Bài toán số học ôn thi HSG

Nguyên tắc diricle
1. Các nút của tờ giấy kẻ carô vô tận đợc tô bằng 2 màu. Chứng minh rằng
tồn tại 2 đờng thẳng nằm ngang và 2 đờng thẳng thẳng đứng mà tại giao của chúng là
các điểm cùng 1 màu.
H ớng dẫn:
Lấy 3 đờng thẳng đứng và 9 đờng thẳng nằm ngang. Sẽ chỉ xét các giao điểm
của các đờng thẳng này. Bởi vì chỉ có 2
2
= 8 cách tô màu cho 3 điểm bằng 2 màu,
nên luôn tìm đợc 2 đờng thẳng nằm ngang trên đó các bộ 3 điểm đợc tô màu nh
nhau. Trong số 3 điểm tô bằng 2 màu , tất có 2 điểm cùng màu. các đờng thẳng đi
qua 2 điểm đó cùng với 2 đờng thẳng nằm ngang đã chọn trớc đó là các đờng thẳng
cần tìm.
2. Bên trong tam giác đều cạnh 1 đặt 5 điểm . Chứng minh rằng khoảng
cách giữa 2 điểm nào đó nhỏ hơn 0,5
H ớng dẫn:
Các đờng trung bình của các tam giác đều cạnh 1 sẽ chia nó ra làm 4 tam giác
đều cạnh 0,5. Do đó trong 1 tam giác nhỏ đó có ít nhất 2 điểm đã cho và các điểm
đó không thể rơi vào các đỉnh của tam giác. khoảng cách giữa 2 điểm đó nhỏ hơn
0,5.
3. Trong hình chữ nhật 3x4 đặt 6 điểm. Chứng minh rằng trong số đó
luôn tìm đợc 2 điểm có khoảng cách giữa chúng không lớn hơn
5
.
H ớng dẫn:
Chia hình chữ nhật ra 5 hình chữ nhật (hv)
Trong một trong số các hình đó sẽ có ít nhất 2 điểm
Và khoảng cách giữa 2 điểm đó sẽ không lớn hơn
5
4. Trên bàn cờ 8x8 ta đánh dấu tâm của tất cả các ô. Hỏi có thể bằng 13
đờng thẳng chia bàn cờ thành các phần sao cho trong mỗi phần đó có không có quá 1

điêm đợc đánh dấu hay không?
H ớng dẫn:
ở rìa bàn cờ có 28 ô. Kẻ 28 đoạn thẳng nối tâm của các ô rìa cạnh nhau. Mỗi
đờng thẳng nh thế cắt không quá 2 đoạn thẳng, do đó 13 đờng thẳng cắt không quá
26 đoạn thẳng, tức là có ít nhất 2 đoạn thẳng không bị cắt bởi 13 đờng thẳng đã kẻ.
Do đó bằng 13 đờng thẳng không thể chia bàn cờ sao cho mỗi phần có không quá 1
điểm đợc đánh dấu, bởi vì cả 2 đầu của đoạn thẳng khôg cắt các đờng thẳng nằm
trong 1 phần.
5. Trên mặt phẳng cho 2005 điểm, biết rằng trong 3 điểm bất kì trong số
đó luôn có 2 điểm cách nhau nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính
1 chứa không ít hơn 1003 điểm đã cho.
H ớng dẫn:
Giả sử A là 1 điểm đã cho. Nếu Tất cả các điểm còn lại nằm trong hình tròn S
tâm A thì ta không cần chứng minh gì thêm. Giả sử có 1 điểm B trong số các điểm đã
cho nằm ngoài hình tròn S, tức là AB >1. Xét hình tròn S tâm B bán kính 1. Trong số
các điểm A;B;C trong đó điểm C là điểm đã cho bất kì luôn có 2 điểm cách nhau nhỏ
hơn 1, hơn nữa đó không thể là 2 điểm A; B. Do đó các hình tròn S
1
và S
2
chứ tất cả
các điểm đã cho, tức là một trong hai hình tròn đó chứa không ít hơn 1003 điểm đã
cho.
6. Trong hình vuông cạnh 1 đặt 51 điểm.Chứng minh rằng luôn tồn tại 3
điểm có thể phủ đợc bằng một hình tròn bán kính 1/7.
H ớng dẫn:
Cắt hình vuông đã cho thành 25 hình chữ nhật nhỏ cạnh 0,2. Trong một hình
vuông nhỏ sẽ có không ít hơn 3 điểm. bán kính đờng tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh
0,2 bằng
7

