Sử dụng các phương pháp gần đúng vào giải các bài toán trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HOA

SỬ DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG VÀO GIẢI
CÁC BÀI TẬP TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Phạm Ngọc Thƣ

Sơn La, năm 2017


LỜI CÁM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Phạm Ngọc Thƣ, ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và
thực hiện làm khóa luận tốt nghiệp.
Em cũng xin chân thành cám ơn ý kiến đóng góp và những kinh nghiệm quý
giá của các thầy cô trong tổ bộ môn Vật lí, cùng các thầy cô trong khoa đã tạo
điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp và em không thể
quên gửi lời cám ơn đến các thầy cô trong trung tâm Thông Tin - Thƣ Viện của
Trƣờng Đại Học Tây Bắc.
Khóa luận tốt nghiệp của em còn rất nhiều thiếu sót về kiến thức và kĩ năng
nên em rất mong sự đóng góp nhiệt tình của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!.
Sơn la, ngày tháng

năm

Sinh viên làm khóa luận

Vũ Thị Hoa


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 5
1. Lý do chọn khoá luận: .................................................................................... 5
2. Mục đích của khóa luận:................................................................................. 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu: .................................................................................... 6
4. Đối tƣợng nghiên cứu: .................................................................................... 6
5. Phạm vi nghiên cứu: ....................................................................................... 6
6. Phƣơng pháp nghiên cứu: ............................................................................... 6
CHƢƠNG I: CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG
TỬ...................................................................................................................... 7
1.1. Lý thuyết nhiễu loạn. ................................................................................... 7
1.1.1. Lý thuyết nhiễu loạn dừng ........................................................................ 7
1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến. ............................................ 7
1.1.1.2. Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến. .................................................... 10
1.1.2. Lý thuyết nhiễu lọan phụ thuộc thời gian. ............................................... 11
1.2. Phƣơng pháp biến phân. ............................................................................ 14
1.3. Phƣơng pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went – Kramers – Brillouin)
......................................................................................................................... 15
CHƢƠNG II:PHÂN LOẠI VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ MỘT SỐ
PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ ..................... 18
2.1. Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến. ............................................... 18
2.1.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 18
2.1.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 18
2.1.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 22

2.2. Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến ........................................................... 25
2.2.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 25
2.2.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 26
2.2.3.Bài tập áp dụng........................................................................................ 42
2.3. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian .................................................................. 43


2.3.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 43
2.3.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 44
2.3.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 48
2.4. Phƣơng pháp biến phân ............................................................................. 51
2.4.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 51
2.4.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 51
2.4.3. Bài tập áp dụng. ...................................................................................... 55
2.5. Phƣơng pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers - Brillouin)
......................................................................................................................... 57
2.5.1. Phƣơng pháp........................................................................................... 57
2.5.2. Bài tập minh họa..................................................................................... 57
2.5.3. Bài tập áp dụng. ...................................................................................... 62
KẾT LUẬN...................................................................................................... 64
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 65
CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 66


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn khoá luận:
Trong nửa đầu thế kỉ XX, một trong các ngành phát triển và có các thành tựu
quan trọng đó là ngành Vật lý bằng việc hình thành những lý thuyết cơ bản của
Vật Lý học.
Cơ học lƣợng tử là một trong những lý thuyết cơ bản đó, nó nghiên cứu

về chuyển động và các đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ năng
lƣợng và xung lƣợng của các vật thể nhỏ bé, ở đó lƣỡng tính sóng - hạt đƣợc thể
hiện rõ. Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định nhƣ là một tính chất cơ bản của vật
chất, chính vì thế cơ học lƣợng tử đƣợc coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó
cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều hiện tƣợng vật lý mà cơ học
Newton không thể giải thích đƣợc.Cơ học lƣợng tử đƣợc hình thành do các nhà
vật lý nhƣ: Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin
Schrodinger, Max Born, Paul Dirac…và một số ngƣời khác tạo nên. Và lý
thuyết này vẫn đƣợc nghiên cứu cho đến ngày nay.
Chúng ta biết, một hệ lƣợng tử đƣợc đặc trƣng bởi Hamiltonian. Do đó, đòi
hỏi phải xác định đƣợc hàm riêng và trị riêng của toán tử Hamiltonian đó. Để
tìm đƣợc trị riêng và hàm riêng của một toán tử một cách chính xác là vô cùng
phức tạp. Chính vì thế, phƣơng pháp gần đúng đƣợc đƣa vào sử dụng trong cơ
học lƣợng tử (CHLT) nhằm giải quyết vấn đề trên.
Và trong quá trình học tập cũng giúp em nhận ra rằng: Làm bài tập là một
việc tất yếu và quan trọng trong quá trình học Vật lý nói chung và trong cơ học
lƣợng tử nói riêng, nó sẽ củng cố lý thuyết đã học và trau dồi kĩ năng thực hành.
Trong cơ học lƣợng tử thì có rất nhiều các phƣơng pháp gần đúng nhƣng trên
thực tế và giới hạn của chƣơng trình thì ba phƣơng pháp gần đúng đƣợc sử dụng
phổ biến và áp dụng cho nhiều dạng bài toán là: Phƣơng pháp sử dụng lý thuyết
nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân và phƣơng pháp gần đúng cổ điểnWent Kramers - Brillouin (WBK) . Các phƣơng pháp này trong chƣơng trình học đại
học chƣa có nhiều tài liệu hƣớng dẫn một cách cụ thể cách sử dụng chúng nhƣ


