Chuyen de dai so 8 PHEP CHIA DA THUC

Chuyên đề đại số 8
Chuyên đề

Tạ Phạm Hải

:Vài dạng bài tập khó về phép chia đa thức
Biên soạn : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình
A. Một số vấn đề về lý thuyết
1.Với đa thức nhiều biến số : Đa thức A đợc gọi là chia hết cho đa
thức B khác đa thức không nếu có đa thức C sao cho A = BC .
2. Với đa thức một biến số ta có định lý cơ bản sau đây :
Định lý : Với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) đa thức
không, tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x), với r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d.
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) g(x)
Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d.
Định lý Bơdu : D trong phép chia đa thức f(x) cho x a là một
số bằng f(a)
Hệ quả : f(x) f(a) chia hết cho x a
Đa thức không : là đa thức lấy giá trị bằng 0 với mọi giá trị của
biến số
Đa thức với hệ số nguyên : Là đa thức có mọi hệ số đều là số
nguyên
B. Phần bài tập :
I.Bài tập chứng minh chia hết
1.Với đa thức nhiều biến số : Để chứng minh đa thức A chia
hết cho đa thức B , ( B khác đa thức không ), ta phân tích A thành
tích của đa thức B với một đa thức khác .
Ví dụ1 : Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a

+b+c
Giải :
3
3
3
Ta có: a + b + c - 3abc = ( a + b )3 + c3 3abc 3ab( a +
b)=
= ( a + b + c )[( a + b )2 ( a + b )c + c2 ] 3ab( a + b + c )
= ( a + b + c )( a2 + b2 + c2 ab bc ca )
Vậy a3 + b3 + c3 - 3abc chia hết cho a + b + c
Ví dụ 2 : Cho x , y , z là những số nguyên dơng khác nhau .
Chứng minh rằng :
( x y)5 + ( y z)5 + ( z x)5 chia hết cho 5(x y)(y z)( z
x)


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

Giải :
Đặt x y = a ; y z = b ; z x = c ta có a + b + c = 0 . Bài toán
trở thành :
Chứng minh rằng : Nếu a + b + c = 0 thì a5 + b5 + c5 Chia hết
cho 5abc .
Từ a + b + c = 0 a + b = - c ( a + b)5 = - c5
; ( a + b)3 = - c3
Ta có : a5 + b5 + c5 = ( a + b)5 + c5 5a4b 10a3b2 10a2b3
5ab4
= - c5 + c5 5ab( a3 + 2a2b + 2ab2 + b3 )

= - 5ab[( a + b)3 3ab( a + b) + 2ab( a + b)]
= - 5ab[ ( a +b)3 ab(a+b)]
= - 5ab( - c3 + abc ) = 5abc( c2 ab ) đpcm
2.Với đa thức một biến số : Để chứng minh f(x) chia hết cho
g(x) , g(x) khác đa thức không , có hai cách giải quyết :
Cách 1 : Nh đa thức nhiều biến số
Cách 2 : Dùng thuật toán chia cột dọc
Cách 3 : Dùng định lý Bơdu ( nếu có thể )
Ví dụ : Chứng tỏ x3 6x2 + 11x 6 chia hết cho x2 3x + 2
Giải :
Cách 1:

Cách 2 :
+2

x3 6x2 + 11x 6 = x3 3x2 3x2 + 9x + 2x 6 =
= x2( x 3 ) 3x( x 3) + 2( x 3 )
= ( x 3 )( x2 3x + 2 ) . Ta có đpcm
Đặt thành cột dọc ta có x3 6x2 + 11x 6
x2 3x
x3 3x2 + 2x
- 3x2 + 9x 6
- 3x2 + 9x 6
0

Vậy
Cách 3 :
= ( x 1)(
Đặt

x3

x3 6x2 + 11x 6 = ( x 3 )( x2 3x + 2 ) ta có đpcm.
Ta có
x2 3x + 2 = x2 x 2x + 2 = x( x 1 ) 2( x 1)
x 2)
f(x) = x3 6x2 + 11x 6 thì f(1) = 13 6.12 + 11.1 6 = 0 .

