Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên năm 2015 2016 sở GDĐT hà nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2015 – 2016
Môn thi : Toán
( Dành cho học sinh thi chuyên Toán)
Bài 1: ( 2 điểm )
1) Giải phương trình :

x − x − 8 − 3 x +1 = 0

2) Giải hệ phương trình:
Bài 2: (2,5 điểm)

 x 2 + y 2 = 5
 3
3
 x + 2 y = 10 x − 10 y

(n

4

− 1) M40

1) Cho số nguyên dương n thoả mãn (n,10) = 1. CMR :
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p và số nguyên dương x, y thoả mãn:
 p − 1 = 2 x ( x + 2)
 2
 p − 1 = 2 y ( y + 2 )
3) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các s ố nguyên dương x, y, z tho ả mãn:
x3 + y 3 + z 3 = nx 2 y 2 z 2

Bài 3: (1,5 điểm)

( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 1.

CMR : ab + ac + bc ≤

Cho 2 số thực dương thoả mãn:

3
4

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. G ọi Q là
điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Gọi E, F là điểm đối xứng của Q qua AB, AC.
1) CMR: MH.MA = MP.MN
2) CMR : E, F, H thẳng hàng.
3) Gọi J là giao điểm của QE và AB. Gọi I là giao đi ểm của QF và AC. Tìm v ị trí c ủa Q trên

AB AC
+
QJ QI
cung nhỏ BC để

nhỏ nhất.


Bài 5: (1,0 điểm)

0 < a+b 2 +c 3 <

CMR tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho

1
1000