Tập BT về ĐƯỜNG TRÒN trong OXY qua các đề thi(docx)

Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
x 2 + y2 + 2x − 8y − 8 = 0
Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :
. Viết phương
trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài
bằng 6.
Hướng dẫn: Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0
A
−3 + 4 + m m + 1
IH =
=
K
5
5
- IH là khoảng cách từ I đến d' :
x+2y-5=0
2


AB
IH 2 = IB 2 − 
÷ = 25 − 9 = 16
 4 
C
B(2;-1)
H
- Xét tam giác vng IHB :
2
3x-4y+27=0
m + 1)
 m = 19 → d ' : 3 x + y + 19 = 0

(
⇔
= 16 ⇔ m + 1 = 20 ⇒ 
25
 m = −21 → d ' : 3x + y − 21 = 0
x2 + y2 − 4x − 2 y −1 = 0

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn (C) :
x + y +1 = 0

và đường thẳng d :
. Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến
Hướng dẫn:
- M thuộc d suy ra M(t;-1-t). . Nếu 2 tiếp tuyến vng góc với
nhau thì MAIB là hình vng ( A,B là 2 tiếp điểm ). Do đó
AB=MI=
6 2=2 3
2
2
IA
=R
=
.
A

MI =

( 2−t)

2

+ ( 2 + t ) = 2t 2 + 8 = 2 3
2

- Ta có :

(

I(2;1)

)

t = − 2 → M 1 − 2; 2 − 1
2
2
2t + 8 = 12 ⇔ t = 2 ⇔ 
t = 2 → M
2; − 2 − 1
2


(

)

M
B
x+y+1=0

- Do đó :

.
* Chú ý : Ta còn cách khác
- Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0
(1) .
2k − kt − t − 2
⇒
= 6
1+ k 2
- Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì d(I;d')=R
⇔ ( 2 − t ) k − t − 2  = 6 ( 1 + k 2 ) ⇔ ( t 2 − 4t − 2 ) k 2 + 2 ( t + 2 ) ( 2 − t ) k + ( t 2 + 4t − 2 ) = 0
2

- Từ giả thiết ta có điều kiện :


t 2 − 4t − 2 ≠ 0

⇔ ∆ ' = ( 4 − t 2 ) − ( t 2 − 2 − 4t ) ( t 2 − 2 + 4t ) > 0
 2
 t + 4t − 2 = −1
 t 2 − 4t − 2

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 1


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

-

t ≠ 2 ± 6
1


 k1 + k2 = ±
2
2
⇔ ∆ ' = t ( 19 − t ) > 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ 
2 ⇒ k1; k2 ⇔ M
2
 k k = −1
 1 2
t = 2
x2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngồi với (C) tại A
−2 3; 0
Hướng dẫn: - (C) có I(
), R= 4 . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm :
2
2
⇒ ( C ') : ( x − a ) + ( y − b ) = 4
y
J(a;b)
A(0;2)
-Do (C) và (') tiếp xúc ngồi với nhau cho nên khoảng cách IJ
=R+R'
⇒

( a + 2 3)

2

+ b 2 = 4 + 2 = 6 ⇔ a 2 + 4 3a + b 2 = 28

( 0 − a)

2

2

+ ( 2 − b) = 4 ( 2)
2

x

- Vì A(0;2) là tiếp điểm cho nên :
 a + 2 3 2 + b 2 = 36
2
2

a + 4 3a + b = 24
⇔ 2

2
a 2 + ( 2 − b ) 2 = 4
a − 4b + b = 0
- Do đó ta có hệ :

(

)

(

3 ⇒ ( C ') : x − 3

)

2

+ ( y − 3) = 4
2

- Giải hệ tìm được : b=3 và a=
.
* Chú ý : Ta có cách giải khác .
- Gọi H là hình chiếu vng góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b
IA IO OA
4
2 3
2
=
=
⇔ =
=
IJ IH HJ
6 a+2 3 b

- Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra :
3
- Từ tỷ số trên ta tìm được : b=3 và a=
.
Bài 4. Trongmặtphẳngtoạđộ Oxy chođườngtròn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 vàđiểm M( 1; 8).Viếtphươngtrìnhđườngthẳng d qua M saocho d cắt (C) tạihaiđiểm A,B phânbiệtmàdiệntích tam giác ABI
đạtgiátrịlớnnhất.
Hướng dẫn:
Bài 5. Với I làtâmcủađườngtròn (C).Cho A(1 ; 4) vàhaiđườngthẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0.
Tìmđiểm B trênb ,điểm C trên c saocho tam giác ABC vngcântại A.
Hướng dẫn:
Bài 6

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 2


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

Bài 7

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0
cùng đi qua M(1; 0). Viết phương trình
(C ), (C ')
đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
Hướng dẫn: * Cách 1.
r
 x = 1 + at

u = ( a; b ) ⇒ d : 
 y = bt
- Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương
( C1 ) : I1 ( 1;1) , R1 = 1. ( C2 ) : I 2 ( −2;0 ) , R2 = 3
- Đường tròn
, suy ra :
2
2
2
2
( C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = 1, ( C2 ) : ( x + 2 ) + y = 9

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 3


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
t = 0 → M

2ab
2b 2 
⇒ ( a + b ) t − 2bt = 0 ⇔ 
⇒
A
1
+
;

2

2
2
2 ÷
t = 2 2b 2
 a +b a +b 
 a +b
2

( C1 )
- Nếu d cắt

tại A :

- Nếu d cắt

tại B :

2

t = 0 → M

6a 2
6ab 
⇒ ( a + b ) t + 6at = 0 ⇔ 
⇔
B
1
−
;− 2
6

a

÷
2
2
t = − 2
a + b2 
 a +b
2
a +b

2

( C2 )

2

2

2

⇔ MA2 = 4 MB 2 ( *)

- Theo giả thiết : MA=2MB
2
2
2
 6a 2 2  6ab  2 
 2ab   2b 
 2 2 ÷ +  2 2 ÷ = 4  2 2 ÷ +  2 2 ÷ 

 a +b   a +b 
 a + b   a + b  

- Ta có :
 b = −6 a → d : 6 x + y − 6 = 0
4b 2
36a 2
⇔ 2
=
4.
⇔ b 2 = 36a 2 ⇔ 
2
2
2
a +b
a +b
b = 6a → d : 6 x − y − 6 = 0
* Cách 2.
−

- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k=

1
2

. ( Học sinh tự làm )

( C1 ) : x2 + y 2 − 4 y − 5 = 0
Bài 9 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình

( C2 ) : x

2

và

( C1 )

2

+ y − 6 x + 8 y + 16 = 0.

( C2 ) .