Vậy f(x) ( x 1 )


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

f(2) = 23 6.22 + 11.2 6 = 8 24 + 22 6 = 0 . Vậy f(x) ( x 2 ) .
Mà x 1 và x 2 là hai đa thức không phân tích đợc ( Bất khả quy )
nên f(x) ( x 1 )( x 2 ) hay x2 3x + 2, đpcm.
Chú ý : Nếu đa thức f(x) có ngiệm là a ; b... thì f(x) chia hết
cho (x a)(x b)...
II.Xác định điều kiện về hệ số để chia hết
a. Với đa thức nhiều biến số
Ví dụ : Xác định m để với mọi x , y , z nguyên dơng ta có :
x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z
Giải :
3
3
3
Ta có : x + y + z + mxyz = x3 + y3 + z3 3xyz + 3xyz +
mxyz

= ( x + y)3 + z3 3xy( x + y) 3xyz + ( m + 3)xyz
= ( x + y + z)[( x + y)2 ( x + y)z + z2 ] 3xy( x + y + z ) + ( m +
3)xyz
= ( x + y + z )( x2 + 2xy + y2 yz zx 3xy ) + ( m + 3 )xyz
= ( x + y + z )( x2 + y2 + z2 xy yz zx) + ( m + 3 )xyz
Vậy để x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z với mọi
x , y , z nguyên dơng thì (m + 3 )xyz phải chia hết cho x + y +
z với mọi x , y , z nguyên dơng , m + 3 = 0 hay m = - 3
b.Với đa thức một biến số
Ví dụ1 : Xác định hệ số a để f(x) = x3 3x + a chia hết cho
( x 1 )2
Giải :
Cách 1 : Dùng phép chia cột dọc
x3
3x + a
x2 2x + 1
x3 2x2 + x
x+2
2x2 4x + a
2x2 4x + 2
a2
Để x3 3x + a chia hết cho ( x 1)2 thì a 2 = 0 hay a = 2 .
Cách 2 : Dùng phơng pháp giá trị riêng :


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

Ta viết đợc : x3 3x + a = ( x 1 )2. Q(x) , (1) , với Q(x) là một đa

thức bậc nhất .
Chọn x = 1, thay vào (1) ta đợc : 13 3.1 + a = 0 . Từ đó ta đợc a =
2.
Cách 3 : Phơng pháp hệ số bất định :
Giả sử x3 3x + a = ( x2 2x + 1)( x + b ) = x3 + ( b 2 )x2 + ( 1
2b)x + b với mọi x , thế thì ta phải có b 2 = 0
1 2b = - 3 a = b = 2 . Vậy a = 2 .
a=b
Ví dụ 2 : Xác định a , b để 5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 chia hết
cho x2 + x b
Giải :
Cách 1 : Đặt phép chia cột dọc ta có
5x4 + 6x3 + ax2 8x 20
x2 + x b
5x4 + 5x3 5bx2
5x2 + x + ( a + 5b 1 )
x3 + ( a + 5b)x2 8x 20
x3 +
x2 bx
( a + 5b 1)x2 + ( b 8)x 20
( a + 5b 1)x2 + ( a + 5b 1)x b( a + 5b 1)
( - a 4b 7)x + b( a + 5b 1 ) 20
Ta có R(x) = ( - a 4b 7)x + b( a + 5b 1 ) 20 . Vậy ta phải
có R(x) là đa thức không , điều này tơng đơng với
- a 4b 7 = 0

a = - 4b 7
(1)
2
b( a + 5b 1 ) 20 = 0

ab + 5b b 20 = 0
(2)
Thay (1) vào (2) ta có b2 8b 20 = 0 . Từ đó tính đợc b = 10
hoặc b = - 2
Với b = 10 thì a = - 47 ; với b = - 2 thì a = 1
Cách 2 : Phơng pháp hệ số bất định :
Giả sử phân tích đợc 5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 = ( x2 + x b)
( 5x2 + cx + d )
5x4 + 6x3 + ax2 8x 20 = 5x4 + cx3 + dx2 + 5x3 + cx2+ dx
5bx2 bcx bd =
= 5x4 + ( c + 5)x3 + ( d + c 5b)x2 + ( d bc )x bd
Đồng nhất hệ số ta có :


Chuyên đề đại số 8
c+5=6

c=1

Tạ Phạm Hải
b2 8b 20

d=b8

=0
d + c 5b = a d 5b + 1 = a
b 8 5b + 1 = a
a = - 4b 7
d bc = - 8
db=-8

( b 8)b 20 = 0
bd = 20
bd = 20
Từ đó ta cũng tính đợc kết quả nh trên .
III. Tìm giá trị nguyên của biến số x để f(x)

g(x)

