Thuyết tương đối trong việc giải thích một số hiện tượng của vũ trụ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TRONG VIỆC GIẢI THÍCH
MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG CỦA VŨ TRỤ

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên

Sơn La, tháng 5 năm 2017


TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TRONG VIỆC GIẢI THÍCH
MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG CỦA VŨ TRỤ

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Hương
Giới tính: Nữ
Dân tộc: Kinh
Lớp: K55 ĐHSP Vật lý
Khoa: Toán – Lý – Tin
Năm thứ 3/Số năm đào tạo: 4
Sinh viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Hƣơng
Giảng viên hướng dẫn: ThS. Phạm Ngọc Thƣ

Sơn La, tháng 5 năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến cô ThS. Phạm Ngọc Thư, người đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo chủ nhiệm và các thành viên tập thể
lớp K55 ĐHSP Vật lí, tới các thầy cô trong tổ bộ môn Vật lí, cũng như các thầy cô
trong khoa Toán – Lí – Tin, cùng sự nhiệt tình của các thầy cô trong trung tâm Thông
tin – Thư viện trường Đại học Tây Bắc.
Cuối cùng, em xin gửi lời biết ơn tời gia đình đã khuyến khích tinh thần và hỗ trợ tài
chính cho em, là một phần quan trọng để em hoàn thành đề tài nghiên cứu này.
Trong quá trình học tập và thực hiện đề tài, không tránh khỏi những sai sót là điều tất
yếu, rất mong các thầy cô bỏ qua cho em. Đồng thời do trình độ cũng như kinh nghiệm
thực tiễn còn hạn chế nên bản báo cáo đề tài này không tránh khỏi thiếu sót. Em rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu cúa các thầy cô và bạn học để kiến
thức của em trong lĩnh vực này được hoàn thiện hơn, đề tài cũng hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, ngày tháng năm 2017
Sinh viên thực hiện
Đỗ Thị Lan Hương


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU…………………………………………………………...…...………….…..1
1. Lý do chọn đề tài ..........................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................................1
3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................................1
4. Đối tượng nghiên cứu ...................................................................................................1

5. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................................2
6. Phạm vi nghiên cứu ......................................................................................................2
7. Phương pháp nghiên cứu ..............................................................................................2
8. Đóng góp của đề tài ......................................................................................................2
9. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................................2
CHƢƠNG I. TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI
ENSTEIN .........................................................................................................................3
1.1. Cơ học cổ điển Newton .............................................................................................3
1.1.1. Nội dung..................................................................................................................3
1.1.2. Hệ quy chiếu, không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển ...............................3
1.1.3. Công thức biến đổi tọa độ và nguyên lý tương đối Galileo ...................................4
1.1.4. Giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển Newton .....................................................4
1.2. Thuyết tương đối hẹp của Einstein ............................................................................5
1.2.1. Nội dung..................................................................................................................5
1.2.2. Công thức biến đổi Lorentz ....................................................................................6
1.2.3. Cấu trúc không – thời gian bốn chiều Minkwoski .................................................8
1.2.4. Các phép biến đổi tọa độ ......................................................................................10
1.2.5. Vectơ trong không – thời gian bốn chiều .............................................................11
1.3. Thuyết tương đối rộng .............................................................................................13
1.3.1. Nội dung................................................................................................................13
1.3.2. Dịch chuyển song song .........................................................................................14
1.3.3. Liên thông Affine – Chỉ số Christofell.................................................................15
1.3.4. Phương trình trắc địa (geodesic equation) ...........................................................15
1.3.5. Tensor metrix. Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng .......................16
1.3.6. Kết luận chương I .................................................................................................18


CHƢƠNG II: LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN ................................................19
2.1. Định luật vạn vật hấp dẫn Newton ..........................................................................19
2.2. Ba định luật Kepler về sự chuyển động của các hành tinh .....................................19

2.2.1. Lịch sử...................................................................................................................19
2.2.2. Định luật I .............................................................................................................21
2.2.3. Định luật II ............................................................................................................23
2.2.4. Định luật III...........................................................................................................23
2.2.5. Liên hệ với định luật Newton ...............................................................................23
2.3. Lý thuyết hấp dẫn Einstein ......................................................................................23
2.3.1. Trường hấp dẫn .....................................................................................................24
2.2.2. Phương trình Einstein ...........................................................................................24
2.2.3. Xây dựng phương trình Einstein từ khai triển nhiễu loạn ...................................25
2.3. Kết luận chương II ...................................................................................................27
CHƢƠNG III. LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN TRONG VIỆC GIẢI
THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƢỢNG CỦA VŨ TRỤ ....................................................28
3.1. Lời giải Schwarzschild ............................................................................................28
3.2. Giải thích sự dịch chuyển cận điểm và sự lệch đường đi của tia sáng ...................35
3.2.1. Phương trình quỹ đạo của hạt trong không gian Schwarzschild .........................35
3.2.2. Sự dịch chuyển cận điểm quỹ đạo của các ngôi sao ............................................37
3.2.3. Sự lệch đường đi của tia sáng ...............................................................................39
3.3. Kết luận chương III ..................................................................................................40
KẾT LUẬN ĐỀ TÀI .....................................................................................................42
PHỤ LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học ngày càng khằng định vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học
công nghệ, luôn thu hút rất nhiều sự quan tâm rộng rãi. Trong một thời gian dài, cơ
học Newton hay còn gọi là cơ học cổ điển, đã chiếm một vị trí quan trọng trong sự
phát triển của vật lý học. Theo Newton thời gian và không gian là tuyệt đối, không phụ
thuộc vào chuyển động, khối lượng của vật là bất biến. Tuy nhiên, khi nghiên cứu

chuyển động của những vật có vận tốc rất lớn so sánh được với vận tốc ánh sáng trong
chân không, người ta thấy rằng cơ học Newton không còn thích hợp nữa, cụ thể là:
không gian, thời gian, khối lượng đều phụ thuộc vào chuyển động. Như vậy, cần phải
xây dựng một môn cơ học tổng quát hơn áp dụng được cho cả các vật chuyển động
vào cỡ c. Đó là môn cơ học tương đối tính hay còn gọi là thuyết tương đối Einstein.
Thuyết tương đối Einstein, với nội dung gồm hai phần: phần thuyết tương đối
hẹp chỉ nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu
các hệ quy chiếu không quán tính và trường hấp dẫn, giữ một vai trò nền tảng quan
trọng trong việc xây dựng mô hình và giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ. Tuy
nhiên, trong chương trình đào tạo đại học hiện nay tài liệu tham khảo về vấn đề này
dành cho sinh viên còn rất hạn chế, nếu có thì cũng trừu tượng, không chuyên, một số
tài liệu nước ngoài khó hiểu, được dịch không sát nghĩa. Việc có một tài liệu trình bày
cụ thể vấn đề này là hết sức cần thiết. Chính vì nguyên nhân này, với những hiểu biết
và tài liệu đã có, chúng tôi mạnh dạn quyết định thực hiện đề tài: “Thuyết tƣơng đối
rộng trong việc giải thích một số hiện tƣợng của vũ trụ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hiểu và vận dụng lý thuyết tương đối của Einstein để tính toán và giải thích một
số hiện tượng của Vũ trụ.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng lý thuyết tương đối của Einstein và một số kiến thức vật lý liên
quan, có thể tính toán và giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Lý thuyết tương đối Einstein, phương trình Einstein và một số định luật liên
quan.