thế nào để giải các bài tập trong cơ học lƣợng tử. Chính vì vậy, em quyết định
chọn nghiên cứu khóa luận: “Sử dụng các phƣơng pháp gần đúng vào giải các
bài tập trong cơ học lƣợng tử”.
2.Mục đích của khóa luận:
- Hệ thống lại lý thuyết của ba phƣơng pháp gần đúng trong cơ học lƣợng tử.
- Rèn kĩ năng giải, đƣa ra các phƣơng pháp giải và hƣớng dẫn các bƣớc giải

cho từng phƣơng pháp.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Phân loại và giải các bài toán trong cơ học lƣợng tử bằng các phƣơng pháp
gần đúng trong cơ học lƣợng tử.
4.Đối tƣợng nghiên cứu:
Khóa luận sẽ nghiên cứu ba phƣơng pháp gần đúng trong cơ học lƣợng tử:
Phƣơng pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân và phƣơng
pháp gần đúng cổ điển WBK. Mỗi phƣơng pháp bao gồm một hệ thống lý thuyết
và bài tập đƣợc phân loại, sắp xếp theo mức độ và giải một cách chi tiết.
5.Phạm vi nghiên cứu:
Chỉ chú trọng nghiên cứu chƣơng “Phƣơng pháp gần đúng trong cơ học lƣợng
tử” nhất là các bài tập của chƣơng này.
6.Phƣơng pháp nghiên cứu:
Phân tích lý thuyết của các phƣơng pháp gần đúng (lý thuyết nhiễu loạn và
phƣơng pháp biến phân, phƣơng pháp gần đúng cổ điểnWent - Kramers Brillouin (WBK) ).


CHƢƠNG I: CÁC PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG
TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
1.1.Lý thuyết nhiễu loạn.
1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng
1.1.1.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
Giả sử Hamiltonian của một hệ lƣợng tử đƣợc viết dƣới dạng:

ˆ=
ˆ + 
ˆ .

0
1

ˆ : Toán tử Hamiltonian khi không nhiễu loạn.
Với: 
0
ˆ : Toán tử Hamiltonian khi nhiễu loạn.

1
ˆ đƣợc xác định bằng phƣơng trình Schrodinger:
Vectơ riêng của 
0

ˆ  =  0   .

0
n
n
n

(1.1)

Với: n : Trạng thái của hệ không suy biến.
n  : Năng lƣợng của hệ ở trạng thái n (năng lƣợng mức n) và chƣa
0

có nhiễu loạn.
Xét hệ ở trạng thái nhiễu loạn thì phƣơng trình trị riêng của Ĥ có dạng:
ˆ + 
ˆ ) =  .
(
n
0

1
n
n

(1.2)

Tìm:  n : Trạng thái của hệ có suy biến. n
 n : Năng lƣợng của hệ ở trạng thái n (năng lƣợng mức n) và có suy

biến.
Chọn hệ cơ sở không gian Hilber  n
Khai triển:  n = +

 C  
k n


nk

.

k



 n m  n,m
thỏa mãn: 
n n  1

n

(1.3)

Khai triển Cnk và  n dƣới dạng chuỗi theo thông số nhiễu loạn  :


Từ điều kiện λ → 0, dẫn đến Cnk = 0:
0



1
2  2
3  3

 Cnk  Cnk   Cnk   Cnk  .....

 0
1
 2
 3
2
3

 n  n  n   n   n ...

(1.4)

Với n = 0,  n =  0 là năng lƣợng của hệ ở trạng thái cơ bản.
0
n  là năng lƣợng hệ ở mức n khi chƣa tính tới nhiễu loạn.

1
n  là phần bổ chính bậc 1 của năng lƣợng ở mức thứ n.
2
n  là phần bổ chính bậc 2 của năng lƣợng ở mức thứ n.

Thay (1.3), (1.4) vào (1.2) ta đƣợc:
ˆ + 
ˆ )[  +
(
n
0
1

 C  
k n

1
nk

k

+

  C  
2

k n

= ( n0 + n1 +  2n2 +…) [ n +

2
nk

+…]

k

 C  
k n

1
nk

k

+

  C  
2

k n

2
nk

k

+…]. (1.5)

Trong gần đúng bậc 1, ta bỏ tất cả các số hạng chứa  2 trở lên ở cả hai vế

của phƣơng trình (1.5):

ˆ  C1  + 
ˆ  +
ˆ  =  0  +  0  C1  + 1  .

