Bài giảng toán cao cấp không gian véc tơ ths nguyễn văn phong

KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 17


Nội dung

1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2

CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

3

HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 17


Không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V = ∅ trên đó ta định nghĩa hai phép toán
+:V ×V →V
(u, v ) → u + v

·:R×V →V
(k, u) → ku

Với u, v , w ∈ V và α, β ∈ R, ta có một số tính chất sau:
A1) u + v = v + u

M1) α (β) = (αβ) u

A2) (u + v ) + w = u + (v + w )

M2) α (u + v ) = αu + αv

A3) ∃!0 ∈ V : u + 0 = u

M3) (α + β) u = αu + βu

A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0

M4) 1.u = u

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 17


Không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V = ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi
là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V
thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4.
Ví dụ.
a b
|a, b, c, d ∈ R với
c d
hai phép toán cộng và nhân môt số với một ma trận
lập thành một không gian véc tơ.

1) Cho V = M2 (R) =

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 17


Không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V = ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi
là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V
thoả mãn các tính chất A1 → A4 và M1 → M4.
Ví dụ.
2) Cho V = Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) |xi ∈ R}, với hai
phép toán
i) (x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn )
= (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn )
ii) k (x1 , x2 , ..., xn ) = (kx1 , kx2 , ..., kxn )
Cũng là một không gian véc tơ.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 17


Tổ hợp tuyến tính
Định nghĩa
Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ. Khi đó,
i) Với u1 , u2 , ..., un ∈ V và k1 , k2 , ..., kn ∈ R, ta gọi
k1 u1 + k2 u2 + ... + kn un
Là một tổ hợp tuyến tính các véc tơ u1 , u2 , ..., un

ii) Với v ∈ V , ta nói v là tổ hợp tuyến tính của các
véc tơ u1 , u2 , ..., un nếu ∃ k1 , k2 , . . . , kn ∈ R, sao cho
v = k1 u1 + k2 u2 + ... + kn un
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

5 / 17


Không gian con
Định nghĩa
Cho (V , +, ·) là không gian véc tơ và W ⊂ V , W = ∅.
Khi đó,
Nếu ∀u, v ∈ W và k ∈ R mà u + v , ku ∈ W thì ta
nói W là không gian con của V , ký hiệu W V
Ví dụ. Cho V = R2 = {(x1 , x2 ) |x1 , x2 ∈ R} và
a) W1 = {(x1 , 0) |x1 ∈ R}
b) W2 = {(x1 , 1) |x1 ∈ R}
Thì W1 V và W2 không là không gian con của V .
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

6 / 17

Không gian con
Hệ quả
Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất theo n ẩn
số là một không gian con của Rn
Ví dụ. Cho hệ

x


 1
3x1
4x1



3x1

phương trình
+
+
+
+

2x2
5x2
5x2
8x2

+

+
−
+

4x3
6x3
2x3
24x3

−
−
+
−

3x4
4x4
3x4
19x4

=
=
=
=

0
0
0
0

Giải hệ trên ta nhận được tập nghiệm

W = {(8m − 7n, −6m + 5n, m, n) /m, n ∈ R}
= (8, −6, 1, 0) , (−7, 5, 0, 1)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

7 / 17


Không gian con
Định lý
Cho V là không gian véc tơ và S = {u1 , u2 , ..., un } ⊂ V .
Nếu
W = {k1 u1 + k2 u2 + ... + kn un /k1 , k2 , ..., kn ∈ R}
thì
W V.
Khi đó ta nói S sinh ra W , ký hiệu W = S
Ví dụ. Cho W = {(x1 + x2 , x1 − x2 , x2 ) |x1 , x2 ∈ R}
Ta biểu diễn W dưới dạng
W = {x1 (1, 1, 0) + x2 (1, −1, 1) |x1 , x2 ∈ R}
Khi đó áp dụng kết quả trên, ta có W R3
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

8 / 17

Tập sinh
Định nghĩa
Cho V là không gian véc tơ và S = {u1 , u2 , ..., un } ⊂ V .
Khi đó
S = V ⇔ ∀v ∈ V , ∃k1 , k2 , ..., kn ∈ R sao cho
v = k1 u1 + k2 u2 + ... + kn un
Ví dụ. Cho V = R3 , và
a) S1 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)}
b) S2 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)}
c) S3 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)}
Các tập S1 , S2 , S3 có sinh ra V không ?
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

9 / 17


Độc lập tuyến tính
Định nghĩa
Cho V là không gian véc tơ và S = {u1 , u2 , ..., un } ⊂ V .
Khi đó, ta nói hệ S là độc lập tuyến tính
Nếu
∀k1 , k2 , ..., kn ∈ R, k1 u1 + k2 u2 + ... + kn un = 0
thì
k1 = k2 = ... = kn = 0

Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính ta nói S là
phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ. Xét lại ví dụ trên, thì S1 , S2 , S3 là ĐLTT hay
PTTT.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

10 / 17


Cơ sở của không gian véc tơ
Định nghĩa
Cho V là không gian véc tơ và B = {e1 , e2 , ..., en } ⊂ V .
Ta nói B là một cơ sở của V nếu
i) B = V ,
ii) B độc lập tuyến tính.
Khi đó, ta nói V là hữu hạn chiều và số véc tơ độc lập
tuyến là số chiều của V , ký hiệu dim V = n.
Ví dụ. Chứng minh rằng
B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}
là một cơ sở của R3
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

11 / 17


Toạ độ của một véc tơ
Định nghĩa
Cho B = {e1 , e2 , ..., en } là một cơ sở của V . Khi đó,
∀v ∈ V , ∃x1 , x2 , ..., xn ∈ R : v = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en
Ta gọi x1 , x2 , . . . , xn là toạ độ v trong cơ sở B, ký hiệu
 
x1
 x2 
 
[v ]B =  . 
 .. 
xn
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

12 / 17


Toạ độ của một véc tơ

Ví dụ. Tìm toạ độ của v = (1, 2, 3) trong
a) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}
b) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)}

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

13 / 17


Ma trận chuyển cơ sở
Định nghĩa
Cho B = {e1 , e2 , ..., en } và B = {f1 , f2 , ..., fn } là hai cơ
sở của V . Ta định nghĩa ma trận
A = ([f1 ]B , [f2 ]B , ..., [fn ]B )
là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B , ký hiệu PB→B
Ví dụ. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ từ B sang B , với
B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}
và B = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 1, 1)}
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

14 / 17


Ma trận chuyển cơ sở

Định lý

Cho B và B là hai cơ sở của V . Khi đó với mọi v ∈ V ,
ta có
i) [v ]B = PB→B [v ]B
ii) [v ]B = PB →B [v ]B
iii) PB →B = (PB→B )−1

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

15 / 17


Hạng của hệ véc tơ
Định nghĩa
Cho V là một không gian véc tơ và S = {u1 , u2 , . . . , un }.
Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi
là hạng của hệ véc tơ S. Ký hiệu dim W = r (S).
Lưu ý: Để tìm hạng của một hệ véc tơ, ta lập ma trận


[u1 ]TB
 [u2 ]T 
B 
A=
 ... 
[un ]TB

trong đó, B là cơ sở chính tắc. Khi đó, r (S) = r (A).
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

16 / 17


Hạng của hệ véc tơ
Ví dụ. Cho hệ S = {u1 , u2 , u3 , u4 } ⊂ R3 . Tìm r (S), với
u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, 2, 4), u3 = (2, 8, 4), u4 = (3, 13, 8).
Lập






1 3 0
1 3 0
1 3 0
0 2 4




 →0 2 4 →0 2 4
A=

2 8 4
0 2 4
0 0 0
3 13 8
0 4 8
0 0 0
Vậy r (S) = 2, nghĩa là ta tìm được một không gian con
W = (1, 3, 0), (0, 2, 4)
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

R3
Toán cao cấp - MS: MAT1006

17 / 17