Chuyên đề1 hàm số 2016 đã in

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
-------------------------------

ÔN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Giáo viên: Ngô Khánh
--------------Chuyên đề1:

HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

2015-2016

2016 -2017
Học sinh :
Lớp
:
Lịch học :
1
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------Chuyên đề1 : Hàm số và các vấn đề liên quan
• Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
A) Tóm tắt lý thuyết: f có đạo hàm trên (a;b)
- f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a; b ) (*) ⇔ f db/ ( a; b )
- f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b ) (*) ⇔ f nb / ( a; b )
- f '( x) = 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( x) = C ∀x ∈ ( a; b )
( Dấu “=” ở (*) hoặc không xảy ra hoặc chỉ xảy ra tại một số hữu hạn
điểm)
Chú ý:
1) f đơn điệu trên (a;b) và liên tục trên đoạn [ a; b ] hoặc các nữa khoảng

[ a; b ) ; ( a; b] thì f đơn điệu trên các tập tương ứng.
2) f , g liên tục & đơn điệu ngược nhau ( hoặc1 hàm đơn điệu, 1 hàm hằng)
trên K mà phương trình f(x) = g(x) có nghiệm trên K thì nghiệm đó là
nghiệm duy nhất trên K.
f (u ) = f (v) ⇔ u = v
3) f đơn điệu trên K thì với ∀u; v ∈ K :
u ≥ v khi f db/K
f (u ) ≥ f (v) ⇔ 
u ≤ v khi f nb/K

Thận trọng: Các chú ý (2) & (3) chỉ đúng khi K là là một khoảng, một nữa
khoảng hay một đoạn, không còn đúng khi K là hợp của các tập rời nhau.
B) Phân dạng toán và phương pháp giải:
Dạng1: Tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số
Cách giải: Lập BBT
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm các khoàng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a ) y = − x3 − 3x 2 + 24 x − 5

b) y = x 3 − x 2 + 2 x − 3

c) y = − x3 + 3x 2 − 3x − 5

d ) y = − x 4 + 2 x 2 − 3.

e) y = − x 4 − 4 x 2 + 5

f )y =

g) y =

k) y =

x 2 − 3x + 3
x −1
x3
x2 − 6

h) y =

x2 − x + 1
x2 − 1

l ) y = 25 − x 2 .

−5 x + 2
4x + 7

i) y = x + s i n x − 5

m) y = 2 x − x 2

2
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------Dạng2: Cho hàm số có dạng bậc 3 chứa tham số m. Tìm điều kiện của
tham số m để hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên R.
Cách giải:
2

- Hàm số (bậc 3) đồng biến trên R ⇔ y ' = ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ R.

a > 0
⇔
⇔ m?
∆ ≤ 0
2
- Hàm số (bậc 3) nghịch biến trên R ⇔ y ' = ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ R.
a < 0
⇔
⇔ m?
∆ ≤ 0
Chú ý: Nếu hệ số của x 3 có chứa tham số m thì phải xét trường hợp hệ số
bằng 0 trước
Bài tập minh họa:
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a ) y = 4 x 3 + (m + 3) x 2 + mx − m đồng biến trên R
*m = 3
b) y = x 3 + (m − 1) x 2 + (m2 − 4) x + 9
c) y = m

x3
− mx 2 − 4 x − 1
3

nghịch biến trên R *

1− 3 3
1+ 3 3
≤m≤

.
2
2

nghịch biến trên mxđ * − 4 ≤ m ≤ 0.

Dạng 3: Cho hàm số có dạng bậc 3 chứa tham số m. Tìm điều kiện của
tham số m để hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến) trên khoảng (a,b)
khác R.
Cách giải:
2
- Hàm số đồng biến trên ( a; b) ⇔ y ' = ax + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ (a; b).

⇔ m ≥ (≤) g ( x), ∀x ∈ (a; b)

Từ đó lập BBT tìm được m.
2
- Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y ' = ax + bx + c ≤ 0, ∀x ∈ (a; b).

⇔ m ≥ (≤) g ( x), ∀x ∈ (a; b)

Từ đó lập BBT tìm được m.
3
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------3
Chú ý: Nếu hệ số của x có chứa tham số m thì phải xét trường hợp hệ số
bằng 0 trước

Bài tập minh họa:
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a ) y = x3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x − m

5
đồng biến trên (2; +∞). *m ≤

12

1
b) y = − x3 + (m − 1) x 2 + (m + 3) x − m đồng
3
mx + 4
c) y =
nghịch biến trên (−∞;1)
x+m

biến trên khoảng (0;3)
* −2 < m ≤ −1

Dạng 4: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Cách giải:
Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức: g ( x ) > h( x ), ∀x ∈ D .
Ta làm như sau:
BĐT cần chứng minh ⇔ f ( x) = g ( x ) − h( x) > 0, ∀x ∈ D
Từ đó sử dụng tính sử dụng tính đơn điệu hoặc lập BBT hàm số f(x) trên D
ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập minh họa:
Bài4: Sử dụng tính đơn điệu, chứng minh các BĐT sau:
a ) x > si n x ; ∀x > 0.