0
nk
k
n
nk
k
0
n
1
n
n
n
n
n
k n

k n

Thay phƣơng trình (1.1) và giản ƣớc hai vế ta thu đƣợc:

ˆ  C1  + 
ˆ  = ˆ  0  C1  + ˆ 1  .

0

nk
k
n
nk
k
1
n
n
n
k n

(1.6)

k n

Từ phƣơng trình (1.1) ta cũng có:

ˆ  = ˆ  0  .

0
k
k
k
Phƣơng trình (1.6) đƣợc viết lại:

 C ˆ   
k n

1
nk

0
k

k

ˆ  = ˆ  0  C1  + ˆ 1  .
+
n
nk
k
1
n
n
n
k n

(1.7)

Chuyển vế và nhân trái hai vế với bra n , ta đƣợc:
1
ˆ  +
ˆ n  n n = n 
1
n

     C 
k n

0

k

0
n

1
nk

n k .

Sử dụng điều kiện trực giao và chuẩn hóa của các trạng thái không nhiễu loạn,
ta tìm đƣợc phần bổ chính bậc một của mức năng lƣợng thứ n:
1
ˆ  .
ˆ n  = n 
1
n

(1.8)


Từ phƣơng trình (1.7), ta chuyển vế và nhân trái hai vế với bra k ta thu
đƣợc:

  ˆ  ˆ   C 

1
ˆ  +
ˆ n  k n = k 
1

n

0
k

k n

0
n

1
nk

k k .

(1.9)

Sử dụng điều kiện trực giao và chuẩn hóa của trạng thái nhiễu loạn khi
k  n, từ phƣơng trình (1.9) ta thu đƣợc :
1

Cnk

ˆ 
k 
1
n
.
=
0

0




ˆ ˆ



k

n



(1.10)

Từ phƣơng trình (1.4), (1.10) thay vào (1.3), ta thu đƣợc trạng thái nhiễu loạn
trong gần đúng bậc một:



 n = n +

k n

ˆ 
k 
1
n

 .
0
0



ˆ  ˆ  k



k



n

* Tƣơng tự, ta xét gần đúng bậc hai của phƣơng trình (1.5) cho hệ số  2 ở
hai vế bằng nhau để tìm ra phần bổ chính bậc hai của mức năng lƣợng n:
2
ˆ n  =

ˆ 
k 
1
n





kn

0
0
ˆ k   ˆ n 

2



.

Để cho phép gần đúng có ý nghĩa thì số hạng bổ chính phải nhỏ:
 Cnk =
1

ˆ 
Suy ra: k 
1
n

ˆ 
k 
1
n
0
0




ˆ ˆ 



n

k



1.

0
0
ˆ n  ˆ k  khi n  k

Ý nghĩa:
* Yếu tố ma trận của toán tử nhiễu loạn phải có giá trị nhỏ hơn khoảng cách
giữa các mức năng lƣợng bất kì của các trạng thái không nhiễu loạn.
1
ˆ  trong gần đúng bậc 1, phần bổ chính của các mức năng
* ˆ n  = n 
1
n

lƣợng bằng trị trung bình của năng lƣợng nhiễu loạn trong trạng thái không
nhiễu loạn.


1.1.1.2.Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến.

ˆ không nhiễu loạn bị suy biến bậc s:
Xét toán tử Hamiltonian 
0

ˆ  = ˆ  0 

0
nk
n
nk

k = 1, 2, 3,….s.

(1.11)

Với ˆ n0 là trị riêng ứng với các vectơ riêng trực giao: n1 , n 2 ,… ns .

ˆ của hệ có dạng:
Giả sử Hamiltonian nhiễu loạn 
ˆ=
ˆ + 
ˆ .

1

(1.12)

ˆ đƣợc xác định từ phƣơng trình Schrodinger:
Và các vecto riêng của 
s

C

ˆ  = ( ˆ + 
ˆ )  = ˆ 

n
n
n
n
0
1
Với  n =

s

C
k 1

k

k 1

k

nk .

(1.13)

nk

Thay vào (1.12) ta đƣợc:
s

s

ˆ  
ˆ   =  C  .
Ck 

0
nk
1
nk 
n
k
nk
k 1
k 1

(1.14)

ˆ   =  0    =   0   .
Từ phƣơng trình (1.11): 
0
nl
nk
n
nl
nk

n
lk
Nhân trái 2 vế với bra nl và sử dụng điều kiện trực giao ta đƣợc:
s

 Ck n lk +
0

k 1

s

s

k 1

k 1

 Ck nl ˆ 1 nk = n  lk .

ˆ 
  nl 
1
nk
với:  lk
0
  n  n   n

s

    lk   n Ck  0.

(1.15)

k 1

Để Ck  0 thì phƣơng trình (1.15) phải bằng không.

 11  n 
 21
 s1

12
13
  22  n   23
 s2

 s3

1s
 2s

= 0.

 ss

Nghiệm của phƣơng trình đại số bậc s đối với n : n  n1 ,n2

ns .