Lập phương trình tiếp tuyến chung của
và
Hướng dẫn: : - Ta có :
2
2
2
( C1 ) : x 2 + ( y − 2 ) = 9 ⇒ I1 ( 0; 2 ) , R1 = 3, ( C2 ) : ( x − 3) + ( y + 4 ) = 9 ⇒ I 2 ( 3; −4 ) , R2 = 3

( C2 )

I1 I 2 = 9 + 4 = 13 < 3 + 3 = 6 ⇒ ( C1 )
- Nhận xét :

khơng cắt
a 2 + b2 ≠ 0

d ( I1 , d ) = R1 , d ( I 2 , d ) = R2

- Gọi d : ax+by+c =0 (
) là tiếp tuyến chung , thế thì :
 2b + c
= 3 ( 1)
 2
2b + c
3a − 4b + c
3a − 4b + c = 2b + c
 a + b2
⇔
⇒
=
⇔ 2b + c = 3a − 4b + c ⇔ 
a 2 + b2
a2 + b2
3a − 4b + c = −2b − c
 3a − 4b + c = 3 2
(
)
 a 2 + b2

 a = 2b
⇔
3a − 2b + 2c = 0

( 2b + c )

2

= 9 ( a 2 + b2 ) ⇔

. Mặt khác từ (1) :
- Trường hợp : a=2b thay vào (1) :

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 4


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

( 2b + c )

2

= 9 ( 4b 2 + b 2 )


2b − 3 5c
b =
4
⇔ 41b 2 − 4bc − c 2 = 0.∆ 'b = 4c 2 + 41c 2 = 45c 2 ⇔ 

2+3 5 c
b =

4

(

)

- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :
d1 :

d1 :

( 2 − 3 5 ) x + ( 2 − 3 5 ) y +1 = 0 ⇔ 2 2 − 3 5 x + 2 − 3 5 y + 4 = 0
(
) (
)
2
4
( 2 + 3 5 ) x + ( 2 + 3 5 ) y +1 = 0 ⇔ 2 2 + 3 5 x + 2 + 3 5 y + 4 = 0
(
) (
)
2
4
c=

- Trường hợp :
⇔ ( 2b − a )

2

2b − 3a
2

2b +

2b − 3a
2

a +b
2

, thay vào (1) :

2

= 3 ⇔ 2b − a = a 2 + b 2

a

b
=
0
→
c
=
−
b = 0, a = −2c

2
2
2
2

= a + b ⇔ 3b − 4ab = 0 ⇔ 
⇔
b = 4a , a = −6c
4
a
a
b =
→c=−
3


3
6

d3 : 2 x − 1 = 0 d 4 : 6 x + 8 y − 1 = 0
- Vậy có 2 đường thẳng :
,
Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
Hướng dẫn: - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15. (C') có J(1;2) và R'=5. Gọi d là tiếp tuyến chung có
a2 + b2 ≠ 0
phương trình : ax+by+c=0 (
).
5a − 12b + c
a + 2b + c
h( I,d ) =
= 15 ( 1) , h ( J , d ) =
= 5 ( 2)
a 2 + b2
a 2 + b2

- Khi đó ta có :
5a − 12b + c = 3a + 6b + 3c
5a − 12b + c = 3 a + 2b + c ⇔ 
5a − 12b + c = −3a − 6b − 3c
- Từ (1) và (2) suy ra :
 a − 9b = c
⇔
 −2a + 3 b = c
a + 2b + c = 5 a 2 + b 2

2
. Thay vào (1) :
ta có hai trường hợp :
2
2
( 2a − 7b ) = 25 a + b2 ⇔ 21a 2 + 28ab − 24b 2 = 0

(

)

- Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) :

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 5


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

Suy ra :


 14 − 10 7 
14 − 10 7
175 + 10 7
→ d : 
x+ y−
=0
a =
÷
÷
21
21
21




 a = 14 + 10 7 → d :  14 + 10 7  x + y − 175 − 10 7 = 0

÷
÷

21
21
21




- Trường hợp :
( Phù hợp vì :

3
2
c = −2a + b ⇒ ( 1) : ( 7b − 2a ) = 100 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 96a 2 + 28ab + 51b 2 = 0
2

IJ = 16 + 196 = 212 < R + R ' = 5 + 15 = 20 = 400

. Vơ nghiệm .

. Hai đường tròn cắt nhau ) .

Bài 11 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)
Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB
2
2
( x − 1) + ( y − 3) = 4 ⇒ I ( 1;3) , R = 2, PM /(C ) = 1 + 1 − 4 = −2 < 0 ⇒ M
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
nằm trong hình tròn (C) .
r
 x = 2 + at
u = ( a; b ) ⇒ d : 
 y = 4 + bt
- Gọi d là đường thẳng qua M(2;4) có véc tơ chỉ phương
2
2
( at + 1) + ( bt + 1) = 4 ⇔ a 2 + b 2 t 2 + 2 ( a + b ) t − 2 = 0 ( 1)

(

)

- Nếu d cắt (C) tại A,B thì :
2
∆ ' = ( a + b ) + 2 ( a 2 + b 2 ) = 3a 2 + 2ab + 3b 2 > 0 ( *)

( có 2 nghiệm t ) .

Vì vậy điều kiện :
A ( 2 + at1 ; 4 + bt1 ) , B ( 2 + at2 ; 4 + bt2 ) ⇒
- Gọi
M là trung điểm AB thì ta có hệ :
4 + a ( t1 + t2 ) = 4
a ( t1 + t2 ) = 0
⇔
⇔
⇔ t1 + t2 = 0
8 + b ( t1 + t2 ) = 8
b ( t1 + t2 ) = 0
. Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :
2 ( a + b)
x−2 y−4
⇔ t1 + t2 = − 2
= 0 ⇔ a + b = 0 ⇔ a = −b ⇒ d :
=
⇔ d : x+ y−6 = 0
2

a +b
−1
1
Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
2
2
( x − 1) + ( y − m ) = 25 ⇒ I (1; m), R = 5
Hướng dẫn: - (C) :
.
m

y = − 4 x

 2
2
 m + 16 ÷x 2 − 2  4 + m ÷x + m 2 − 24 = 0 ( 1)
 16 
 4 
- Nếu d : mx +4y=0 cắt (C) tại 2 điểm A,B thì
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 6


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
∆ ' = m + 25 > 0 ⇔ m ∈ R
2

- Điều kiện :

⇒ AB =

( x2 − x1 ) +
2

m
2
( x2 − x1 ) = x2 − x1
16
m + 4m
m + 16
2

- Khoảng cách từ I đến d =

- Từ giả thiết :

⇔ 5m

. Khi đó gọi

2

=

m  
m 


A  x1 ; − x1 ÷, B  x2 ; − x2 ÷
4  
4 


m 2 + 16
m 2 + 25
=8
4
m 2 + 16

5m
m 2 + 16

5m
1
1
m 2 + 25
m 2 + 25
S = AB.d = .8
.
= 4 5m
= 12
2
2
m 2 + 16
m 2 + 16 m 2 + 16

2
m 2 + 25

= 3 ⇔ 25m 2 ( m 2 + 25 ) = 9 ( m 2 + 16 )
2
m + 16

- Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp .
Bài 13 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm AB suy ra M(3;3 ) . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình : 1.(x-3)-2(y3)=0 , hay : x-2y+3=0 .
- Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên I(2t-3;t) (*)
3 ( 2t − 3 ) − t + 9
5t
10
h( I,d ) = R ⇔
=
=
t =R
2
10
10
- Nếu (C) tiếp xúc với d thì
. (1)

( 5 − 2t )

2

+( 5−t)

2

- Mặt khác : R=IA=

( 5 − 2t )

2

+( 5−t)

- Thay (2) vào (1) :
t = 6 − 34
⇔ t 2 − 12t + 2 = 0 ⇒ 
t = 6 + 34

2

. (2) .
10
=
t ⇔ 4 ( 5t 2 − 30t + 50 ) = 10t 2
2

. Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R

của (C) .
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
* Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) :
( có 3 ẩn a,b,c)
- Cho qua A,B ta tạo ra 2 phương trình . Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d :
khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R .

