Một số bài toán số học (HSG)

BÀI TẬP ÔN LUYỆN HSG - TOÁN 7
(Phần: SỐ HỌC)
==============================================
Bài 1: Chứng minh
a/ A = 19 + 69  44 b/ B = 222 + 333  13
c/ C = 3 + 4 chia hết cho 13, cho 7, cho 181.
Bài 2: Cho a chia cho 73 dư 2 và a chia cho 73 dư 69. Hỏi a chí cho 73 dư
bao nhiêu ?
Bài 3: Giả sử x, y là hai số tự nhiên thỏa mãn xy = 2007 .
Chứng minh x + y không chia hết cho 4.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 3 + 40n - 67 chia hết cho
64.
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì
S = 3 + 3 + 3 + … + 3 chia hết cho 120.
Bài 6: Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh 5p + 1
chia hết cho 6.
Bài 7: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 và p + 6 cũng là số nguyên tố.
Chứng minh p + 1979 chia hết cho 10.
Bài 8: Chứng minh rằng néu 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời là các số chính
phương thì n chia hết cho 40.
Bài 9: Cho 2 = 10a + b với a, b, n là các số tự nhiên, n > 3 và b < 10.
Chứng minh ab  6.
Bài 10: Cho A = 7 + 7 - 9 và B = 7 - 7 - 9. Chứng minh rằng với mọi
n tự nhiên chỉ có một trong hai số A hoặc B chia hết cho 5.
Bài 11: Cho 2 số có ba chữ số. Hai số này chia cho 7 đều cho cùng một số dư.
Chứng minh rằng số có 6 chữ số do viết liền nhau hai số trên chia hết cho 7.
Bài 12: Cho các số a , a , …, a chỉ nhận một trong hai giá trị 1 hoặc - 1,
biết aa + aa + … + aa = 0. Chứng minh: n chia hết cho 4.
Bài 13: Cho hai số nguyên dương a và b. Chứng minh rằng a + b chia hết cho
ab khi và chỉ khi a = b.