Kết luận:
- Khi có nhiễu loạn, mức năng lƣợng ban đầu n0 sẽ tách thành s mức năng
lƣợng khác nhau: n  n   nj ( j = 1, 2, 3…s).
0

- Năng lƣợng kích thích này không bền nên chúng bị phát xạ và nếu sử dụng
máy thu ta đƣợc s vạch phổ năng lƣợng khác nhau.
- Thay một giá trị  nj vào phƣơng trình (1.15) ta thu đƣợc một bộ giá trị Ck .
Vectơ trạng thái của hệ nhiễu loạn suy biến là:  nj   Ck  nj  nk .
s

k 1

1.1.2.Lý thuyết nhiễu lọan phụ thuộc thời gian.

ˆ 
ˆ 
ˆ .
Hamiltonian phụ thuộc thời gian của hệ có dạng: 
0
1 t 
t

(1.16)

ˆ
Trƣớc hết, ta khai triển các vectơ riêng   t  của Hamiltonian toàn phần 
t
(1.16) theo trạng thái dừng riêng n của:

 t  =

C   
n t

n

.

(1.17)

n

ˆ    .
ˆ = 0 hệ không có nhiễu loạn: Hạt ở trạng thái dừng 
* Khi 
0
n
n
n
1
 i t 
Trạng thái của hệ tại thời điểm bất kỳ:  t   exp   n  n . Do vậy, hệ số


 i t 
0
khai triển Cn t  đƣợc viết: Cn t   Cn  exp   n  .



ˆ  0 hệ có nhiễu loạn:
*Khi 
1

 i t 
 t    Cn t  exp   n  n .


n

(1.18)

Thay khai triển (1.18) vào phƣơng trình Schrodinger:
 dCn t 


 i t 
ˆ C exp   in t   .1.19 
 n Cn t   exp   n  n   n  

 n
1 t   n  t 

dt




n 

n

Nhân trái 2 vế của phƣơng trình (1.19) với bra m và sử dụng điều kiện trực

 i

giao ta đƣợc:


i

dCm t 
dt

 i  n  m  t 
ˆ  .
  Cn t  exp  
 m 
n
1 t 
n



(1.20)

- Xét t  0: hệ không nhiễu loạn có vectơ trạng thái i : Cn 0  Cn   ni (1.21).
0

ˆ.

- Khi t = 0: hệ chịu tác dụng của nhiễu loạn nhỏ 
- Khi t > 0: Cn t  khai triển thành chuỗi nhiễu loạn Cn  Cn0  Cn1  Cn2  ... 1.22 .
Thay các phƣơng trình (1.20), (1.21) vào (1.22): phƣơng trình đối với Cn t  trong

dCm t 
1

gần đúng bậc một ( m  i): i

1
m t 

Có nghiệm: C



Cm t   mi 

i

i

dt

 i   m  i  
ˆ  .
  ni exp  
t  m 
i
1 t 

n



 i  m  n  
ˆ

d
t
exp
t   m 
i .

1 t
0


t

 i   m  i  
ˆ
t   m 
i .
1 t 


t

 dt exp 
0

Nghiệm dùng đƣợc khi C1m t 

1và lúc này hệ sẽ nhận tác động từ bên ngoài,

ta nói hệ nhiễu loạn.

ˆ của một
Theo tiên đề về phép đo của cơ học lƣợng tử, xác suất để phép đo 
2

hệ ở thời điểm t nhận giá trị  m đƣợc xác định bởi: im  Cm t  .
Khi tất cả chuyển sang trạng thái lƣợng tử thì: i t    im   Cm t  .
2

m

m

Xét hệ chịu tác động của nhiễu loạn tuần hoàn.
it
 it
ˆ  2
ˆ sin  t    1  
ˆ

1
  1 e  e  .
1 t 
i

Khi t = 0: Cm t   mi 

i

 i   m  i  
ˆ

dt
exp
t   m 
i .

1 t 
0


t

m  i thì mi  0.

Sử dụng điều kiện trực giao và 
i m i  t

 eimi t .
 m  i  mi  e


ˆ không phụ thuộc thời gian nên: C  
Vì 

1
m t 

2i

t



ˆ  dt sin teimi t .
m 
1
i

0

Thay 2isin t  eit  eit (công thức Euler).

C m t 

t
ˆ  t
m 
i mi  t
i mi  t  
1
i




dt
e

dt
e


0
0


ˆ   ei mi t  1 ei mi t  1 
i m 
1
i
=


.










mi

 mi


(1.23)

Khi đó sẽ có hai khả năng xảy ra:
Khi mi    0  m  i   : Quá trình chuyển từ trạng thái i  m thực
chất là quá trình phát xạ năng lƣợng bằng  .
Khi mi    0  m  i   : Quá trình chuyển từ trạng thái i  m thực
chất là quá trình hấp thụ năng lƣợng bằng  .
Trên thực tế trong biểu thức (1.23) chỉ có một phân thức hoạt động:
- Quá trình phát xạ năng lƣợng thì phân thức một hoạt động.
- Quá trình hấp thụ năng lƣợng thì phân thức hai hoạt động.
Xác suất chuyển dời từ trạng thái i về trạng thái m.
2

 i  m  C m t  
Ta có: e 

i mi  t

2

ˆ 
m 
1
i
2

2

e  mi   1
.
 mi  
i   t

 i   t
i   t
 1  e  mi   1 e  mi   1
2

2e

 i mi t

 2.2sin 2

2

Vậy im  Cm t  

i mi t

 2  2cos  mi   t

 mi   t .

