î
0
3

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
· d và (S) không có điểm chung Û (*) vô nghiệm
Û d(I, d) > R
· d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm
Û d(I, d) = R
· d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt
Û d(I, d) < R
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
r
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.
uuuuur
é M M , ar ù
ë 0
û
d(M , d) =
r
a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
r
r
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
r r uuuuuur
éë a1 , a2 ùû . M1M2
d (d1, d2 ) =
r r
éë a1, a2 ùû
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt
phẳng (a) chứa d2 và song song với d1.
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (a).
Góc giữa hai đường thẳng
r r
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 .
r r
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2 .
r r
a1.a2
r r
cos ( a1, a2 ) = r r
a1 . a2
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
r
r
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (a) có VTPT n = ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của
nó trên (a).
Aa1 + Ba2 + Ca3
sin ·
d ,(a ) =
A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32

(

)

Trang 42