Ví dụ 1 : Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức
2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức (2n-1).
Giải :
Đặt phép chia:
2n2+3n+
3 2n - 1
2
2n -n
n+2
4n+3
4n-2
5
2
Đa thức 2n +3n+3 không chia
hết cho đa thức (2n -1) nhng có
những giá trị nguyên của n để giá trị của 2n2+3n+3 chia hết cho giá
trị của 2n-1.
Khi đó (2n-1) phải là Ư(5){ 1; 5}.
2n-1=1
2n-1= -1
2n-1=5
2n-1= -5

n=1
n= 0
n=3
n= -2
2
Vậy với n{-2;0;1;3} thì giá trị của biểu thức 2n +3n+3 chia hết cho
giá trị của biểu thức (2n-1).
Chú ý : Có thể trình bày nh sau :
2n2 + 3n + 3 = 2n2 n + 4n 2 + 5 = n( 2n 1) + 2( 2n 1) + 5
= ( 2n 1)( n + 2) + 5
Vậy 2n2 + 3n + 3 ( 2n 1) với n nguyên khi 5 ( 2n 1) hay 2n 1 là ớc
của 5 . Phần còn lại giải nh trên .
Ví dụ 2 : Tìm số nguyên x để :
( x4 16) chia hết cho ( x4 4x3 + 8x2 16x + 16 )
Giải :


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

x 4 16
Đặt A = 4
, bài toán trở thành : Tìm số
x 4 x 3 +8 x 2 16 x +16
nguyên x để biểu thức A lấy giá trị tơng ứng là số nguyên . Ta có :
x 2 4 ) ( x 2 + 4 )
(
x 4 16
A= 4

= 4
x 4 x 3 +8 x 2 16 x +16
x 4 x 3 + 4 x 2 +4 x 2 16 x +16
( x 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 )
( x 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 )
= 2 2
=
2
x ( x 4 x + 4 ) + 4 ( x 2 4 x + 4 )
( x 2 ) ( x 2 + 4 )
=

x +2
x 2 + 4
4
=
=1 +
x 2
x 2
x 2

Vậy A có giá trị nguyên khi x là số nguyên khác 2 và x 2 là ớc của 4 .
Từ đó
x2{
}. Ta tìm đợc x { 0 , - 2 , 1 , 3 , 4 , 6 }
Ví dụ 3 : Tìm tất cả các số nguyên x để ( x 3 8x2 + 2x ) chia hết
cho x2 + 1
Giải :
3
2

3
2
Ta có x 8x + 2x = x 8x + x 8 + x + 8 = x2( x 8 ) + ( x
8) + ( x + 8 )
= ( x 8 )( x2 + 1 ) + ( x + 8 )
Để x3 8x2 + 2x chia hết cho x2 + 1 với x nguyên thì x + 8 phải chia
hết cho x2 + 1 với x nguyên . Trớc hết ta thấy ngay x + 8 = 0 hay x = 8 thỏa mãn . Nếu x + 8 khác 0 thì điều kiện cần để x + 8 chia hết
cho x2 + 1 với x nguyên là x + 8 x2 + 1 .

x + 8 x2 + 1
x2 x 7 0
2

2
x
+
8


x

1

x + x + 9 0

Dễ thẫy x2 + x + 9 0 vô nghiệm , nên chỉ cần xét x2 x 7
0 với x nguyên .
x2 x 7 0 x2 x 7 x( x 1 ) 7 với x nguyên .
Nếu x 4 thì x(x 1) 4.3 = 12 > 7 nên x 3
Nếu x - 3 thì x(x 1) (- 3).( - 4) = 12 > 7 nên x - 2

Vậy x { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
Thử lại :
x
x+8
x2 + 1
( x + 8):(x2 kết luận
+ 1)
-2
6
5
6:5
loại