1


5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu và trình bày các nội dung của thuyết tương đối Einstein.

- Giải thích một số hiện tượng của Vũ trụ, kèm theo tính toán cụ thể.
6. Phạm vi nghiên cứu
- Nội dung lý thuyết tương đối Einstein và một số kiến thức vật lý liên quan.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tiến hành tìm và đọc hiểu các giáo trình
chuyên ngành, các nguồn tài liệu chọn lọc liên quan để xây dựng hệ thống cơ sở lý
thuyết.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia:
+ Nhờ giảng viên hướng dẫn xem xét, nhận xét và đánh giá.
+ Tham khảo ý kiến của các giảng viên dạy bộn môn Vật lý lý thuyết.
8. Đóng góp của đề tài
- Trình bày chi tiết nội dung lý thuyết tương đối Einstein, bổ sung vào nguồn tài
liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm vật lý và những giáo viên quan tâm.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, đề tài gồm 3
chương:
Chương I: Từ cơ học cổ điển Newton đến thuyêt tương đối Einstein
Chương II: Lý thuyết tương đối Einstein
Chương III: Lý thuyết hấp dẫn Einstein trong việc giải thích một số hiện tượng
của Vũ trụ.

2


CHƢƠNG I. TỪ CƠ HỌC CỔ ĐIỂN NEWTON ĐẾN THUYẾT TƢƠNG ĐỐI
ENSTEIN
1.1. Cơ học cổ điển Newton
1.1.1. Nội dung
Cơ học cổ điển, hay còn gọi là cơ học Newton, là ngành khoa học nghiên cứu
chuyển động của các vật vi mô có vận tốc nhỏ hơn rất nhiều so với vận tốc của ánh

sáng.
1.1.2. Hệ quy chiếu, không gian và thời gian trong Cơ học cổ điển
- Hệ quy chiếu được chọn để nghiên cứu chuyển động của các vật là hệ quy
chiếu quán tính, là hệ quy chiếu mà trong đó các chất điểm cô lập giữ nguyên trạng
thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
- Trong Cơ học cổ điển thừa nhận tiên đề:
+ Tiên đề về tính chất tuyệt đối của thời gian: Khoảng thời gian trôi qua của một
quá trình vật lý bất kì trong mọi hệ quy chiếu chuyển động tương đối đối với nhau một
cách tùy ý là như nhau, nghĩa là:
t = t’
với t và t’ lần lượt là khoảng thời gian trôi qua của quá trình vật lý nói trên đối
với các hệ quy chiếu K và K’ chuyển động tương đối đối với hệ quy chiếu K.
+ Tiên đề về tính chất tuyệt đối của không gian:
Thực nghiệm chỉ rằng không gian trong cơ học cổ điển là không gian Euclid ba
chiều với đặc tính được xác định bằng đẳng thức:

z
r

dr2 = dx2 + dy2 +dz2

M

O

y

x
trong đó x, y, z là hình chiếu của vectơ r (bán kính vectơ r kẻ từ gốc O đến M xác định
vị trí của chất điểm M ở thời điểm t) trên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

Không gian có tính chất tuyệt đối: Khoảng cách giữa hai vị trí của hai chất
điểm bất kỳ ở cùng một thời điểm đã cho là như nhau trong mọi hệ quy chiếu.
* Biến cố
Biến cố (hay cũng gọi là sự kiện) được hiểu là một sự kiện vật lý xảy ra tại một
điểm nào đó trong không gian vào một thời điểm nào đó.
3


1.1.3. Công thức biến đổi tọa độ và nguyên lý tƣơng đối Galileo
1.1.3.1. Công thức biến đổi tọa độ Galileo
Xét bài toán: Tìm công thức biến đổi tọa độ của một biến cố từ hệ quy chiếu quán tính
𝐾 sang hệ quy chiếu quán tính 𝐾′ hay ngược lại. 𝑦
𝑦′
Đối với hệ quy chiếu quán tính 𝐾,
(+)
biến cố xảy ra tại điểm (𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑂

vào thời điểm 𝑡, đối với hệ quán tính 𝐾 ′

𝑧

𝑂′
𝑧′

𝑥′
𝑥′

thì biến cố trên xảy ra tại điểm (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) vào thời điểm 𝑡 ′ . Gọi (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) và

(𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ , 𝑡′) là tọa độ của cùng một biến cố trên đối với hệ quán tính 𝐾 và 𝐾′.
Giả sử ban đầu 𝑡 = 𝑡 ′ = 0 hệ quán tính 𝐾 ′ trùng với hệ quán tính 𝐾 (gốc 𝑂′
trùng với gốc 𝑂). Sau đó nếu hệ 𝐾 ′ chuyển động tương đối so với hệ 𝐾 dọc theo chiều
dương trục 𝑥 với vận tốc không đổi 𝑉 thì công thức biến đổi Galile có dạng:
𝑥 = 𝑥 ′ + 𝑉𝑡 ′
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝑡′

hay

𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑉𝑡 ′
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
𝑡 = 𝑡′

(1-2)

 Sự phụ thuộc tọa độ của một biến cố trong hệ 𝐾 và 𝐾′ là phụ thuộc tuyến tính.
1.1.3.2. Nguyên lý tương đối Galileo
Phát biểu: “Mọi hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu
quán tính”.
1.1.4. Giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển Newton
Theo cơ học Newton, thế năng tương tác giữa các điểm phụ thuộc khoảng cách
tương đối giữa chúng. Khi chất điểm này dịch chuyển thì chất điểm kia lập tức chịu
ảnh hưởng. Như vậy tương tác được truyền đi tức thời và vận tốc truyền tương tác là
vô cùng lớn. Song, trong tự nhiên không tồn tại những tương tác xảy ra tức thời như
vậy, Khoảng thời gian tương tác ∆t > 0 và từ những sự kiện thực nghiệm người ta thấy
rẳng: vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn và bằng nhau trong mọi hệ quy chiếu
quán tính. Thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng, vận tốc không đổi này là cực đại và bằng

vận tốc lan truyền của ánh sáng trong chân không, được kí hiệu bằng chữ c, c ≈ 3.108
m/s. Như vậy, quan niệm về vận tốc truyền tương tác vô cùng lớn trong cơ học
Newton không còn đúng nữa. Thừa nhận vận tốc của ánh sáng trong chân không đúng
với mọi hệ quy chiếu quán tính đều bằng c lại mâu thuẫn với công thức tổng hợp vận
tốc Galileo. Thật vậy, giả sử hệ quán tính K’ chuyển động với vận tốc không đổi V dọc
4


