Bài giảng toán cao cấp hệ phương trình ths nguyễn văn phong

HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 14


Nội dung
1

KHÁI NIỆM CHUNG

2

HỆ CRAMER

3

HỆ TỔNG QUÁT

4

HỆ THUẦN NHẤT

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 14


Hệ phương trình
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m
phương trình và n ẩn số có dạng tổng quát là

a x + a12 x2 + ... + a1n xn = b1


 11 1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
(1)
... ... ... ... ... ... ... ... ...



am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
Trong đó, x1 , x2 , . . . , xn là các ẩn; aij ∈ R là hệ số; và
bi ∈ R là hệ số tự do.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 14


Hệ phương trình
Hệ (1) được

a11
 a21
A=
 ···
am1

viết dưới dạng AX = B, với


x1
a12 · · · a1n


a22 · · · a2n 
 x.2
X
=
;
 ..
··· ··· ··· 
am2 · · · amn
xn




b1



 ; B =  b.2 

 .. 
bm


và


a11 a12
 a21 a22
A = (A |B ) = 
 ... ...
am1 am2

...
...
...
...

a1n
a2n

...
amn


b1
b2 

... 
bm

trong đó, ta gọi A = (A |B ) là ma trận hệ số mở rộng.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 14


Hệ phương trình
Định nghĩa
i) Ta gọi bộ n số (c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ Rn là một nghiệm
của (1) nếu ta thay x1 = c1 , x2 = c2 , . . . ,xn = cn
vào (1) thì tất cả các đẳng thức trong (1) đều thoả.
ii) Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương
đương khi chúng có chung tập hợp nghiệm, nghĩa là
nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và
ngược lại.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 14


Hệ Cramer
Định nghĩa
Hệ Cramer là hệ thoã mãn
i) Số phương trình bằng số ẩn
ii) Định thức của ma trận hệ số khác 0.
Ví dụ. Hệ phương trình

= −2
 −x1 + 2x2
3x1 + x2 + x3 = 6

−2x1 − x2
= 1
Có số phương trình bằng số ẩn, và det A = −5 = 0. Nên
nó là hệ Cramer.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

5 / 14


Phương pháp giải hệ Cramer
i) Phương pháp ma trận nghịch đảo A−1
AX = B ⇔ X = A−1 B
ii) Phương pháp Gauss
Phép biến đổi sơ cấp

A = (A| B) −−−−−−−−−−−→ A = (A | B )
Sao cho A là ma trận bậc thang.
iii) Phương pháp Cramer
Ta có
det Aj
xi =
, j = 1, 2, . . . , n
det A
Trong đó, Aj là ma trận nhận được bằng cách thay
cột j của A bởi cột hệ số tự do.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

6 / 14


Ví dụ
Xét hệ




1 3 7
 x1 + 3x2 + 7x3 = 1
2x1 + x2 + 2x3 = 0 có A =  2 1 2 

−7x1 + x2 + 4x3 = 1
−7 1 4

i) Phương pháp A−1

  

−2 5
1
1
−1
X = A−1 B =  22 −53 −12   0  =  10 
9 22
5
1
4
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

7 / 14

Ví dụ
ii) Phương pháp

1 3
A= 2 1
−7 1

1 3
→  0 −5
0 0

Gauss


1 3
7
7 1
2 0  →  0 −5 −12
0 22 53
4 1

7
1
−12
−2 
1/5 −4/5



1
−2 
8

Khi đó ta có hệ tương đương


 x1 + 3x2 + 7x3 = 1
 x1 = −1
−5x2 − 12x3 = −2 ⇔
x2 = 10


1
−4
x3 = −4
5 x3 =
5
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

8 / 14


Ví dụ
iii) Phương pháp Cramer
Ta có

det A = −1; det A1 = 1; det A2 = −10; det A3 = 4
Vậy nghiệm của hệ là

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

x1 =

det A1
= −1;
det A

x2 =

det A2
= 10;
det A

x3 =

det A3
= −4.
det A

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

9 / 14

Hệ tổng quát
Định nghĩa
Là hệ có số phương trình không bằng số ẩn hay số
phương trình bằng số ẩn nhưng định thức của ma trận
hệ số bằng 0.
Đối với hệ tổng quát ta có thể giải bằng phương pháp
Gauss
Phép biến đổi sơ cấp

A = (A| B) −−−−−−−−−−−→ A = (A | B )
Sao cho A là ma trận bậc thang.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

10 / 14


Hệ tổng quát
Với hệ gồm m phương trình, n ẩn số, AX = B và
A = (A| B), ta có

Định lý (Kronecker-Capelli)
i) Nếu r (A) < r A thì hệ vô nghiệm
ii) Nếu r (A) = r A = n thì hệ có nghiệm duy nhất
iii) Nếu r (A) = r A < n thì hệ có vô số nghiệm

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

11 / 14


Ví dụ
Giải các
 hệ sau
 x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2
4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1
1)

= −1
 2x1 + 7x2 − x3
x1 + x2
+ 2x4 = 5




 2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = −1
x1 + 3x2
+ 5x4 = −3
2)


3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = −14



 2x + 8x − 4x + 2x = −22
2
3
4
 1
3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 1



x1 − x2 − 2x3 + 4x4 = 5
3)
x1 + x2 + 3x3 − 6x4 = −9



12x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = −10
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

12 / 14


Hệ thuần nhất
Định nghĩa
Là hệ mà tất cả các hệ số tự do đều bằng 0.

Nghĩa là hệ có

a x


 11 1
a21 x1
...



am1 x1

dạng
+ a12 x2
+ a22 x2
... ...
+ am2 x2

+
+
...
+

...
...
...
...

+ a1n xn

+ a2n xn
... ...
+ amn xn

=
=
...
=

0
0
...
0

Lưu ý: Đối với hệ thuần nhất ta luôn có r (A) = r A .
Nghĩa là hệ luôn có nghiệm (hoặc có nghiệm tầm thường
(nghiệm toán số 0), hoặc có vô số nghiệm)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

13 / 14


Ví dụ

Giải hệ sau


x


 1
3x1
4x1



3x1

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

+
+
+
+

2x2
5x2
5x2
8x2

+
+
−
+

4x3
6x3

2x3
24x3

−
−
+
−

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

3x4
4x4
3x4
19x4

=
=
=
=

0
0
0
0

Toán cao cấp - MS: MAT1006

14 / 14