Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

.......................................

LÊ THỊ NHUNG

CÁC KỸ THUẬT GIẢI BÀI TOÁN RA QUYẾT
ĐỊNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN : PGS.TS. TRẦN ĐÌNH KHANG

HÀ NỘI – 2010


MỤC LỤC
MỤC LỤC...................................................................................................................1
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT..............................................5
DANH MỤC CÁC BẢNG..........................................................................................6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .....................................................................7
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................8
Chương 1 – TỔNG QUAN VỀ RA QUYẾT ĐỊNH VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI
BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH................................................................................10
1.1. Tổng quan về ra quyết định ............................................................................10
1.1.1. Định nghĩa ra quyết định ..........................................................................10
1.1.2. Các bước ra quyết định.............................................................................10
1.2. Ra quyết định đa thuộc tính ............................................................................11
1.3. Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định .........................................................12

1.3.1. Giới thiệu..................................................................................................12
1.3.2. Kỹ thuật Weighted Sum Model................................................................12
1.3.3. Kỹ thuật Weighted Product Model...........................................................14
1.3.4. Kỹ thuật Analytic Hierarchy Process .......................................................15
1.3.4.1. Kỹ thuật AHP.....................................................................................15
1.3.4.2. Kỹ thuật AHP sửa đổi ........................................................................16
1.3.5. Kỹ thuật ELECTRE..................................................................................18
1.3.6. Kỹ thuật TOPSIS......................................................................................22
1.3.7. Kỹ thuật Simple Additive Weighting (SAW) ..........................................24
Chương 2 – RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH DỰA TRÊN QUAN HỆ ƯU
TIÊN..........................................................................................................................26
2.1. Giới thiệu ........................................................................................................26
2.2. Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên bội.............................27
2.2.1. Đánh giá trọng số dựa trên quan hệ ưu tiên bội .......................................27
2.2.2. Đánh giá trọng số dựa trên thông tin ma trận quyết định.........................28
2.2.3. Kết hợp quan hệ ưu tiên bội và thông tin ma trận quyết định..................29
1


2.2.4. Ví dụ minh họa .........................................................................................30
2.3. Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ..............................32
2.3.1. Giới thiệu về quan hệ ưu tiên mờ .............................................................32
2.3.2. LDM với quan hệ ưu tiên mờ và ma trận quyết định, LDM-1.................35
2.3.3. LDM với vector ưu tiên và ma trận quyết định, LDM-2 .........................36
2.3.4. LDM với thứ tự ưu tiên và ma trận quyết định, LDM-3..........................37
2.3.5. Ví dụ minh họa .........................................................................................40
2.4. Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ và quan hệ ưu tiên
bội ..........................................................................................................................42
2.4.1. Cách tiếp cận chung .................................................................................42
2.4.2. Cách tiếp cận dạng độ lệch tối thiểu, WLDN ..........................................43

2.4.3. Cách tiếp cận dạng độ lệch bình phương tối thiểu, WLSDN...................44
2.4.4. Cách tiếp cận dạng độ lệch nhỏ nhất, WMDN.........................................45
2.4.5. Lựa chọn các tham số ...............................................................................46
2.4.6. Ví dụ minh họa .........................................................................................49
Chương 3 – RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH MỜ TRÊN NHÓM ...............54
3.1. Giới thiệu ........................................................................................................54
3.2. Phương pháp giải ............................................................................................54
3.2.1. Đồng dạng ưu tiên ....................................................................................55
3.2.2. Kết hợp ưu tiên.........................................................................................55
3.2.3. Xấp xỉ ưu tiên ...........................................................................................56
3.3. Ví dụ minh họa ...............................................................................................58
Chương 4 – XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH..........................................................61
4.1. Giới thiệu phần mềm LINGO.........................................................................61
4.1.1. Cấu trúc của chương trình ........................................................................62
4.1.2. Giải mô hình bài toán quy hoạch .............................................................62
4.1.3. Sử dụng tập...............................................................................................63
4.1.3.1. Khai báo tập .......................................................................................64
4.1.3.2. Khai báo dữ liệu cho tập ....................................................................64
4.1.3.3. Các hàm lặp........................................................................................65
2


4.1.4. Giao tiếp với ứng dụng khác ....................................................................66
4.1.4.1. Hàm @POINTER ..............................................................................66
4.1.4.2. Hàm @STATUS ................................................................................67
4.1.4.3. Các hàm DLL của LINGO.................................................................68
4.2. Xây dựng chương trình...................................................................................69
4.2.1. Về môi trường lập trình............................................................................69
4.2.2. Về chương trình........................................................................................69
Chương 5: KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN...................................................................72

5.1. Các kết quả đạt được trong luận văn ..............................................................72
5.1.1. Về lý thuyết ..............................................................................................72
5.1.2. Về thực nghiệm ........................................................................................72
5.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo ...........................................................................72
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................................73
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................74
PHỤ LỤC..................................................................................................................76

3


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ này là công trình nghiên cứu
của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Trần Đình Khang. Các
kết quả trong luận văn tốt nghiệp là trung thực, không phải sao chép toàn văn của
bất kỳ công trình nào khác. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung của
quyển luận văn này.

