Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2014 2015 sở GDĐT nam định

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học 2014 – 2015
Môn: TOÁN (chuyên)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 150 phút.
( Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1: (2,0 điểm):
1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
Chứng minh rằng

( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 0

1 1 1
+ + =1
a b c

.

và a + b + c = 1.

( 3 + 5) + ( 3− 5)
n

2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh
Bài 2: (2,5 điểm):

(

)(

)

n

là số nguyên dương.

x + 6 − x − 2 1 + x 2 + 4 x − 12 = 8

1) Giải phương trình

.

 x + xy = y + y


1
4
= 3 − 4 x3
2 y + 1 + 2
x +1

3

2

6

4

2) Giải hệ phương trình
bài này hôm qua tôi đánh nhầm
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AA1; BB1;
CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A.
1) Chứng minh A1 là trung điểm của HK.
HA HB HC
+
+
AA1 BB1 CC1

2) Hãy tính
.
3) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm
2

thứ hai là E, kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng
Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn

AN  AB1 
=
÷
NE  EB1 

x 3 + y 3 − 3xy = 1

Bài 5: (1,5 điểm):
1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số tr ở lên. Người ta thi ết l ập s ố m ới
bằng cách xóa đi chữ số hàng đơn vị của số đã cho, sau đó cộng vào s ố còn l ại 7 l ần s ố v ừa
bị xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có th ể thu
được 1006 hay không ? Tại sao ?

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

x 2 + y 2 + z 2 = 3 xyz

2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
2

2

. Chứng minh rằng:

2

x
y
z
3

+ 4
+ 4
≤
x + yz y + xz z + xy 2
4

.

Hế t

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1: (2,0 điểm):

1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
Chứng minh rằng

Từ GT ta có:
⇒

( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 0

1 1 1
+ + =1
a b c

và a + b + c = 1.

.

1 1 1
1
1
a+b
a +b
1 1 1

+ + =
⇒  + ÷+  −
+
=0
÷= 0 ⇒
a b c a +b+c  a b   c a +b +c 
ab c ( a + b + c )

a+b
a+b
+
= 0 ⇒ ( a + b )  c ( a + b + c ) + ab  = 0 ⇒ ( a + b ) ca + cb + c 2 + ab  = 0
ab c ( a + b + c )

a + b = 0
=> ( a + b ) ( c + b ) ( a + c ) = 0 ⇒ c + b = 0
c + a = 0

Nếu a + b = 0 => c = 1 => c – 1 = 0 =>
Nếu c + b = 0 => a = 1 => a – 1 = 0 =>
Nếu a + c = 0 => b = 1 => b – 1 = 0 =>
Vậy ta có đpcm.

( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 0
( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 0

( a − 1) ( b − 1) ( c − 1) = 0

( 3 + 5) + ( 3− 5)
n

2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh
Bài 2: (2,5 điểm):

(

1) Giải phương trình
ĐKXĐ

x≥2

)

)(

là số nguyên dương.

x + 6 − x − 2 1 + x 2 + 4 x − 12 = 8

x + 6 = a ≥ 0; x − 2 = b ≥ 0 ⇒ a − b = 8
2

, đặt

n

.

2

PTTT:

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a = b
1 + ab − a − b = 0

( a − b ) ( 1 + ab ) = a 2 − b 2 ⇔ ( a − b ) ( 1 + ab − a − b ) = 0 ⇔ 
+) với

a = b taco : x + 6 = x − 2

vô nghiệm

 a = 1 ⇔ x + 6 = 1  x + 6 = 1 vonghiem
1 + ab − a − b = 0 ⇔ ( a − 1) ( b − 1) = 0 ⇔ 
⇔
b = 1 ⇔ x − 2 = 1  x − 2 = 1 ⇔ x = 3(TM )

+) với
PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 3

2) Giải hệ phương trình

 x 3 + xy 2 = y 6 + y 4 ( 1)


1
4
= 3 − 4 x3 ( 2)
2 y + 1 + 2
x +1

 x − y 2 = 0 ⇔ x = y2

( 1) ⇔ ( x3 − y 6 ) + xy 2 − y 4 ⇔ ( x − y 2 ) ( x2 + xy 2 + y 4 + y 2 ) = 0 ⇔ 

2
2
4
2
 x + xy + y + y = 0 ( 3)

2
x = 0
1 2 3 4

( 3) ⇔  x + y ÷ + y + y 2 = 0 ⇔ 

2  4

y = 0

Với

x= y

Thỏa mãn (2)

2

Bài 4: (1,0 điểm): Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn
x3 + y3 − 3 xy = 1 ⇔ ( x + y ) − 3 xy ( x + y ) − 3 xy = 1

x 3 + y 3 − 3xy = 1

3

, đặt x + y = a và xy = b (a, b nguyên) ta có:

a − 3ab − 3b = 1 ⇔ ( a + 1) ( a − a + 1) − 3b ( a + 1) = 2 ⇔ ( a + 1) ( a 2 − a + 1 − 3b ) = 2
3

2

Vì a, b nguyên nên có các TH sau :
a = 0
a + 1 = 1


1)  2
⇔
−1
a − a + 1 − 3b = 2
b = 3

a + 1 = 2
a = 1
2)  2
⇔
 a − a + 1 − 3b = 1 b = 0

(loại)

(nhận)

a + 1 = −1
a = −2
3)  2
⇔
b = 3
a − a + 1 − 3b = −2
a + 1 = −2
a = −3
4)  2
⇔
a − a + 1 − 3b = −1 b = 4

x + y = 1
⇒

⇒ ( x; y ) ∈ { ( 0;1) , ( 1;0 ) }
 xy = 0

(nhận)

(nhận)

 x + y = −2
⇒
⇒ ( x; y ) ∈ ∅
 xy = 3
 x + y = −3
⇒
⇒ ( x; y ) ∈ ∅
 xy = 4

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

( x; y ) ∈ { ( 0;1) , ( 1;0 ) }

Vậy
Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC
a) góc A1 = góc C2 = góc C1
=> ∆CHK cân C, CA1 là đ/cao + đ trung trực => đpcm
b) Có:

HA HB HC  HA1   HB1   HC1 
+
+
= 1 −
÷+  1 −
÷+  1 −
÷
AA1 BB1 CC1 
AA1  
BB1   CC1 
 HA HB1 HC1 
= 3− 1 +
+
÷=
 AA1 BB1 CC1 
S
S
S
= 3 −  HBC + HAC + HBA
 S ABC S ABC S ABC


÷= 3 −1 = 2


c) Từ GT => M trung điểm BC => ....=> ∆B1MC
cân tại M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N

B1 N ⊥ AE

=> ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) =>
Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ta có:
2

 AB1 
AN . AE AN
=

÷ =
EN .EA EN
 EB1 

(đpcm)

Bài 5: (1,5 điểm):
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn
A=

2

2

x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz

. Chứng minh rằng:

2

x
y

z
3
+ 4
+ 4
≤
x + yz y + xz z + xy 2
4

.

Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:
2 x 2 yz ≤ x 4 + yz ⇔

1
2 x 2 yz

≥

1
x2
1
⇔
≤
( 1)
4
4
x + yz
x + yz 2 yz

+)

+)

2
1 1
1
11 1
≤ + ⇔
≤  + ÷
yz y z
2 yz 4  y z 

(2)

x
1 1 1
≤  + ÷
4
x + yz 4  y z 
2

Từ (1) và (2) => :

. Tương tự :

y2
11 1
≤  + ÷
4
y + xz 4  x z 

1  1 1 1 1 1 1  1  1 1 1  1 xy + yz + zx
⇒ A ≤  + + + + + ÷=  + + ÷= ×
4 y z x z x y  2 y z x 2
xyz

;

z2
11 1
≤  + ÷
4
z + xy 4  x y 

(3)

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Lại có

xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2

(4)

1 x + y 2 + z 2 1 3xyz 3

⇒ A≤ ×
= ×
=
2
xyz
2 xyz 2
2

Từ (3) và (4) có :

Dấu « = » xảy ra khi

x = y = z =1

đpcm

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

-

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi vào

-

lớp 10 các trường chuyên.
Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong nh ững

-

năm qua.
Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luy ện h ọc sinh
giỏi.

-

Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết

-

quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 5