Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2014 2015 sở GDĐT kiên giang

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học 2014-2015
Môn thi : TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài : 150 phút , Không kể thời gian giao đề

Bài 1: (1,5 điểm)
M=

2
2( x + 1) x − 10 x + 3
+
+
, ( x ≥ 0, x ≠ 1).
x −1 x + x + 1
x3 − 1

Cho biểu thức:
1/ Rút gọn biểu thức .
Bài 2: (1,5 điểm)

2/ Tìm x để biểu thức có giá trị l ớn nh ất.

x2

y=
2

Cho parabol (P)
; đường thẳng (d) : mx + ny = 2 và hai điểm M(0; 2); N(4; 0)
1) Tìm m, n biết đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N.
2) Khi đường thẳng (d) đi qua điểm M. Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A và B. Tìm tọa độ A và B biết rằng khoảng cách gi ữa hai đi ểm A và
6 2.

B bằng
Bài 3. (1,5 điểm)
Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b là tham số. Tìm giá trị của a, b để
 x1 − x2 = 3
 3
3
 x1 − x2 = 9

phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện:
.
Bài 4: (2 điểm)
1/ Cho 2 số thực a,b thỏa a + b = 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = a 3 + b3.
≥

2/ Cho hai số thực a, b. Chứng minh rằng: 2(a4 + b4) ab3 + a3b + 2a2b2.
Bài 5: (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi d là đường th ẳng đi qua A và vuông
góc với AB. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho BC > R, dựng CD vuông góc v ới AB (D
thuộc AB). Gọi E là điểm trên tia CD sao cho ED = BC (theo thứ tự C, D, E). Các ti ếp
tuyến EP, EQ với đường tròn tâm O (P và A nằm cùng phía so v ới DE) c ắt đ ường

thẳng d lần lượt tại N và K; CE cắt đường tròn tâm O ở F.
1) Chứng minh: EF2 = CE.EF.
2) Chứng minh EP = BD.
3) Đặt KN = x, BD = y. Tính diện tích tam giác EKN theo R, x, y.
4) Chứng minh KN = AB.

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1

1) Rút gọn được M =

5 x −3
x + x +1

.

2) Để tìm max của M ta dùng phương pháp miền giá trị.

Đặt

t= x ≥0

nghiệm thì

Bài 2

M=

,

5t − 3
⇔ Mt 2 + (M − 5)t + M + 3 = 0
t + t +1

∆ ≥ 0. ∆ =

2

≥

(1 – M)(3M + 25) 0

, để phương trình theo biến t có

−25
≤ M ≤1
⇔ 3

.Vậy max M = 1 khi t = 2 và x = 4.
1
y = − x + 2.
2

1) Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình của (d) tìm được

2) Khi (d) đi qua M(0; 2) ta tính được n = 1, thay vào phương trình ta được pt (d): y = - mx +
2.

Đưa về phương trình hoành độ giao điểm:

x2
= − mx + 2 ⇔ x 2 + 2m − 4 = 0
2

pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai điểm cắt là

. (1) do a, c trái dấu

A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 )

điểm A, B ta giải phương trình AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 (2) với AB =

. Để tìm tọa độ hai

6 2

và

2

( x2 − x1 )

2

 ∆

2
= 
÷
÷ = 4m + 16
a



,

( y2 − y1 )

2

= m 2 (4m 2 + 16)

. Thay vào (2) ta được phương trình: m2

+ 5m2 – 14 = 0. Giải phương trình được nghiệm m2 = 2, hay m =

(

(1) được tọa độ của hai điểm A, B là :

(

)(

6 − 2; 4 − 2 3 ; − 6 − 2; 4 + 2 3

)

)(

± 2

, thay vào phương trình

6 + 2; 4 + 2 3 ; − 6 + 2; 4 − 2 3

)

hoặc

.

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 3.
- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

∆ = a 2 − 4b − 4 ≥ 0.

(*)

- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = - a , x1.x2 = b + 1, kết hợp với điều kiện của giả thiết ta có

hệ phương trình:

 x1 − x2 = 3
 3 3
 x1 − x2 = 9

 x1 + x2 = 3
x x = b +1
 1 2

(1)
(2)
(3)
(4)

. Bình phương (1); thay (3), (4) vào (2), ta được hệ:

2
a − b = 4
 2
a − 4b = 13

±

. Giải tiếp hệ phương trình này ta được b = - 3 , a = 1. Các giá trị a, b tìm được
thỏa điều kiện (*) thế vào phương trình (1) thử lại đểu thỏa .
Bài 4.
1) Tách hằng đẳng thức a3 + b3 rồi thế điều kiện a + b = 20 vào biểu thức T, ta được kết

quả:
T = 60(a – 10) 2 + 2000

≥

2000. Vậy min T = 2000 khi a = b = 10.

2) Chuyển vế và biến đổi tương đương ta được kết quả cuối cùng (a 2 – b2)2 + (a – b)2(a2 +
ab + b2)
Bài 5.

≥

0 là biểu thức luôn đúng.

1) EP2 = EF.EC .

2) + Trong

∆

∆EPF ∽ ∆ECP

(g-g)

BCA vuông tại C ta có BD = BC2: AB = BC2: 2R2.(1)

∆

+ Trong EOQ: EQ2 = OE2 – R2 (2), mà OE2 = OD2 + DE2 (3) , OD = R – DB (4). Thay (4) vào

(3), (3) vào (2) khai triển và thu gọn rồi thay kết quả vào (1), ta được: EQ 2 = DB2 hay EQ =
DB.
S KNE = SONK + SOKE − SONE =

R
( x + KE − NE )
2

3)
được kết quả SKNE = R(x – y) (5)

4) Dựng EH

⊥

, thay KE = x + AN – y, NE = NP + y, NA = NP, ta

AK, EH = AD = 2R – y. Vậy SKNE =

EH .KN x (2 R − y )
=
2
2

(6).

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên

Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Từ (5) và (6) ta có x = 2R = AB.

C

A

N
H

O

D
B

P

F

Q

E

K

Trang | 4

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm trong vi ệc ôn luy ện h ọc
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 4