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
MADM

Ra quyết định đa thuộc tính (Multiple Attribute Decision Making)

WSM

Weighted Sum Model

WPM

Weighted Product Model

TOPSIS

Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution

SAW

Simple Additive Weight

AHP

Analytic Hierarchy Process

ELECTRE ELimination and Choice Expressing Reality
LDM

Phương pháp độ lệch tối thiểu (Least Deviation Method)

DLL

Thư viện liên kết động (Dynamic Link Library)

EM

Phương pháp vector trị riêng (Eigenvector Method)

MDS

Multidimensional Scaling

WLDN

Dạng độ lệch tối thiểu (Weighted Least Deviation Norm)

WLSDN

Dạng độ lệch bình phương tối thiểu (Weighted Least-square
Deviation Norm)

WMDN

Dạng độ lệch nhỏ nhất (Weighted Minimax Deviation Norm)

5


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1

Bảng giá trị các trọng số

Bảng 2.2

Bảng xếp hạng các phương án

Bảng 2.3

Bảng các đỉnh của đa giác Ω và các trọng số

Bảng 2.4

Bảng giá trị các trọng số theo cách tiếp cận WLDN

Bảng 2.5

Bảng các giá trị đánh giá trọng số và xếp hạng theo cách tiếp cận
WLDN

Bảng 2.6

Bảng giá trị các trọng số theo cách tiếp cận WLSDN

Bảng 2.7

Bảng các giá trị đánh giá trọng số và xếp hạng theo cách tiếp cận
WLSDN

Bảng 2.8

Bảng giá trị các trọng số theo cách tiếp cận WMDN

Bảng 2.9

Bảng các giá trị đánh giá trọng số và xếp hạng theo cách tiếp cận
WMDN

Bảng 4.1

Bảng giới hạn cho các phiên bản khác nhau của LINGO

Bảng 4.2

Bảng các hàm lặp trong LINGO

Bảng 4.3

Bảng các mã của hàm @STATUS

6


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 4.1

Thông báo lỗi của LINGO

Hình 4.2

Dạng của tệp chứa các ma trận A, B, Z

Hình 4.3

Giao diện của chương trình

7

MỞ ĐẦU
Ra quyết định đa thuộc tính là một phần quan trọng trong khoa học ra quyết
định hiện đại. Nó đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: phân tích
kinh tế, quy hoạch đô thị và dự báo,… Trong quá trình ra quyết định, người ra quyết
định cần đưa ra ưu tiên của họ trên một tập m các phương án quyết định. Nói cách
khác, người ra quyết định cần so sánh các phương án ứng với một tiêu chuẩn đơn và
tạo ra quan hệ ưu tiên, sau đó tính được vector ưu tiên bằng một vài kỹ thuật. Trong
trường hợp chung, quan hệ ưu tiên có dạng của mối quan hệ ưu tiên bội A mà thành
phần aij đánh giá ưu thế của phương án i hơn j và có aij thuộc [1/9 ;9], aji = 1/aij,
hoặc có dạng của quan hệ ưu tiên mờ P mà thành phần pij biểu diễn mức độ ưu tiên
của phương án i với j và có pij thuộc [0,1], pij + pji = 1. Nhiều phương pháp được
đưa ra để đánh giá vector ưu tiên của quan hệ ưu tiên bội, chẳng hạn như phương
pháp vector trị riêng [9], phương pháp bình phương tối thiểu [6], phương pháp
vector trị riêng gradient [2], phương pháp bình phương tối thiểu logarit [3], phương
pháp chi-bình phương [10]…. Những phương pháp trên đóng góp rất lớn vào việc
giải bài toán ra quyết định, nhưng trong thực tế không phải lúc nào các quan hệ ưu
tiên của người ra quyết định cũng rõ ràng. Đôi lúc bản thân người ra quyết định
cũng không chắc chắn rằng quan hệ ưu tiên bội đáng tin hơn hay quan hệ ưu tiên
mờ đáng tin. Điều này rất quan trọng đối với các ứng dụng thực. Vậy cần phải
nghiên cứu về một hướng tiếp cận khác để giải bài toán ra quyết định với quan hệ
ưu tiên mờ kết hợp với quan hệ ưu tiên bội. Vì vậy tôi chọn đề tài “Các kỹ thuật
giải bài toán ra quyết định” để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình. Luận
văn trình bày hệ thống về các kỹ thuật ra quyết định đa thuộc tính khi đã biết các
trọng số trên các thuộc tính. Đặc biệt, luận văn tập trung vào mô hình ra quyết định
đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ giữa các phương án, quan hệ ưu tiên giữa
các thuộc tính (quan hệ ưu tiên bội) và các mô hình kết hợp quan hệ ưu tiên mờ trên
các phương án và quan hệ ưu tiên bội. Ngoài ra, luận văn còn đưa ra mô hình giải
bài toán ra quyết định đa thuộc tính mờ trên nhóm, khi một bài toán có nhiều người

8

tham gia ra quyết định nhưng mỗi người lại đưa ra ý kiến chủ quan của mình dưới
các dạng khác nhau.
Luận văn được bố cục như sau:
Chương 1 tập trung trình bày tổng quan về ra quyết định và các kỹ thuật cơ
bản để giải bài toán ra quyết định khi biết đầy đủ các trọng số trên các thuộc tính.
Chương 2 trình bày về các mô hình ra quyết định đa thuộc tính trên quan hệ
ưu tiên bội và quan hệ ưu tiên mờ.
Chương 3 trình bày về một mô hình cho bài toán ra quyết định đa thuộc tính
mờ trên nhóm.
Chương 4 thực hiện cài đặt minh họa các mô hình đã trình bày ở trong
chương 2 và đưa ra nhận xét đánh giá cho các mô hình đó.
Chương 5 trình bày tóm tắt về các nội dung đã thực hiện trong luận văn này,
đồng thời đưa ra những vấn đề nghiên cứu tiếp theo cho tương lai.
Phần kết luận và kiến nghị trình bày về kết luận của luận văn. Phần phụ lục
trình bày một số mô đun chương trình cài đặt trong chương 4.