Chuyên đề đại số 8
-1
0
1
2
3

7
8
9
10
11

2
1
2

5
10

Tạ Phạm Hải
7:2
8:1
9:2
10 : 5
11 : 10

loại
Chọn
Loại
Chọn
Loại

Đáp số x { - 8 ; 0 ; 2 }
IV. Xác định hệ số trong phép chia còn d
Ví dụ 1 : Xác định a và b sao cho 2x 3 + ax + b chia cho x + 1
thì d 6 và ki chia cho x 2 thì d 21 .
Giải :
3
Cách 1 : Đặt f (x) = 2x + ax + b áp dụng định lý Bơ du ta có f ( - 1)
= - 6 và f (2) = 21. Vậy:
3

a b = 4
a = 3
2.(1) a + b = 6

3

2 a + b = 5
b = 1
2.2 + 2a + b = 21

Cách 2 : Đặt phép chia cột dọc ( Bạn đọc tự chứng minh )
Ví dụ 2 : Tìm a , b , c sao cho ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2
và khi đem chia cho x2 1 thì d x + 5 .
Giải :
3
2
Đặt f (x) = ax + bx + c ; áp dụng định lý Bơ du ta có f ( - 2) =
- 8a + 4b + c = 0 (1)
Mặt khác theo định lý cơ bản thì tồn tại đa thức Q(x) sao cho :
ax3 + bx2 + c = ( x2 1 )Q(x) + x + 5 .
Cho x = 1 ta đợc : a + b + c = 6 (2)
Cho x = - 1 ta đợc : - a + b + c = 4 (3)
Kết hợp (1) , (2) , (3) ta đợc :

8a + 4b + c = 0

a + b + c = 4
a + b + c = 6


a = 1

b + c = 5
8 + 5 + 3b = 0


a = 1

b = 1
c = 4


Từ đó có đáp số của bài tập

Ví dụ 3 : Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x 1 thì d 2 ;
chia cho x + 1 thì d 3 và chia cho x2 1 thì có thơng là 3x và còn d .
Giải :
Theo định lý Bơ du ta có f(1) = 2 và f(- 1) = 3 .
Mặt khác theo định lý cơ bản ta viết đợc : f(x) = ( x2 1).3x +
( ax + b) (1)
Thay x = 1 vào (1) ta có 2 = a + b
Thay x = - 1 vào (1) ta có 3 = - a + b


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

Từ đây dễ dàng tính đợc a = - 0,5 và b = 2,5
Vậy f(x) = ( x2 1).3x + ( ax + b) = 3x3 3x 0,5x + 2,5 = 3x3
3,5x + 2,5
V. Tìm d trong phép chia f(x) cho g(x)

Ví dụ 1 : Không thực hiện phép chia , hãy tìm d trong phép chia
f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x cho
a. g(x) = x 1
b. h(x) = x2 1
Giải :
a. áp dụng định lý Bơ du ta có d trong phép chia f(x) cho x 1 là
f(1) = 5
b. Theo định lý cơ bản ta viết đợc :
f(x) = x81 + x27+ x9 + x3 + x = ( x2 1).Q(x) + ( ax + b ) (1)
Thay x = 1 vào (1) ta có : a + b = 5
Thay x = - 1 vào (1) ta có a b = 5
Từ đây dễ dàng tính đợc a = 5 và b = 0 . Vậy d trong trờng hợp này
là 5x
Ví dụ 2 : Giả sử đa thức f(x) chia cho x + 1 d 4 ; chia cho x2 +
1 d 2x + 3 . Hãy tìm d trong phép chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + 1 )
Giải :
áp dụng định lý Bơ du ta có f( - 1 ) = 4
(1)
áp dụng định lý cơ bản ta viết đợc :
f(x) = ( x + 1)( x2 + 1 )Q(x) + ax2 + bx + c . (2)
Thay (1) vào (2) ta có : a b + c = 4
(3)
Mặt khác ta viết đợc :
f(x) = ( x + 1)( x2 + 1 )Q(x) + ax2 + bx + c
= ( x + 1)x2.Q(x) + ( x + 1)Q(x) + ax2 + bx + c
= x2[( x + 1)Q(x) + a ] + [( x + 1)Q(x) + a ] + bx + c a
= [( x + 1)Q(x) + a ]( x2 + 1 ) + bx + c a
Vậy bx + c a chính là d trong phép chia f(x) cho x2 + 1 nên bx+
c a = 2x + 3
Đồng nhất hệ só ta có b = 2 và c a = 3 (4) . Kết hợp (3) và (4) ta

tìm thêm đợc :
a = 1,5 và c = 4,5 .
Vậy d trong phép chia f(x) cho ( x + 1)( x2 + 1 ) là R(x) = 1,5x2 + 2x
+ 4,5
VI . Bài tập luyện tập chuyên đề
Bài 1 . Thực hiện các phép chia sau đây
1. ( x3 2x2 5x + 6 ) : ( x + 2 )