Bài 14 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C')
A
AB = 3
ắt (C) tại các điểm A, B sao cho
.
H
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
I

M

B

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 7


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) = 3 ⇒ I ( 1; −2 ) , R = 3
2

.
- Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C') tâm M

3 = IA = R
có bán kính R' = MA . Nếu AB=
, thì tam giác
3. 3 3
=
2
2
IAB là tam giác đều , cho nên IH=
( đường cao
3 7
5− =
2 2
tam giác đều ) . Mặt khác : IM=5 suy ra HM=
.
2
AB
49 3
MA2 = IH 2 +
=
+ = 13 = R '2
4
4 4
- Trong tam giác vng HAM ta có
2
2
( x − 5) + ( y − 1) = 13
- Vậy (C') :
.
Bài 15 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh (x-1)2
+ (y+2)2 = 9 vµ ®êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ĩ trªn ®êng th¼ng d cã

x+y+m=0
B
A
I(1;-2)
C

duy nhÊt mét ®iĨm A mµ tõ ®ã kỴ ®ỵc hai tiÕp tun AB, AC tíi ®êng trßn (C) (B, C
lµ hai tiÕp ®iĨm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
Hướng dẫn:
- (C) có I(1;-2) và bán kính R=3 . Nếu tam giác ABC vng góc tại A ( có nghĩa là từ A kẻ được 2 tiếp
tuyến
tới (C) và 2 tiếp tuyến vng góc với nhau ) khi đó
ABIC là hình vng . Theo tính chất hình vng ta có
2
IA= IB
(1) .
- Nếu A nằm trên d thì A( t;-m-t ) suy ra :

IA =

( t − 1)

2

+ ( t − 2 + m)

2

. Thay vào (1) :

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 8


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

⇒

( t − 1)

2

+ ( t − 2 + m) = 3 2
2

⇔ 2t 2 − 2 ( m − 1) t + m 2 − 4m − 13 = 0
(2). Để trên d có
đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều
2
∆ = − ( m 2 + 10m + 25 ) = 0 ⇔ − ( m + 5 ) = 0 ⇒ m = −5
kiện :

m − 1 −5 − 1
t1 = t2 = t0 =
=
= −3 ⇒ A ( −3;8 )
2
2

.Khi đó (2) có nghiệm kép là :

Bài 16 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
 4 x − 3 y − 12 = 0
d1 , d 2 ⇒ A : 
⇔ A ( 3;0 ) ∈ Ox
 4 x + 3 y − 12 = 0
Hướng dẫn: - Gọi A là giao của
d1
- Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của
với Oy : cho x=0 suy ra y=-4 , B(0;-4) và C là giao của
d2
với Oy : C(0;4 ) . Chứng tỏ B,C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên Ox vì vậy tam giác ABC
là tam giác cân đỉnh A . Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra I(a;0).
IA AC 5
IA + IO 5 + 4
OA 9
=
= ⇒
=
⇔
=
IO AO 4
IO
4
IO 4
- Theo tính chất phân giác trong :
4OA 4.3 4
4

⇒ IO =
=
=
;0
9
9
3
3
. Có nghĩa là I(
)
1
1
15 1 ( AB + BC + CA ) 1 ( 5 + 8 + 5 )
18 6
S = BC.OA = .5.3 = =
=
⇒r= =
2
2
2 2
r
2
r
15 5
- Tính r bằng cách :
.
2
2
2
2

( C1 ) : x + y = 13 ( C2 ) : ( x − 6 ) + y = 25
Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn :
và
cắt
( C1 ) , ( C2 )
nhau tại A(2;3).Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt
theo hai dây cung có độ dài bằng
nhau
Hướng dẫn:
( C1 ) : I = ( 0;0) , R = 13. ( C2 ) ; J ( 6;0 ) , R ' = 5
- Từ giả thiết :
r
 x = 2 + at
u = ( a; b ) ⇒ d : 
 y = 3 + bt
- Gọi đường thẳng d qua A(2;3) có véc tơ chỉ phương
 x = 2 + at
2a + 3b

⇔  y = 3 + bt ⇔ ( a 2 + b 2 ) t 2 + 2 ( 2a + 3b ) t  = 0 → t = − 2
a + b2

2
2
( C1 )
 x + y = 13
- d cắt
tại A, B :
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 9


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

 b ( 2b − 3a ) a ( 3a − 2b ) 
⇔ B
;
÷
2
2
a
+
b
a 2 + b2 
( C2 )

. Tương tự d cắt
tại A,C thì tọa độ của A,C là nghiệm của hệ :
 x = 2 + at

2 ( 4a − 3b )
 10a 2 − 6ab + 2b 2 3a 2 + 8ab − 3b 2 
⇔  y = 3 + bt
→t =
⇔
C
;

÷

2
2
2
2
a
+
b
a
+
b
a 2 + b2



2
2
( x − 6 ) + y = 25
- Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A,C . Từ đó ta có phương trình :

x = 2
a = 0 →; d : 
2

2
2
( 2b − 3ab ) + 10a − 6ab + 2b = 4 ⇔ 6a 2 − 9ab = 0 ⇔ 
y = 3+ t
⇔

r 3

a2 + b2
a 2 + b2
3
 ur
 a = b → u =  b; b ÷// u ' = ( 3; 2 )
2
2


 x = 2 + 3t
→ d :
 y = 3 + 2t

Suy ra :
. Vậy có 2 đường thẳng : d: x-2=0 và d': 2x-3y+5=0
Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(-1;0) và đường tròn
( C ): x2 + y2 – 8x – 4y – 16 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt ( C ) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
2
2
( C ) : ( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 36 ⇒ I ( 4; 2 ) , R = 6
Hướng dẫn: - Nhận xét : P/(M,C)=1+8-16=-7<0 suy ra E nằm trong (C)
r
 x = −1 + at
u = ( a; b ) ⇒ d : 
 y = bt
- Gọi d là đường thẳng qua E(-1;0) có véc tơ chỉ phương
- Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M,N có tọa độ là nghiệm của hệ :
 x = −1 + at


⇔  y = bt
→ ( a 2 + b 2 ) t 2 − 2 ( 5a + 2b ) t − 7 = 0

2
2
( x − 4 ) + ( y − 2 ) = 36
. (1)
- Gọi M(-1+at;bt),N( -1+at';bt') với t và t' là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung MN

= a 2 ( t − t ') + b 2 ( t − t ') = t − t ' a 2 + b 2 =
2

2

2 ∆'
2 18a 2 + 20ab + 11b 2
2
2
a
+
b
=
a 2 + b2
a 2 + b2

2

b
b
18 + 20  ÷+ 11 ÷

18 + 20t + 11t 2 
b
a
a


⇔2
⇔2
t = ÷
2
2
1+ t
a

b
18 + 20t + 11t 2
1+  ÷
a
1+ t2
. Xét hàm số f(t)=
- Tính đạo hàm f'(t) cho bằng 0 , lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t , từ đó suy ra t ( tức là suy ra tỷ số
a/b ) ). Tuy nhiên cách này dài
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 10


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
* Chú ý : Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung
càng lớn