theo trục x so với hệ quán tính K.. Khi đó theo công thức tổng hợp vận tốc Galileo vận
tốc ánh sáng truyền theo chiều dương của trục x đối với hệ K’ là c thì đối với hệ K là c
+ V khác với c. Nhưng, như đã nói, vận tốc ánh sáng đối với hệ quán tính K và K’
luôn bằng nhau và bằng c. như vậy, công thức tổng hợp vận tốc của Galileo xây dựng
trên cơ sở t = t’ không còn đúng nữa.
Môn cơ học nghiên cứu chuyển động của vật thể có vận tốc lớn so sánh với vận
tốc của ánh sáng trong chân không và coi t’ ≠ t gọi là môn cơ học tương đối tính hay
thuyết tương đối của Einstein đối với cơ học. Cơ học Newton chỉ là trường hợp giới
hạn của cơ học tương đối tính khi vận tốc của chất điểm rất nhỏ so với vận tốc của ánh
sáng trong chân không.
Về mặt nội dung, thuyết tương đối gồm hai phần: phần thuyết tương đối hẹp chỉ
nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tỉnh, phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu các hệ
quy chiếu không quán tính và trường hấp dẫn.
1.2. Thuyết tƣơng đối hẹp của Einstein
1.2.1. Nội dung
Để xây dựng lí thuyết tương đối của mình, năm 1905 Einstein đã đưa ra lý
thuyết tương đối hẹp trong không – thời gian phẳng gồm hai tiên đề sau:
* Tiên đề 1: “Mọi hiện tượng vậy lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu
quán tính”. (Phương trình mô tả một định luật vật lý nào đó được biểu diễn qua tọa độ
và thời gian sẽ giữ nguyên dạng trong các hệ quy chiếu quán tính).
Tiên đề 1 là sự mở rộng nguyên lý tương đối Galileo từ các hiện tượng cơ học
sang các hiện tượng vật lý nói chung, tiên đề 1 tổng quát hơn nguyên lý tương đối

Galileo về mặt toán học.
* Tiên đề 2: “Vận tốc truyền tương tác c là hữu hạn và không phụ thuộc vào các
hệ quy chiếu quán tính”.
Theo quan điểm của tiên đề 2, vận tốc ánh sáng là giới hạn trên của vận tốc mọi
vật thể. Tiên đề 2 thực chất là bác bỏ quan niệm về tính tuyệt đối của thời gian và
không gian trong cơ học cổ điển Newton, và coi rằng khái niệm không, thời gian có
tính chất tương đối, không hề mâu thuẫn với phép biến đổi cổ điển và cơ học cổ điển.
Trái lại, theo quan điểm của thuyết mới, ta thấy rõ vật lý cổ điển đúng trong trường
hợp nào và bị giới hạn ở đâu.

5


Sự bất nhất cơ học Newton với phương trình Maxwell về điện không có khả
năng phát hiện chuyển động của Trái Đất trong chân không đã dẫn đến sự phát triển
thuyết tương đối hẹp. Lý thuyết này được gọi là “hẹp” vì nó áp dụng trong trường hợp
đặc biệt của hệ quy chiếu quán tính. Thay vì một khoảng thời gian bất biến giữa hai sự
kiện, có một khoảng không – thời gian bất biến. Kết hợp các định luật khác, hai tiên đề
của lý thuyết tương đối hẹp dự đóan được sự chuyển đổi tương đương giữa khối lượng
và năng lượng, thể hiện trong công thức 𝐸 = 𝑚𝑐 2 , với c là tốc độ ánh sáng trong chân
không.
Một đặc điểm nổi bật của thuyết tương đối hẹp là sự thay thế những biến đổi
Galileo của cơ học Newton bằng biến đổi Lorentz. Phép biến đổi cổ điển chỉ là một
trường hợp đặc biệt, giới hạn của phép biến đổi Lorentz. Chỉ có thể tồn tại một phép
biến đổi duy nhất từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác, đó chính là phép biến đổi
Lorentz.
1.2.2. Công thức biến đổi Lorentz
* Khoảng giữa hai biến cố
Xét hai biến cố M1 và M2. Tọa độ của hai biến cố M1 và M2 đối với hệ quán tính
K là x1, y1, z1, t1 và x2, y2, z2, t2. Tọa độ của hai biến cố M1 và M2 đối với hệ quán tính

K’ là x’1, y’1, z’1, t’1 và x’2, y’2, z’2, t’2.
Kí hiệu:
∆x = x2 – x1; ∆y = y2 – y1; ∆z = z2 – z1; ∆t = t2 – t1
∆x’ = x’2– x’1; ∆y’ = y’2 – y’1; ∆z’ = z’2 – z’1; ∆t’ = t’2 – t’1
∆l =

∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2 , ∆l’ =

∆x’2 + ∆y’ 2 + ∆z’2

Các lượng ∆l và ∆t là khoảng không gian và khoảng thời gian giữa hai biến cố
M1 và M2 trong hệ quán tính K. Các lượng ∆l’ và ∆t’ là khoảng không gian và khoảng
thời gian giữa hai biến cố M1 và M2 trong hệ quán tính K’. Trong lý thuyết tương đối,
khoảng giữa hai biến cố là sự thống nhất các khái niệm khoảng không gian và khoảng
thời gian, được xác định bằng các hệ thức:
∆s = c 2 ∆t 2 − ∆l2 =

c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2

∆s’ = c 2 ∆t’2 − ∆l’2 = c 2 ∆t’2 − ∆x’2 − ∆y’ 2 − ∆z’2
Khoảng giữa hai biến cố là bất biến nên:
∆s2 = c 2 ∆t 2 − ∆l2 = ∆s’2 = c 2 ∆t’2 − ∆l’2

6


Điều kiện áp dụng: công thức Lorentz phải thỏa mãn điều kiện khoảng bất biến
giữa hai biến cố (thỏa mãn các tiên đề Einstein).
Xét hai biến cố O và M. ở thời điểm ban đầu khi 𝐾 ≡ 𝐾′ có một biến cố xảy ra
ở gốc 𝑂. Tọa độ của gốc 𝑂 trong hệ 𝐾 là 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 𝑡 = 0, trong hệ 𝐾′ là 𝑥 ′ =

𝑦 ′ = 𝑧 ′ = 𝑡′. Tọa độ của biến cố M trong hệ 𝐾 là (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) trong hệ 𝐾′ là
𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ , 𝑡 ′ . Khoảng giữa hai biến cố là bất biến nên ta có:
𝑠 2 = 𝑐 2 𝑡 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑧 2 = 𝑠 ′ 2 = −𝑥 ′ 2 − 𝑦 ′ 2 − 𝑧 ′ 2 + 𝑐 2 𝑡 ′2

(1-2)

Để đơn giản, xét hệ 𝐾 ′ ban đầu trùng hệ 𝐾, sau đó chuyển động thẳng đều so với
𝐾 theo chiều (+) trục 𝑥 với vận tốc 𝑉, khi đó 𝑦 = 𝑦 ′ và 𝑧 = 𝑧 ′ , điều kiện (1-2) chuyển
thành:
c2t2 – x2 = c2tʹ2 - xʹ2

(1-3)

Phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn điều kiện (1-3) có dạng:
𝑥 = 𝑎𝑥 ′ + 𝑏𝑐𝑡 ′
𝑐𝑡 = 𝑏𝑥 ′ + 𝑎𝑐𝑡 ′
trong đó 𝑎, 𝑏 là những hệ số thỏa mãn hệ thức 𝑎2 + 𝑏 2 = 1
Xác định 𝑎, 𝑏:
Xét chuyển động của gốc 𝑂′ của hệ 𝐾 ′ so với hệ 𝐾. Tọa độ gốc 𝑂 ′ (𝑥 ′ = 𝑦 ′ =
𝑧 ′ = 0). Phương trình chuyển động thẳng đều của gốc 𝑂′ so với hệ 𝐾:
𝑥 = 𝑉𝑡
𝑦=0
𝑧=0
𝑏

𝑉

𝑎

𝑐

Khi 𝑥 ′ = 0 => 𝑥 = 𝑉𝑡 và từ (1-4) => = ≡ 𝛽 => b = a𝛽
2

𝑎= ±

2

𝛽

1− 𝛽 2
𝑎 + 𝑏 =1
=>
𝛽
𝑏 = 𝑎𝛽
𝑏 = 𝑎𝛽 = ±

1− 𝛽 2

Khi 𝑉 = 0 thì 𝑥 ≡ 𝑥′
𝑎=
𝑏=

1
1− 𝛽 2
𝛽
1− 𝛽 2

=

1
𝑉2

1− 2
𝑐

=

𝛽
𝑉2

1− 2
𝑐

Thay (1-5) vào (1-4) ta có công thức biến đổi:

7

(1-5)


𝑥=

𝑥 ′ +𝑉𝑡′
𝑉2

1+ 2
𝑐

𝑦 = 𝑦′

𝑧 = 𝑧′

(1-6)

𝑉𝑥 ′

𝑡=

𝑡′ + 2
𝑐

𝑉2

1− 2
𝑐

𝑥′ =

𝑥 − 𝑉𝑡
𝑉2

1− 2
𝑐

𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧

Ngược lại:

(1-7)

𝑉𝑥

𝑡′ =

𝑡− 2
𝑐

𝑉2

1+ 2
𝑐

Công thức (1-6) và (1-7) gọi là công thức biến đổi Lorentz.
𝑉

Khi 𝑐 → ∞ hay ≪ 1 thì công thức biến đổi Lorentz chuyển thành công thức
𝐶

biến đổi Galileo.
Khi 𝑉 > 𝑐, 𝑥 và 𝑡 ảo, sự kiện chuyển động với vận tốc lớn hơn 𝑐 không thể xảy
ra.
Trong lý thuyết tương đối của Einstein, không thể dùng hệ quy chiếu quán tính
chuyển động với vận tốc bằng 𝑐, khi đó 1 −

𝑉2
𝑐2

=0

Có: 𝑎2 + 𝑏 2 = 1 và 𝑐𝑕2 𝜑 − 𝑠𝑕2 𝜑 = 1
Đặt: 𝑎 =

1
𝑉2
1− 2
𝑐

= 𝑐𝑕𝜑 và 𝑏 =

𝛽
𝑉2

= 𝑠𝑕𝜑 => Công thức biến đổi Lorentz:

1− 2
𝑐

𝑥 = 𝑥 ′ 𝑐𝑕𝜑 + 𝑐𝑡′𝑠𝑕𝜑
𝑐𝑡 = 𝑥 ′ 𝑠𝑕𝜑 + 𝑐𝑡′𝑐𝑕𝜑
𝑦 = 𝑦′
𝑧 = 𝑧′
1.2.3. Cấu trúc không – thời gian bốn chiều Minkwoski
1.2.3.1. Không gian phẳng
z

O

y

x

8


- Không gian mà không chứa vật chất thì tọa độ là thẳng, quỹ đạo chuyển động
của hạt là đường thẳng.
- Trong một khoảng không gian khá nhỏ, ta coi không gian là phẳng, nghĩa là tại
bất cứ điểm nào của không gian cũng tồn tại đạo hàm, và đạo hàm bậc hai lấy theo các
hướng khác nhau là như nhau.
1.2.3.2. Không – thời gian Minkowski
ct

ct

O

x

x
O

y

- Không – thời gian là sự kết hợp giữa không gian ba chiều và thời gian một
chiều tạo thành một thể thống nhất gọi là không – thời gian bốn chiều.
- Mỗi một điểm trong không gian bốn chiều được mô tả bởi các tọa độ (ct, x, y,
z), trong đó (x, y, z) là tọa độ không gian và ct là chiều thời gian, người ta đưa hệ số
vận tốc ánh sáng c vào chiều thời gian để các tọa độ có cùng thứ nguyên. Hình học mô
tả cấu trúc đồng nhất không – thời gian gọi là hình học Minkowski.

- Trong không gian Minkowski, không gian và thời gian đã được đồng nhất nên
mỗi một sự kiện sẽ được mô tả bởi 1 điểm.
- Ta kí hiệu một sự kiện trong không gian Minkowki là (𝑐𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ 𝑥 𝜇 =
(𝑥 0 , 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ). Khoảng không – thời gian (Space – Time interval) giữa 2 sự kiện diễn
ra tại A và B:
𝑑𝑠 2 = −(𝑐∆𝑡)2 + ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2
trong đó: ∆𝑥 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 ; ∆𝑦 = 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 ; ∆𝑧 = 𝑧𝐴 − 𝑧𝐵
- Khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác thì sự kiện trong hệ quy chiếu quán
tính mới được mô tả bởi một tọa độ khác (𝑐𝑡 ′ , 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ) ≡ 𝑥 𝜇 = (𝑥 0′ , 𝑥 1′ , 𝑥 2′ , 𝑥 3′ ),
nhưng khoảng không – thời gian giữa hai sự kiện là bất biến.
𝑑𝑠 2 = − 𝑐∆𝑡

2

+ ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 + ∆𝑧 2 = 𝑑𝑠 2 = − 𝑐∆𝑡 ′

= 𝜂𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈
với

(𝜇, 𝜈 = 0, 1, 2, 3)
9

2

+ ∆𝑥 ′2 + ∆𝑦 ′ 2 + ∆𝑧 ′ 2


trong đó 𝜂𝜇𝜈 là Tensor Metrix hay Tensor Minkowski có dạng chéo
𝜂𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(−1, −1, −1, −1)
Ta sẽ đi khảo sát các phép biến đổi tọa độ đồng thời đảm bảo các tính chất bất

biến của khoảng không – thời gian giữa hai sự kiện.
1.2.4. Các phép biến đổi tọa độ
Các phép biến đổi tọa độ từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán
tính khác, bảo toàn khoảng không – thời gian giữa hai sự kiện trong không – thời gian
Minkowski, tạo thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến đổi Lorentz.
1.2.4.1. Phép tịnh tiến
Phép biến đổi tịnh tiến từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán
tính khác có dạng như sau:
𝑥 ′𝜇 = 𝑥 𝜇 + 𝑎𝜇
1.2.4.2. Phép biến đổi Lorentz thuần nhất
Là phép biến đổi từ hệ tọa độ không – thời gian 𝑥 𝜇 sang hệ khác 𝑥′𝜇 có dạng:

𝜇

𝑥 ′𝜇 = Λ𝜈 𝑥 𝜈 =

𝑥 0′
𝑥 1′
𝑥 2′
𝑥 3′

=

Λ00
Λ10
Λ20
Λ30

Λ01
Λ11

Λ21
Λ31

Λ02 Λ03
Λ12 Λ13
Λ22 Λ23
Λ32 Λ33

𝑥0
𝑥1
𝑥2
𝑥3

Trong đó:

𝜇

𝜇

Λ𝜈 là ma trận chuyển vị: Λ𝜈 =

Λ00
Λ10
Λ20
Λ30

Λ01
Λ11
Λ21
Λ31

Λ02 Λ03
Λ12 Λ13
Λ22 Λ23
Λ32 Λ33

với 𝜇: số hàng; 𝜈: số cột

𝑥0
𝑥 1 : vectơ cơ sở
𝑥2
𝑥3
1.2.4.3. Phép biến đổi Lorentz không thuẩn nhất – phép biến đổi Poincare
Phép biến đổi Poincare kết hợp giữa phép biến đổi Lorentz và phép tịnh tiến
không thời gian. Hay, phép biến đổi Poincare là phép biến đổi từ hệ tọa độ không –
thời gian 𝑥 𝜇 sang hệ khác 𝑥′𝜇 thỏa mãn quy luật:
𝜇

𝑥 ′𝜇 = Λ𝜈 𝑥 𝜈 + 𝑎𝜇
1.2.4.4. Phép biến đổi tọa độ Boots
Là phép quay giữa các tọa độ không gian và thời gian. Cụ thể:
10


𝜇

𝑑𝑥 ′𝜇 = Λ𝜈 𝑥 𝜈
1.2.5. Vectơ trong không – thời gian bốn chiều
1.2.5.1. Vectơ
- Trong không gian Euclid ba chiều (không gian phẳng), vectơ là đường thẳng có

hướng biếu diễn từ điểm này sang điểm khác trong không gian.
- Trong không – thời gian bốn chiều, mỗi một điểm trong không gian sẽ tồn tại
một tổ hợp các vectơ bốn chiều định xứ tại điểm này, gọi là không gian các vectơ tiếp
tuyến tại điểm khảo sát.
Mỗi một vectơ bất kì 𝑉 trong không gian bốn chiều sẽ được khai triển theo các
vectơ cơ sở và các thành phần của nó như sau:
𝑉 = 𝑉𝜇 𝑒𝜇 , 𝜇 = 0, 1, 2, 3.
Trong đó 𝑉𝜇 là các thành phần của vectơ 𝑉 và 𝑒𝜇 là các vectơ cơ sở trong không
gian vectơ.
1.2.5.2. Quy luật biến đổi dưới phép biến đổi Lorentz
Để tìm hiểu quy luật biến đổi của các thành phần của vectơ hiệp biến – đồng
biến, ta khảo sát vectơ tiếp tuyến của đường cong 𝑥 𝜇 (𝜆) trong không – thời gian bốn
chiều. Các thành phần được xác định như sau:
𝑑𝑥 𝜇
𝑉 𝜆 =
𝑑𝜆
𝜇

Dưới phép biến đổi Lorentz, tọa độ không – thời gian bốn chiều biến đổi theo
𝜇

quy luật 𝑥 ′𝜇 = Λ𝜈 𝑥 𝜈 . Do đó, có thể thu được quy luật biến đổi của các thành phần
vectơ tiếp tuyến như sau:
𝑥𝜇
𝑥𝜇

𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧
𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧

𝜇

𝑥 ′𝜇 = Λ𝜈 𝑥 𝜈 => 𝑉 ′ 𝜇 =
𝑥𝜇′ = Λ𝜈𝜇 𝑥𝜈 => 𝑉𝜇′ =

𝑑𝑥 ′ 𝜇

𝑑𝑥 𝜇′
𝑑𝜆

𝑑𝜆

=

=

𝜇

Λ 𝜈 𝑑𝑥 𝜈
𝑑𝜆

Λ 𝜈𝜇 𝑑𝑥 𝜈
𝑑𝜆

𝜇

= Λ𝜈 𝑉 𝜈

= Λ𝜈𝜇 𝑉𝜇

(𝜇 = 0, 1, 2, 3)

Hoặc khai triển vectơ tiếp tuyến 𝑉 dưới dạng:
𝑉 = 𝑉𝜇 𝑒𝜇 = 𝑉′𝜇 𝑒𝜇′
𝑉′𝜇 = (Λ𝜇 )𝜈 𝑉 𝜈
𝑒𝜇′ = (Λ𝜇 )𝜈 𝑒𝜈
𝑉 là vectơ tiếp tuyến bất kỳ của quỹ đạo, là bất biến dưới phép biến đổi Lorentz.

11


+ Chỉ số trên của các thành phần vectơ 𝑉 biến đổi giống quy luật biến đổi của
tọa độ 4 chiều không – thời gian 𝑥 𝜇 dưới phép biến đổi Lorentz.
+ Chỉ số dưới của vectơ 𝑉 biến đổi giống như phép biến đổi nghịch đảo của
phép biến đổi Lorentz.
- Thành phần phản biến của một vectơ: các thành phần của vectơ trong không gian
vectơ tiếp tuyến được gọi là các thành phần phản biến của vectơ và có chỉ số trên: 𝑉𝜇
- Thành phần hiệp biến của một vectơ: các thành phần vectơ trong không gian
đối ngẫu của vectơ tiếp tuyến được gọi là các thành phần hiệp biến của vectơ và có chỉ
số dưới: 𝑉𝜇
- Các thành phần phản biến và hiệp biến của vectơ là biến đổi nghịch đảo nhau
dưới phép biến đổi Lorentz.
- Không gian vectơ đối ngẫu của không gian các vectơ tiếp tuyến: là không gian
mà hệ vectơ cơ sở của không gian này và hệ vectơ cơ sở (𝜃 𝜇 ) của không gian vectơ
tiếp tuyến (𝜃𝜈 ) thỏa mãn điều kiện:
𝜃 𝜇 𝜃𝜈 = 𝛿𝜇𝜈
Ví dụ: Trong cơ học lượng tử, không gian vectơ đối ngẫu của vectơ ket 𝜓 là
không gian vec tơ Bra 𝜓 . Tích của hai vectơ ket và Bra là một đại lượng bất biến.
1.2.5.3. Tensor
*Trong toán học, vật lý và trong cơ học nói riêng, ta thường gặp các loại đại
lượng:
- Đại lượng vô hướng (nhiệt độ, khối lượng,…): chỉ quan hệ với giá trị bằng số.

- Đại lượng vectơ (vận tốc, gia tốc,…): ngoài giá trị số còn phải kể đến hướng
của chúng trong không gian.
- Đại lượng tổng quát được đặc trưng bởi các tensor, không phụ thuộc vào cách
chọn hệ tọa độ dùng để mô tả chúng, có thể bao quát mọi đặc trưng của tất cả các đại
lượng, xem chúng như những tensor hạng không (vô hướng), tensor hạng nhất (vectơ)
và hạng bất kỳ. Trong mỗi hệ tọa độ có thể định nghĩa cho tensor các thành phần của
nó và các thành phần này sẽ được xác định trong một hệ tọa độ bất kỳ khác. Do tính
chất tuyến tính và đồng nhất, tính bất biến của hệ thức tensor đối với phép biến đổi tọa
độ, nên các phương trình dưới dạng tensor luôn đúng trong các hệ tọa độ khác nhau.
*Tensor là tổ hợp của nhiều thành phần mà mỗi thành phần tensor biến đổi như
1 vectơ. Số lượng các thành phần của tensor là hạng của tensor.
12


- Tensor hiệp biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một
vectơ hiệp biến. Tensor hiệp biến hạng n:
𝐿

𝛼

′
1
𝛤𝛼𝛽 …𝛾 → 𝛤𝛼𝛽
…𝛾 = Λ 𝛼

𝛽

𝛾

Λ𝛽1 … (Λ𝛾1 )𝛤𝛼 1 𝛽1 …𝛾1

- Tensor phản biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một
vectơ phản biến. Tensor phản biến hạng n:
𝐿

𝛽

𝛾

𝛤 𝛼𝛽 …𝛾 → 𝛤 ′𝛼𝛽 …𝛾 = (Λ𝛼𝛼 1 )(Λ𝛽1 ) … (Λ𝛾1 )𝛤 𝛼 1 𝛽1 …𝛾1
- Tensor tổng quát hạng (m, n) là tensor gồm m thành phần phản biến và n thành
phần hiệp biến.
- Phân loại: hai loại tensor:
+ Tensor đối xứng: 𝑇𝛼𝛽𝛾 = 𝑇𝛽𝛼𝛾
+ Tensor phản đối xứng: 𝑇𝛼𝛽𝛾 = −𝑇𝛽𝛼𝛾
- Các trường hợp đặc biệt:
+ Tensor (0, 0) là một đại lượng vô hướng.
+ Tensor (1, 0) là một vectơ phản biến.
+ Tensor (0, 1) là một vectơ hiệp biến.
1.3. Thuyết tƣơng đối rộng
1.3.1. Nội dung
Ngay sau khi phát triển thuyết tương đối hẹp, Einstein bắt đầu suy nghĩ về sự
mâu thuẫn giữa lực hấp dẫn Newton với lý thuyết này. Lực hấp dẫn Newton chỉ đúng
trong trường hợp hệ quy chiếu quán tính của vật lý cổ điển, mối liên hệ giữa lực và
khoảng cách là bất biến với phép biến đổi cổ điển. Nhưng định luật này không phù hợp
với khuôn khổ thuyết tương đối hẹp, khoảng cách không bất biến dưới phép biến đổi
Lorentz. Từ đó, ông xây dựng thuyết tương đối rộng để phát biểu các định luật vật lý
cho tất cả các hệ tọa độ. Thuyết tương đối rộng được phát biểu như sau: “Mọi hiện
tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu”. Nói cách khác, các phương
trình mô tả các hiện tượng vật lý là như nhau trong mọi hệ quy chiếu. Thuyết tương

đối hẹp là trường hợp giới hạn khi bỏ qua lực hấp dẫn.
Để chứng minh sự bất biến của các phương trình mô tả các hiện tượn vật lý khi
chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, Einstein đã làm việc trong không
– thời gian Minkwoski – cấu trúc không thời gian bốn chiều.

13


1.3.2. Dịch chuyển song song
- Trong không gian phẳng, đạo hàm không gian của tensor hạng (m, n) là tensor
hạng (m, n+1), ví dụ: đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạng nhất, đạo hàm của
tensor hạng nhất là tensor hạng hai. Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này
không đúng, đạo hàm của một vectơ không biến đổi như tensor hạng hai. Việc tìm một
đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vectơ tại hai điểm, biến đổi như một
tensor, chính là lý do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song.
1.3.2.1. Định nghĩa
- Trong không gian phẳng, với tọa độ hình chữ nhật 𝑥 𝜇 , khi dịch chuyển song
song vectơ 𝐴𝜇 từ vị trí này sang vị trí khác thì vectơ 𝐴𝜇 không thay đổi hướng và độ
lớn, dễ dàng xây dựng các tensor hạng cao hơn bằng cách lấy vi phân.

y
𝐴𝜇

𝐴𝜇

O

x

- Trong không gian cong, khi dịch chuyển song song vectơ 𝐴𝜇 từ vị trí này đến

vị trí khác, thì hướng của vectơ sẽ thay đổi, hay nói cách khác là các thành phần của
vectơ sẽ thay đổi:
𝐴𝜇

𝑑ị𝑐𝑕 𝑐𝑕𝑢𝑦 ể𝑛 𝑠𝑜𝑛𝑔 𝑠𝑜𝑛𝑔

𝐴𝜇 +𝛿𝐴𝜇 với 𝛿𝐴𝜇 gọi là dịch chuyển song song của một

vectơ.
- Trong không gian phẳng: 𝛿𝐴𝜇 = 0
- Trong không gian cong 𝛿𝐴𝜇 ≠ 0: độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt
của vectơ trước và sau dịch chuyển song song.
1.3.2.2. Tìm 𝛿𝐴𝜇
Khảo sát một vectơ trong hệ tọa độ 𝑥 𝜇 có các thành phần là 𝐴𝜇 , trong hệ tọa độ
𝑦 𝜇 có các thành phần là 𝐵 𝜇 . Khi thực hiện phép biến đổi tọa độ tổng quát từ hệ 𝑥 𝜇
sang hệ 𝑦 𝜇 thì:
𝐴𝜇 =

𝜕𝑦 𝛼
𝜕𝑥 𝜇

𝐵𝛼 và 𝐵𝜇 =

𝜕𝑥 𝛼
𝜕𝑦 𝜇

𝐴𝛼

14

𝑥𝜇 =

𝜕𝑦 𝜇

𝜕𝑥 𝜇

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝛼

𝑑𝑥 𝜇 =

𝛼
𝜇
𝛼 𝑥 và 𝑦 =

𝑦𝛼

𝜕𝑦 𝜇

𝜕𝑥 𝜇

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝛼

𝛼
𝜇
𝛼 𝑑𝑥 và 𝑑𝑦 =

𝑑𝑦 𝛼

Lấy biến phân:
𝜕𝑦 𝛼
𝜕𝑦 𝛼
𝜕𝑦 𝛼
𝜕𝑦 𝛼
𝛿𝐴𝜇 = 𝛿
𝐵 =𝛿
𝐵 +
𝛿𝐵𝛼 = 𝛿
𝐵
𝜕𝑥 𝜇 𝛼
𝜕𝑥 𝜇 𝛼
𝜕𝑥 𝜇
𝜕𝑥 𝜇 𝛼

1−1

𝑦 𝜇 là hệ tọa độ Cartan, 𝛿𝐵𝛼 = 0
Tính 𝛿

𝜕𝑦 𝛼
𝜕𝑥 𝜇

=

𝜕𝛿𝑦 𝛼
𝜕𝑥 𝜇

=

𝜕
𝜕𝑥 𝜇

𝜕𝑦 𝛼
𝜕𝑥

𝛽
=
𝛽 𝑑𝑥

𝐵𝜇 =

Có:

𝜕𝑥 𝛼
𝜕𝑦 𝜇

𝜕2𝑦𝛼
𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥

𝛽
𝛽 𝑑𝑥 +

𝜕𝑑𝑥 𝛽 𝜕𝑦 𝛼

1−2

𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝛽

𝐴𝛼

1−3

Thay 1 − 2 , 1 − 3 vào 1 − 1 :
𝛿𝐴𝜇 = 𝛿

𝜕𝑦 𝛼
𝜕2 𝑦𝛼
𝜕𝑥 𝛼
𝛽
𝐵
=
𝑑𝑥
𝐴
𝜕𝑥 𝜇 𝛼 𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝛽
𝜕𝑦 𝜇 𝛼

𝜕 2 𝑦 𝛼 𝜕𝑥 𝛼 𝛽
= 𝜇 𝛽 𝜇 𝑑𝑥 𝐴𝛼 = 𝛤𝜇𝛽𝛼 𝑑𝑥 𝛽 𝐴𝛼
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
Với 𝛤𝜇𝛽𝛼 =

𝜕2𝑦𝛼

𝜕𝑥 𝛼

𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝛽 𝜕𝑦 𝜇

là hệ số liên kết không gian, liên thông Affine, liên thông

Christofell.
𝐴𝜇′

1.3.3. Liên thông Affine – Chỉ số Christofell
𝛤𝜇𝛽𝛼 =

𝜕2𝑦𝛼

𝜕𝑥 𝛼

𝑥 𝜇 + ∆𝑥 𝜇

𝜕𝑥 𝜇 𝜕𝑥 𝛽 𝜕𝑦 𝜇

𝛼
𝐴𝜇′ = 𝐴𝜇 + 𝛿𝐴𝜇 = 𝐴𝜇 + 𝛤𝜇𝛽
𝑑𝑥 𝛽 𝐴𝛼

𝐴𝜇

𝑥𝜇

𝛤𝜇𝛽𝛼 kết nối 2 điểm trong không gian cong là đối xứng với hai chỉ số 𝛼, 𝛽 và
không phải tensor hạng ba.
1.3.4. Phương trình trắc địa (geodesic equation)
Phương trình trắc địa (phương trình quỹ đạo) là phương trình mô tả dịch chuyển song
song của một vectơ tiếp tuyến trên quỹ đạo chuyển động của một hạt.

Dạng của phương trình:
𝜈 𝛼 𝛽
𝑥 𝜈 + 𝛤𝛼𝛽
𝑥 𝑥 =0

𝜈
với 𝛤𝛼𝛽
=

thông Affine kết nối hai điểm trong không gian.

15

1
2

𝑔𝜇𝛼 ,𝛽 + 𝑔𝜇𝛽 ,𝛼 − 𝑔𝛼𝛽 ,𝜇 là liên


1.3.5. Tensor metrix. Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng
1.3.5.1. Tensor metrix
*Định nghĩa
- Trong không gian phẳng, khoảng bất biến giữa hai sự kiện: 𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑡 2 − 𝑑𝑥 =
𝜂𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 với 𝜂𝜇𝜈 = 𝐷𝑖𝑎𝑔 −1, −1, −1, −1 gọi là tensor metrix.
- Trong không gian cong: metrix 𝜂𝜇𝜈 được thay bằng yếu tố 𝑔𝜇𝜈 và khoảng cách
không – thời gian giữa hai điểm cách nhau bởi dịch chuyển 𝑑𝑥 𝜇 .
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑡 2 − (𝑑𝑟 2 + 𝑟 2 𝑑𝜃 2 + 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃. 𝑑𝜙 2 = 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈

bất biến

𝑔𝜇𝜈 = (−1, −1, −𝑟 2 , −𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃)
*Quy ước
- Thành phần thời gian là dương (𝑔00 > 0)
- Thành phần không gian là âm (𝑔𝑘𝑘 < 0)
<0
𝑑𝑠 2 > 0
=0
*Tính chất
- Tensor metrix là đối xứng: 𝑔𝜇𝜈 = 𝑔𝜈𝜇
- Tensor 𝑔𝜇𝜈 là tensor hiệp biến hạng hai
Chứng minh: Dựa vào tính bất biến của 𝑑𝑠 2
′
′
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑠 ′2 = 𝑔𝜇𝜈
𝑑𝑥 ′𝜇 𝑑𝑥 ′𝜈 => 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 = 𝑔𝜇𝜈
𝑑𝑥 ′𝜇 𝑑𝑥 ′𝜈
′
 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑥 𝜈 = 𝑔𝜇𝜈



′
𝑔𝜇𝜈
=

𝜕𝑥 𝛼 𝜕𝑥 𝛽
𝜕𝑥 ′ 𝜇 𝜕𝑥 ′ 𝜈

𝜕𝑥 ′ 𝜇
𝜕𝑥 𝛼

𝑑𝑥 𝛼

𝜕𝑥 ′ 𝜈
𝜕𝑥 𝛽

𝑑𝑥 𝛽 (lấy vi phân theo 𝑥 ′𝜇 và 𝑥 ′𝜈 )

𝑔𝛼𝛽

- Nghịch đảo của Tensor Metrix 𝑔𝜇𝜈 là Tensor Metrix 𝑔𝜇𝜈 thỏa mãn:
𝑔𝜇𝜈 𝑔𝜇𝜈 = 𝛿𝜇𝜈
- Tensor Metrix và dùng để nâng hạ chỉ số
𝜇

𝑔𝜇𝜈 𝑔𝜈𝛾 = 𝛿𝛾

𝑑𝑥𝜇 = 𝑔𝜇𝜈 𝑑𝑥 𝜈
𝐴𝛼 = 𝑔𝛼𝛽 𝐴𝛽
𝐴𝛽 = 𝑔𝛽𝛼 𝐴𝛼

16


1.3.5.2. Tensor cong Riemann
*Định nghĩa
Tensor cong Riemann được định nghĩa dưới dạng:
𝛼
𝛼
𝛼

𝜎 𝛼
𝜎 𝛼
𝑅𝛽𝜇𝜈
= −Γ𝛽𝜇
,𝜈 + Γ𝛽𝜈 ,𝜇 + Γ𝛽𝜈 Γ𝜎𝜇 − Γ𝛽𝜇 Γ𝜎𝜈

* Ý nghĩa
- Dưới tác dụng của phép dịch chuyển song song một vectơ, trong không gian
phẳng và không gian cong thu được hai kết quả không trùng nhau, sai khác một lượng
𝛼
𝑅𝛽𝜇𝜈
𝐴𝛼 , chính độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt này.
𝛼
- Tensor cong 𝑅𝛽𝜇𝜈
đặc trưng cho độ cong của không gian.
𝛼
𝛼
- Trong không gian phẳng 𝑅𝛽𝜇𝜈
= 0 và 𝑅𝛽𝜇𝜈
≠ 0 trong không – thòi gian cong.

Vì nếu 𝑔𝜇𝜈 là hằng số thì kí hiệu Christofell bằng không ở mọi nơi, nếu 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 thì
tensor metrix sẽ là 𝜂𝜇𝜈 ở mọi nơi. Do vậy sự tồn tại trường hấp dẫn chỉ qua sự khác
𝛼
không của tensor Riemann 𝑅𝛽𝜇𝜈
≠ 0.

*Tính chất
Tensor này thỏa mãn các tính chất:
𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 = −𝑅𝛽𝛼𝜇𝜈

𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 = −𝑅𝛼𝛽𝜈𝜇
𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝜈𝛼𝛽
𝑅𝛼𝛽𝜇𝜈 + 𝑅𝛼𝜇𝛽𝜈 + 𝑅𝛼𝜈𝛽𝜇 = 0
1.3.5.3. Mối liên hệ giữa tensor metrix và hình học Riemann
- Hình học Riemann: là hình học mô tả không gian cong thỏa mãn tính chất: khi
khảo sát vùng không gian là nhỏ thì một cách gần đúng có thể coi vùng không gian đó
là phẳng.
- Metrix 𝑔𝜇𝜈 mô tả tính chất hấp dẫn của hệ quy chiếu, để phù hợp với tính chất
của hình học Riemann (khảo sát trong một khoảng không gian nhỏ) 𝑔𝜇𝜈 → 𝜂𝜇𝜈 .
1.3.5.4. Tensor Ricci
𝛼
Co chỉ số đầu với chỉ số cuối của tensor cong Riemann 𝑅𝛽𝜇𝜈
được tensor hạng

hai, gọi là tensor Ricci đối xứng theo 𝛽, 𝜇:
𝛼
𝑅𝛽𝜇𝜈
= 𝑅𝛽𝜇 = 𝑅𝜇𝛽

1.3.5.5. Độ cong vô hướng
Độ cong vô hướng:
17


𝛼𝛽

𝑅 = 𝑅𝛼𝛼 = 𝑅𝛽𝛼
𝜇

𝜇

1

𝜇

Và 𝐺𝜈 = 𝑅𝜈 − 𝛿𝜈 𝑅 được gọi là tensor Einstein.
2

1.3.6. Kết luận chương I
Cơ học Newton với vai trò nền tảng đối với vật lý học cổ điển, đã không thể áp
dụng cho những vật chuyển động với vận tốc rất lớn so sánh được với vận tốc ánh
sáng trong chân không. Từ đó, môn cơ học tương đối tính hay thuyết tương đối
Einstein đã ra đời, với nội dung gồm hai phần:
- Phần thuyết tương đối hẹp chỉ nghiên cứu các hệ quy chiếu quán tính, thay thế
những biến đổi Galileo của cơ học Newton bằng biến đổi Lorentz, đã dự đoán được
những sự chuyển đổi tương đương giữa khối lượng và năng lượng.
- Phần thuyết tương đối rộng nghiên cứu các quy chiếu phi quán tính và trường
hấp dẫn, phát biểu thuyết cho tất cả các định luật vật lý trong mọi hệ tọa độ.
Để chứng minh lý thuyết của mình, Einstein đã làm việc trong không thời gian
Minkwoski – cấu trúc không thời gian bốn chiều, đưa vào một số khái niệm: tensor
metrix, tensor độ cong Riemann, phép dịch chuyển song song để tìm phương trình trắc
địa mô tả quỹ đạo chuyển động của một hạt.

18


CHƢƠNG II: LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN

2.1. Định luật vạn vật hấp dẫn Newton
Phát biểu: “Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm bất kì tỉ lệ thuận với tích hai khối

lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.”
Công thức: 𝐹𝑕𝑑 = 𝐺

𝑚1𝑚2
𝑟2

Trong đó 𝑚1 , 𝑚2 là khối lượng của hai chất điểm, 𝑟 là khoảng cách giữa chúng,
𝐺 = 6,67.10-11 Nm2/kg2 gọi là hằng số hấp dẫn.
2.2. Ba định luật Kepler về sự chuyển động của các hành tinh
2.2.1. Lịch sử
Từ xa xưa, con người đã chú ý đến những hiện tượng thiên nhiên hàng ngày xảy
ra trên bầu trời. Một nhu cầu tự nhiên của con người là tìm cách giải thích những hiện
tượng đó, và do đó ngay từ thời Hy Lạp cổ đại, thiên văn học đã ra đời nhằm hướng
đến việc giải thích các hiện tượng xảy ra trong vũ trụ.
Từ những năm 140 SCN, Ptolemy đã cho rằng Trái Đất là trung tâm của vũ trụ,
Mặt trời và các thiên thể khác đều quay xung quanh nó (thuyết địa tâm), quan điểm
này tồn tại hơn 1500 năm.

19


Hình 2.1. Bức tranh nghệ thuật thể hiện hệ địa tâm có các dấu hiệu của hoàng đạo và
hệ Mặt trời với Trái Đất ở trung tâm.
Khi thuyết nhật tâm của Copernicus ra đời (1543) thì quan điểm của Ptolemy
mới bị phá bỏ. Theo thuyết nhật tâm, Trái Đất chỉ là một trong nhiều hành tinh quay
xung quanh Mặt trời. Thuyết nhật tâm đã đặt nền móng vững chắc cho thiên văn học.
Tuy nhiên nó vẫn tồn tại hạn chế về sự sai khác quỹ đạo chuyển động của hành tinh là
hình tròn.

Hình 2.2. So sánh mô hình địa tâm (bên trên) và mô hình nhật tâm (bên dưới).

Kiên trì theo quan điểm trong thuyết nhật tâm của Nicolaus Copernicus và phân
tích các dữ liệu từ những quan sát trong 20 năm của nhà thiên văn Đan Mạch Tycho
Brahe, năm 1571 nhà vật lý người Đức Johannes Kepler đã phát triển nhiều phép tính
thay thế chứ không hề vi tích phân để ước tính đường đi của Sao Hỏa, ông công bố hai
20