ˆ 
m 
1

i
2

e

2

2

sin 2  mi  
 mi   
 2 

2

t
2.


Vì

sin 2  mi   
  mi   


2



t

2 đạt giá trị cực đạt bằng 1 khi     tiến tới 0, tức là
mi

khi m  i   . Do vậy, xác suất im để hệ lƣợng tử chuyển từ trạng thái
ban đầu i vầ trạng thái m đạt giá trị cực đại khi năng lƣợng  của bức xạ kích
thích hấp thụ hoặc phát xạ bằng hiệu hai mức năng lƣợng m  i .
1.2.Phƣơng pháp biến phân.
Phƣơng pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lƣợng trung
bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lƣợng ở trạng thái cơ bản của hệ
lƣợng tử. Ta có thể nói, cực tiểu của năng lƣợng trung bình lấy ở trạng thái cơ
bản nó rất gần với năng lƣợng ở trạng thái cơ bản của hệ. Do vậy, việc tính năng
lƣợng ở trạng thái cơ bản đƣợc quy về việc tính cực tiểu của năng lƣợng trung
bình lấy ở trạng thái cơ bản. Việc đó sẽ đƣợc tiến hành nhƣ sau:
Chọn "hàm thử" chứa một số thông số chƣa biết nào đó, sao cho hàm thử
càng gần với hàm sóng mô tả trạng thái của hệ ở trạng thái cơ bản càng tốt.
Xác định năng lƣợng trung bình của hệ lấy tại trạng thái biểu diễn bởi hàm
thử.
Tìm cực tiểu của năng lƣợng trung bình lấy tại trạng thái biểu diễn bởi hàm
thử, qua đó xác định đƣợc các thông số chƣa biết và từ đó tính đƣợc (một cách
gần đúng) năng lƣợng ở trạng thái cơ bản của hệ.
Khai triển véc tơ trạng thái của hệ lƣợng tử  theo các véc tơ riêng:

ˆ
ˆ   .
   a n Un ; 

n
Ta có bra trong không gian đối ngẫu:    a *m U m .
m

Do vậy     a *ma n mn khi m = n thì     a n .
2

n,m

n

ˆ    a a U 
ˆ U   a  a  U U   a 2 .

n
n
m n
m
n
m n n
m
n
m,n

m,n

n


ˆ 
 
n

a n n

2

an

2

.

Gọi  0 là năng lƣợng cơ bản của hệ: n  0

ˆ 


0  a n
n

 an

2

2

 0 .

n

Chọn  là hàm của các thông số chƣa biết 1,  2
Và thực hiện cực tiểu hóa năng lƣợng:
Khi đó năng lƣợng trung bình:  

ˆ
 
 i

:     1,  2

.

 0.

  1 ,  2

  1 ,  2

 ˆ   1,  2 
   1,  2 

năng

lƣợng này rất gần với năng lƣợng trạng thái cơ bản của hệ.
Nhƣ vậy, để tính năng lƣợng của hệ ở trạng thái cơ bản đƣợc quy về việc tính
đạo hàm của năng lƣợng trung bình theo các thông số chƣa biết. Phƣơng pháp
này là phƣơng pháp biến phân.
1.3.Phƣơng pháp gần đúng chuẩn cổ điển WKB ( Went - Kramers Brillouin)
Xét chuyển động của hạt trong hố thế độc lập với thời gian. Phƣơng trình
Schrodinger ở trạng thái dừng:
 2 2
  r   V r  r     r  .
2m

Hay  r  

1
2

2r  r   0.

(1.24)
(1.25)





Trong đó  r  là xung lƣợng cổ điển tại r :  r   2m   V r  .
* Nếu hạt chuyển động trong miền V r  = const, nghiệm (1.25) là:  r   Ae

 ipr

* Nhƣng trong trƣờng hợp ở đó V r  không phải là hằng số hay ta nói nó thay

.


đổi. Phƣơng pháp WKB sẽ khảo sát tính gần đúng của hệ mà thế không phải là
hằng số, hàm sóng của r là thay đổi chậm. Nghĩa là V r  hầu nhƣ là hằng số
trong miền trải dài khoảng bƣớc sóng Broglie.
Bƣớc sóng Broglie của hạt có khối lƣợng m và năng lƣợng E chuyển động
trong thế V r  là đƣợc cho bởi:



h
h

.
p
2m(E  V r  )

Phƣơng pháp WKB gồm có nghiệm phức của (1.25) :
  r   A  r e

iS r 

.