9


Chương 1 – TỔNG QUAN VỀ RA QUYẾT ĐỊNH VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH
1.1. Tổng quan về ra quyết định
1.1.1. Định nghĩa ra quyết định
Định nghĩa: “Ra quyết định là một nghiên cứu về việc xác định và lựa chọn
các phương án dựa trên các giá trị và các quan hệ ưu tiên của người ra quyết
định. Ra quyết định có nghĩa rằng có rất nhiều phương án được xem xét nhưng ta
chỉ chọn một phương án phù hợp nhất với mục đích mong muốn” [5].
1.1.2. Các bước ra quyết định

Theo [1], ra quyết định được bắt đầu với việc xác định những người ra quyết
định và các bên liên quan trong quyết định, nhằm giảm bớt sự bất đồng có thể về
định nghĩa vấn đề, các yêu cầu, các mục tiêu và các tiêu chuẩn. Do đó, một tiến
trình ra quyết định chung có thể được chia thành các bước sau đây:
Bước 1: Xác định vấn đề
Quá trình này xác định nguyên nhân chính, các giả thiết giới hạn và bất kỳ
vấn đề có liên quan nào. Mục đích là để trình bày vấn đề một cách rõ ràng, mô tả cả
điều kiện ban đầu và điều kiện mong muốn. Bước này rất quan trọng và cần thiết
phải được thực hiện trước khi tiếp tục sang bước tiếp theo.
Bước 2: Xác định các yêu cầu
Các yêu cầu là những điều kiện mà bất kỳ phương án được chấp nhận nào
cũng phải đáp ứng. Trong toán học, các yêu cầu này là các ràng buộc mô tả một tập
các phương án khả thi của vấn đề quyết định. Bước này rất quan trọng ngay cả khi
các đánh giá chủ quan hay phán xét có thể xảy ra trong các bước tiếp theo, các yêu
cầu phải được thể hiện dưới dạng định lượng chính xác, tức là với bất kỳ phương án
nào thì yêu cầu cũng phải rõ ràng cho dù có đáp ứng các yêu cầu hay không.
Bước 3: Thiết lập mục tiêu

10


Mục tiêu là phát biểu của các giá trị mong muốn. Trong toán học, các mục
tiêu là trái ngược khách quan với các yêu cầu. Các mục tiêu có thể mâu thuẫn
nhưng đây là tình huống quyết định tự nhiên trong thực tế.
Bước 4: Xác định các phương án
Các phương án xuất hiện dựa vào các cách tiếp cận khác nhau với sự thay
đổi điều kiện đầu vào thành điều kiện mong muốn.
Bước 5: Xác định các tiêu chuẩn
Tiêu chuẩn quyết định, mà phân biệt giữa các phương án, phải dựa trên các
mục tiêu. Điều này cần thiết để xác định tiêu chuẩn như là phương pháp khách quan

của các mục tiêu để tính toán mỗi phương án đạt được các mục tiêu như thế nào.
Bước 6: Lựa chọn một kỹ thuật ra quyết định
Có nhiều kỹ thuật để giải quyết bài toán ra quyết định. Việc lựa chọn một kỹ
thuật thích hợp không phải dễ dàng và nó phụ thuộc vào bài toán ra quyết định cụ
thể, cũng như phụ thuộc vào mục tiêu của người ra quyết định. Đôi khi “kỹ thuật
càng đơn giản thì càng tốt”, nhưng với các bài toán ra quyết định phức tạp thì đòi
hỏi các kỹ thuật phức tạp.
Bước 7: Đánh giá các phương án so với tiêu chuẩn
Tùy thuộc vào tiêu chuẩn, đánh giá có thể khách quan hoặc có thể là chủ
quan. Khi đánh giá, kỹ thuật ra quyết định đã lựa chọn ở bước 6 có thể được áp
dụng để xếp hạng các phương án và chọn ra một tập con của các phương án mong
muốn nhất.
Bước 8: Xác nhận lại lời giải
Các phương án sau khi lựa chọn ở bước 7 sẽ được xác nhận lại xem có phù
hợp với các yêu cầu và mục tiêu của bài toán ra quyết định hay không.

1.2. Ra quyết định đa thuộc tính
Thuộc tính (attribute) ở đây muốn nói đến là những đặc điểm, hệ số, phẩm
chất, chỉ số hoặc những tham số của các bài toán ra quyết định. Một thuộc tính có
thể được xem như một tiêu chuẩn đánh giá bởi giá trị của nhiều biến quyết định.

11


Ra quyết định đa thuộc tính (MADM) là việc đưa ra một quyết định có hai
thuộc tính trở lên. Chúng ta có thể mô tả việc ra quyết định đa thuộc tính như sau:
Chọn: phương án A1, phương án A2,….,phương án Am theo từng thuộc tính:
G1, G2,…,Gn. Trong đó, A = (A1, A2,…,Am) tập m phương án và G = (G1, …,Gn)
tập n thuộc tính.