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

2. ( 2x4 21x3 + 74x2 105x + 50 ) : ( x2 3x + 2 )
3. ( x3 2x2 + 5x + 8) : ( x + 1 )
4. 3x4 2x3 2x2 + 4x 8 ) : ( x2 2 )
5. ( 2x3 2bx 24 ) : ( x2 + 4x + 3 )
Bài 2 : Tìm a , b để
1. ( x4 + ax3 + bx 1 ) chia hết cho ( x2 1 )
2. ( 6x4 7x3 + ax2 + 3x + 2 ) chia hết cho ( x2 x + b )
3. ( x3 + 8x2 + 5x + a chia hết cho ( x2 + 3x + b )
4. ( x4 + ax2 + b ) chia hết cho ( x2 3x + 2 và hãy tìm đa thức
thơng
5. ( x4 3x3 3x2 + ax + b ) chia hết cho ( x2 3x + 4 )
6. (x4 + x3 x2 + ax + b ) chia hết cho ( x2 + x 2 )
7. ( ax4 + bx3 + 1 ) chia hết cho ( x 1 )2
8. ( x3 + ax2 + 2x + b ) chia hết cho ( x2 + x + 1 )
9. ( x4 x3 3x2 + ax + b ) chia cho x2 x 2 thì có d là 2x 3
10.
( x10 + ax3 + b ) chia cho x2 1 thì d 2x + 1

Bài 3 : Tìm a , b , c để
1. ( x4 + ax3 + bx + c ) chia hết cho ( x 3 )3
2. ( x5 + x4 9x3 + ax2 + bx + c ) chia hết cho ( x 2 )( x + 2)( x +
3)
3. ( 2x4 + ax2 + bx + c ) chia hết cho x 2 và khi chia cho x 2 1
thì d x
Bài 4 : Tìm d trong phép chia x + x3 + x9 + x 27 + x81 + x243 cho x2 1
Bài 5 : Chứng minh rằng ( x2 + x 1 )10 + ( x2 x + 1)10 chia hết cho
x1
Bài 6 : Cho đa thức f(x) . Hãy tìm d trong phép chia f(x) cho x2 2x 3
, biết rằng f(x) chia cho x + 1 thì d 45 và chia cho x -3 thì d 165
Bài 7 : Tìm đa thức f(x) biết :
1. f(x) chia cho x 3 thì d 7 , chia cho x 2 thì d 5 , chia cho ( x
2)( x 3) thì có thơng là 3x và còn d
2. f(x) chia cho x 3 thì d 2 , chia cho x + 4 thì d 9 , Chia cho x2 +
x 12 thì đợc thơng là x2 + 3 và còn d
3. f(x) có bậc 3 và thỏa mãn : f( - 1) = 0 và chia cho x 1 , x + 2 , x
+ 3 đều d 8
4. f(x) có bậc 3 và thỏa mãn : f( - 1) = - 18 và chia cho x 1 , x 2 , x
3 đều d 6
5. f(x) có bậc 3 và thỏa mãn : f(0) = 10 ; f(1) = 12 ; f(2) = 4 ; f(3) =
1
6. f(x) có bậc 2 và thỏa mãn : f(0) = 19 ; f(1) = 5 ; f(2) = 1995
7. f(x) có bậc 4 và thỏa mãn : f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47


Chuyên đề đại số 8

Tạ Phạm Hải

Bài 8 : Không thực hiện phép chia hãy tìm d trong các phép chia sau :
1. ( x5 + x + 1 ) chia cho ( x3 x )
2. ( x100 + x99 + x98 + x97 + ... + x2 + x + 1 ) chia cho x2 1
3. x2 + x9 + x1996 chia cho x2 1
Bài 9 : Cho đa thức P(x) bậc 4 thỏa mãn : P(1) = 0 ; P(x) P(x 1) =
x( x + 1)( 2x + 1)
1. Xác định P(x)
2. Suy ra cách tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + ... + n( n + 1)( 2n +
1 ) ,với n Z+