(1.26)

Trong đó A r  là biên độ và S r  là pha, hàm sóng là thực và không xác định.
Thay (1.26) vào (1.25) ta đƣợc:
 r e


iS r 



1
2

  r  e

iS r 

2
r

0

2  r    r  (S r  )2  2r   r   0

2

 2 2

2
2
  r  
  r   (S r  )   r    0.
  r 


(1.27)

Các thành phần thực và ảo của phƣơng trình phải triệt tiêu tách nhau:



S r 





2

 P2r   2m(E  V r  ).



(1.28)



2 A r  . S r   A r 2S r   0.
Trong (1.28) chúng ta bỏ qua các số hạng chứa
hệ cổ điển (nhƣ (



)  2  r 





2

S r  ,P2r  ).

(1.29)
do

là đƣợc xét rất bé cho


Ví dụ: Chúng ta xét trƣờng hợp đơn giản là chuyển động một chiều của một hạt.
Chúng ta có thể rút gọn phƣơng trình (1.28) và (1.29) về:

dS x 
dx





  2m E  V x    P x  .

(1.30)

d
 d

2  ln A x   P x   P x   0.
dx
 dx


(1.31)

Ta tính nghiệm của (1.30) và (1.31), bằng cách lấy tích phân của phƣơng trình
(1.30) ta đƣợc:





S x     2m E  V x  dx    P x dx.

(1.32)

Rút gọn phƣơng trình (1.31) về:

d 
2ln A x   ln P x    0  A  x  

dx 

C

.

(1.33)

P x 

Trong đó C là hằng số bất ký. Vì vậy (1.32) và (1.33) là pha S x  và biên độ

A x  của hàm sóng WKB ở phƣơng trình (1.26).
Thế (1.33) và (1.32) vào trong (1.26) chúng ta thu đƣợc 2 nghiệm gần đúng của

phƣơng trình (1.25):

  x  

C
P x 

 i

exp    P xdx .



Biên độ của hàm sóng tỷ lệ với

khoảng x và x + dx là tỷ lệ vời

(1.34)

1
. Do vậy xác suất tìm thấy hạt trong
P x 

1
. Điều này phù hợp cho hạt cổ điển vì thời
P x 

gian làm hạt dịch chuyển một khoảng dx là tỷ lệ với vận tốc của nó. (hay là xung
lƣợng của nó).

CHƢƠNG II:PHÂN LOẠI VÀ HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VỀ MỘT
SỐ PHƢƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
2.1.Lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
2.1.1.Phương pháp:
Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
Bƣớc 1: Xác định năng lƣợng và tính chất của hàm sóng khi chƣa nhiễu loạn.

ˆ  =  0   .

0
n
n
n
Bƣớc 2: Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2…cho năng
lƣợng.
1
ˆ  : Năng lƣợng bổ chính bậc 1.
ˆ n   n 
1
n

2
ˆ n   
k n

ˆ 
k 
1
n



0
0
ˆ k   ˆ n 

2



: Năng lƣợng bổ chính bậc 2.

…
Giải chính xác.
Bƣớc 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian: H  H0  H1 .
Bƣớc 2: Đặt ẩn sao cho việc giải phƣơng trình là đơn giản nhất.
2.1.2.Bài tập minh họa
Bài 1: Xét dao động tử điều hòa với H  H0  H1 ; H0  a a ;

H1   (a   a) trong đó a  ,a tƣơng ứng là toán tử sinh, toán tử hủy với
lƣợng tử  . Hãy tính độ dịch các mức năng lƣợng chính xác đến bậc hai của 
ˆ H
ˆ .
so với trƣờng hợp H
0

Giải:
Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
Bước 1: Xác định năng lượng và tính chất của hàm sóng khi chưa nhiễu loạn.

Khi chƣa có năng lƣợng: H0  a a.
Vectơ riêng của  0 đƣợc xác định bằng phƣơng trình Schrodinger:


H0 n  a a n  n n
 En   n.
0


 a n  n n 1
Trong đó:  

a n  n  1 n  1

;k  n  1
;k  n  1

Bước 2: Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2..cho năng
lượng.
Phần bổ chính bậc 1 của năng lƣợng ở trạng thái n:
1
En   n H1 n    n a   a n     n

n 1 n 1  n

n n  1 

    n  1n,n 1  n n ,n 1   0.
Phần bổ chính bậc 2 của năng lƣợng ở trạng thái n:

En   
2

k n

2

n H1 k

n   k 
0

0

.

Trong đó: n H1 k  n   a   a  k    n (a   a) k

    n a  k  n a k      n k  1 k  1  n k k  1 
    k  1 n k  1  k n k  1      k  1 n,k 1  k  n,k 1  .

E n  
2

  k  1n,k 1

2

E n   E k 1
0

0

 2 22 n 2 




2 2



  k n,k 1
E n   E k 1
0

2  n 2  1
 

2

0



  k  1n,n 1
E n   E n 1
0

0

2



  2 .