- Gọi H là hình chiếu vng góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vng HIE ( I là
IH 2 = IE 2 − HE 2 ≤ IE 2 ⇒ IH ≤ IE
đỉnh ) ta ln có :
. Do đó IH lớn nhất khi HE=0 có nghĩa là H trùng với
E . Khi đó d cắt (C) theor dây
cung
nhỏ
nhất
.
Lúc
này
d là đường thẳng qua E và vng góc với IE cho nên
uur
n = IE = ( 5; 2 )
d có véc tơ pháp tuyến
, do vậy d: 5(x+1)+2y=0 hay : 5x+2y+5=0 .
Bài 19 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y – 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng d: 3x – 22y – 6 = 0, sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các
tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua điểm C (0;1).
2
2
( x − 3) + ( y + 1) = 25
Hướng dẫn: - (C) :
, có I(3;-1)
và R=5 .
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
A
- Gọi
là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến
I(3;-1)

kẻ từ M .
H
( x0 ; y0 ) ∈ d ⇒ 3x0 − 22 y0 − 6 = 0 (*)
- Gọi M
M
- Hai tiếp tuyến của (C) tại A,B có phương trình là :
3x-22y-6=0
B
( x1 − 3) ( x − 3) + ( y1 + 1) ( y + 1) = 25 ( 1)
C(0;1)
và :
( x2 − 3) ( x − 3) + ( y2 + 1) ( y + 1) = 25 ( 2 )
- Để 2 tiếp tuyến trở thành 2 tiếp tuyến kẻ từ M thì 2
tiếp tuyến phải đi qua M ;
( x1 − 3) ( x0 − 3) + ( y1 + 1) ( y0 + 1) = 25 ( 3)
và
( x2 − 3) ( x0 − 3) + ( y2 + 1) ( y0 + 1) = 25 ( 4 )
( x0 − 3) ( x − 3) + ( y0 + 1) ( y + 1) = 25 ( 5)
Từ (3) và (4) chứng tỏ (AB) có phương trình là :
- Theo giả thiết thì (AB) qua C(0;1) suy ra :
−3 ( x0 − 3) + 2 ( y0 + 1) = 25 ⇔ −3x0 + 2 y0 − 14 = 0(6)
 y0 = −1
3x0 − 22 y0 − 6 = 0

 16

⇒

16 ⇔ M  − ; −1÷
 3


−3 x0 + 2 y0 − 14 = 0  x0 = −
3


- Kết hợp với (*) ta có hệ :
Bài 20 Trong mp Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và điểm P(1;3).
a.Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm.
b.Tính diện tích tam giác PEF.

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 11


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
Hướng dẫn: - (C):
2
2
( x − 3) + ( y + 1) = 4 ⇒ I ( 3; −1) , R = 2

P(1;3)

y

-rGiả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến
n ( a; b ) ⇒ d : a ( x − 1) + b ( y − 3) = 0
Hay : ax+by-(a+3b)=0 (*).
- Để d là tiếp tuyến của (C) thì khoảng cách từ
tâm I đến d bằng bán kính :

3a − b − a − 3b
2a − 4b
⇔
=2⇔
=2
a 2 + b2
a 2 + b2

F
H

O

x
E

I(3;-1)

⇔ ( a − 2b ) = a 2 + b 2 ⇔ 4ab − 3b2 = 0
2

b = 0 → a ( x − 1) = 0 ↔ x − 1 = 0
⇔ b ( 4a − 3b ) = 0 ⇒ 
b = 4 a → a ( x − 1) + 4 a ( y − 3) = 0 ↔ 3x + 4 y − 6 = 0

3
3
5

PI 2 − R 2 = 20 − 4 = 4

-Ta có : PI=2
, PE=PF=
.
Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy ra :
IF EP IP 2 5
IF
2
EP
4
=
=
=
= 5 ⇒ IH =
=
, EH =
=
IH EH IE
2
5
5
5
5
⇒ PH = PI − IH = 2 5 −

2
8
1
1 8 8 32
=

⇔ S EPF = EF.PH=
=
2
2 5 5 5
5
5

Bài 21 Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng d1: 2x + y − 1 = 0, d2: 2x − y + 2 = 0. Viết pt đường tròn (C) có
tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2.
h ( I , d1 ) = h ( I , d 2 )

h ( I , d1 ) = R
Hướng dẫn: - Gọi I(a;0) thuộc Ox . Nếu (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng thì :
 2 a − 1 2a + 2
=
( 1)

5
 5
⇔
2
5
1
5
 R = 2a − 1 2

1
(
)
⇔

C
:
x
−
+ y2 =
( ) 
÷

5
10
4
100

4
. Từ (1) : a= , thay vào (2) : R=
Bài 22 Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0. Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C) qua đường
thẳng ∆: x − 2 = 0

( x − 1)
Hướng dẫn:

2

+ ( y − 2 ) = 2 ↔ I ( 1; 2 ) , R = 2
2

Ta có (C):

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 12


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
- Gọi J là tâm của (C') thì I và J đối xứng nhau qua d : x=2 suy ra J(3;2) và (C) có cùng bán kính R . Vậy
2
2
( x − 3) + ( y − 2 ) = 2
(C'):
đối xứng với (C) qua d .
Bài 23 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y − 3 = 0 và 2 điểm A(1; 1), B(−3; 4).
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1.
Hướng dẫn: - M thuộc d suy ra M(t;3-t) . Đường thẳng (AB) qua A(1;1) và có véc tơ chỉ phương
r
x −1 y −1
u = ( 4; −3) ⇒ ( AB ) :
=
⇔ 3x + 4 y − 4 = 0
4
−3

3t + 4 ( 3 − t ) − 4
5

= 1 ⇔ −t + 8 = 5

- Theo đầu bài :
t = 3 → M ( 3;0 )
⇔
t = 13 → M ( 13; −10 )

* Chú ý :
Đường thẳng d' song song với (AB) có dạng : 3x+4y+m=0 . Nếu d' cách (AB) một khoảng bằng 1 thì
3+ 4+ m
⇔
=1
5
h(A,d')=1
 m = −2 → d ' : 3 x + 4 y − 2 = 0
⇒
 m = −12 → d ' : 3 x + 4 y − 12 = 0
. Tìm giao của d' với d ta tìm được M .
Bài 24 Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn (C): x2+y2 -8x+12=0 và điểm E(4;1). Tìm toạ độ điểm M trên
trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho E thuộc
đường thẳng AB
Hướng dẫn: - Đường tròn (C) :
2
y
( x − 4 ) + y 2 = 4 ⇒ I ( 2;0 ) , R = 2

A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ∈ ( C )
- Gọi M(0;a) thuộc Oy .
- Tiếp tuyến tại A và B có phương trình là :
( x1 − 4 ) ( x − 4 ) + y1 y = 4 , ( x2 − 4 ) ( x − 4 ) + y2 y = 4
- Để thỏa mãn 2 tiếp tuyến này cùng qua M(0;a)
⇔ ( x1 − 4 ) ( 0 − 4 ) + y1a = 4 , ( x2 − 4 ) ( 0 − 4 ) + y1a = 4

M
B
1

E(4;1)

O

A

I(4;0)

x

d'

.
Chứng tỏ (AB) có phương trình : -4(x-4)+ay=4
- Nếu (AB) qua E(4;1) : -4(0)+a.1=4 suy ra : a=4
Vậy trên Oy có M(0;4 ) thỏa mãn .
Bài 25 Viết phương trình đường tròn (C ) có bán kính R = 2 tiếp xúc với trục
hoành và có tâm I nằm trên đường thẳng (d) : x + y – 3 = 0.

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 13


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
Hướng dẫn:

- Tâm I nằm trên d suy ra I(t;3-t) . Nếu (C) tiếp xúc với Ox thì khoảng cách từ I đến Ox
t = 5 → I1 = ( 5; −2 )

 3 − t = −2
3−t = 2 ⇔ 
⇔
3 − t = 2
t = 1 → I 2 = ( 1; 2 )
bằng bán kính R=2 :
2
2
2
2
( C1 ) : ( x − 5) + ( y + 2 ) = 4 , ( C2 ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4
- Như vậy có 2 đường tròn :
.
Bài 26 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình :
x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2 ; 4) cắt đường tròn (C) tại 2
điểm A, B sao cho M là trung điểm đoạn AB.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến ấy song song với
đường thẳng có phương trình : 2x + 2y – 7 = 0.
c. Chứng tỏ đường tròn (C) và đường tròn (C ’) : x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0
tiếp xúc nhau. Viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại tiếp điểm
2
2
( x − 1) + ( y − 3) = 4 ⇒ I ( 1;3) , R = 2
Hướng dẫn: - (C) :
.
2
2
( x − 1) + ( y − 3) = 4
a. Gọi A(x;y) thuộc (C) suy ra

(1) , B đối xứng với A qua M suy ra B(4-x;8-y) . Để
2
2
( 3 − x) + ( 5 − y) = 4
đảm bảo u cầu bài tốn thì B thuộc (C) :
(2).
2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 3) = 4
 x + y − 2 x − 6 y + 6 = 0 ( 3 )
⇔

 2
2
2
2
 x + y − 6 x − 10 y + 30 = 0 ( 4 )
( 3 − x ) + ( 5 − y ) = 4
- Từ (1) và (2) ta có hệ :
- Lấy (3) -(4) ta có phương trình : 4x+4y-24=0 , hay : x+y-6=0 . Đó chính là đường thẳng cần tìm .
b. Gọi d' là đường thẳng // với d nên nó có dạng : 2x+2y+m=0 (*) . Để d' là tiếp tuyến của (C) thì :
m = 4 2 − 8
2+6+m
⇒ h ( I , d ') =
= 2 ⇔ m +8 = 4 2 ⇒ 
8
 m = −4 2 − 8

( x − 2)

2

+ ( y − 3 ) = 9 ⇒ I ' ( 2;3 ) , R ' = 3
2

c. (C'):
- Ta có : II'=1 , R'-R=1 . Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau .
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 4
 x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + 6 = 0
⇔
⇒ 2 x + 2 = 0 ⇔ x = −1

 2
2
2
2
x
+
y
−
4
x
−
6
y
+
4
=

0

x
−
2
+
y
−
3
=
9
) (
)

(
- Tìm tọa độ tiếp điểm :
.
2
2
y − 6 y + 9 = 0 ⇔ ( y − 3) = 0 → y = 3 ⇔ M ( 1;3)
Thay vào phương trình đầu của hệ :
.
- Tiếp tuyến chung qua M và vng góc với IJ suy ra d': 1(x-1)=0 hay : x-1=0 .
Bài 27 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình : 4x2 + 9y2 = 36.
a. . Cho 2 đường thẳng (D) : ax – by = 0 và (D’) : bx + ay = 0 (a2 + b2 > 0). Tìm
giao điểm E, F của (D) với (E) và giao điểm P, Q của (D’) với (E). Tính diện
tích tứ giác EPFQ theo a, b.

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 14


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
b. Chứng minh rằng MPFQ ln ngoại tiếp một đường tròn cố định ? Viết phương trình
đường tròn cố định đó.
c. Cho điểm M(1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (E) tại
hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Hướng dẫn: a. Hai đường thẳng (D) và (D') vng góc nhau .
  by 2
4
+ 9 y 2 = 36
4 x 2 + 9 y 2 = 36   a ÷

⇒

ax-by=0

 x = by

a
- (D) giao với (E) tại E,F có tọa độ là nghiệm của hệ :

 

6b
6a
−6b
−6 a
⇒ E

;
,F
;
÷
÷
2
2
9a 2 + 4b 2   9a 2 + 4b 2 9a 2 + 4b 2 
 9a + 4b
  by  2
4 −
+ 9 y 2 = 36
 4 x 2 + 9 y 2 = 36   a ÷

⇒

ax+by=0
 x = − by

a

- Tương tự (D') cắt (E) tại P,Q với tọa độ là nghiệm:

 

−6b
6a
6b
−6a
⇒ P

;
,Q
;
÷
÷
2
2
9a 2 + 4b 2   9a 2 + 4b 2 9a 2 + 4b 2 
 9a + 4b

- Tính diện tích tam giác EPFQ ;
Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho họ đường thẳng phụ thuộc tham
số α :
(x – 1)cosα + (y – 1)sinα – 1 = 0
a. Tìm tập hợp cácđiểm của mặt phẳng không thuộc bất kỳ đường
thẳng nào của họ.
b. Chứng minh mọi đường thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường
tròn cố đònh.
I ( x0 ; y0 )
Hướng dẫn: b. Gọi
là điểm cố định . Khoảng cách từ I đến d có giá trị là :
( x0 − 1) cosα + ( y0 -1) sin α − 1 −1
 x0 − 1 = 0
 x0 = 1
⇔
=
=1⇔ 
⇔
⇒ I ( 1;1)
y

−
1
=
0
y
=
1
1
sin 2 α + cos 2α
 0
 0
- Với kết quả trên chứng tỏ d ln tiếp xúc với đường tròn (C) có tâm I và bán kính bằng 1 ( Khơng phụ
2
2
( x − 1) + ( y − 1) = 1
α
thuộc vào . (C):
Bài 29 Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) và đường thẳng d : x-2y-1=0.
a. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB=6( ĐHKB-04)
b. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ?( ĐHKA-2004)
Hướng dẫn:
r uuu
r
x −1 y −1
u = AB = ( 3; −4 ) ⇒ ( AB ) :
=
⇔ 4x + 3y − 7 = 0
3
−4
a/ (AB) qua A(1;1) có

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 15


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

6=
- C thuộc : x-2y-1=0 suy ra C(2t+1;t ) do đó :
t = 3 → C1 ( 7;3 )

⇔
27
 43 27 
t=−
→ C2  − ; − ÷

11
 11 11 

4 ( 2t + 1) + 3t − 7
5

⇔ 11t − 3 = 30

b/ - Đường thẳng qua O vng góc với AB có phương trình : 3x-4y=0.
- Đường thẳng qua B và vng góc với OA có phương trình : (x-4)+(y+3)=0.
- Đường thẳng qua A và vng góc với OB có phương trình : 4(x-1)-3(y-1)=0
hay : 4x-3y-1=0
- Vậy tọa độ trực tâm H là nghiệm :

4

3x − 4 ( 1 − x ) = 0
3 x − 4 y = 0
x=




4 3
7
⇔ x + y −1 = 0 ⇔  y = 1− x
⇔
⇒H ; ÷
7 7
4 x − 3 y − 1 = 0
4 x − 3 y − 1 = 0
y = 3



7
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
- Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác (C):
- (C) qua O(0;0) suy ra c=0 (1)
- (C) qua A(1;1) suy ra : 2-2a-2b=0 , hay : a+b=1 (2)
- (C) qua B(4;-3) suy ra : 25-8a+6b=0 , hay : 8a-6b=25 (3)
31
17



b = 1−
b=−


a + b = 1
b = 1 − a

14 ⇔ 
14
⇔
⇔


8a − 6b = 25 8a − 6(1 − a ) = 25
 a = 31
 a = 31

14

14

- Từ (2) và (3) ta có hệ :
31
17
x2 + y2 − x + y = 0
7
4
- Vậy (C) :

( C1 ) : x2 + y 2 = 9

Bài 30 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-1) và đường tròn
(1) .Hãy viết phương
( C2 ) :
( C1 )
trình đường tròn
có bán kính bằng 4 và cắt đường tròn
theo dây cung qua M có độ dài nhỏ
nhất .
( C2 ) :
Hướng dẫn: Gọi
có tâm I'(a;b) suy ra :
2
2
( C2 ) : ( x − a ) + ( y − b ) = 16 ⇔ x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b2 − 16 = 0 ( 1)
2ax + 2by − ( a 2 + b 2 ) + 7 = 0

Lấy (1) -(2) ta được :
( chính là đường thẳng trục đẳng phương )
Dây cung của hai đường tròn nằm trên đường thẳng này .
2
2
4a − 2b − ( a 2 + b 2 ) + 7 = 0 ⇔ ( a − 2 ) + ( b + 1) = 12
Ví dây cung qua M(2;-1) lên ta có :
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 16

Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
∆ x + 3 y + 8 = 0 ∆ ' :3 x − 4 y + 10 = 0
Bài 31 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng :
,
và
∆
điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với
∆
đường thẳng ’.
∆
Hướng dẫn: Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t)
3(−3t − 8) − 4t + 10
= (−3t − 8 + 2) 2 + (t − 1) 2
2
2
3 +4
∆
Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có
Giải tiếp được t = -3
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 32 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn :
(C ) : x 2 + y 2 – 2 x – 2 y + 1 = 0, (C ') : x 2 + y 2 + 4 x – 5 = 0
cùng đi qua M(1; 0).
(C ), (C ')
Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
R = 1, R ' = 3
Hướng dẫn: + Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và
, đường
2

2
a ( x − 1) + b( y − 0) = 0 ⇔ ax + by − a = 0, (a + b ≠ 0)(*)
thẳng (d) qua M có phương trình
.
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
2
2
MA = 2 MB ⇔ IA2 − IH 2 = 2 I ' A2 − I ' H '2 ⇔ 1 − ( d ( I ;d ) ) = 4[9 − ( d ( I ';d ) ) ]
Khi đó ta có:
,
IA > IH .

⇔ 4 ( d ( I ';d ) ) − ( d ( I ;d ) ) = 35 ⇔ 4.
2

Dễ thấy

b≠0

2

9a 2
b2
36a 2 − b 2
−
=
35
⇔
= 35 ⇔ a 2 = 36b 2
2

2
2
2
2
2
a +b a +b
a +b

 a = −6
b =1⇒ 
 a=6

nên chọn
.
IA > IH
Kiểm tra điều kiện
rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả m ãn.
Bài 33 . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Hướng dẫn:
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
| m + 4m |
| 5m |
I
d ( I , ∆) =
=
2

2
5
m + 16
m + 16
IH =
H
B
A

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 17


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

AH = IA2 − IH 2 = 25 −

(5m )2
=
m 2 + 16

20
m 2 + 16

S∆IAB = 12 ⇔ 2S∆IAH = 12
Diện tích tam giác IAB là

 m = ±3
d ( I , ∆ ). AH = 12 ⇔ 25 | m |= 3( m + 16) ⇔ 

16
m = ±
3

2

⇔
Bài 34 . Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0.

AB = 3
Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
.
Hướng dẫn:
R= 3
Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2)
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB. Ta
AH = BH =

AB
3
=
2
2

có
. Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB, Gọi H' là trung điểm của A'B'
2

 3

3
IH' = IH = IA − AH = 3− 
=
÷
÷ 2 MI = ( 5− 1) 2 + ( 1+ 2) 2 = 5
 2 
Ta có:
,
2
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5) + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
3
x2 + y 2 =
( P ) : y2 = x
2
Bài 35 Trong (Oxy) cho đường tròn (C):
và
. Tìm trên (P) các điểm M mà từ đó
600
kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc
( x0 ; y0 ) ∈ ( P ) ⇒ y02 = x0
Hướng dẫn: Gọi M
. d là đường thẳng tiếp tuyến của (P) tại M thì d có phương
1
y0 y = ( x + x0 ) ⇔ x − 2 y0 y + x0 = 0
2
trình :
. Để d là tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì điều kiện cần và đủ là :
x2 + y 2 + 2 x − 6 y + 9 = 0
Bài 36 Trong (Oxy) cho đ. thẳng d: 3x-y+5=0 và đường tròn (C):
. Tìm điểm M

thuộc (C) và điểm N thuộc d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất ?
2
2
( x + 1) + ( y − 3) = 1 ⇒ I ( −1;3) , R = 1
Hướng dẫn: (C) :
- Gọi d' //d thì d': 3x-y+m=0 . d' tiếp xúc với (C) tại M ( M là điểm cách d nhỏ nhất ) , khi đó :
 m = 6 + 10 → d ' : 3x − y + 6 + 10 = 0
−3 − 3 + m
h ( I ; d ') = R ⇔
= 1 ⇔ m − 6 = 10 ⇒ 
10
 m = 6 − 10 → d ' : 3 x − y + 6 − 10 = 0
2

2

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 18


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
M2N ' ≥ M2N

d'

Giả sử N' thuộc d ta ln có :

. Dấu bằng chỉ
xảy ra khi N'

∆
1
trùng với N . Vậy ta chỉ cần lập đường thẳng qua I(-1;3) và
vng góc
 x = −1 + 3t
I(-1;3)
∆:
y
=
3
−
t

∆
d'
với d suy ra đường thẳng
. Khi đó cắt d' tại
2 điểm :
1
3 ( −1 + 3t ) − ( 3 − t ) + 6 + 10 = 0 → t =
2
N'
10
N
d:3x-y+5=0
.
1
3 ( −1 + 3t ) − ( 3 − t ) + 6 − 10 = 0 → t = −
10
Và

.
1 
3
1 
 3

M1 
− 1;3 −
M 2  −1 −
;3 +
÷
÷
10 
10
10 
 10

∆
Do vậy ta tìm được 2 điểm M :
, và
. Tương tự cắt d tại
N có tọa độ là nghiệm :
 x = −1 + 3t
1

 7 29 
⇒ t = ⇔ N − ; ÷
y = 3−t
10
 10 10 

3 x − y + 5 = 0
M1 N , M 2 N

. Ta chọn M bằng cách tính
, sau đó so sánh : Nếu
M1 N > M 2 N
M2
M1N < M 2 N
M1
thì M là
. Còn
thì M là
.
1 7
2
2
M ; ÷
( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 1
5 5
Bài 37 Trong (Oxy) cho
và điểm
. Tìm trên (C) điểm N sao cho MN
có độ dài lớn nhất ?
 x = −1 + sin t
⇒ N ∈ ( C ) ⇒ N ( −1 + sin t ;3 + cost )

 y = 3 + cost
Hướng dẫn: (C) viết dưới dạng tham số :
2

2

12
16
 6
  8

MN =  − + sin t ÷ +  − + cost ÷ = sin 2 t + cos 2t − sin t − cost+4
5
5
 5
  5


Khi đó :

= −

2

12
16
16
 12

sin t − cost+5 = 5 − 4  sin t + cost ÷( *)
5
5
20
 20


. Vì :

12 3
16 4
⇒ cosϕ =
= ;sin ϕ =
=
20 5
20 5

5 − 4sin ( t + ϕ ) ≤ 5 − 4 = 1
thì (*) trở thành :

sin ( t + ϕ ) = 1 ⇔ t = −ϕ +

Dấu đẳng thức xảy ra khi :

2

 12   16 
 ÷ + ÷ =1
 20   20 

π
+ k 2π
2

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 19

,


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

Do vậy :

3
3
2
π

sin t = sin  − ϕ ÷ = cosϕ = ⇔ x = −1 + sin t = −1 + = −
5
5
5
2


Tương tự :

4
4 19
π

 2 19 
cost=cos  − ϕ ÷ = sin ϕ = ⇒ y = 3 + cost=3+ = ⇒ N  − ; ÷
5

5 5
2

 5 5

(

) (

A 2 3; 2 , B 2 3; −2
Bài 38 Trong (Oxy) cho hai điểm
a/ Chứng tỏ tam giác OAB là tam giác đều

)

MO 2 + MA2 + MB 2 = 32

b/ Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho :
c/ Chứng tỏ (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

( 2 3)

OA =

2

là một đường tròn (C).

+ 2 2 = 4, OB = 4, AB = 4

Hướng dẫn: a/ Ta có :
. Chứng tỏ OAB là tam giác đều .
b/ Gọi M(x;y) thì đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức :
MO 2 = x 2 + y 2 , MA2 = x 2 + y 2 − 4 3x − 4 y + 16, MB 2 = x 2 + y 2 − 4 3x + 4 y + 16
Ta có :
8 3
⇒ MO 2 + MA2 + MB 2 = 32 ⇔ 3x 2 + 3 y 2 − 8 3 x + 32 = 32 ⇔ x 2 + y 2 −
x=0
3
2

2


4 3
4 3
2
⇔  x −
+
y
=
÷

÷
÷
3 ÷


 3 

4 3 
4 3
I 
;0÷
,R =
÷
3
 3


. Chứng tỏ là đường tròn (C) có tâm
c/ Thay tọa độ O,A,B vào (1) ta thấy thỏa mãn , chứng tỏ (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
(C ) : x 2 + y2 = 1
(d) : x + y + m = 0
Bài 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
, đường thẳng
.
(C )
(d )
m
Tìm
để
cắt
tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.
⇔ d(O ;d) < 1
Hướng dẫn: *(C) có tâm O(0;0) , bán kính R=1 *(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
1
1
1
SOAB = OAOB

.
.sin AOB = .sin AOB ≤
2
2
2
*Ta có
Từ đó diện tích tam giác AOB lớn nhất khi và chỉ
1
⇔ d(I ;d) =
0
2 ⇔ m = ±1
AOB = 90
khi
x2 + y 2 + 4 3x − 4 = 0
Bài 40 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
.
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngồi với (C) tại A.

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 20


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

 x = 2 3t


3
 y = 2t + 2 I ' ∈ IA

Hướng dẫn: A(0;2), I(-2
;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’ Pt đường thẳng IA :
,
=> I’(
uur
uuur
1
2
2
AI = 2 I ' A ⇔ t = => I '( 3;3)
x − 3 + ( y − 3) = 4
2 3t ; 2t + 2
2
),
(C’):
2
2
Bài 41 Cho đường tròn (C): x + y – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm
của AB.
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1.
∈ (C )
IM ⊥ AB =>
Hướng dẫn: a. (C) : I(1; 3), R= 2, A, B
, M là trung
điểm
AB
=>
Đường thẳng d cần
uuur

IM
tìm là đg thẳng AB; d đi qua M có vectơ pháp tuyến là
=> d: x + y - 6 =0
⇔ d ( I ; d ') = R = 2
b. Đg thẳng tiếp tuyến có dạng : y = - x + m  x + y – m =0 (d’)d’ tiếp xúc với (C)
m = 4 + 2 2
 x + y − (4 + 2 2) = 0
⇔

 m = 4 − 2 2
 x + y − (4 − 2 2) = 0
Pt tiếp tuyến :
Bài 42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I
và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0. Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B
thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Hướng dẫn: Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Ta có IH là đường cao của tam giác IAB.
| m + 4m |
| 5m |
I
d ( I , ∆) =
=
2
m + 16
m 2 + 16
5
IH =

(

(5m ) 2
AH = IA − IH = 25 − 2
=
m + 16
2

2

20

)

A

H

B

m 2 + 16

S∆IAB = 12 ⇔ 2S∆IAH = 12
Diện tích tam giác IAB là

 m = ±3
d ( I , ∆ ). AH = 12 ⇔ 25 | m |= 3( m + 16) ⇔ 
16
m = ±
3


2

⇔
Bài 43 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có
phương trình 3x – y + 9 = 0.
Hướng dẫn: Gọi

I ( a; b )

là tâm đường tròn ta có hệ

( 2 − a ) 2 + ( 5 − b ) 2 = ( 4 − a ) 2 + ( 1 − b ) 2 (1)
 IA = IB

2
⇔

2
2
( 3a − b + 9 )
IA
=
d
I
;
∆
(
)

( 2 − a ) + ( 5 − b ) =

( 2)
10


Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 21


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

( 1) ⇔ a = 2b − 3

thế vào (2) ta có

b 2 − 12b + 20 = 0 ⇔ b = 2 ∨ b = 10

b = 2 ⇒ a = 1; R = 10 ⇒ ( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 10
2

*) với

2

b = 10 ⇒ a = 17; R = 250 ⇒ ( C ) : ( x − 17 ) + ( y − 10 ) = 250
2

2

*)với

Bài 44 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết
AB = 3
(C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
.
R= 3
Hướng dẫn: Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2)
Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ⊥ IM tại trung điểm H của đoạn AB.
AB
3
AH = BH =
=
2
2
Ta có
Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I. Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB ;
2

 3
3
IH' = IH = IA − AH = 3− 
=
÷
÷
2
 2 
2

2

Gọi H' là trung điểm của A'B' ; Ta có:

MI =
Ta có:

Ta có:

( 5− 1)

2

+ ( 1+ 2) = 5
2

MH = MI − HI = 5 −

và
3 49 52
R12 = MA 2 = AH 2 + MH 2 = +
=
= 13
4 4
4
R22 = MA '2 = A ' H'2+ MH'2 =

3 7
=
2 2

MH' = MI + H'I = 5+

;

3 13
=
2 2

3 169 172
+
=
= 43
4 4
4

Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13
hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43
Bài 45 Trong mỈt ph¼ng víi hƯ täa ®é Oxy cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh (x1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®êng th¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ĩ trªn ®êng th¼ng d
cã duy nhÊt mét ®iĨm A mµ tõ ®ã kỴ ®ỵc hai tiÕp tun AB, AC tíi ®êng trßn (C) (B,
C lµ hai tiÕp ®iĨm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.
Hướng dẫn: Tõ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cđa ®êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ
AB ⊥ AC
A kỴ ®ỵc 2 tiÕp tun AB, AC tíi ®êng trßn vµ
=> tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng
m −1
 m = −5
⇔
= 3 2 ⇔ m −1 = 6 ⇔ 
2
⇒ IA = 3 2
m = 7
c¹nh b»ng 3

Bài 46 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy.
Hướng dẫn: Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0) ;Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)
Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4) ; Gọi BI là đường phân giác trong góc B với I thuộc OA khi đó
ta có I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bài 47 Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2
điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 22


