Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2014 2015 sở GDĐT tây ninh

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH.
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015
Ngày thi: 21 tháng 06 năm 2014
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi )

Câu 1: (1 điểm) Cho biểu thức A =

1
1
2 x
+
−
2+ x 2− x 4− x

≥
≠
với x 0 và x 4 .

1
3

Rút gọn A và tìm x để A =
Câu 2: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

4−2 3

x 2 − 2 3.x + 3
–

=0
2 x − 3 y = 2 − a

 x + 2 y = 3a + 1

Câu 3: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình
y
x
Có nghiệm (x; y) sao cho T =
là số nguyên.
Câu 4: (1 điểm) Định m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0
có hai nghiệm x1 , x2 sao cho T = x1(x1 – x2) + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

( 1+

)

x 2 + x + 1 = x ( x + 1)

Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình: 2
Câu 6: (1 điểm) Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048.
Câu 7: (1 điểm) Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ AB bằng đường cao AH
(H thuộc CD), đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang
đó.

Câu 8: (1 điểm) Cho đường tròn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với AB tại I (I
nằm trong đoạn AB). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM cắt d lần lượt tại hai điểm
C và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ giác ACDE nội ti ếp.

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 9: (1 điểm) Từ điểm C nằm ngoài đường tròn tâm (0), vẽ hai tiếp tuyến CA, CB của (0) trong
đó A, B là các tiếp điểm. Đường tròn (I) tâm I đi qua C, tiếp xúc với AB tại B và c ắt (0) t ại M khác B.
Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm BC.
xy + yz + zx = 1
Câu 10: (1 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:
x2
y2
z2
1
+
+
≥ .
x+ y y+ z z+x 2
Chứng minh rằng
…………. HẾT ………….

.

HƯỚNG DẪN GỢI Ý

1
1
2 x
+
−
2+ x 2− x 4− x

Ta có: A =

4
2 x
−
4− x 4− x

A=
Với A =

=

)

4− x

1
3

(

2 2− x

Câu 1

(

2 2− x

⇔

)

4− x

2
⇔ 2+ x

⇔
⇔

Vậy A =

=
x =4

=

1
3

1
3

x = 16 (nhận)
1
3

khi x = 16

Câu 2
Ta có:

4−2 3

–

x 2 − 2 3.x + 3

=0

Phương trình đã cho tương đương:
⇔

( x − 3)

2

=

( 1− 3)

( 1− 3 )

2

−

( x − 3)

2

=0

2

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

⇔ x − 3 = 1− 3
 x − 3 = 3 −1  x = 2 3 −1
⇔

x
−
3
=
1
−

3

x =1
⇔

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: x = 1

Ta có:
Câu 3

Mà T =

2 x − 3 y = 2 − a

 x + 2 y = 3a + 1
y
x

=

a
a +1

=1

hệ đã cho có nghiệm (x, y) với

x = a +1

y = a

1
− a +1

Vì a nguyên, để T nguyên thì điều kiện là

a + 1 = 1
 a + 1 = −1


hay

a = 0
 a = −2


Phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
2
∆ ' = ( m + 1) − ( m2 + 1)
∆ ' = 2m ≥ 0 ⇔

m

≥

0

Câu 4
Theo hệ thức Vi-et thì:


 x1 + x2 = 2 ( m + 1)

2

 x1.x2 = m + 1

x12 + x22 − x1.x2

T=
T = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = m2 + 8m + 1
≥
≥
Do m 0 nên T 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 1, khi m = 0.

Phương trình: 2
Câu 5

( 1+

)

x 2 + x + 1 = x ( x + 1)

(1)

x + x +1
2

Đặt t =
với t > 0
⇒
Từ (1)
t2 – 2t – 3 = 0
Giải phương trình ta được: t = 3 (nhận) , t = – 1 (loại)

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Với t = 3 thì ta có phương trình:
⇔
x2 + x – 8 = 0
Giải phương trình ta được: x1 =
x2 =

x2 + x + 1

=3

−1 + 33
2

−1 − 33
2

Ta có: T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048
T = (x + 2)2 + 2(y - 3)2 - 2(x + 2)(y - 3) + 2014
( x + 2 ) − ( y − 3)  + ( y − 3)
2

T=

Câu 6

2

+ 2014

≥
Suy ra: T 2014 , T = 2014 khi và chỉ khi
Giá trị nhỏ nhất của T là: 2014.

C/m:
Câu 7

Kẻ BK

⊥

CD (K

∈

 x = −2


y = 3

CD). Đặt AB = AH = BK = HK = a > 0

Do ABCD là hình thang cân nên DH = CK =
10 − a
2

10 − a
2

a + 10
2

Suy ra: CH = HK + CK = a +
=
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADC vuông tại A
Ta có: AH2 = DH.CH
⇔

a2 =

10 − a 10 + a
2
2

.

Trang | 6

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Giải ta tìm được: a = 2

5

(do a > 0)

Vậy độ dài đường cao hình thang là: 2

5

.

Cho đường tròn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với AB
tại I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M là một đi ểm thuộc đường tròn (0), AM,
BM cắt d lần lượt tại hai điểm C và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I.
Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp

Câu 8

C/m:
Ta có tam giác DEB cân tại D (vì DI
·
·
DEA

= DBE

⊥

EB và I là trung điểm EB)

Nên:
(1)
·DBE = DCM
·
·
CDM
mà:
(cùng phụ
) (2)
·
·
= DCM
⇒ DEA
Từ (1) và (2)
·
·
DCM
+ DCA
= 1800
Mà:
·
·
DEA
+ DCA

= 1800
nên:
vậy: Tứ giác ACDE có tổng hai góc đối bằng 1800
Do đó: Tứ giác ACDE nội tiếp được trong đường tròn.
Câu 9

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

C/m:
Đường thẳng AM cắt đường tròn tâm (I) tại D
·ABM = MAC
·
¼
AM
(cùng chắn
của (0))
·ABM = BDM
·

¼
BM

(cùng chắn
của (I))
·MAC = BDM

·
⇒
Suy ra:
AC // BD (1)
·MBC = BAM
·
¼
BM
(cùng chắn
của (0))
·MBC = MDC
·
¼
MC
(cùng chắn
của (I))
·BAM = MDC
·
⇒
Suy ra:
AB // CD (2)
⇒
Từ (1) và (2)
ABDC là hình bình hành
Do đó: AM đi qua trung điểm của BC.

xy
x2
xy
xy

= x−
≥ x−
= x−
x+ y
x+ y
2
2 xy

Ta có:

Câu 10

Tương tự:

yz
y2
= y−
y+z
2

z2
zx
= z−
z+x
2

và
Cộng các bất đẳng thức trên theo vế thì được:
x2
y2

z2
+
+
≥
x+ y y+z z+x

x+y+z-

1
2

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

vì x + y + z
2

nên

xy

≥

yz

+

2

+

zx

=1

2

x
y
z
+
+
≥ 1
x+ y y+z z+x
2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = …

Hết rồi ! .. ! .. ?

Trang | 6


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

-

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi vào

-

lớp 10 các trường chuyên.
Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh l ớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong nh ững

-

năm qua.
Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luy ện h ọc sinh
giỏi.

-

Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại k ết

-

quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 6