c) sin x > x −

x3
; ∀x>0.
6

 π
b) sin x + tan x > 2 x ; ∀x ∈  0; ÷.
 2
d )cosx > 1 −

x2
; ∀x ≠ 0.
2

Dạng 5: Dùng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình,…
Cách giải:
Sử dụng kết quả: f đơn điệu trên K thì với ∀u; v ∈ K :
f (u ) = f (v) ⇔ u = v

u ≥ v khi f db/K
f (u ) ≥ f (v) ⇔ 
u ≤ v khi f nb/K

Bài tập minh họa:
Bài5: Giải hệ:
4
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------3
3
 x 3 − 3x = ( y − 1)3 − 9( x − 1)
 x − 3 x = y − 3 y
1
x
=
y
=
±
.

a)  6
*
b)
6
6
2
1 + x − 1 = y − 1
 x + y = 1
( Thi HSG Hải Dương 2012) *(1; 2);(2;5).

 x3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y

1 3 3 1
c)  2
(A2012)* ( ; − );( ; − )
1

2
2 2 2 2
 x + y − x + y = 2

• Vấn đề 2: Cực trị của hàm số
A) Tóm tắt lý thuyết:
 f dat cuc tri tai x 0

⇒ f '( x0 ) = 0
1) Điều kiện cần: ∃f '( x )

0
. Ý nghĩa hình học: Tại các điểm cực trị nếu đồ thị có tiếp tuyến thì
tiếp tuyến song song hoặc trùng với trục Ox.
2) Điều kiện đủ thứ nhất: f có đạo hàm trong khoảng (a;b) có chứa điểm
x0.
- Khi x biến thiên tăng dần qua điểm x 0 mà đạo hàm đổi dấu từ + sang thì f đạt cực đại tại x0.
- Khi x biến thiên tăng dần qua điểm x 0 mà đạo hàm đổi dấu từ - sang +
thì f đạt cực tiều tại x0.
Lưu ý: Nếu tại x0 hàm số không có đạo hàm, chỉ cần f liên tục tại x 0 thì
định lý vẫn đúng.
3) Điều kiện đủ thứ hai:
 f '( x0 ) = 0
⇒ f dat cuc tieu tai x 0

 f "( x0 ) > 0
 f '( x0 ) = 0
⇒ f dat cuc dai tai x 0

 f "( x0 ) < 0

B) Phân dạng toán và phương pháp giải:
Dạng 6: Tìm cực trị của hàm số
Cách giải:
Cách 1: Dùng điều kiện đủ thứ nhất: Lập BBT
Cách 2: Dùng điều kiện đủ thứ hai (ít dùng)
5
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------Bài tập minh họa:
Bài 6: Tìm cực trị (nếu có) của mỗi hàm số sau:
1
x3 x 2
a ) y = 2 x 3 − 3x 2 + 1 b) y = − x3 + 3x 2 − 9 x + 1. c) y = + + x − 3. d ) y = x 4 − 2 x 2 − 3
3
3 2
2
1
2x + x + 1
x5 2 3
e) y = − x + 2 +
f )y =
.
g) y =
− x + x +1
x −1
x +1
5 3

Dạng7: Cho hàm số có dạng bậc 3 chứa tham số m. Tìm điều kiện của
tham số m để hàm số có cực trị (2 cực trị) ; không có cực trị.
Cách giải:
2
- Hàm số (bậc 3) có cực trị (2 cực trị) ⇔ pt : y ' = ax + bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ m ?
2
- Hàm số (bậc 3) không có cực trị ⇔ pt : y ' = ax + bx + c = 0 vô
nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m ?
Chú ý:
- Nếu hệ số của x 3 có chứa tham số m thì phải xét trường hợp hệ số bằng 0
trước.
- Nếu phương trình y’ = 0 có dạng đặc biệt thì ta tìm hai nghiệm x1 ; x2 theo
m rồi cho x1 ≠ x2 suy ra điều kiện của m để hàm số có cực trị; lúc này

x1 ; x2 là hoành độ 2 đoeẻm cực trị .
- Các dạng đặc biệt là:

c
.
a

•

a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1; x2 =

•

a − b + c = 0 ⇒ x1 = −1; x2 = −

•

c
a
2
x − (m + n) x + m.n = 0 ⇒ x1 = m; x2 = n

Bài tập minh họa:
Bài 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mỗi hàm số sau có cực trị:
6
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------3
2
b) y = x 3 − 3mx 2 + 3(2m − 1) x + 1 * m ≠ 1
a ) y = 2 x 3 − 3x 2 + mx − 1 *m <

x3 1
− (m + 4) x 2 + 3(m + 1) x − 1 * m ≠ 2 .
3 2
x3 1
Bài 8:Chứng minh hàm số y = − mx 2 − (m + 2) x + 1 − m 2 luôn có cực
3 2
trị.
m 3
2
Bài 9:m? hàm số x − 2(m + 1) x + 4mx − 1 không có cực trị.