 E n  E n   E n   E n   n   2 .
0

1

2

Giải chính xác.
Bước 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian.
Phƣơng trình Hamiltonian của dao động tử điều hòa:
H  H0  H1  a a    a   a .

(*)

Bước 2: Đặt ẩn sao cho việc giải phương trình là đơn giản nhất.

  k n,n 1
E n   E n 1
0

0

2

 Aa
Đặt:  

A  a  

ˆ không có số hạng tuyến tính theo A,A  .
với  là số thực đƣợc chọn sao cho H
 H    A      A        A    A   

   A A  2    A  A   2     A   A 
 A A   2   2          A  A .

ˆ không có số hạng tuyến tính theo A,A  .
Do chọn  để H
    0    
ˆ  A.A   2    A.A    2 .
Thay vào (*) ta đƣợc: H

Ta có phƣơng trình trị riêng:

H n   A.A    2  n  E n n
 E n    n   2   n   2  E n   E n  .
0

2

Nhận xét: Năng lƣợng chỉ gây ra bổ chính bậc 2 khác không. Còn các bổ chính
bậc khác đều bằng không.

Kết luận: Trong cả hai trƣờng hợp là giải bằng lý thuyết nhiễu loạn và giải
chính xác cùng cho ra mô ̣t kế t quả . Vậy là, trong dao động tử điều hòa nếu nhiễu
loạn là hàm bậc nhất theo tọa độ thì phƣơng pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn
cho ta kết quả hoàn toàn chính xác khi tính đến bậc 2 của năng lƣợng.
ˆ  bx
Bài 2: Dao động tử điều hòa một chiều chịu tác dụng của nhiễu loạn 
1

( b



). Tính độ dịch năng lƣợng của trạng thái cơ bản đến bậc thấp nhất khác

không.
Giải:
Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến.
Bước 1: Xác định năng lượng và tính chất của hàm sóng khi chưa nhiễu loạn.

1

0
Khi chƣa nhiễu loa ṇ : E0    n    .
2



Bước 2: Sử dụng các công thức để tính các bổ chính bậc 1, bậc 2..cho năng
lượng.
Phần bổ chính bậc 1 của NL ở trạng thái cơ bản: E0   0 H1 0  b 0 x 0  0.

1

Phần bổ chính bậc 2 của NL ở trạng thái cơ bản:

E0   

k H1 0

2

k 0

 0

2

 0

E0  Ek

 b2 

2

kx0

 
 
k 0 E 0  E k
0

0

.

Để tử khác không thì k chỉ có một giá trị k = 1: E0   b 2
2

Ta có: 1 x 0

2

0 x1



2m

1x 0



1x 0

2

E0   E1 
0

0

.

2m

2m

1


0
E0    n   
2 2

1 3 

0
E1    n   
2
2

 2

E 0

b2
 1 
2
2m


b
b
.


2m   
2m2
  3 



2 
 2
2

 0

1

 2

 E 0  E 0  E 0  E 0

1
b2

 n   
.
2
2m2





Giải chính xác.
Bước 1: Xuất phát từ toán tử Hamiltonian.
Từ toán tử Hamiltonian biến đổi để phƣơng trình không còn phụ thuộc vào x .
2

p2 1
p2 1
b 
b2
2 2
2
H
 m x  bx 
 m  x 
.
 
2m 2
2m 2
m2  2m2

Bước 2: Đặt ẩn sao cho việc giải phương trình là đơn giản nhất.


 Pp
 dP  dp


Đặt: 
b 
dX  dx
X  x  m2

P2 1
b2
2 2
H
 m X 
.
2m 2
2m2
Hàm Hamiltonian của một dao động tử điều hòa với tọa độ X, xung lƣợng P, tần

b2
số  khi đó năng lƣợng gốc dịch một đoạn là 
.
2m2
1
b2

0
2
 E n   n   
 En   En  .
2
2  2m


  

Kết luận: Từ kết quả của   và   thì hoàn toàn phù hợp trong cả hai
trƣờng hợp là giải bằng lý thuyết nhiễu loạn và giải chính xác. Phƣơng pháp
nhiễu loạn đƣợc nghiệm đúng khi tính đến bổ chính bậc 2 của năng lƣợng.
2.1.3.Bài tập áp dụng
Bài 3: Xét hạt khối lƣợng m trong hố thế vô hạn một chiều
0
V x   


khi 0  x  a
khi x  0, x  a

a

Hạt chịu tác dụng của nhiễu loạn: W x   A0  x   . So sánh với cách giải
2

chính xác “Chứng tỏ rằng các mức năng lƣợng khả dĩ đƣợc xác định bởi một
2
k
 ka 
 ka 
trong các phƣơng trình sau đây sin    0 hoặc tg    
với
m0
 2 
 2 

k  2m

E
2

. Các kết quả này phụ thuộc thế nào vào dấu và giá trị tuyệt đối của

0 . Hãy chỉ ra rằng khi 0  0 thu đƣợc phần a”.

Đáp án:
* Tính theo lý thuyết nhiễu loạn dừng không suy biến:


 0
2A0
n a 2A0
n 
E n 
sin . 
sin
  2A0
a
a 2
a
2 
 a

;n  2m

1

;n  2m  1

m  0,1,2,3...

* So sánh với giải chính xác:
1

E n 

k 0 x 2mA0 2 2A0

. 
.
m
a 2 m
a

2

Bài 4: Dao đô ̣ng tƣ̉ điề u hòa mô ̣t chiề u có Hamiltonian : H  H0  V
với: H0  

1
p2 1
 m2 x 2 và V  m2 x 2 là thế nhiễu loạn,  là hằng số.
2
2m 2

a. Hãy tính bổ chính các mức năng lƣợng đến bậc 2.

b. So sánh và nhâ ̣n xét kế t quả trên với nghiê ̣m chính xác .
Cho biết hàm riêng của hàm Hamiltonian H0  

p 1
 m2 x 2 và
2m 2

n 
m
n 2 d e
 
; 
x và hệ
 n     A n exp    H n    trong đó H n      1 e
n
d
 2
2

 m 
số chuẩn hóa A n  

 

1
4

1
2n n!

.

Đáp án:

1

0
a. Năng lƣợng chƣa nhiễu loạn: En    n    .
2

 2n  1 
1
Năng lƣợng bổ chính bậc 1: En   
  .
 4 
 2n  1  2
2
Năng lƣợng bổ chính bậc 2: En    
 .
 18 
b. Năng lƣợng khi tính đến các bổ chính:


1   2n  1 
 2n  1  2 
 0
1
 2
E n   n    
  

     E n  E n  E n .
2  4 
 18  

 E1 0
Bài 5: Một hệ 2 trạng thái đƣợc mô tả bởi Hamiltonian: H  
 


 

0
E2  


a. Hãy giải chính xác để tính năng lƣợng riêng và vecto trạng thái tƣơng ứng
trong biểu diễn đã cho.

E1   E2  . Hãy tìm năng lƣợng riêng khi tính đến bậc 1 và

b. Giả sử rằng 

0

0

năng lƣợng bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn. So sánh với kết quả giải chính xác.
Đáp án:
Câu a.
- Vecto riêng ứng với E1 





1  0
1
0
E1  E2  
2
2

 E   E  
0
1

0
2

2

  2  là
2

 cos 
  sin    1 .



- Vecto riêng ứng với E1 





1  0
1
0
E1  E2  
2
2



E1   E2 
0

0



2

  2  là
2

 cos 
 sin    2 .



2

- Với tan  

 0

E

0

E 2  E1 

0 
2

0 

 E1



2

 4   

.
2

Câu b.

* Năng lƣợng riêng khi tính đến 2 bậc 1 và bậc 2:
 0

1

 2

 0

 0

1

 2

 0

E1  E1  E1  E1  E1

E 2  E 2  E 2  E 2  E 2

 2 2
  0
.
0
E 2  E1 
 22
  0
.
0

E 2  E1 

* So sánh với giải chính xác:

E1   E 2  
0

E

0

 E   E  
0
1

2

0
2

2

 0
 2 2
 E1   0
0
 4 2  2
E 2  E1 



.
 0
 2 2
 E 2   0
0
E 2  E1 



Bài 6: Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a. Hãy tính các bổ chính bậc
1, bậc 2 cho năng lƣợng theo lý thuyết nhiễu loạn V  x   V0cos 2

x
. So sánh
a

với cách giải chính xác.
Đáp án:
* Năng lƣợng bậc 1 và bậc 2:

En   n V n 
1

E n  
 2

k n

V0
.

2

kVn

2

En   Ek 
0

0

ma 2 V02

;k  1.
16 1  k 2  2 2

* So sánh với giải chính xác:

V0
ma 2V02
0
1
2
En 

 En   En   En  .
2
2 2
2 16 1  k  
2.2.Lý thuyết nhiễu loạn dừng suy biến

2.2.1.Phương pháp
Bƣớc 1: Xác định năng lƣơ ̣ng và hàm sóng khi không nhiễu loa ̣n.

ˆ  =  0   .

0
n
n
n
Bƣớc 2: Dƣ̣a vào biể u thƣ́c về năng lƣơ ̣ng để xác đinh
̣ đƣơ ̣c tiń h suy biế n của
tƣ̀ng tra ̣ng thái .
E nk  E 0
Khi 
: Năng lƣợng ở trạng thái không suy biến.



0
 nk
E nk  E kn
Khi 
: Năng lƣợng ở trạng thái suy biến.



nk
kn


Bƣớc 3: Áp dụng phƣơng pháp nhiễu loạn cho trƣờng hợp suy biến và không
suy biế n (các công thức bổ chính).
1
ˆ  : Năng lƣợng bổ chính bậc 1.
ˆ n   n 
1
n