1.3. Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định
1.3.1. Giới thiệu
Như ta đã biết, có rất nhiều kỹ thuật để giải bài toán ra quyết định. Mỗi kỹ
thuật có các đặc điểm riêng của nó. Chúng ta cũng có nhiều cách để phân loại các
kỹ thuật giải bài toán ra quyết định. Cách thứ nhất là phân loại chúng theo dạng của
dữ liệu mà chúng sử dụng. Đó là, các kỹ thuật có tính xác định, tính ngẫu nhiên,
hoặc có tính mờ. Tuy nhiên, ta cũng có thể kết hợp các dạng dữ liệu trên.
Một cách khác để phân loại các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định là phụ
thuộc vào số người ra quyết định. Vì thế, ta có ra quyết định đơn và ra quyết định
dựa trên nhóm. Trong phần này, ta tập trung vào các kỹ thuật ra quyết định đơn và
có tính xác định. Kỹ thuật loại này cũng được phân chia theo dạng của thông tin và
các đặc trưng nổi bật của thông tin. Các kỹ thuật WSM, AHP, AHP sửa đổi, WPM,
TOPSIS và SAW là các kỹ thuật được sử dụng ngày nay.
Kỹ thuật WSM ra đời sớm nhất và được sử dụng rộng rãi. Kỹ thuật WPM
được xem như là kỹ thuật được sửa đổi từ WSM để khắc phục một vài yếu điểm của
nó. Kỹ thuật AHP, được đưa ra bởi Saaty, là sự phát triển sau đó và trở nên phổ
biến. Belton và Gear đã đưa ra một sửa đổi cho kỹ thuật AHP mà nó tốt hơn kỹ
thuật gốc. Một vài kỹ thuật được sử dụng rộng rãi khác là ELECTRE, TOPSIS và
SAW.
1.3.2. Kỹ thuật Weighted Sum Model
Kỹ thuật WSM được sử dụng thông thường nhất, đặc biệt là trong các bài
toán một chiều. Nếu có m phương án và n thuộc tính thì phương án tốt nhất thỏa
mãn công thức sau [4]:

12


n

*

AWSM
= max ∑ xij w j ; với i = 1, 2, 3,…, m.
i

(1.1)

j =1

Trong đó: A*WSM là giá trị WSM của phương án tốt nhất, n là số thuộc tính
quyết định, xij là giá trị thực tế của phương án thứ i trong giới hạn của thuộc tính
thứ j, và wj là trọng số của thuộc tính thứ j.
Trong trường hợp đơn chiều, tất cả các thuộc tính là giống nhau, kỹ thuật
WSM sử dụng không khó khăn. Khó khăn với mô hình này là khi nó được áp dụng
với bài toán ra quyết định nhiều chiều. Khi đó, với sự kết hợp nhiều chiều khác
nhau và các đơn vị khác nhau, kỹ thuật này không sử dụng được.
Ví dụ 1: Giả sử rằng bài toán ra quyết định đa mục tiêu liên quan tới 4 thuộc
tính, mà được biểu diễn bởi chính xác cùng đơn vị, và 3 phương án. Các trọng số
tương đối của 4 thuộc tính được xác định là: w1=0.20, w2=0.15, w3 = 0.40 và
w4=0.25. Các giá trị xij tương ứng đã được giả định như sau:
⎡25 20 15 30⎤
X = ⎢⎢10 30 20 30⎥⎥
⎢⎣30 10 30 10 ⎥⎦

Do đó, dữ liệu cho bài toán ra quyết định như sau:
Thuộc tính
G1

G2

G3

0.20

0.15

0.40

0.25

A1

25

20

15

30

A2

10

30

20

30

A3

30

10

30

10

G4

Áp dụng công thức (1.1) cho dữ liệu trên, giá trị của 3 phương án lần lượt là :
A1(WSM) = 25x0.20 + 20x0.15 + 15x0.40 + 30x0.25 = 21.50
A2(WSM) = 22.00
A3(WSM) = 20.00
Do đó, phương án tốt nhất là phương án A2. Và thứ tự của các phương án là:
A2 > A1 > A3.

13


1.3.3. Kỹ thuật Weighted Product Model
Kỹ thuật WPM gần giống với kỹ thuật WSM. Sự khác nhau ở đây là thay vì
phép cộng kỹ thuật này sử dụng phép nhân. Mỗi phương án được so sánh với các
phương án khác bởi việc nhân các tỷ số của mỗi thuộc tính với nhau. Mỗi tỷ số
được lũy thừa với số mũ tương đương với trọng số tương đối của thuộc tính tương
ứng. Nhìn chung, để so sánh phương án Ak với AL, ta tính kết quả sau [4]:
N

R( AK / AL ) = ∏ ( x Kj / x Lj ) w

(1.2)

j =1

Trong đó, N là số thuộc tính, xij là giá trị thực của phương án thứ i trong giới
hạn của thuộc tính thứ j, và wj là trọng số của thuộc tính thứ j.
Nếu R>1 thì phương án AK là kỳ vọng hơn phương án AL. Phương án tốt
nhất là phương án mà nó tốt hơn hoặc ít nhất là bằng với tất cả các phương án khác.
Kỹ thuật WPM thường được gọi là phân tích không thứ nguyên vì cấu trúc
này loại bỏ bất cứ đơn vị tính toán nào. Do vậy, kỹ thuật WPM có thể được sử dụng
trong bài toán ra quyết định một chiều và nhiều chiều. Một thuận lợi của kỹ thuật
này là thay vì sử dụng các giá trị thực tế, nó có thể sử dụng các giá trị tương đối.
Điều này đúng vì :
N

x Kj
x Lj

=

x Kj / ∑ x Ki
i =1
N

x Lj / ∑ x Li

=

'

x Kj

(1.3)

x Lj'

i =1

Giá trị tương đối xKj’ đã được tính bằng cách sử dụng công thức:
N

'
x Kj
= x Kj / ∑ x Ki , trong đó xKj là giá trị thực.
i =1

Ví dụ 2: Sử dụng WPM cho bài toán ở ví dụ 1. Ta có các giá trị sau :
R(A1/A2) = (25/10)0.20 x (20/30)0.15 x (15/20)0.40 x (30/30)0.25 = 1.007 > 1
Tương tự, R(A1/A3) = 1.067 > 1 và R(A2/A3) = 1.059 > 1.
Do đó, phương án tốt nhất là A1 và thứ tự của các phương án này như sau :
A1 > A2 > A3.

14


Một hướng tiếp cận khác là chỉ sử dụng phép nhân mà không có tỷ số. Do
vậy, ta có công thức sau:
N

P( AK ) = ∏ ( x Kj ) w

(1.4)

j =1

1.3.4. Kỹ thuật Analytic Hierarchy Process
1.3.4.1. Kỹ thuật AHP
Kỹ thuật AHP dựa trên việc phân tích một vấn đề ra quyết định đa mục tiêu
phức tạp thành một hệ thống phân cấp. Bước cuối cùng trong kỹ thuật giải quyết
cấu trúc của một ma trận mxn (trong đó m là số phương án và n là số thuộc tính).
Ma trận này được xây dựng bởi việc sử dụng sự quan trọng tương đối của các
phương án trong giới hạn của mỗi thuộc tính. Vector (xi1, xi2, xi3,…,xiN) với mỗi i là
vector trị riêng chính của ma trận nghịch đảo nxn mà được xác định bởi sự so sánh
từng đôi của sự tác động của m phương án trên thuộc tính thứ i.
Một vài chứng minh đã được trình bày trong [9] cung cấp kỹ thuật ước lượng
định tính từ các chuyên gia và người ra quyết định. Tuy nhiên, chúng ta không quan
tâm về những thuận lợi và không thuận lợi về cách sử dụng của so sánh từng đôi
một và phương pháp vector trị riêng cho các giá trị xác định xij. Thay vào đó, ta
xem xét phương pháp được sử dụng trong AHP để tính lại giá trị xij sau khi chúng
được xác định. Các giá trị xij trong ma trận mxn, tương ứng với giá trị tương đối của
phương án Ai khi nó được xem xét trong giới hạn của thuộc tính Gj. Trong kỹ thuật
AHP gốc ta có tổng

N

∑x
i =1

ij

bằng 1.

Theo kỹ thuật AHP trong [4], phương án tốt nhất được chỉ ra bởi mối liên
quan sau đây:
N

*
AAHP
= max ∑ xij w j , với i = 1, 2, 3,…,M
i

(1.5)

j =1

Kỹ thuật AHP sử dụng các giá trị tương đối thay vì sử dụng các giá trị thực.
Do vậy, nó có thể được sử dụng trong bài toán ra quyết định một chiều và nhiều
chiều.

15


Ví dụ 3:
Kỹ thuật AHP sử dụng một dãy các so sánh từng đôi để xác định sự thực
hiện tương đối trong giới hạn của mỗi thuộc tính quyết định. Mặt khác, thay vì giá
trị tuyệt đối, kỹ thuật AHP sử dụng dữ liệu tương đối sau:
Thuộc tính
G1

G2

G3

0.20

0.15

0.40

G4
0.25

A1

25/65 20/55 15/65 30/65

A2

10/65 30/55 20/65 30/65

A3

30/65 5/55 30/65 5/65

Đó là, các cột của ma trận quyết định được chuẩn hóa để tổng bằng 1. Khi
công thức (1.5) được áp dụng, các phương án có các giá trị là :
A1(AHP) = (25/65) x 0.20 + (20/55) x 0.15 + (15/65) x 0.40 + (30/65) x 0.25
= 0.34
A2(AHP) = 0.35
A3(AHP) = 0.31

Do đó, phương án tốt nhất là phương án A2. Thứ tự của các phương án là A2
> A1 > A3
1.3.4.2. Kỹ thuật AHP sửa đổi
Belton và Gear đã cải tiến kỹ thuật AHP. Họ đã chứng minh rằng có mâu
thuẫn xảy ra khi kỹ thuật AHP được sử dụng. Họ trình bày một ví dụ mà liên quan
tới 3 thuộc tính và 3 phương án. Trong ví dụ này, phương án tốt nhất thay đổi khi
một phương án đồng nhất với một trong các phương án không tối ưu được thêm
vào. Theo tác giả, thực chất của mâu thuẫn này là trường hợp các giá trị tương đối
cho mỗi thuộc tính cộng lại bằng 1. Thay vì có các giá trị tương đối của các phương
án A1, A2, A3,…,Am cộng lại bằng 1, chúng ta chia mỗi giá trị tương đối với giá trị
lớn nhất của các giá trị tương đối. Ta trình bày chi tiết hơn trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 4: Giả sử rằng dữ liệu thực của bài toán ra quyết định đa mục tiêu với
3 phương án và 3 thuộc tính như sau :

16


Thuộc tính
G1

G2

G3

1/3

1/3

1/3

A1

1

9

8

A2

9

1

9

A3

1

1

1

Quan sát thấy rằng trong các bài toán thực tế người ra quyết định có thể
không bao giờ biết dữ liệu thực tế trước đó. Thay vào đó, họ có thể sử dụng phương
pháp so sánh từng đôi để nhận được dữ liệu tương đối. Khi kỹ thuật AHP được áp
dụng với dữ liệu trên, ma trận quyết định với dữ liệu tương đối đã nhận được như
sau :
Thuộc tính

G1

G2

G3

1/3

1/3

1/3

A1

1/11 9/11 8/18

A2

9/11 1/11 9/18

A3

1/11 1/11 1/18

Do đó, dễ dàng ta có các giá trị của AHP như sau : (0.45, 0.47, 0.08). Vì vậy,
thứ tự của 3 phương án là: A2 > A1 > A3
Ta thêm vào một phương án mới, là A4, mà là bản sao với phương án A2.
Hơn nữa, ta giả sử rằng các trọng số tương đối về sự quan trọng của 3 thuộc tính
vẫn giống nhau. Khi phương án mới A4 được xem xét, chúng ta dễ dàng tính được
ma trận quyết định mới như sau:

Thuộc tính
G1

G2

G3

1/3

1/3

1/3

A1

1/20 9/12 8/27

A2

9/20 1/12 9/27

A3

1/20 1/12 1/27

17


A4

9/20 1/12 9/27

Tương tự, ta có thể tính được vector AHP là (0.37, 0.29, 0.06, 0.29). Vì vậy,
thứ tự với 4 phương án như sau: A1 > A2 > A4 > A3. Kết quả này mâu thuẫn với kết
quả trước đó vì A2 > A1.
Khi sử dụng kỹ thuật AHP cải tiến với dữ liệu này, ma trận quyết định được
tính như sau:
Thuộc tính
G1

G2

G3

1/3

1/3

1/3

A1

1/9

9/9

8/9

A2

9/9

1/9

9/9

A3

1/9

1/9

1/9

A4

9/9

1/9

9/9

Vector AHP cuối cùng là: (2/3; 19/27; 1/9; 19/27). Do đó, thứ tự của các
phương án như sau: A2 > A4 > A1 > A3.
1.3.5. Kỹ thuật ELECTRE
Kỹ thuật ELECTRE đã được giới thiệu lần đầu trong cuốn sách của
Benayoun vào năm 1966. Khái niệm cơ bản của kỹ thuật ELECTRE giải quyết mối
quan hệ xếp hạng bằng cách sử dụng so sánh từng đôi một giữa các phương án dưới
mỗi thuộc tính riêng biệt. Mối quan hệ xếp hạng của Ai và Aj được mô tả rằng thậm
chí khi phương án thứ i không cao hơn phương án thứ j một cách định lượng thì

người ra quyết định vẫn thấy rằng Ai hầu như chắc chắn tốt hơn Aj. Các phương án
được nói rằng cao hơn, nếu có một phương án khác tốt hơn chúng trong một hoặc
nhiều thuộc tính và bằng trong các thuộc tính còn lại.
Kỹ thuật ELECTRE bắt đầu với việc so sánh các phương án từng đôi một
dưới mỗi thuộc tính. Sử dụng các giá trị có tính vật lý hoặc tiền tệ gi(Aj) và gi(Ak)
của phương án Aj và Ak tương ứng, và đưa vào ngưỡng cho sự khác nhau gi(Aj) –
gi(Ak), người ra quyết định có thể tuyên bố rằng họ không quan tâm giữa các
phương án thay thế đang được xem xét, rằng họ có sự ưu tiên yếu hoặc nghiêm ngặt

18


cho một trong hai phương án đó, hoặc họ không thể diễn tả được bất kỳ mối quan
hệ ưu tiên nào. Do đó, một tập mối quan hệ nhị phân giữa các phương án, gọi là mối
quan hệ xếp hạng có thể là đầy đủ hoặc không đầy đủ. Tiếp theo, người ra quyết
định được yêu cầu để gán các trọng số hoặc các nhân tố quan trọng cho thuộc tính
để thể hiện tầm quan trọng tương đối của chúng.
Qua một loạt các đánh giá liên tiếp của mối quan hệ xếp hạng của các
phương án, kỹ thuật ELECTRE suy ra những mục lục chỉ dẫn, được xác định như là
tổng số dấu hiệu để đưa ra kết luận rằng Aj cao hơn Ak, cũng như sự bất hòa, một
phần đối lập của mục lục chỉ dẫn.
Cuối cùng, kỹ thuật ELECTRE sinh ra một hệ thống đầy đủ của mối quan hệ
xếp hạng nhị phân giữa các phương án. Bởi vì hệ thống là không cần thiết đầy đủ,
kỹ thuật ELECTRE thỉnh thoảng không thể nhận biết được phương án tốt hơn. Nó
chỉ tạo ra một cốt lõi của các phương án chính. Phương pháp này có một cái nhìn rõ
ràng hơn về các phương án bằng việc loại bỏ các phương án kém thuận lợi, đặc biệt
thích hợp trong khi gặp một vài tiêu chuẩn với số lượng lớn các phương án trong
bài toán ra quyết định. Sự tổ chức của kỹ thuật ELECTRE được minh họa tốt nhất
qua các bước sau [4]:
Bước 1: Chuẩn hóa ma trận quyết định

Thủ tục này biến đổi các đơn vị khác nhau trong ma trận quyết định thành
các đơn vị không có thứ nguyên có thể so sánh được bằng cách sử dụng công thức
sau:
z ij =

x ij
M

∑x
i =1

(1.6)
2
ij

Do đó, ma trận chuẩn hóa Z được xác định như sau:

19


⎡ z11 z12 z13 ...z1N ⎤
⎢z
⎥
⎢ 21 z 22 z 23 ...z 2 N ⎥
⎢.
⎥
Z =⎢
⎥
⎢.
⎥

⎢.
⎥
⎢
⎥
⎣⎢ z M 1 z M 2 z M 3 ...z MN ⎦⎥

Trong đó, m là số phương án và n là số thuộc tính, và zij là giá trị mới không
có thứ nguyên của phương án thứ i trong thuộc tính thứ j.
Bước 2: Tính trọng số
Cột của ma trận Z được nhân với trọng số kết hợp của nó mà đã được gán
với thuộc tính bởi người ra quyết định. Do đó, ma trận trọng số, ký hiệu là Y là:
Y = ZW

(1.7)

Bước 3: Xác định các tập phù hợp và không phù hợp
Tập phù hợp Ckl của 2 phương án Ak và Al, trong đó l>=1, được định nghĩa
như một tập của tất cả các thuộc tính mà Ak tốt hơn Al. Đó là :
Ckl = {j, nếu ykj >= ylj}, với j = 1,2,3,..,n

(1.8)

Tập con bù được gọi là tập không phù hợp và được mô tả như sau :
Dkl = {j, nếu ykj < ylj}, với j = 1,2,3,..,n

(1.9)

Bước 4: Xây dựng các ma trận phù hợp và không phù hợp
Giá trị tương đối của các thành phần trong ma trận phù hợp C được tính toán
bởi trung bình của các chỉ số phù hợp. Chỉ số phù hợp ckl là tổng của các trọng số

kết hợp với tiêu chuẩn bao gồm trong tập phù hợp. Đó là:
Ckl = ∑ w j , với j = 1,2,3,..,n

(1.10)

j∈C

Chỉ số phù hợp cho thấy tầm quan trọng tương đối của phương án Ak đối với
phương án Al. Rõ ràng, 0 <= ckl <=1. Do đó, ma trận phù hợp C được định nghĩa
như sau:

20


⎡− c12 c13 ...c1M ⎤
⎢c
⎥
⎢ 21 − c23 ...c2 M ⎥
⎢.
⎥
C=⎢
⎥
⎢.
⎥
⎢.
⎥
⎢
⎥
⎣⎢cM 1 cM 2 cM 3 ... − ⎦⎥

Cần lưu ý rằng các phần tử của ma trận C không được định nghĩa khi k = l.
Ma trận không phù hợp D thể hiện mức độ mà một phương án Ak nào đó là
tồi hơn một phương án cạnh tranh Al. Thành phần dkl của ma trận này được định
nghĩa như sau:
max | ykj − ylj |
d kl =

j ∈D

(1.11)

max | ykj − ylj |

Ma trận không phù hợp được định nghĩa như sau:
⎡− d12 d13 ...d1M ⎤
⎢d
⎥
⎢ 21 − d 23 ...d 2 M ⎥
⎢.
⎥
D=⎢
⎥
⎢.
⎥
⎢.
⎥
⎢
⎥
⎢⎣d M 1 d M 2 d M 3 ... − ⎥⎦

Các phần tử của ma trận D không được xác định khi k = l. Và ma trận C và
D là không đối xứng.
Bước 5: Xác định các ma trận ưu thế phù hợp và không phù hợp
Ma trận ưu thế phù hợp được xây dựng bởi trung bình của một giá trị ngưỡng
với chỉ số phù hợp. Ví dụ, Ak sẽ có ưu thế hơn Al nếu chỉ số phù hợp tương ứng ckl
lớn hơn hoặc bằng một giá trị c’ nào đó. Đó là, ckl >= c’.
Giá trị ngưỡng c’ có thể được xác định như là trung bình của các chỉ số phù
hợp. Đó là:
c' =

M M
1
× ∑∑ ckl
M ( M − 1) k =1 l =1

(1.12)

Dựa vào giá trị ngưỡng, ma trận ưu thế phù hợp F được xác định như sau:

21


fkl = 1 nếu ckl >=c’
fkl = 0 nếu ckl < c’
Tương tự, ma trận ưu thế không phù hợp G được định nghĩa bằng cách sử
dụng một giá trị ngưỡng d’, khi d’ được định nghĩa như sau:
d '=

M M
1

× ∑∑ d kl
M ( M − 1) k =1 l =1

(1.13)

Và gkl = 1 nếu dkl >= d’; gkl = 0 nếu dkl < d’.
Bước 6: Xác định ma trận ưu thế tổng hợp
Các thành phần của ma trận ưu thế tổng hợp E được định nghĩa như sau:
ekl = fkl x gkl

(1.14)

Bước 7: Loại bỏ các phương án có ít triển vọng
Từ ma trận ưu thế tổng hợp, chúng ta có thể có được một trật tự ưu tiên một
phần của các phương án. Nếu ekl = 1 thì điều này có nghĩa là Ak là thích hợp hơn Al
bằng cách sử dụng cả tiêu chuẩn phù hợp và không phù hợp.
Nếu bất cứ cột nào của ma trận ưu thế tổng hợp có ít nhất một phần tử bằng
1, cột đó là “ELECTREally” trội hơn bởi hàng tương ứng đó. Do đó, chúng ta loại
bỏ bất cứ cột nào mà có một thành phần bằng 1. Sau cùng, lựa chọn tốt nhất là
phương án mà trội hơn tất cả toàn bộ phương án khác theo cách đó.
1.3.6. Kỹ thuật TOPSIS
Kỹ thuật TOPSIS đã được phát triển bởi Hwang và Yoon vào năm 1981 như
là một sự thay thế kỹ thuật ELECTRE. Khái niệm cơ bản của kỹ thuật này là
phương án được chọn có khoảng cách ngắn nhất từ phương án lý tưởng và khoảng
cách xa nhất từ phương án không lý tưởng trong ý nghĩa hình học.
TOPSIS giả sử rằng mỗi thuộc tính có xu hướng đơn điệu tăng hoặc đơn điệu
giảm. Do đó, rất dễ dàng để tìm ra phương án lý tưởng và không lý tưởng. Khoảng
cách Euclid được sử dụng để ước lượng sự giống nhau tương đối của các phương án
với phương án lý tưởng. Do vậy, thứ tự ưu tiên của các phương án đã được đưa ra
qua sự so sánh giữa các khoảng cách tương đối của chúng.

Kỹ thuật TOPSIS ước lượng ma trận quyết định như sau:

22


⎡ x11 x12 x13 ... x1N ⎤
⎢x
⎥
⎢ 21 x 22 x 23 ... x 2 N ⎥
⎢.
⎥
X =⎢
⎥
⎢.
⎥
⎢.
⎥
⎢
⎥
⎣⎢ x M 1 x M 2 x M 3 ... x MN ⎦⎥

Trong đó xij ký hiệu là số đo của phương án thứ i trong tiêu chuẩn thứ j. Kỹ
thuật TOPSIS được trình bày ở dưới đây theo từng bước [4]:
Bước 1: Xây dựng ma trận quyết định chuẩn hóa
Một thành phần zij của ma trận quyết định chuẩn hóa Z có thể được tính toán
như sau:
z ij =

xij
M

∑x
i =1

(1.15)
2
ij

Bước 2: Xây dựng ma trận trọng số chuẩn hóa
Một tập các trọng số W = (w1, w2, w3,…,wn) trong đó:

∑w

i

= 1 được định

nghĩa bởi người ra quyết định đã được chứa trong ma trận quyết định để sinh ra ma
trận trọng số chuẩn hóa V như sau:
⎡ w1 z11 w2 z12 ... w N z1N ⎤
⎢w z
⎥
⎢ 1 21 w2 z 22 ... w N z 2 N ⎥
⎢.
⎥
V =⎢
⎥
⎢.
⎥
⎢.

⎥
⎢
⎥
⎣⎢ w1 z M 1 w2 z M 2 ... wN z MN ⎦⎥

Bước 3: Xác định phương án lý tưởng và không lý tưởng
Phương án lý tưởng A* và không lý tưởng A- được định nghĩa như sau:
A*i = {(max vij| j thuộc J), (min vij|j thuộc J’) | i = 1,2,3,..,m} = {v1*, v2*,
…,vN*}
A-i = {(min vij| j thuộc J), (max vij | j thuộc J’) | i = 1,2,3,…,m} = {v1-, v2-, …,
vN-}
Trong đó, J = {j = 1,2,3,…,n | j là thuộc tính lợi ích}
23


J’ = {j = 1,2,3,…,n | j là thuộc tính giá}
Với thuộc tính lợi ích, người ra quyết định muốn có một giá trị lớn nhất giữa
các phương án. Với thuộc tính giá, người ra quyết định muốn có một giá trị nhỏ
nhất trong số các phương án. Một cách rõ ràng, A* chỉ ra phương án ưu thế nhất
hoặc phương án lý tưởng. Tương tự A- chỉ ra phương án ít ưu thế hay phương án
không lý tưởng.
Bước 4: Tính toán các số đo khoảng cách
Phương pháp khoảng cách Euclid n chiều được áp dụng để tính toán các
khoảng cách của mỗi phương án với phương án lý tưởng và không lý tưởng.
S i * = ( ∑ (vij − v j * ) 2 )1 / 2 ; i = 1, 2,3,..., m

(1.16)

Trong đó Si* là khoảng cách của mỗi phương án từ phương án lý tưởng.
S i − = ( ∑ (vij − v j − ) 2 )1 / 2 ; i = 1,2,3,..., m

(1.17)

Trong đó Si- là khoảng cách của mỗi phương án từ phương án không lý
tưởng.
Bước 5: Tính toán sự giống nhau tương đối với phương án lý tưởng
Sự giống nhau tương đối của một phương án Ai với phương án lý tưởng A*
được định nghĩa như sau:
Ci* = Si- / (Si* + Si-), 0 <= Ci* <=1, i = 1,2,3,…,m

(1.18)

Rõ ràng, Ci* = 1 nếu Ai = A* và Ci- = 0 nếu Ai = A-.
Bước 6: Xếp thứ tự ưu tiên
Lựa chọn tốt nhất được thỏa mãn có thể được quyết định theo thứ tự xếp thứ
ưu tiên của Ci*. Do đó, lựa chọn tốt nhất là phương án mà có khoảng cách ngắn nhất
so với phương án lý tưởng. Mối quan hệ giữa các phương án tiết lộ rằng bất kỳ
phương án nào mà có khoảng cách ngắn nhất so với phương án lý tưởng đã được
bảo đảm để có khoảng cách dài nhất so với phương án không lý tưởng.
1.3.7. Kỹ thuật Simple Additive Weighting (SAW)
Giả sử rằng bài toán ra quyết định đa thuộc tính có m phương án quyết định
A1, …,Am và n thuộc tính G1, …,Gn. Mỗi phương án được đánh giá với các thuộc
tính n, có giá trị tạo thành một ma trận quyết định ký hiệu là X = (xij)mxn. Do tính
24