3
c) y =

Dạng 8: Cho hàm số có dạng bậc 3 chứa tham số m. Tìm điều kiện của
tham số m để hàm số có cực trị (2 cực trị) đồng thời thỏa thêm điều
kiện nào đó.
Cách giải:
- Hàm số có 2 cực trị ⇔ m ?
(1).
- Điều kiện yêu cầu thêm ⇔ m ? (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra điều kiện của m
Bài tập minh họa:
Bài 10:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số:
a ) y = x3 − 3mx 2 + 6mx + 1 có các điểm cực trị nằm về 2 phía Oy.
1
b) y = − x3 + mx 2 + 1 có các điểm cực trị nằm về hai phía trục Ox.
3
m
c) y = x3 − (m − 1) x 2 + (m − 5) x + 1 có hđộ các điểm cực trị thoả x12 + x22 > 24
3
d ) y = x3 + (m − 1) x 2 − 3mx + m có hoành độ các điểm cực trị đều nhỏ hơn 2

Bài 11: m? để đồ thị hàm số y = x3 + 3x 2 + m có 2 điểm cực trị A; B sao cho
góc ·AOB = 1200
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại x0
Cách giải: Thường dùng điều kiện đủ thứ hai:
7
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------ f '( x0 ) = 0
⇔ m?
- Hàm số đạt cực đại tại x0 khi: 
f
"(
x
)
<
0
0

 f '( x0 ) = 0
⇔ m?
- Hàm số đạt cực tiểu tại x0 khi: 
 f "( x0 ) > 0
 f '( x0 ) = 0
⇔ m?
- Hàm số đạt cực trị tại x0 khi: 
f
"(
x
)
≠
0
0

Bài tập minh họa:
Bài 12:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:
a ) y = x3 − 2 x 2 + mx − 1 đạt cực tiểu tại x =1.

*m = 1
3
2
b) y = mx + 3x + 5 x + 2 đạt cực đại tại x = 2.
*m = −3
4
2
*m = 6
c) y = x − mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 2
Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có dạng bậc 3 có cực
trị, khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị theo
tham số m.
Cách giải:
- Tìm điều kiện của m đề hàm số có cực trị ( 2 cực trị) ( Xem dạng 7)
- Tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị :
+ Chia y cho y’ ta biểu diễn được y ở dạng : y = ( Mx + N ). y '+ Px + Q .
+ Lý luận suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
y = Px + Q
Bài tập minh họa:
Bài13:
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x 3 − 3 x 2 + 2 bằng hai cách
b) m? hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(2m − 1) x + 1 có cực trị, khi đó hãy viết phương
trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị và tìm toạ độ các điểm cực trị theo
tham số m:
Bài 14: m? để đồ thị hàm số y = − x3 + 3mx 2 + m có hai điểm cực trị đối xứng
qua đường thẳng (d ) : x + 8 y − 74 = 0
Dạng11 : Cho hàm số dạng trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có chứa
8
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------tham số m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 3 cực trị
hoặc chỉ có 1 cực trị.
Cách giải:
+D=R
+ Tính y’
+ Lý luận:
Hàm số có 3 cực trị  pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
 …….
 m?
Hoặc:
Hàm số có 1 cực trị  pt y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất
 …….
 m?
Chú ý: Nếu hệ số a có chứa m thì xét trường hợp a = 0 trước.
Bài tập minh họa:
Bài 15:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
a) Hàm số y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 có đúng 3 cực trị. * m ∈ (−∞; −3) ∪ (0;3)
b) Hàm số y = mx 4 + (m 2 − 9) x 2 + 10 có đúng 1 cực trị.
Dạng12 : Cho hàm số dạng trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c có chứa
tham số m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 3 cực trị
đồng thời thỏa mãn thêm điều kiện nào đó.
Cách giải:
+D=R
+ Lý luận:
- Hàm số có 3 cực trị
 m? (1)
- Điều kiện yêu cầu thêm  m? (2)

Lấy giao các điều kiện (1) và (2) ta được giá trị m cần tìm.
Bài tập minh họa:
Bài 10:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
a) Đồ thị hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một
1
tam giác vuông cân
* m=± 3
2
9
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------4
b) Đồ thị hàm số y = x − 2mx 2 + m − 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
• Vấn đề 3: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
A) Tóm tắt lý thuyết:
1) Định nghĩa:

 f ( x) ≤ M ; ∀x ∈ D
M = maxf ( x) ⇔ 
x∈D
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M
 f ( x) ≥ m; ∀x ∈ D
m = min f ( x) ⇔ 
x∈D
∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m

Chú ý: Hàm số liên tục trên 1 đoạn luôn có gtln & gtnn trên đoạn đó.

2) Cách tìm ymax; ymin :
- Cách1: Dùng phương pháp chung là lập BBT.
2
- Cách2: Đánh giá (thường dùng sin u ≤ 1; cosu ≤ 1; A ≥ 0; Cauchy,...)
B) Phân dạng toán và phương pháp giải:
Dạng 13 : Tìm GTLN, GTNN của 1 hàm số trên tập D cho trước.
Cách giải:
- Dùng phương pháp chung là lập BBT.
- Đặc biệt: Nếu D là đoạn [ a; b ] thì lập BBT sẽ mất thời gian hơn, ta nên
làm theo các bước:
+ B1: Hàm số liên tục trên [ a; b ] .
+ B2: Tính y’, giải pt y ' = 0 tìm các điểm tới hạn x1; x2;…;xn (nếu có)
trong khoảng ( a; b ) .
+ B3: Tính f(a); f(b); f(x1); f(x2);…; f(xn). Từ đó kết luận số lớn nhất là
ymax; số nhỏ nhất là ymin ( Không cần lập BBT).
Bài tập minh họa:
Bài16: Tìm gtln, gtnn (nếu có) của mỗi hàm số sau:
a) y = x2 +

2
( x > 0)
x

b) y =

x +1
x + x +1
2

a

1 + sin 6 x + cos 6 x
c) y = (a − 2 x)(a − 6 x), x ∈ (0; )
d)y =
1 + sin 4 x + cos 4 x
2
Bài17: Tìm GTLN; GTNN trên 1 đoạn
10
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------si n x
; x ∈ [ 0; π ]
2 + cosx

a ) y = x3 + 3x 2 − 9 x + 1; x ∈ [ −4; 4 ]

b) y =

c) y = x + 4 − x 2

d ) y = x −1 + 3 − x.

