Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2014 2015 THPT chuyên hùng vương (sở GDĐT bình dương)

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
BÌNH DƯƠNG
--------------

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
Năm học: 2013-2014
---------------Môn thi : TOÁN
(Thời gian làm bài : 150 phút)
(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: ( 1 điểm)

x− y
A= 2
y

x2 y 4
x 2 − 2 xy + y 2

Cho Biểu thức
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của A với 2 trường hợp: x =1, y=-1 ; x=-1, y=1 .
Bài 2: ( 1,5 điểm)
Chữ số hàng chục của một số có 2 chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1. Nếu đổi chổ 2 chữ số
cho nhau sẽ được một số bằng 5/6 số ban đầu. Tìm số có 2 chữ số ban đầu .
Bài 3: ( 2 điểm)

a + b −1 + c − 2 =
1) Tìm các số a, b, c thỏa :
2) Cho a + 2b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của ab .

1
( a + b + c)
2

Bài 4: ( 2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình
x 2 + x 2 − 9 − 29 = 0
1)

2)

2
 x + xy + x + y = 4

( x + 1) ( 1 + xy ) = 4

Bài 5: ( 3,5 điểm):
1) Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông cân
ABE và ACF đỉnh A. Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với
EF và AI =

1
2

EF.

2) Cho đường tròn tâm (O) và dây cung AB không qua tâm. C là một điểm bất kỳ trên cung

nhỏ AB, đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở D và tia phân giác của
góc BAC cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm AM. Chứng minh OI song song với phân
giác của góc ADB .
----Hết---

Trang | 7


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 1 điểm) (Đk: y ≠ 0, x≠y)

x− y
1) A = 2
y

x2 y4
x− y
= 2
2
2
x − 2 xy + y
y

x2 y4

( x − y)

2

2
x ( x − y)
x− y x y
= 2 .
=
y
x− y
x− y

*TH1: Nếu x-y > 0 ⇔ x > y và |x-y| = x-y

A=
⇒

x ( x − y)

( x − y)

= x

*TH2: Nếu x-y < 0 ⇔ x < y và |x-y| = -(x-y)

⇒ A=

− x ( x − y)
=− x

( x − y)
*Với x =1, y=-1 ⇒ x > y thỏa mn TH1 v thay vo A
⇒ A = |1| = 1
*Với x =-1, y=1 ⇒ x < y thỏa mn TH2 và thay vào A
⇒ A = -|-1| = -1

Bài 2: ( 1,5 điểm)
Gọi x là chữ số hàng chục (đk: 0 < x ≤ 9)
y là chữ số hàng đơn vị (đk: 0 ≤ y ≤ 9)
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 1
Pt: x – y = 1 (1)

Vì đổi chổ 2 chữ số cho nhau sẽ được một số bằng

Pt:

5
5
yx = .xy ⇔ 10 y + x = . ( 10 x + y ) ⇔ 4 x − 5 y = 0
6
6

5
6

số ban đầu

(2)

Trang | 7

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Từ (1) và (2) ⇒ Hệ PT:

x − y = 1
x = 5
⇔

4 x − 5 y = 0
y = 4

(tmđk)

Vậy: số 54

Bài 3: ( 2 điểm)
1) (Đk: a ≥ 0, b ≥ 1, c ≥ 2)

1
( a + b + c)
2
⇔ 2 a + 2 b −1 + 2 c − 2 = a + b + c
a + b −1 + c − 2 =

⇔ a + b + c − 2 a − 2 b −1 − 2 c − 2 = 0

(

)

⇔ a − 2 a + 1 + ( b − 1) − 2 b − 1 + 1 + ( c − 2 ) − 2 c − 2 + 1 = 0
⇔ ( a − 1) +
2

(

) (
2

b −1 −1 +

)

2

c − 2 −1 = 0

a − 1 = 0
a = 1


⇔  b − 1 − 1 = 0 ⇔ b = 2 (tmdk )


c = 3
 c − 2 −1 = 0

Cho a + 2b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của ab .
Từ : a + 2b = 1
⇔ (a + 2b )2 = 1
⇔ a2 + 4ab + 4b2 = 1
⇔ a2 - 4ab + 4b2 + 8ab = 1
⇔ (a - 2b )2 + 8ab = 1
1 − ( a − 2b )
1
⇔ ab =
≤
8
8
2

⇒ ab =

1
8

thì đạt GTLN

Dấu “=” xảy ra khi

a − 2b = 0 ⇔ a = 2b

Trang | 7


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên

Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
1
a = ;b =
2
4

Thay vào đề cho ta được:

Vậy ab =

1
8

đạt GTLN khi :

1
1
a = ;b =
2
4

Bài 4: ( 2 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình

x 2 + x 2 − 9 − 29 = 0
⇔ x 2 − 9 + x 2 − 9 − 20 = 0(1)
1)

Đặt

t = x2 − 9

(đk: x2 ≥ 9 )

(đk: t ≥ 0)

(1) trở thành t2 + t – 20 = 0

⇒

t1 = 4( Nhan)

t2 = −5( Loai )

Với t1 = 4 ⇔

x2 − 9 = 4

⇔ x2 – 9 = 16 ⇔ x = ± 5 (tmđk)

 x ( x + y ) + ( x + y ) = 4
( x + y ) ( x + 1) = 4
 x 2 + xy + x + y = 4(1)
2) 
⇔
⇔
( x + 1) ( 1 + xy ) = 4(2)
( x + 1) ( 1 + xy ) = 4

( x + 1) ( 1 + xy ) = 4
( x + y ) ( x + 1) − ( x + 1) ( 1 + xy ) = 0
⇔
( x + y ) ( x + 1) = 4

( x + 1) ( x + y − 1 − xy ) = 0
( x + 1) ( x + y − 1 − xy ) = 0(3)
⇔
⇔
( x + y ) ( x + 1) = 4(4)
( x + y ) ( x + 1) = 4

 1− y
 x = 1 − y
 x + 1 ≠ 0 ( do : ( x + y ) ( x + 1) = 4 ≠ 0 )
x = 1
(3) ⇔ 
⇔
⇔
y =1
 y = 1− x
 x + y − 1 − xy = 0

1− x

*Với x=1 thay vào (1) ta được: 1+y+1+y = 4 ⇔ y = 1

Trang | 7

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

*Với y=1 thay vào (1) ta được: x2 +x+x+1= 4 ⇔x2 +2x -3=0 ⇔ x=1, x=-3
Vậy hệ PT có 2 nghiệm (x;y) = (1;1); (-3;1)
Bài 5: ( 3,5 điểm):
Câu 1)
Kẻ MM // AB, BM // AC
⇒ tứ giác ABMC là hình bình hành
⇒ CM = AB
Xét ∆CAM và ∆AFE có:
CA = AF (Cạnh ∆ACF vuông cân)
CM = AE (=AB)
·ACM = FAE
·

(cùng bù với

·
BAC

)

Nên ∆CAM = ∆AFE (c-g-c)
⇒

·
CAM
= ·AFE

và AM = EF

Kẻ CH ⊥ AM, có:
Xét ∆CAH và ∆AFK có:
·
CAM
= ·AFE
·ACH = FAK
·

(cmt)
( cùng phụ

·
CAH

)

Nên ∆CAH đồng dạng ∆AFK (g-g)
⇒

·AHC = FKA
·
= 900

⇒ AK ⊥ EF
Hay: AI ⊥ EF

Mà AI =

1
2

AM (I là trung điểm đường chéo hình bình hành)

Trang | 7


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Và AM = EF (cmt)

Nên AI =

1
2

EF .

Câu 2)

Có IA = IM (gt)
⇒ OI ⊥ AM (Q.h đường kính và dây) (1)
·
·
MAC
= MAB

⇒

(AM là tia phân giác)

»
¼ = sd MB
» = sd BC
sd MC
2

Có:

»
» + sd MC
¼
sd »AC + sd MB
sd AC
sd ¼
AM
·
DKA
=
=
=
2
2
2

Mà:

Nên:

sd ¼
AM
·
DAK
=
2

(gó tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AM)

·
·
DAK
= DKA

Trang | 7


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

⇒ ∆DAK cân tại D
Nên đường phân giác DL cũng vừa là đường cao
⇒ DL ⊥ AK
Hay DL ⊥ AM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OI // DL .
-------Hết-------

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho h ọc sinh gi ỏi, các em yêu thích toán và mu ốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các tr ường chuyên c ủa c ả n ước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghi ệm trong việc ôn luy ện h ọc
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luy ện thi khoa h ọc, h ợp lý mang l ại
-

kết quả tốt nhất.
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên c ủa H ỌC247.

 />
Trang | 7


Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên
Môn: Toán học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trang | 7