20 bài hình học về tứ giác nội tiếp( ôn thi THPT)

Bài tập ôn tập hình 9 (Kỳ ii)
Bài 1 : Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD . Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại E .
Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là M . BD
cắt CF tại N . Chứng minh :
a , CEFD là tứ giác nội tiếp .
b , Tia FA là tia phân gíac của góc BFM.
c , BE . DN = EN . BD
Bài 2 : Cho 3 điểm M , N, P thẳng hàng (theo thứ tự ấy) , gọi ( O ) là đờng tròn đi qua N và P .Từ M
kẻ các tiếp tuyến MQ ,MK với đờng tròn (O) (Q,K là các tiếp điểm ) . Gọi I là trung điểm của NP.
Chứng minh : a. 5 điểm : M,Q,O,I,K nằm trên 1 đờng tròn .
b , Đờng thẳng KI cắt đờng tròn (O) tại F . Chứng minh : QF // MP.
c , Nối QK cắt MP tại J . Chứng minh : MI . MJ = MN . MP.
Bài 3 : Cho nửa đờng tròn đờng kính MN . Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đờng tròn (P khác M và N ).
Dựng hình bình hành MNQP . Từ P kẻ PI vuông góc với đờng thẳng MQ tại I ,từ N kẻ NK vuông góc
với đờng thẳng MQ tại K . Chứng minh :
a , P,Q,N,I nằm trên 1 đờng tròn .
b , MP . PK = NK . PQ
c , Tìm vị trí của P trên nửa đờng tròn sao cho NK . MQ lớn nhất .
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Từ B dựng đờng thẳng BD về phía ngoài của tam giác ABC
sao cho BC = BD và góc ABC = góc CBD . Gọi I là trung điểm của CD , AI cắt BC tại E . Chứng
minh :
a. Góc CAI = góc DBI
b. Tam giác ABE cân
c. AB . CD = BC . AE
Bài 5 : Cho 3 điểm A , B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy) , dựng đờng tròn đờng kính AB, BC . Gọi D
và E thứ tự là 2 tiếp điểm của tiếp tuyến chung với 2 đờng tròn trên và M là giao điểm của AD với CE
. Chứng minh :
a. Tứ giác ADEC nội tiếp
b. MB là tiếp tuyến của 2 đờng tròn đờng kính AB , BC .
c. Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB . Chứng minh rằng : K , B , E thẳng hàng .
Bài 6 : Cho 2 đờng tròn (O

1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B . Tiếp tuyến chung với 2 đờng tròn về phía
nửa mặt phẳng bờ là O
1
O
2
chứa điểm B có tiếp điểm thứ tự là E và F . Qua A kẻ cát tuyến song song
với EF Cắt đờng tròn (O
1
), (O
2
)thứ tự tại C và D . Đờng thẳng CE và DF cắt nhau tại I . Chứng minh :
a. IA vuông góc với CD.
b. Tứ giác IEBF nội tiếp .
c. Đờng thẳng AB đi qua trung điểm của EF.
Bài 7 : Cho hình vuông ABCD , M là 1 điểm trên đờng chéo BD . Gọi H , I ,K lầ lợt là hình chiếu
vuông góc của M trên AB, BC và AD . Chứng minh :
a.

MIC =

HMK
b. CM vuông góc với HK
c. Xác định vị trí của M để diệh tích

CHK đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 8 : Cho ABC đều , đờng cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , vẽ tia Ax
sao cho góc xAC = 40

0
. Tia Ax cắt tia BC tại D . Đờng tròn tâm O đờng kính CD cắt AD tại E , đờng
trung trực của CD cắt AD tại M . Chứng minh rằng :
a. Tứ giác AHCE nội tiếp đừng tròn tâm I . Xác định tâm I ?
b. CA =CM
1
c. Đờng thẳng HE cắt đờng tròn (O) tại K . Vẽ đờng kính HN của đờng tròn (I), HN cắt DK
tại P . Chứng minh : Tứ giác NPKE nội tiếp .
Bài 9 : Từ A ở ngoài đờng tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AN và AM . Trên nửa mặt phẳng bờ là AN
không chứa điểm M lấy điểm B sao cho góc ABO = 90
0
. Đờng thẳng BO cắt AN tại D , cắt AM tại C
; đờng thẳng BM cắt AN tại K . Gọi I là trung điểm của AC .BI cắt AN tại E . Chứng minh :
a. 5 điểm A,B,N,M,O cùng nằm trên 1 đờng tròn .
b. BD là phân giác của

BKN.
c. DN . AK = AN . DK
d.

BEN cân .
Bài 10 : Cho đờng tròn tâm o đờng kính AB và 1 đờng kính è bất kì (E khác A,B ) . Tiếp tuyến tại B
với đờng tròn cắt các tia AE,AF lần lợt tại H và K . Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt HK tại
M . Chứng minh :
a. AEBF là hình chữ nhật .
b. Tứ giác EFKH nội tiếp .
c. AM là trung tuyến của

AHK.
d.Gọi P,Q là trung điểm của HB và BK . Xác định vị trí của đờng kính EF để tứ giác EFQP

có chu vi nhỏ nhất.
Bài 11 : Cho

ABC đều nội tiếp đờng tròn (O;R), đờng kính AI và D là một điểm di động trên cung
nhỏ AC (D khác A và C ). Chứng minh :
a. AI là tia phân giác của góc BAC.
b. Trên DB lấy đoạn DE = DC . Chứng tỏ

CDE đều và DI vuông góc với CE.
c. E di động trên một đờng tròn .
d. Khi D là điểm chính giữa của cung nhỏ AC , tính diện tích

ADI theo R.
Bài 12 : Cho hình thang cân ABCD (BC // AD ). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho góc
BOC= 60
0
. Gọi I,M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, OA,OB,AB,CD. Chứng minh
: a. Tứ giác DMNC nội tiếp .
b.

MQN đều
c. Gọi H là trực tâm của

MNQ . Chứng minh : H,O,I thẳng hàng .
Bài 13 : Cho

ABC (AC>AB , góc BAC> 90
0
); I,K theo thứ tự là các trung điểm của AB,AC.Các đ-
ờng tròn đờng kính AB,AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D . Tia BA cắt đờng tròn (K)tại điểm thứ hai

là E ,tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai là F .Chứng minh :
a.B,C,D thẳng hàng.
b.Tứ giác BFEC nội tiếp .
c.AD ,BF , CE đồng quy .
d. Gọi H là giao điểm thứ 2 của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF .Hãy so sánh
DH và DE.
Bài 14 : Cho (O,R), 1 dây AB cố định (AB < 2R) và một điểm M bất kỳ trên cung lớn AB (M khác
A, B ).Gọi I là trung điểm của dây AB và (O
'
)là đờng tròn đi qua M tiếp xúc với AB tại A .Đờng
thẳng MI cắt đờng tròn (O) và (O
'
) lần lợt tại các giao điểm thứ hai là N,P .Chứng minh :
a. IA
2
= IP.IM
b. Tứ giác ANBP là hình bình hành .
c.IB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBP
d. Khi M chuyển động thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên 1 cung tròn cố định.
Bài 15 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và 1 điểm C trên đờng tròn (C không trùng với A
và B ).Trên nửa mặt phẳng bờ là AB có chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn tâm O.Gọi M là
2
điểm chính giữa của cung nhỏ AC , P là giao điểm của AC và BM .Tia BC cắt tia AM ,Ax lần lợt tại
N , Q .
a. Chứng minh : Tam giác ANB cân .
b. Tứ giác APNQ là hình gì ?
c. Gọi K là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm C . Hỏi có thể xảy ra 3 điểm M
,Q ,K thẳng hàng đợc không ? tại sao?
d.Xác định vị trí của C để đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với đờng tròn tâm
O.

Bài 16: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) .Tia phân giác trong của góc B cắt đờng tròn
tại D , tia phân giác trong của góc C cắt đờng tròn tại E, 2 tia phân giác đó cắt nhau tại F .Gọi I, K
theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.Chứng minh
a.Tam giác EBF , DAE cân .
b.Tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB.
c. Tứ giác AIFK là hình gì?
d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích
gấp 3 lần diện tích của tứ giác AIFK.
Bài 17 : Cho đờng tròn đờng kính AB và một điểm C trên AB .Trên đờng tròn lấy 1 điểm D và I là
điểm chính giữa của cu7ng nhỏ DB ; IC cắt đờng tròn tại E , DE cắt AI tại K . Chứng minh :
a. Tứ giác AKCE nội tiếp .
b. CK vuông góc với AD
c.Kẻ Cx // AD cắt DE tại F .Chứng minh : Tứ giác CBè nội tiếp .
d. CF = CB.
Bài 18 : Cho tam giác ABC (AC >AB) nội tiếp đờng tròn (O) .Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ
BC , P là giao điểm của AB và CD .Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại D của đờng tròn và cắt AD lần
lợt tại E ,Q . Chứng minh :
a. DE // BC
b.Tứ giác PACQ nội tiếp .
c. DE // PQ.
d. Nếu F là giao điểm của AD và BC thì :
1 1 1
CE CQ CF
= +
Bài 19: Cho đờng tròn (O, R) và dây AB = R
2
. C là điểm thay đổi trên cung lớn AB .Gọi H là trực
tâm của tam giác ABC .Các đờng thẳng AH , BH cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M ,N .Giao của AN với
BM là P. Chứng minh :
a. MN là đờng kính của đờng tròn tâm O .

b. CO // PH
c. Gọi L là giao điểm của AB với MN . Chứng minh rằng : góc CHP = góc ALM và hiệu
(góc AOM - góc ALM ) không phụ thuộc vào vị trí của C.
Bài 20: Cho hình thang ABCD (AD// BC , AD >BC ) nội tiếp đờng tròn (O) .Các cạnh bên cắt nhau
tại E . Các tiếp tuyến tại B, D của đờng tròn cắt nhau tại F .Chứng minh :
a. Tứ giác BEFD nội tiếp .
b.EF // BC
c. Khi nào tứ giác AEFD là hình bình hành ? Khi đó hãy chứng minh : EC . EK = ED .CK
d.Vẽ hình bình hành BDFP .Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BFP cắt đờng tròn (O) tại điểm
thứ hai là Q . Chứng minh : D ,P, Q thẳng hàng .
3