PGD huyện Long Điền
Trường THCS Phước Tỉnh
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2005-2006
Ngày thi 20 tháng 01 năm 2006, thời gian 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
Chứng minh rằng tổng các lũy thừa ba của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
HD chấm:
Gọi M = (a-1)
3
+ a
3
+ (a+1)
3
với a nguyên, ta có
M = a
3
– 3a
2
+3a -1 +a
3
+a
3
+ 3a
2
+3a + 1 = 3a(a
2
+ 2). Nếu a chia hết cho 3 thì M chia hết cho 9, nếu a
không chia hết cho 3 thì a chia cho 3 còn dư 1 hoặc dư 2 ⇒ a
2
+ 2 chia hết cho 3 ⇒ M chia hết cho 9 (2,5
điểm)
Bài 2: (3 điểm)
HD chấm:
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
cos sin cos sin 1 1
) 1 (1,5 ) ) / :1 cot (1,5 )
cos cos cos cos sin
x x x x
a tg x d b C mtuong tu g x d
x x x x x
+
+ = + = = + =
Bài 3 : (4,5 điểm)
a) Cho hai số M và N như sau :
M =
2005
+
2007
và N = 2
2006
Số nào lớn hơn ? (2 điểm)
b) Cho A = (4+
15
)(
10
-
6
)
154
−
chứng minh A là số hữu tỉ. (2,5 điểm)
HD chấm:(Bài 3) : a) Vì hai số đều dương nên bình phương M và N dẫn tới so sánh số
2007.2005
với số
2006; mà
2007.2005
=
12006
2
−
< 2006 => M < N (2 điểm).
Học sinh có thể c/m bằng cách khác hoặc c/m khái quát
a
+
2
+
a
< 2
1
+
a
với mọi a ≥ 1.
b) Có thể khai căn
154
−
chú ý là 4 ±
15
=
2
1
(8 ± 2
15
) =
2
1
(
5
±
3
)
2
hoặc có thể đưa 4 +
15
vào bên trong
154
−
để được A = (
10
-
6
)
154
+
kết quả A = 2 (2,5 điểm)
Bài 4: (4 điểm)
AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R)
a) Chứng minh rằng: EA
2
+ EB
2
+ EC
2
+ ED
2
= 4R
2
(2 điểm)
b) Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD (2 điểm)
HD chấm: a) Vẽ đường kính AOF suy ra góc ABF = 1 vuông ⇒ BF // CD ⇒ CB = DF
x
xgb
x
xtga
2
2
2
2
sin
1
cot1)
cos
1
1)
=+=+
p dụng đlý Pi-ta-go: EB
2
+ EC
2
= BC
2
= DF
2
EA
2
+ ED
2
= AD
2
⇒ EA
2
+ EB
2
+ EC
2
+ ED
2
= DF
2
+ AD
2
= AF
2
= 4R
2
b) Ta có ∠E
3
= ∠A = ∠D ⇒ ∠D = ∠E
3
và ∠E
1
= ∠E
2
mà ∠E
3
+ ∠E
2
= 1 vuông ⇒ ∠D + ∠E
1
= 1 vuông ⇒ ĐPCM
Bài 5: (6 điểm)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O, vẽ hai tia song song Ax, By và ở cùng một nửa mặt phẳng có bờ là
đường thẳng AB. Một góc vuông COD quay quanh O; hai cạnh góc vuông cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh CD = AC + BD (2 điểm)
b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. Gọi tiếp điểm là M (2 điểm)
c) AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F. Tìm tập hợp trung điểm I của EF (2 điểm)
HD chấm: a) Gọi N là trung điểm của CD; suy ra ON vừa là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác
vuông OCD vừa là đường trung bình của hình thang vuông ACDB ⇒ ĐPCM (1,5 điểm)
b) Vẽ OM vuông góc với CD, chứng minh OM = OB = OA:
xét 2 tam giác vuông MOD và BOD có ∠D
2
= ∠O
3
(so le trong) mà ∠D
1
= ∠O
3
(do tam giác NOD cân tại
N) ⇒ ∠D
1
= ∠D
2
; lại có cạnh huyền OD chung ⇒ ∆ vuông MOD = ∆ vuông BOD ⇒ OM = OB = OA và
∠OMD = ∠OBD = 1 vuông ⇒ ĐPCM (2 điểm)
c) * Thuận: C/m được tứ giác OEMF là hình chữ nhật, suy ra I là trung điểm của OM rồi suy ra I thuộc
nửa đường tròn tâm O bán kính R/2
* Đảo: Lấy I’ thuộc nửa đường tròn tâm O bán kính R/2; OI’ cắt (O, R) tại M’, tiếp tuyến của (O,R)
tại M’ cắt Ax tại C’, cắt By tại D’. OC’ cắt AM’ tại E’; OD’ cắt BM’ tại F’. C/m được I’ là trung điểm của
E’F’ rồi kết luận quỹ tích đúng (1,5 điểm)
(HS làm cách khác nếu đúng vẫn tròn điểm)
--------------------------------
GV ra đề: Nguyễn Văn Thế