Dạng 14 : Các bài toán thực tế liên quan đến GTLN, GTNN.
Các bài toán nói trên thường có dạng:
Tìm đại lượng thứ nhất để đại lượng thứ hai đạt GTLN ( hoặc GTNN)
Cách giải:
+ Gọi x là đại lượng thứ nhất, tìm điều kiện của x, ta được đ/kiện (*).
+ Gọi y là đại lượng thứ hai, tính y = f(x) = ?x
Bài toán thành tìm x thỏa đ/k(*) để y đạt GTLN (hoặc GTNN).

Bài tập minh họa:
Bài18:
a) Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, hỏi
hcn có kích thước thế nào thì diện tích của nó nhỏ nhất?
b) Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 2cm; chiều dài 4cm.
Cắt bỏ 4 góc 4 hình vuông bằng nhau để gấp và dán thành một cái hộp
không nắp. Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích cái hộp lớn nhất.
c) Cho tam giác đều ABC cạnh a; dựng hình chữ nhật MNPQ có M; N trên
cạnh BC, P & Q lần lượt nằm trên cạnh AC & AB. Xác định vị trí của điểm
M để cho diện tích hcn MNPQ lớn nhất.
Dạng 15*: Dùng phương pháp hàm số để giải các bài toán tìm m để
phương trình, bất phương trình có nghiệm.
Cách giải: Lý luận:
+ Bpt m > f ( x ) thỏa ∀x ∈ D ⇔ m > max f ( x )
x∈D

+ Bpt m < f ( x) thỏa ∀x ∈ D ⇔ m < minx∈fD ( x)
+ Bpt m > f ( x ) có nghiệm x ∈ D ⇔ m > minx∈fD ( x )
+ Bpt m < f ( x) có nghiệm x ∈ D ⇔ m < maxx∈Df ( x )
( x) ≤ m ≤ max f ( x )
+ Pt m = f ( x ) có nghiệm x ∈ D ⇔ m inf
x∈D
x∈D
Cách nhớ:
11
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------+ Lớn hơn mọilớn hơn max

+ Nhỏ hơn mọinhỏ hơn min
+ Có lớn hơn lớn hơn min
+ Có nhỏ hơn nhỏ hơn max
+ Pt có nghiệmm nằm giữa min và max
Chú ý:
Nếu trên D hàm số không có min, max thì lập BBT; dựa BBT chọn m
Bài tập minh họa:
Bài 19: Cho hàm số f ( x ) = mx 2 + 2mx − 3
3
a) Tìm m? để pt f ( x) = 0 có nghiệm x ∈ [ 1; 2] * ≤ m ≤ 1
8
1
b) Tìm m? để bpt f ( x) ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 1; 4] * m ≤
8
1
c) Tìm m? để bpt f ( x) > 0 có nghiệm x ∈ [ −1;3] * m ∈ (−∞; −3) ∪ ( ; +∞)
5
Bài 20:
a) m? y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x − m đ/biến trên (2; +∞) * m ≤
b) m? để pt 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 có nghiệm. * −1 < m ≤
1
1

x + x + y + y = 5

c) m? hệ sau có n0 
.*
 x 3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10

x3

y3
Dạng16:

5
12

1
(A07)
3

7
 4 ≤ m ≤ 2 (D-07)

 m ≥ 22

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số y = f ( x) =
Cách giải: Lý luận:

12
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

ax + b
cx + d


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------d
+ (Nếu y’<0) : limdy+ = +∞; limdy− = −∞ ⇒ TCD ∆ : x = − c
x →( − )
x →( − )

c

c

d
(Nếu y’>0) : limdy+ = −∞; limdy− = +∞ ⇒ TCD ∆ : x = − c
x →( − )
c

x →( − )
c

a
a
⇒ TCN ∆ ' : y =
c
c
Bài tập minh họa:
Bài21: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

+ lim y =
x →±∞

a) y =

2x + 1
x −3

b) y = 2 +

2
x −1

Bài22:Tìm điểm M thuộc đồ thị (C ) của hàm số y =

2x + 1
x +1

sao cho tổng các

khoảng cách từ đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Dạng17: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x)
Cách giải: Thực hiện lần lượt 3 bước sau:
Bước1: Miền xác định
Bước2: Lập bảng biến thiên, gồm 3 bước nhỏ:
o Tính các giới hạn đặc biệt, suy ra các tiệm cận đứng và ngang
( đối với hàm bậc1/bậc1)
o Tính y’, tìm nghiệm của y’(nếu có)
o Lập bảng biến thiên, dựa vào BBT chỉ ra các khoảng đơn điệu và
cực trị ( nếu có)
Bước3:Vẽ đồ thị, gồm 3 bước nhỏ
o Tìm các điểm đặc biệt, đối với hàm bậc 3 phải tìm điểm uốn.
o Vẽ đồ thị
o Nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Bài tập minh họa:
Bài22: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:
a ) y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 1

b) y = − x 3 + 3 x 2 − 2

c) y =

x3
+ x2 + x −1
3

13
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------d ) y = x4 − 2x2 + 1
g) y =

x+2
2x + 1

e) y = −

x4
3
− x2 +
2
2

x2
h) y = 2
x −1

f )y = 2 −

i) y =

2
x +1

x
x +1
2

Dạng18 : Các bài toán về quan hệ giữa số nghiệm của phương trình
hoành độ và số điểm chung của hai đồ thị.
Cách giải:
- Số nghiệm của pt hoành độ = số điểm chung của hai đồ thị.
-Từ đó ta có thể:
-Dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ suy ra số điểm
chung của hai đồ thị.
-Dựa vào số điểm chung của hai đồ thị suy ra số nghiệm của
phương trình hoành độ.
Bài tập minh họa:
Bài28: Gọi d là đường thẳng đi qua A (3;20) và có hàm số góc m. Tìm điều
kiện của m để (d) cắt (C): y = x3 − 3x + 2 tại 3 điểm phân biệt
Bài 29: Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị (C )của hàm số
y=

2x + 1
tai
x+2

2 điểm A&B sao cho AB ngắn nhất

Dạng19 : Viết pttt với đồ thị (C) của hàm số y=f(x)
Cách giải:
- Ta có phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) tại
điểm M 0 ( x0; y0 ) ∈ (C ) là:
y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) (1)
Chú ý:
-Trong công thức (1) để viết pttt cần biết 3 số là x0 ; y0 ; f '( x0 ) , tuy nhiên
chỉ cần biết một số thì có thể suy ra 2 số còn lại theo sơ đồ:
x0 ↔ y0 ; x0 ↔ f '( x0 ) = k ( với k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 ( x0; y0 ) )
Bài tập minh họa:
14
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------Baì 31: Cho hàm số y = − x3 − 3x 2 + 3 (C )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết pttt với (C) tại điểm uốn.Tìm giao điểm của tt này với Oy.
c) Viết pt tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 .
d) Tìm tiếp tuyến (d’) song song với (d).
f) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = mx + 3 cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(0;3), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B & C
vuông góc với nhau.
g) A, B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm
điều kiện của a, b và biểu thức liên hệ giữa chúng để các tiếp tuyến tại A &
B song song với nhau.
Bài 32: Cho y =

2x + 1
(C ) .
x +1

a) Viết pttt (d) tại điểm M0 có hoành độ x0 bất kỳ nằm trên (C).
b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận tại A&B. Chứng minh M 0 là trung điểm
của đoạn thẳng AB.
c) Tìm các tiếp tuyến của (C) chắn trên 2 trục tọa độ một tam giác có diện
tích bằng 1
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = mx cắt đồ
thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến tại A & B song
song với nhau.
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
15
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------Bài tập minh họa:
Dạng :

Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :

Cách giải:
16
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Bài tập minh họa:
Dạng :
Cách giải:
Baì toán 3: Quan hệ giữa số nghiệm của phương trình hoành độ và số
điểm chung của hai đồ thị.
A) Tóm tắt lý thuyết:
- Số nghiệm của pt hoành độ = số điểm chung của hai đồ thị.
-Từ đó ta có thể:
-Dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ suy ra số điểm
chung của hai đồ thị.
-Dựa vào số điểm chung của hai đồ thị suy ra số nghiệm của
phương trình hoành độ.

B) Phương pháp giải toán:
Bài27: Bìện luận theo tham số msố điểm chung của đường thẳng
(dm) y = mx + 4m và

đường cong (C ): y = x +

2
x

Bài28: Gọi d là đường thẳng đi qua A (3;20) và có hàm số góc m. Tìm điều
kiện của m để (d) cắt (C): y = x3 − 3x + 2 tại 3 điểm phân biệt
Bài 29: Tìm m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị (C )của hàm số
y=

2x + 1
tai
x+2

2 điểm A&B sao cho AB ngắn nhất

Bài 30:
17
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------a) Vẽ đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 3
4
2
b) Chọn m để pt x − 2 x − 3 = m có 6 nghiệm phân biệt.

Baì toán 4: Viết pttt với đồ thị (C) của hàm số y=f(x)
A) Tóm tắt lý thuyết:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = f ( x) tại
điểm M 0 ( x0; y0 ) ∈ (C ) là:
y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) (1)
Chú ý: -Trong công thức (1) để viết pttt cần biết 3 số là x0 ; y0 ; f '( x0 ) ,
tuy nhiên chỉ cần biết một số thì có thể suy ra 2 số còn lại theo sơ đồ:
x0 € y0 ; x0 € f '( x0 ) = k ( với k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 ( x0; y0 )
B) Phương pháp giải toán:
Baì 31: Cho hàm số y = − x3 − 3x 2 + 3 (C )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết pttt với (C) tại điểm uốn.Tìm giao điểm của tt này với Oy.
c) Viết pt tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1 .
d) Tìm tiếp tuyến (d’) song song với (d).
f) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = mx + 3 cắt đồ
thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(0;3), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B & C
vuông góc với nhau.
g) A, B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm
điều kiện của a, b và biểu thức liên hệ giữa chúng để các tiếp tuyến tại A &
B song song với nhau.
Bài 32: Cho y =

2x + 1
(C ) .
x +1

a) Viết pttt (d) tại điểm M0 có hoành độ x0 bất kỳ nằm trên (C).
b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận tại A&B. Chứng minh M 0 là trung điểm
của đoạn thẳng AB.
c) Tìm các tiếp tuyến của (C) chắn trên 2 trục tọa độ một tam giác có diện

tích bằng 1
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y = mx cắt đồ
thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến tại A & B song
song với nhau.
18
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------PHẦN II: CÁC NỘI DUNG ÔN THI ĐẠI HỌC
A) LÝ THUYẾT:
- Đây là vấn đề rất rộng, học sinh không nên mất thời gian học lung tung, cần
bám sát cấu trúc đề thi của Bộ, chỉ chú trọng 2 nội dung chính:
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: Chỉ khảo sát và vẽ đồ thị của
3 loại hàm số là hàm bậc 3, hàm bậc 4 dạng trùng phương và hàm bậc1/bậc1.
Nên thực hiện theo 3 bước sau:
Bước1: Miền xác định
Bước2: Lập bảng biến thiên, gồm 3 bước nhỏ:
o Tính các giới hạn đặc biệt, suy ra các tiệm cận đứng và ngang
( đối với hàm bậc1/bậc1)
o Tính y’, tìm nghiệm của y’(nếu có)
o Lập bảng biến thiên, dựa vào BBT chỉ ra các khoảng đơn điệu và
cực trị ( nếu có)
Bước3:Vẽ đồ thị, gồm 3 bước nhỏ:
o Tìm các điểm đặc biệt (là các điểm mà dựa vào đó ta vẽ được đồ thị),
đối với hàm bậc 3 phải tìm điểm uốn.
o Vẽ đồ thị
o Nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.
2) Các bài toán liên quan: Chỉ xoay quanh các nội dung liên quan đến 3 loại
hàm số trên, đó là các nội dung : Đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến tại 1 điểm, tiệm

cận( đứng và ngang), tìm những điểm trên đồ thị có tính chất cho trước, tương
giao giữa 1 đường thẳng và một trong 3 đồ thị của các hàm số nêu trên,…
B) CÁC DẠNG BÀI TẬP:
*Hàm bậc 3: y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0).
Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 3 (C)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2). Các vấn đề về tiếp tuyến :
a. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn * y = −3x + 4
b. Tìm M thuộc ( C) mà tiếp tuyến tại M có
+ Hệ số góc k = 9
* M 1 (−1; −1); M 2 (3;3).
+ Hệ số góc k lớn nhất * M (1;1) ≡ Điểm uốn.
c) -Tìm các tt’ của (C) // đt y = 24x + 2013 * y = 24 x + 31; y = 24 x − 77
- Tìm các tt’ của (C) vuông góc với đt y =
* y = 45 x − 172; y = 45 x + 84.

1
x + 2013
45

19
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
-------------------------------

3) Dùng phương trình hoành độ : (∆) qua A (-1;-1) & có h/s góc k; k? (∆) cắt (C)
tại 3 điểm phân biệt A (-1;-1);B;C sao cho:
+Các tt’tại B&C vuông góc nhau * k =

6 ± 35
3

+ BC = 2 * k = 1.
4) Dùng đồ thị: Dùng đồ thị (C) để:
a, Bluận số n0 của pt x 3 − 3 x 2 = m
3
2
b, m? pt x − 3x + 3 = m có 6 nghiệm phân biệt * 0 < m < 1
3

c, m? pt x − 3x 2 = m có đúng 3 nghiệm * m = 0.
5) Đối xứng
a)(C’) đ/xứng với (C) qua I(1;-2) Tìm hàm số có đồ thị là (C ’). * y = x3 − 3x 2 − 3.
b.(C’’) đối xứng với(C) qua đthẳng x = 2.Tìm hàm số có đồ thị là (C’’)
.
* y = − x3 + 3 x 2 − 12 x − 1
c. Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ 0. *(1;1);(-1;-1)
Bài 2: Cho đường cong bậc 3 : y = x3 – 3x2 +3mx +3m +4 ( Cm)
1. Tìm điểm cố định : * (-1;0)
2. m?h/số
a. Đồng biến / R
* m ≥ 1.
b. Nghịch biến /(0;1)
* m ≤ 0.
(1;
+∞
)
c. Đồng biến /

. * m ≥ 1.
3) Cực trị
a. m? có cực trị , viết p/trình đ/thẳng qua 2 điểm cực trị , tìm toạ độ 2 điểm cực trị
theo tham số m
* m < 1. ptđt qua 2 điểm cực trị là: y = 2(m-1)x + 4m + 4; toạ độ điểm CĐ
(1 − 1 − m ;6m + 2 − 2(m − 1) 1 − m ) , CT (1 + 1 − m ; 6m + 2 + 2(m − 1) 1 − m )
b. m? hàm số:
+Đạt CĐ tại x = 1. * m = −3.
+Đạt CT tại x = 2
* m = 0.
c. m? đồ thị của h/số có 2 điểm cực trị thoả
+2 điểm cực trị nằm về 2 phía Oy.
* m < 0.
+ 2điểm cực trị nằm về 1 phía Oy
* 0 < m < 1.
+2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đ/t x = 1. * m < 1.
+2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục Ox (tức Cm cắt Ox tại 3 điểm p/biệt hay
pt y = 0 có 3 nghiệm p/biệt ). * −3 ≠ m < 0.

20
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------6 − 78
.
4
+ Khoảng cách từ điểm cực đại đến trục tung = 1.
* m = −3.
+ 2 điểm cực trị và gốc toạ độ O thẳng hàng. * m = −1.

+ Khoảng cách gữa 2 điểm cực trị = 2 5

* m = 0; m =

+ 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x − 8 y + 127 = 0 * m = 6
+OA vuông góc với OB (O gốc toạ độ ; A,B là 2 điểm cực trị ) * m = 0.
4). Sự tương giao
a. m? ( Cm)
+ Có với Ox 3 điểm chung ( 2 đ /chung ,1 đ /chung).
b.m? để (Cm)
+ Cắt Ox tại 3 điểm p/biệt có hoành độ âm
+Cắt Ox tai 3 điểm p/biệt có hoành độ lập thành csc
+Cắt đt y = mx + m tai 3 điểm p/biệt có hoành độ lập thành 1csc
c. m? (Cm) cắt đ/thẳng (d) y = 2x + 2 tại 3 điểm p/biệt M (-1;0) & N; P sao cho :
+ NP = 1
+ Các tt’tại N & Pvuông góc nhau
d. m? để t/tuyến với (Cm) tại điểm có h/độ x = 1vuông góc với đt x + 6y – 6 = 0
5. Đối xứng
a. m? ( Cm) nhận điểm I (1;-4) làm tâm đ/xứng
b. m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ O
c. m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua I(0;-3)
* Hàm trùng phương: y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c(a ≠ 0).
Bài 3:
Cho hàm số y = x4 -2x2 -1(C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/số
b. Viết p/t tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với tia Ox.
c. Viết p/t tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // đt y = 24x
4
2

d. m? pt x − 2 x − 1 = m có 6 nghiệm p/biệt.
e) A, B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b. Tìm điều
kiện giữa a, b để các tiếp tuyến tại A & B song song với nhau.
Bài 4: Cho họ đường cong (Cm) : y = -x4 + 2mx2 -2m + 1
a. Tìm các điểm cố định của họ ( Cm)
b. Biện luận theo m số cực trị của họ (Cm)
c. Xác định m sao cho (Cm) cắt Ox tai 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành
một csc. Xác định cấp số cộng này
d. m ? (Cm) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

21
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------e. m ? (Cm) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp bằng 1.
ax + b
(c ≠ 0; ad − bc ≠ 0)
cx + d
2x + 1
(C )
Cho hàm số y =
x +1

* Hàm nhất biến : y =
Bài5:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Các vấn đề về tiếp tuyến

a. Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox
1
9

b. Viết pt tiếp tuyến // đt y = x + 10
c. Tìm điều kiện của tham số k để (C) có 2 tiếp tuyến cùng có h/s góc bằng k
d. Tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc (C) cắt 2 tiệm cận tại A&B.Chứng minh
rằng M là trung điểm của AB và diện tích tam giác IAB không đổi ( I là giao điểm
2 tiệm cận)
e. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cách gốc tọa độ O một khoảng
cách bằng 1.
3.Sự tương giao
a.Gọi (∆) là đ/thẳng qua O(0;0)& có h/s góc k. Tìm k để :
+ (∆) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
+ (∆) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho ABmin
+ (∆) cắt(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 10
+ (∆) cắt(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho k 1 + k2 lớn nhất với k1 ; k2
lần lượt là các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A & B.
+ (∆) cắt(C) tại A, B sao cho O là trung điểm AB
+ (∆) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác CAB
bằng 2 với C (0;2)
b. Gọi (dm): y = x + m. Biệm luận theo m số điểm chung của (dm) & (C). Khi
(dm) cắt (C) tại 2 điểm phận biệt M & N. Chứng minh rằng các trung điểm I của
đoạn thẳng MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định.Tìm phương trình đường
thẳng đó.
c. P (-2;3) thuộc (C). Tìm Q thuộc (C) sao cho tam giác OPQvuông tại O.
4. Khoảng cách
a. Chứng minh tích các k/cách từ 1 điểm M thuộc (C) đến 2 t/cận là 1 hằng số

22

-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------b.Tìm M thuộc (C) có tổng các k/cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất (có tổng các
k/cách đến 2 tiệm cận =

17
?)
4

c. Tìm M thuộc (C) có tổng các k/cách đến 2 trục toạ độ nhỏ nhất
d. Tìm M thuộc (C) có k/cách đến đ/t x – y + 2 = 0 bằng 2
e. Tìm M thuộc (C) có khoảng cách từ M đến Ox gấp 2lần k/cách từ M đến Oy
f. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)sao cho k/cách của chúng là nhỏ nhất
5.Biện luận theo tham số m số nghiệm của p/trình
a. 2 x + 1 = m x + 1

b.

.2 x + 1
=m
x +1

c. 2 x + 1 = m( x + 1)
c. m( x + 1) = 2 x + 1
6. Đối xứng
a. CM (C) nhận giao điểm 2 tiệm cận là tâm đối xứng
b. CM (C) nhận các đ/thẳng y = x + 3; y = − x + 1 làm trục đối xứng
c. Tìm cặp điểm trên (C) đối xứng qua điểm H( 0; 4 )

Bài 6:

Cho h/số y =

mx + m − 1
( Hm)
x + m −1

a. CMR với m ≠ 1 , mọi đ/cong (Hm) đều đi qua 1 điểm cố định và tại điểm đó
mọi đường cong đều có chung 1 tiếp tuyến
b. m? h/s đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ )
c. m? tiếp tuyến tại giao điểm của (H m) với Ox chắn trên 2 trục tọa độ một tam
giác có diện tích bằng 2.
C) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( Trích từ các đề thi đại học)
Bài7: Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6 . Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc

1
x −1
6
Bài8: Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6 có đồ thị (C). Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị
với đường thẳng y =

của ( C) .
1) Tìm tọa độ điểm:
a) E trên trục hoành sao cho tam giác ABE vuông tại B
b) F trên trục hoành sao cho ∠AFC bằng 1200
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) biết:
a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

1

x −1
6

23
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x + 2013
2x +1
Bài9:Tìm điểm M thuộc đồ thị ( C ) : y =
để tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại
x −1
điểm M tạo với đường thẳng ( d ' ) : 2 x − y + 10 = 0 một góc 450
Bài10: Cho hàm số y =

( 3m + 1) x − m2 + m có đồ thị là ( C ) , m là tham số
m
x+m

thực và m ≠ 0 . Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành ,
tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng x − y − 10 = 0 . Viết phương
trình tiếp tuyến đó.
Bài11:Cho hàm số y = x 3 + mx + m + 1 (m là tham số thực). Viết phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục Oy . Tìm m
để tiếp tuyến nói trên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2.
Bài12: Cho hàm số y =

( 3m + 1) x − m2 + m (1), trong đó m là tham số thực .Xác
x+m

định m sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại giao điểm của nó với trục
hoành tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2
3
2
Bài13:Tìm trên đồ thị ( C ) : y = x + x + x + 1 những điểm mà tiếp tuyến (t) với
đồ thị tại đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ I
Bài14: Cho hàm số y =

2x
có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) những điểm M,
x +1

sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại 2 điểm phân biệt A,B mà
tam giác AOB có diện tích bằng
Bài15: Cho hàm số y =

1
4

x
có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) những điểm M,
x +1

sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại điểm phân biệt A,B sao cho
tam giác AOB có diện tích bằng 2.

2x + 3
có đồ thị là (C) . Tìm tất cả các tham số m để
x−2

đường thẳng (d) : y = 2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại
Bài16: Cho hàm số y =
đó song song với nhau

24
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan


Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2016 – 2017, GV Ngô Khánh
------------------------------2x − 3
Bài17: Tiếp tuyến của đồ thị (C ) : y =
tại M cắt các đường tiệm cận tại 2
x−2
điểm phân biệt A,B
1) Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
nhỏ nhất ( I là giao điểm 2 đường tiệm cận)
2) Tìm trên (C) nhưng điểm có hoành độ x > 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với 2
đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
4
2
Bài18: Cho đường cong ( C ) : y = − x + 4 x − 3 . Tìm m và n để đường thẳng (d)

: y = mx + n cắt đường cong (C) tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự sao
1
cho AB = CD = BC
2
3
2
Bài19: Tìm m để đồ thị ( Cm ) : y = x − 3mx − 3x + 3m + 2 cắt trục Ox tại 3
2

2
2
điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 + x2 + x 3 ≥ 15

Bài20: Tìm các giá trị của tham số m sao cho ( d ) : y = x + 4 cắt đồ thị

( Cm ) : y = x3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4

tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B,C sao cho
tam giác KBC có diện tích bằng 4 , biết K(1;3)

2x +1
có đồ thị là (C), (d) là đường thẳng qua B(-2;2) và
x −1
có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M 1 , M 2 sao cho các
đường thẳng đi qua M 1 , M 2 song song với các trục tọa độ cắt nhau tại 4 điểm là 4
Bài21: Cho hàm số y =

đỉnh của một hình vuông.
Bài22:Cho hàm số y =

2x
có đồ thị là (C) . Tìm 2 điểm B,C thuộc hai nhánh
x −1

của (C) sao cho tam giác ABC vuông tại A(2;0) .
Bài23:Tìm m để đồ thị ( Cm) của hàm số y = x 3 − 3mx 2 − 3x + 3m + 2 cắt Ox tại:
1) 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
2) đúng 2 điểm phân biệt.
3) 1 điểm duy nhất.

Bài24: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-2; 0) và có hệ số góc k. Tìm tất cả
các giá trị k để d cắt đồ thị (C) của hàm số y = − x 3 + 3x − 2 tại 3 điểm phân biệt

2
3

A, B, M sao cho tam giác OBM có trọng tâm G ( ; −8) .

25
-------------------------------------------Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan