Đề thi HSG tỉnh Thái Bình

Sở Giáo dục - Đào tạo
Thái Bình

Đề chính thức
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

( ) ( )
2
3 1 9 7 0y x x y x + + =
Bài 2 (3 điểm)
Cho parabol (P):
2
y x=
và đờng thẳng (d):
2y x m= +
(
m
là tham số)
a) Với giá trị nào của
m
thì (P) và (d) chỉ có một điểm chung? Khi đó (d) gọi là tiếp
tuyến của (P), vẽ parabol (P) và đờng thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
Tìm những giá trị của
m
để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng.
b) Tìm các giá trị của

m
để phơng trình:
4 2
2 0x x m + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Tính các nghiệm đó theo
m
.
Bài 3 (4 điểm)
a) Cho 3 số a, b, c thoả mãn
2 2 0
14 25 14 0
a b c
a b c
+ <
+



Chứng minh rằng phơng trình:
2
2 0ax bx c+ + =
luôn có nghiệm.
b) Tìm tham số
0a >
để bất phơng trình:
( ) ( )
3 1 0a x a x +
có nghiệm thoả
mãn điều kiện

x a>
Bài 4 (2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
3 2
2 2
3 13 0
4 5 4 0
x xy
x xy y x y
+ =
+ + =



Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R. Vẽ các đ-
ờng cao BH, CK. Gọi P là điểm đối xứng của O qua HK. Biết
à
0
45=A
và
2
AH.OK + AK.OH = a
. Tính độ dài đoạn AP theo a và R.
Bài 6 (3 điểm)
Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh;
a
h
,
b

h
,
c
h
là độ dài các đờng cao t-
ơng ứng; R, r lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác đó. Chứng
minh rằng:

2 2 2
9 1 1 1 1
2
a b c b c a c a b
R
a b c r
h h h h h h h h h
+ +
+ +
+ + +
Bài 7 (2 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có toạ độ
nguyên (Điểm có toạ độ nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều là những số
nguyên). Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm
có toạ độ nguyên.
Họ và tên thí sinh:...................................................................... Số báo danh: