Áp Dụng BĐT giải Phương trình và Hệ Phương trình

Kờnh Youtube:NT OFFICIAL
Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai
p dng Bt ng Thc trong Gii Phng Trỡnh v H Phng Trỡnh
VI. nội dung

A, Các kiến thức cơ bản:
1, Cho A là biểu thức chứa ẩn thì:
+ A2 0 với mọi giá trị của biến
+ A 0 với mọi giá trị của biến để A 0
+ A có nghĩa khi chỉ khi A 0
+ A 0 với mọi giía trị của biến.
2, Bất đẳng thức Côsi cho a1, a2, a3, an > 0 thì
a1 a2 a3 .... an

n

n

a1.a2 .a3 ...an

Dấu = xảy ra khi chỉ khi a1 = a2 = a3 = an
3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Cho hai bộ số bất kì: a1, a2, , an
b1, b2, ., bn
Ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2)
Dấu = xảy ra khi chỉ khi:

a
a1 a2
... n
b1 b2

bn

B, áp dụng các biểu thức d-ơng giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình:
Bài 1: Giải ph-ơng trình:
3x2 6 x 12 5x2 10 x 9 3 4 x 2 x 2 (*)

Giải:
Ta có: 3x + 6x + 12 = 3x + 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2 + 9 9 với mọi x.
5x2+ 10x + 9 = 5x2+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2+ 4 4 với mọi x.
3x2 6 x 12 5x 2 10 x 9 4 9 5 (1)
Mà 3 - 4x - 2x2 = 5 - 4x- 2x2- 2 = 5 - 2(x2 + 2x + 1)
= 5 - 2(x+1)2 5 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra ph-ơng trình có nghiệm x = -1
Thử x = -1 là nghiệm của (*)
2

2

Bài 2: Giải ph-ơng trình:
x2 y 3 z 5





2

x 2 1

1

( x y z 7)
2


2

y 3 1



2

z 5 1 0

x 3

y 4
z 6


1


Kênh Youtube:NĐT OFFICIAL
Page Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
Bµi 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x y 1  2 y x 1 

y 1
x  1

3xy
2

§K 

 2 x y  1  4 y x  1  3xy

 xy  2 x y  1  2 xy  4 y x  1  0


 x







 x y  2 y 1  2 y x  2 x 1  0

Do


x 1 x

2

y 1 1  2 y

y 1 2y





(1)

2

x 1 1  0



2

y  1  1  0 dÊu “=” x¶y ra khi y = 2





2

x  1  1  0 dÊu “=” x¶y ra khi x = 2

VËy nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) lµ: x = 2
y=2
Bµi 4:
2 x 2  10 x  13  26 x 2  24 x  8  4 x  1



x



 x  2    x  3

2

 



 4x  4  x2  6x  9 
2

2



2

2

2

2

 x  2  5x  2

2

 



 4 x  4  25 x 2  20 x  4  4 x  1

 x  2  5x  2

 x  2    x  3
Ta cã:

x

2

 4x 1

 x 3  3 x
2

 5x  2  5x  2

 VT  5 x  2  3  x  4 x  1

DÊu “=” x¶y ra
DÊu “=” x¶y ra
DÊu “=” x¶y ra
3  x  0


 5  x  0  x  2
x  2  0

VËy S = 2

Bµi 5:
 x  1  y  1  4

 x  y  xy  3

a, Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
 xy  0
 x  1  0, y  1  0

§K: 

mµ

x  0
x  y  xy  3  0  
y  0

2


Kênh Youtube:NĐT OFFICIAL
Page Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
2 x  2 y  xy  4 x  1  4 y  1  16  6  0

 x  y  2 xy    x  1  4 x  1  4    y  1  4
 x  y    x  1  2   y  1  2  0
2

2



y 1  4  0

2

 x y

  x 1  2  x  y  3

 y  1  2
2

 z  1  2 xy
 2

 x  1  2 yz 1  4 xy
1
1
 xy   xy 
4
2

b, Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:

4 xy  1
 xy  0

§K: 

 2 xy  1 “=” xÈy ra  xy =

1
4

z 2  1  1 “=” xÈy ra  z = 0
x  1
 x  1


1
1
z = 0   y  hoÆc  y  
4
4


 z  o
 z  0

Bµi 6:

Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
 x 2  xy  y 2  3


 2

 z  yz  1  0


 y2 
y
 2
3y2
2
x


3

1  

 x  xy  y  3 
2
4 


4


2
2
2
y
y2

 z 2  xy  y  y  1

z


1



4
4
2
4

 y2
0
1 
y2
4
 2

 1  y  2
4
 y 1  0
 4
 S  1; 2; 1 ;  1; 2;1
2

Bµi 7: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
 x2  4 x  2  2 x2  8x  5  2  3









 2  x2  4 x  4  3  2 x2  8x  8  2  3
 2   x  2  3  2  x  2  2  3
2

2

3


Kênh Youtube:NĐT OFFICIAL
Page Góc Toán Học: Facebook.com/thaygiaodepzai
 2 x2 2  2
""  x  2




 3  2  x  2 2  3


""  x  2

 2   x  2  3  2  x  2  2  3
2

2

x2
 S  2

Bµi 8: Gi¶i ph-¬ng tr×nh:
a, x  1  5 x  1  3x  2
 x  5x

§K : x  1

 x  1  5x  1

 x  1  5x  1

 x  1  5x  1  0

Mµ

3x  2  0  pt cã S  

x
3x  2

2
x

3x  2

b, Gi¶i:

2
3

x
3x  2

2
x
3x  2



DÊu “=’ 

DK : x 

x
3x  2
 x 2  3x  2

x
3x  2

x  1
 x 2  3x  2  0  
x  2

 S  1; 2

Bµi 9: Gi¶i
x 1  2  x  1

DK : x  1

 x 1  x 1
 2  x 1  x 1
 S  

Bµi 10:

1 1 1
x  y  z  2
Gi¶i : 
 2  1 4
 xy z 2
2

1 1
1
Tõ (1)       2  
z
x y 
1
1 4
 2  2  0
x

y
z

2



(1)

1
1
2
1 4
 2
 4 2 
2
x
y
xy
z
z

4


Kờnh Youtube:NT OFFICIAL
Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai

1
1
1 1
2 4 2 0
2
x
y
y x



1 4
1 4
2 4 2 4 0
x
y
x
y

2


1
1
2 2 0
x
y

1
1

x y
z
2
2
2

2, áp dụng BĐT Cô si:
Bài 1:
x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2
2

1 7

x x 1 x x 1 x
2 4

2

2

x2 x 1 0
Ta có ĐK: 2


x x 1 0
a 1
Khi đó áp dụng: a
2

ta có:

" " khi a 1

x2 x 1 x2 x 1

x2 x 1 x2 x 1

2
2

x2 x 1 x2 x 1 x 1

Mặt khác:

x 2 x 2 x 1 x 2 2 x 1
x 1 x 1 x 1
2

Vậy
x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2 x 1
x2 x 1 1

x 2 x 1 1

2
1
x 1

x 1

Vậy x=1 là nghiệm
Bài 2:
x2 x
1 2 x3 x 2 x 1
2 2
x2 x
1 ( x 2 x 1)(2 x 1)
2 2

(1)

Ta có x2 - x + 1 > 0 với mọi x suy ra ĐK x

1
2

áp dụng Côsi cho 2 số x2 x + 1 > 0
5


Kờnh Youtube:NT OFFICIAL
Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai
2x + 1 > 0
x2 x 1 2 x 1 x2 x
Ta có: ( x x 1)(2 x 1)
1
2
2 2
2
Vậy dấu = xảy ra x x + 1 = 2x +1

TM
x2 3x = 0 x = 0
2

hoặc x = 3

Vậy S = 0;3

TM
1 2 3
12
x y z
x 2 y 3z 3


Bài 3: Giải hệ ph-ơng trình:

(1)

Với x, y, z > 0
Từ (1) ta có:

1
2
3

x y z 6
4x 4 y 4z

Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số

(1)
(2)

1
1
dấu = xảy ra khi x
x 1
4x
2
1

2
1
2y 2
y 2 dấu = xảy ra khi y
4x
2
4y


3
1
1

dấu = xảy ra khi z
3 z 3
2
4z
4z

1
2
3
Từ (1), (2) và (3) ta có: x 2 y 3z 1 2 3 6
4x
4y
4z
1
dấu = xảy ra khi x y z
TM
2
1 1 1
vậy nghiệm của hệ ph-ơng trình là: S = , ,
2 2 2

(3)

3z

Bài 4: Giải ph-ơng trình:

2007 x2008 2008 x2007 + 1 = 0

1 + 2007 x2008 = 2008 x2007

x>0

áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số d-ơng
1; x2008 ; x2008; x2008 ; x2008 ( 2007 số x2008 )
2008

1.( x 2008 )2007 = 2008. x2007
Ta có: x2008 + x2008 + + 1 2008
dấu = xảy ra khi chỉ khi 1 = x2008 x = 1 vì x > 0
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x = 1
4
Bài 5: Giải ph-ơng trình: x3 x2 8x + 40 = 8 4 x 4
ĐK 4x + 4 0 x -1
Với Đ K x -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có:
4
4
4 + 4 + 4 + x + 1 4 4.4.4.( x 1) = 8 4( x 1)
13 + x 8

4

4( x 1) 13 + x x3 3 x2 8x + 40

x3 3 x2 9 x + 27 0 ( x 3 )2( x + 3 ) 0
Do x - 1 x + 3 > 0 ( x 3 )2 0 x = 3 TM

Vậy x = 3 là nghiệm của ph-ơng trình
6


Kờnh Youtube:NT OFFICIAL
Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai
Bài 6: Giải ph-ơng trình: 7 x x 5 x2 12 x 38 (1)
ĐK 5 x 7
Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số
7 x 1

2
x 5 1
x 5 và 1 ta có: x 5
2
7 x 1 x 5 1
7 x x 5

2
2
2
7x

7 x và 1 ta có:

dấu = xảy ra khi chỉ khi 7 x = 1
x5=1

x=6

Ta lại có: x2 12x + 38 = ( x 6 )2 + 2 2 dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 6
Vậy S = 6
Bài tập t-ơng tự:
x 2 x 1 x2 x 1 x2 x 2
Bài 1: Giải ph-ơng trình:
2 x 3 5 2 x 3x2 12 x 14
Bài 2: Giải ph-ơng trình:

3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Bài 1: Giải ph-ơng trình:
2 x 3 5 2 x 3x 2 12 x 14

2x 3 5 2x 3 x 2 2
2

2 x 3 0
1,5 x 2,5
5 2 x 0

ĐK:

áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) và ( 2 x 3 : 5 2x )



2x 3 5 2x

1 1
2

2

2

2x 3 5 2x 2





2
5 2 x 2.2 4

Do 2 x 3 5 2 x 0

2x 3

2

Dấu = xảy ra 2 x 3 5 2 x x 2
2
3 x 2 2 2 dấu= xẩy ra x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 2: Giải ph-ơng trình
a, A x 2 5 2 x
ĐK: 2 x

6
2

1

5
2

2


5
Ta có : A x 2.1 x . 2
2

6
A0 A
2
2



x2



2

2
5
2
1

x 1 22 . 3
2
2






7

Kờnh Youtube:NT OFFICIAL
Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai
1 xẩy ra

5
x
2

x 2. 2

x

13
6

(TMĐK)

13
S
6

b, 2 x 1 3 5 x 2 13

2

x 1 3 5 x

2
2

2

DK : 1 x 5

32

x 1 5 x 13.4

2 x 1 3 5 x 2 13

3 x 1 2 5 x
29
x
TM
13
29
S
13

PT xảy ra

c,
x2 4 x 5 2 2 x 3

2 x 3 1 x 1 0
2

2

x 1

x 2 10 x x 2 12 x 40

Bài 3: Giải ph-ơng trình :

DK :2 x 10

x2 12 x 10 x 6 4 4
2

Dấu = xảy ra khi x = 6
2
Ta có x 2 10 x x 2 10 x 12 12 16
x 2 10 x 4

Dâu = xẩy ra
S 6

Do : x 2 10 x 0

x = 6 (TM)

Bài 4: Giải ph-ơng trình : x 1 x 3 2( x 3)2 2 x 2
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho x 1 ; x 3 và 1 ; 1 ta có:

x 1 x 3

2
x 1 x 3 12 12 x 1 x 3



(1)

2

(2)

2( x 1) 2( x 3) 2

x 1 x 3

(1) và (2) xảy ra khi chỉ khi:

x 6x + 9 = x 1
x2 7x + 10 = 0
x=2
2

hoặc x = 5

x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn

vậy S 5

Bài 5: Giải ph-ơng trình : x2
x2

4

4

2 x 4 1 x 4 x3

2 x 4 1 x3 ( x 1)

Đ K : x4 2
x2 (

4

2 x4 1 1 x4

(x 0)
8


Kờnh Youtube:NT OFFICIAL
Page Gúc Toỏn Hc: Facebook.com/thaygiaodepzai

4

1
x2
2
x

2 x4 x

Ta có:

1
x2 2
x2

dấu = xảy ra x 2



2

1
x2

4
Mặt khác: 2 x 4 12 12 2 x 4 x 2

4



2 x4 x
4


4

4

2 x x
2

4

2 x4 x2



2

x2 1

(1)

4.2 2 x 4 x 4 16

(2)

16 2

Dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 1
Từ (1) và (2) suy ra ph-ơng trình có nghiệm của nó là 1 TM
Vậy S = 1

Bài tập t-ơng tự:
Bài tập 1: Giải ph-ơng trình:

6x 3
3 2 x x2
x 1 x

Bài tập 2:
6 x 2 3xy x 1 y
Giải hệ ph-ơng trình: 2 2

x y 1

9