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi
Hướng dẫn: Giả sử phương trình cần tìm là (x-a)2 + (x-b)2 = R2
Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình
(1 + a ) 2 + b 2 = R 2
a = 0

2
2
2

(1 − a ) + (2 − y ) = R ⇔ b = 1
(a − b − 1) 2 = 2 R 2
R2 = 2



Vậy đường tròn cần tìm là: x2 + (y - 1)2 = 2
Bài 48 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :

(C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 và (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25
Hướng dẫn: Đường tròn (C1) có tâm I1(5 ; -12) bán kính R1 = 15 , Đường tròn (C2) có tâm I2(1 ; 2) bán
≠
kính R1 = 5 . Nếu đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0) là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) thì
khoảng cách từ I1 và I2 đến đường thẳng đó lần lượt bằng R1 và R2 , tức là :
 5A − 12B + C
= 15 ( 1)


A 2 + B2

 A + 2B + C = 5 2
( )
 A 2 + B2

Từ (1) và (2) ta suy ra : | 5A – 12B + C | = 3| A + 2B + C |
±
Hay 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)
⇒
TH1 : 5A – 12B + C = 3(A + 2B + C)
C = A – 9B thay vào (2) :
−14 ± 10 7
⇒A=
B
2
2
2
2
A + B ⇒ 21A + 28AB − 24B = 0
21

|2A – 7B | = 5
±10 7
−203 ± 10 7
Nếu ta chọn B= 21 thì sẽ được A = - 14
,C=
±10 7
−203 ± 10 7
Vậy có hai tiếp tuyến :(- 14
)x + 21y
=0
−4A + 3B
⇒C=
2
TH2 : 5A – 12B + C = -3(A + 2B + C)
, thay vào (2) ta được : 96A2 + 28AB + 51B2 = 0 .
Phương trình này vơ nghiệm . ( xong đề 420)
Oxy
d : x + 2y − 3 = 0
∆ : x + 3y − 5 = 0
Bài 49 Trong hệ toạ độ
cho hai đường thẳng
và
. Lập phương trình
2 10
d
5
∆
đường tròn có bán kính bằng
, có tâm thuộc và tiếp xúc với .
I (−2a + 3; a)

d
∆
Hướng dẫn: Tâm đường tròn thuộc nên có dạng
Đường tròn tiếp xúc với nên
a − 2 2 10
⇔
=
d ( I , ∆) = R
5 ⇔ a = 6; a = −2
10

Với

a=6

( x + 9) 2 + ( y − 6) 2 =

I (−9;6)

ta có

suy ra phương trình đường tròn:

8
5

Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 23

Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

với

a = −2

I (7;−2)

( x − 7 ) 2 + ( y + 2) 2 =

,suy ra phương trình đường tròn:
8
8
( x + 9) 2 + ( y − 6) 2 =
( x − 7) 2 + ( y + 2) 2 =
5
5
Vậy có hai đường tròn thoả mãn là:
và
.
Oxy
d : 2x − y − 2 = 0
C : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 10
Bài 50 Trong hệ toạ độ
cho đường thẳng
và đường tròn
.
(C )
d

450
Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc
.
I (1;1)
R = 10
Hướng dẫn: Đường tròn có tâm
bán kính
n( a , b )
(a 2 + b 2 ≠ 0)
Gọi
là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến
,
2a − b
1
a = 3b
=
⇔
2
2
2
a +b . 5
d
450
b = −3a
vì đường thẳng tạo với đường thẳng một góc bằng
nên
3 x + y + c = 0(∆)
a = 3b
Với

, phương trình tiếp tuyến có dạng
4+c
c = 6
⇔
= 10 ⇔ 
d ( I ; ∆) = R
10
c = −14
Với

ta có

8
5

b = −3a

x − 3 y + c = 0(∆)

, phương trình tiếp tuyến có dạng
−2+c
c = −8
⇔
= 10 ⇔ 
d ( I ; ∆) = R
10
c = 12

3x + y + 6 = 0; 3x + y − 14 = 0 x − 3 y − 8 = 0; x − 3 y + 12 = 0
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm là:

;
.
Bài 51 Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0 và đường thẳng(d):
3x + y – 3 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn(C),biết tếp tuyến khơng đi qua gốc toạ độ O và
hợp với đường thẳng (d) một góc 450
ìï d(I ,d) = 5
ïï
ïí
ïï cos(d,D) = 2
ïïỵ
5
2
Hướng dẫn: C) có tâm I(3;1), R =
;
Tiếp tuyến (∆): ax + by + c = 0
==> ∆1: 2x – y – 10 = 0;
∆2: x + 2y – 10 = 0
2
Bài 52 Cho đường tròn (C): x + y2 – 6x – 2y + 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(0;2) và
cắt (C) theo một dây cung có độ dài l = 4.
Hướng dẫn: d1: 2x + y – 2 = 0; d2: x – 2y + 4 = 0
Bài 53 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, xét tam giác
3x - y - 3 = 0
ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là
, các đỉnh A
và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa
độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn: I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ==> yI = ± 2
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 24


Tập các bài toán về đường tròn trong các đề thi

BI: y = tan300(x – 1) ==> y =

1
x3

1
3

x1 = 1 ± 2 3.

==>
Þ x1 = 1 + 2 3

TH1: Nếu A và O khác phía đối với B

TH2:Nếu A và O cùng phía đối với B ⇒

3+ 2 3

. ==> A(
ỉ
7 + 4 3 6 + 2 3ư
÷
÷
G1 ç

;
ç
÷
÷
ç
3
3
è
ø
==>
x1 = 1- 2 3.

==> A(

;0)

- 1- 2 3

ỉ
- 4 3 - 1 - 6 - 2 3ư
÷
÷
G2 ç
;
ç
÷
ç
÷
3
3

è
ø
==>
Oxy,
A(4; 6)
ABC
Bài 54 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
cho tam giác
có
, phương trình các đường thẳng
2 x − y + 13 = 0
6 x − 13 y + 29 = 0
C
chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh
lần lượt là
và
. Viết phương
ABC
trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Hướng dẫn:
- Gäi ®êng cao vµ trung tun kỴ tõ C lµ
C(-7; -1)
CH vµ CM. Khi ®ã
2 x − y + 13 = 0
CH cã ph¬ng tr×nh
,
6 x − 13 y + 29 = 0.
CM cã ph¬ng tr×nh
2 x − y + 13 = 0

⇒ C (−7; − 1).
B(8; 4)

M(6; 5)
H
A(4; 6)
6 x − 13 y + 29 = 0
- Tõ hƯ
AB ⊥ CH ⇒ n AB = u CH = (1, 2)
.
 x + 2 y − 16 = 0
⇒ M (6; 5)

6 x − 13 y + 29 = 0
- Tõ hƯ
;
⇒ B(8; 4).
Gi¶ sư ph¬ng tr×nh ®êng trßn
∆ABC : x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0.
ngo¹i tiÕp
V× A, B, C thc ®êng trßn nªn
52 + 4m + 6n + p = 0
 m = −4


80 + 8m + 4n + p = 0 ⇔ n = 6
50 − 7 m − n + p = 0
 p = −72



.
Suy ra pt ®êng trßn:
Sưu tầm và biên soạn: Lộc Phú Đa - Việt Trì - Phú Thọ.

Page: 25