1
25
1
<
do đó hình vuông có thể che đợc bởi hình tròn bán kính bằng
7
1
7. Cả 2 đĩa đều đợcchia thành 1985 hình quạt bằng nhau, và trên mỗi đĩa
tô một cách bất kì (bằng 1 màu) 200 hình quạt. Các đĩa đặt chồng lên nhau và quay
mỗi đĩa theo những góc là bội
1985
360
0
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 80 vị trí có
không quá 20 hình quạt đợc sơn trùng màu.
H ớng dẫn:
Lấy 1985 đĩa đợc tô màu giống đĩa thứ 2 và đặt chồng tất cả lên đĩa thứ nhất
sao cho chúng có tất cả các vị trí có thể.
Khi đó trên mỗi hình quạt của đĩa thứ nhất có 200 hình quạt đợc tô, tức là có tất cả
200
2
cặp hình quạt đợc tô trùng nhau. Giả sử có n vị trí của đĩa thứ 2 có không ít hơn
21 cặp hình quạt đợc tô trùng nhau. Khi đó các hình quạt đợc tô trùng nhau không
nhỏ hơn 21n. Do đó 21n

200
2
, tức là n

1904,8.

Bởi vì n là số nguyên nên n

1904, suy ra có ít nhất 1985-1904=81 vị trí có không
quá 20 cặp hình quạt đợc tô trùng nhau.
8. Chín đờng thẳng có cùng tính chất là mỗi đờng thẳng chia hình vuông
thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2:3. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đờng thẳng
trong số đó cùng đi qua 1 điểm.
H ớng dẫn:
Các đờng thẳng đã cho không thể cắt cạnh kề của hình vuông ABCD, bởi vì
nếu thế thì không thể tạo ra 2 tứ giác, ..mà là tam giác
Giả sử một đờng thẳng cắt các cạnh BC và AD tại M; N. Các hình thang ABMN và
CDMN có các đờng cao bằng nhau do đó tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số các đ-
ờng trung bình, tức là MN chia đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh AB, CD theo
tỉ số 2:3. Tổng số các điểm chia các đờng trung bình của hình vuông theo tỉ số 2:3 là
4, Bởi vì số đờng thẳng đã cho là 9 và đều phải đi qua 1 trong 4 điểm nói trên, nên có
1 điểm thuộc ít nhất 3 đờng thẳng.
9. Trong công viên có 10 000 cây đợc trồng theo kiểu ô vuông (100 hàng;
mỗi hàng 100 cây). Hỏi số cây lớn nhất có thể chặt đi là bao nhiêu, để thoả mãn điều
kiện sau: Nếu đứng trên 1 gốc cây bất kì, thì không thể nhìn thấy đợc một gốc cây
nào khác.
H ớng dẫn:
Ta chia các cây ra làm 2500 cụm,
mỗi cụm gồm 4 cây,
trong mỗi cụm nh vậy không thể
chặt đi nhiều hơn 1 cây,
Mặt khác có thể chặt tất cả các cây mọc ở góc trên bên trái của các hình vuông
tạo bởi 4 cây của từng cụm. Nh vậy số cây có thể chặt đi nhiều nhất là 2500 cây.
10. Bên trong 2ngiác lấy 1 điểm P. Qua mỗi đỉnh và điểm P kẻ 1 đờng
thẳng . Chứng minh rằng luôn tìm đợc 1 cạnh của đa giác không có điểm chung với
các đờng thẳng vừa kẻ.

H ớng dẫn:
Có thể chia làm 2 trờng hợp:
1. Điểm P nằm trên đờng chéo nào đó. Khi đó các đờng thẳng PA, PB trùng nhau
và không cắt các cạnh. Còn lại 2n-2 đờng thẳng và chúng cắt không quá 2n-2 cạnh
2. Điểm P không nắm trên đờng chéo nào của đa giác A
1
A
2
..A
2n
.
kẻ đờng chéo A
1
A
n+1
, ở mỗi bên đờng chéo này có đúng n cạnh.
Giả sử P nằm trong đa giác A
1
..A
n+1
.
Khi đó các đờng thẳng PA
n+1
; PA
n+2
; ..; PA
2n
; PA
1
(số đờng thẳng này là n+1) không thể cắt các cạnh A

n+1
A
n+2
; A
n+2
A
n+3
; ..;A
2n
A
1
. Do đó
các đờng thẳng còn lại có thể cắt không nhiều hơn n-1 trong số n cạnh này.
11. Trên mặt phẳng cho n đờng thẳng từng đôi một không song song.
Chứng minh rằng góc giữa 2 đờng thẳng nào đó trong số đó không lớn hơn
n
0
180
H ớng dẫn:
Lấy trên mặt phẳng một điểm bất kì và kẻ qua đó các đờng thẳng song song
với các đờng thẳng đã cho. Chúng chia mặt phẳng thành 2n góc, có tổng các góc
bằng 360
0
. Do đó có 1 góc không lớn hơn
n
0
180
12. Bên trong đờng tròn bán kính n đặt 4n đoạn thẳng có độ dài bằng 1.
Chứng minh rằng có thể kẻ 1 đờng thẳng vuông góc hoặc song song với 1 đờng
thẳng cho trớc và cắt ít nhất 2 đoạn thẳng đã cho.

H ớng dẫn:
Giả sử l
1
là đờng thẳng bất kì vuông góc với 1. Kí hiệu độ dài các hình chiếu
của đoạn thẳng thứ i lên các đờng thẳng 1 và 1
1
là a
i
; b
i
tơng ứng. Bỏi vì độ dài của
mỗi đoạn bằng 1, nên a
i
+b
i

1. Do đó (a
1
+a
2
+..+a
4n
)+(b
1
+b
2
+..+b
4n
)

2n. Tất cả các
đoạn thẳng đã cho đều đợc chiếu xuống đoạn thẳng có độ dài 2n, bởi vì chúng đều
nằm trong đờng tròn bán kính n. Nếu nh các hình chiếu của đoạn thẳng đã cho lên đ-
ờng thẳng 1 không có điểm chung, thì sẽ có bất đẳng thức a
1
+a
2
+..+a
4n
< 2n. Do đó
trên 1phải có một điểm bị các điểm củ ít nhất 2 trong số các đoạn thẳng đã cho chiếu
lên đó. Đờng vuông góc với 1 tại điểm đó sẽ cắt ít nhất hai đoạn thẳng đã cho.
13. Bên trong hình vuông cạnh 1 đặt một số đờng tròn có tổng độ dài bằng
10. Chứng minh rằng luôn tìm đợc 1 đờng thẳng cắt ít nhất 4 trong số các đờng tròn
đã cho.
H ớng dẫn:
Chiếu tất cả các đờng tròn lên cạnh AB của hình vuông ABCD. Hình chiếu
của đờng tròn có độ dài l là 1 đoạn thẳng có độ dài 1/

. Do đó tổg độ dài các hình
chiếu của tất cả các đờng tròn đã cho bằng 10/

. Bởi vì 10/

>3=3AB, nên trên
đoạn thẳng AB có 1 điểm thuộc hình chiếu của ít nhất 4 đờng tròn . Đờng vuông góc
với đờng thẳng AB tại điểm đó sẽ cắt ít nhất 4 đờng tròn
14. Trên đoạn thẳng có độ dài bằng 1 ta tô một số đoạn thẳng sao cho
khoảng cách giữa 2 điểm đợc tô bất kì không bằng 0,1. Chứng minh rằng tổng độ
dài các đoạn thẳng đợc tô không lớn hơn 0,5.

H ớng dẫn:
Chia đoạn thẳng ra làm 10 đoạn thẳng có độ dài 0,1. Đặt chúng theo cột và chiếu
chúng xuống 1 đoạn thẳng nh vậy. Bởi vì khoảng cách giữa 2 điểm đợc tô bất kì
không bằng 0,1 nên các điểm đợc tô của các đoạn thẳng cạnh nhau không thể cùng
chiếu xuống 1 điểm. Do đó không có điểm nào có thể là điểm chiếu của các điểm đ-
ợc tô màu của nhiều hơn 5 đoạn thẳng. Suy ra tổng độ dài các hình chiếu của các
đoạn thẳng đợc tô (bằng tổng độ dài của chúng) không lớn hơn 5.0,1=0,5.
Nguyên tắc cực hạn
1. Chứng minh rằng các hình tròn nhận các cạnh của tứ giác lồi làm đờng kính
sẽ phủ kín toàn bộ tứ giác.
H ớng dẫn:
2. ở một quốc gia có 100 sân bay, mà khoảng cách giữa các cặp sân bay đều
khác nhau. Trong cùng 1 thời gian, từ mỗi sân bay có 1 máy bay cất cánh và bay đến
1 sân bay gần nhất. Chứng minh rằng không có một sân bay nào có nhiều hơn 5 máy
bay tới.
H ớng dẫn:
3. Bên trong hình tròn bán kính 1 có 8 điểm. Chứng minh rằng khoảng cách giữa
2 điểm nào đó trong 8 điểm nhỏ hơn 1.
H ớng dẫn:
4. Bên trong 1 tam giác nhọn lấy một điểm P. Chứng minh rằng khoảng cách lớn
nhất trong số các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tgtừ đó đến các đỉnh của tam
giác không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách nhỏ nhất trong số các khoảng cách nhỏ nhất
trong số các khoảng cách từ đó tới cạnh.
H ớng dẫn:
5. Trên các cạnh AB; BC; CA của tam giác ABC lấy các điểm A; B; C tơng
ứng. Chứng minh rằng nếu độ dài các đoạn thẳng AA; BB; CCkhông lớn hơn 1thì
diện tích tam giác không lớn hơn
3
1
H ớng dẫn:

6. Trên mặt phẳng cho n

3 điểm, đồng thời không phải tất cả đều nằm trên một
đờng thẳng. Chứng minh rằng tồn tại một đờng tròn đi qua 3 trong số các điểm đã
cho và không chứa trong nó một điểm nào trong số các điểm còn lại.
H ớng dẫn:
7. Trên mặt phẳng cho một số điểm mà khoảng cách giữa chúng đều khác nhau.
Mỗi điểm đợc nối với điểm gần nó nhất. Hỏi bằng cách đó có thể nhận đợc một đờng
gấp khúc khép kín hay không?
H ớng dẫn:
8. Chứng minh rằng trong số ccác chân đờng vuông góc hạ từ 1 điểm trong 1 đa
giác lồi xuống các đờng thẳng chứa cạnh của nó, có ít nhất 1 điểm nằm trên cạnh của
đa giác chứ không nằm trên phần kéo dài của nó.
H ớng dẫn:
9. Trong mặt phẳng cho 4 điểm không cùng nằm trên 1 đờng thẳng. Chứng minh
rằng có ít nhất 1 trong số các tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không phảilà
tam giác nhọn.
H ớng dẫn:
10. Trên mặt phẳng cho n điểm mà diện tích mọi tam giác với các đỉnh tại các
điểm đã cho không lớn hơn 1, Chứng minh rằng tất cả các điểm đó có thể đặt trong 1
tam giác có diện tích 4.
H ớng dẫn:
11. Chứng minh rằng trong mọi ngũ giác lồi luôn tìm đợc 3 đờng chéo, từ đó có
thể lập đợc tam giác.
H ớng dẫn:
Bài toán cực trị
1. Bên trong tam giác ABC lấy điểm O. Giả sử d
a
; d
b

; d
c
là khoảng cách từ đó tới
các cạnh tam giác. với vị trí nào của O thì tíchd
a
d
b
d
c
nhỏ nhất.
H ớng dẫn:
2. Diện tích tam giác ABC bằng1. Giả sử A, B; C thứ tự là trung điểm BC; CA;
AB. Trên các đoạn thẳng AB; BC; CA lấy các điểm K; M L tơng ứng. Hỏi diện
tích phần chung của các tam giác KML và ABC có thể nhỏ nhất bằng bao nhiêu.
H ớng dẫn:
3. Cho góc xAy và 1 điểm O nằm trong góc đó. Hãy kẻ qua O một đờng thẳng cắt ra
từ góc đó một tam giác có diện tích nhỏ nhất
H ớng dẫn:
4. Cho góc xAy. Bằng 2 đoạn có độ dài l hãy cắt ra từ góc đó 1 tứ giác có diện tích
nhỏ nhất
H ớng dẫn:
5. Diện tích hình thang bằng 1. Hỏi đờng chéo của hình thang có thể lấy giá trị nhỏ
nhất là bao nhiêu?
H ớng dẫn:
6. Trên cạnh đáy AD của hình thang ABCD cho một điểm K. Tìm trên cạnh đáy BC
một điểm M sao cho diện tích phần chung của tam giác AND và tam giác BKC lớn
nhất
H ớng dẫn:
Bất đẳng thức
1) Tồn tại hay không một tam giác có hai đờng cao lớn hơn 1m còn diện tích

nhỏ hơn 1cm
2
H ớng dẫn:
2) Trên các cạnh BC; CA; AB của tam giác ABC lấy các điểm M; N sao cho
AM=CN; AN=BM. Chứng minh rằng diện tích tứ giác BMNC ít nhất lớn gấp 3 lần
diện tích tam giác AMN
H ớng dẫn: