Bài giảng toán cao cấpphép tính vi phân hàm một biến ths nguyễn văn phong

PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN
HÀM MỘT BIẾN
Nguyễn Văn Phong

Toán cao cấp - MS: MAT1006
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 23


Nội dung
1

HÀM SỐ

2

HÀM SỐ SƠ CẤP

3

CÁC PHÉP TOÁN

4

GIỚI HẠN HÀM SỐ

5

HÀM LIÊN TỤC

6

ĐẠO HÀM

7

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 23


Hàm số
Định nghĩa
Hàm số f là một liên kết mỗi phần tử x ∈ X ⊂ R với
một phần tử duy nhất y ∈ Y ⊂ R, ký hiệu f (x). Ta viết
f :X → Y
x → y = f (x)
Khi đó
y được gọi là ảnh của x qua f (hay ta còn nói f biến x
thành y ); X được gọi là miền xác định của f , ký hiệu

Df ; Tập Y = {y = f (x) |x ∈ D } là tập ảnh của f hay
còn gọi là tập xác định của f , ký hiệu Rf .
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 23


Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh
1. Hàm f : X → Y là đơn ánh nếu
∀x ∈ D, f (x) = f (x ) ⇒ x = x .
2. Hàm f : X → Y là toàn ánh nếu
f (X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f (x) = y .
3. Hàm f : X → Y là song ánh nếu
∀y ∈ Y , ∃!x ∈ X : f (x) = y .
Nghĩa là, f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 23


Hàm sơ cấp

1. Hàm luỹ thừa và căn thức:
√
f (x) = x n và f (x) = n x với x ∈ N
2. Hàm mũ và Logarit:
f (x) = ax và f (x) = loga x, với 0 < a = 1.
3. Hàm lượng giác:
f (x) = sin x; f (x) = cos x; f (x) = tan x.
4. Hàm lượng giác ngược:
f (x) = arcsin x; f (x) = arccos x; f (x) = arctan x.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 23


Các phép toán
Với các hàm số f , g : X → Y , ta có
i) (f ± g ) (x) = f (x) ± g (x)
ii) (f · g ) (x) = f (x) · g (x)
iii) (f /g ) (x) = f (x)/g (x)
iv) f : X → Y ; g : Y → Z . Hàm h : X → Z xác định
h(x) = g ◦ f(x) = g [f(x)].
Được gọi là hàm hợp của f và g .
v) Cho f : X → Y là một song ánh. Khi đó,
∀y ∈ Y , ∃!x = f −1 (y ) ∈ X : f (x) = y .
Bấy giờ hàm f −1 : Y → X được gọi là hàm ngược
của f và ∀x ∈ X , y ∈ Y , ta có

x = f −1 (y) ⇔ f(x) = y
Hơn nữa, ta có f f −1 (x) = x và f −1 [f(x)] = x
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

5 / 23


Ví dụ
Xác định g ◦ f , f ◦ g , f ◦ f , g ◦ g , với
a) f (x) = cos x và g (x) = x 2
x −1
b) f (x) = 2x + 1 và g (x) =
2
c) Phân tích hàm sau thành các hàm sơ cấp
f (x) =

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

ln (tan (cos (2x + 1)))

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

6 / 23

Giới hạn hàm số
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới
hạn của f tại a, ký hiệu
lim f (x) = L

x→a

Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao
cho ∀x ∈ Df
nếu |x − a| < δε thì |f (x) − L| < ε.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

7 / 23


Giới hạn trái - Giới hạn phải
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói L là giới
hạn trái của f tại a, ký hiệu
lim f (x) = L

x→a−

Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao
cho ∀x ∈ Df
nếu −δε < x − a < 0 thì |f (x) − L| < ε.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

8 / 23


Giới hạn trái - Giới hạn phải
Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trên Df . Ta nói R là giới
hạn phải của f tại a, ký hiệu
lim f (x) = R

x→a+

Với mọi ε > 0 cho trước, ta tìm được một số δ > 0 sao
cho ∀x ∈ Df
nếu 0 < x − a < δε thì |f (x) − R| < ε.
Ta nói lim f (x) tồn tại nếu
x→a

lim [f (x)] = lim+ [f (x)] = lim [f (x)]

x→a−

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

x→a

GIẢI TÍCH

x→a

Toán cao cấp - MS: MAT1006

9 / 23


Các tính chất của giới hạn
i) Nếu f (x) = C (hằng số) thì lim f (x) = C
x→a

ii) Nếu f (x)

b thì lim f (x)
x→a

b

iii) Nếu ϕ (x) f (x) ψ (x)
và lim ϕ (x) = lim ψ (x) = A thì lim f (x) = A
x→a

x→a

x→a

iv) Nếu lim f (x) = A và lim g (x) = B thì
x→a

x→a

a. lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B
x→a

x→a

x→a

b. lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = AB
x→a

x→a

x→a

c. lim [f (x)/g (x)] = lim f (x) lim g (x) = A/B; B = 0
x→a

x→a

d. lim [f (x)]g (x) = lim f (x)
x→a

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

x→a

GIẢI TÍCH

x→a
lim g (x)

x→a

= AB
Toán cao cấp - MS: MAT1006

10 / 23


Các dạng vô định thường gặp

1. Dạng ∞ − ∞ xảy ra khi ta tính lim [f (x) ± g (x)]
x→a

∞
0
hay xảy ra khi ta tính lim [f (x) /g (x)]
x→a
∞
0
3. Dạng 0 × ∞ xảy ra khi ta tính lim [f (x) · g (x)]

2. Dạng

x→a

4. Dạng 1∞ ; 00 ; ∞0 xảy ra khi ta tính lim [f (x)]g (x)
x→a

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

11 / 23


Một số giới hạn cơ bản
sin x
=1
x→0 x
tan x
3) lim
=1
x→0 x
ln(1 + x)
5) lim
=1
x→0
x
arctan x

7) lim
=1
x→0
x
x
1
9) lim 1 +
=e
x→∞
x
1) lim

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

1 − cos x
1
=
x→0
x2
2
ex − 1
4) lim
=1
x→0
x
arcsin x
6) lim
=1
x→0
x α

(1 + x) − 1
8) lim
=α
x→0
x
2) lim

1

10) lim (1 + x) x = e
x→0

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

12 / 23


Vô cùng bé
Định nghĩa
Hàm α (x) được gọi là vô cùng bé (VCB), khi x → a nếu
lim α (x) = 0

x→a

Hơn nữa, nếu α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, khi
đó
1. α(x) ± β(x), α(x) × β(x), C α(x) cũng là VCB, khi
x →a

2. α(x) × g (x) cũng là VCB, khi x → a, với hàm g (x)
bị chặn
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

13 / 23


So sánh hai vô cùng bé
Cho α (x) và β (x) là hai VCB khi x → a, ta đặt
α(x)
.
x→a β(x)

k = lim

Khi đó
1. Nếu k = 0 ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x),
2. Nếu k = ∞ ta nói α(x) là VCB cấp thấp hơn β(x),
3. Nếu k = 0 ∧ k = ∞ ta nói α(x) và β(x) là hai VCB
cùng cấp. Đặc biệt nếu k = 1 ta nói α(x) và β(x)
là hai VCB tương đương, ký hiệu α(x) ∼ β(x).
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

14 / 23


Vô cùng bé
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
Giả sử f (x) và g (x) là tổng hữu hạn của các VCB khi
x → a, khi đó
f (x)
VCB cấp thấp nhất của tử
= lim
x→a g (x)
x→a VCB cấp thấp nhất của mẫu
lim

Một số VCB tương đương khi x → 0 cần nhớ
sin x ∼ x
tan x ∼ x
arcsin x ∼ x
x
e −1∼x
ln(1 + x) ∼ x
arctan x ∼ x
√
n
x
x2
1 + x − 1 ∼ n 1 − cos x ∼ 2
ax − 1 ∼ xlna (1 + x)r − 1 ∼ rx
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

15 / 23


Hàm liên tục
Định nghĩa
Hàm f (x) xác định trên Df gọi là liên tục tại a, nếu
i) f (x) xác định tại a ∈ Df ,
ii) lim f (x) tồn tại,
x→a

iii) lim f (x) = f (a).
x→a

Ví dụ. Xét tính liên tục của các hàm sau đây
x
tại x = 0,
a) f (x) = 3x + 1 tại x = 1, b) f (x) =
|x|
2x + 1, x > 0
c) f (x) =
tại x = 0.
1,
x 0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

16 / 23


Đạo hàm
Định nghĩa
Hàm số f : (a, b) → R gọi là khả vi tại x0 ∈ (a, b) nếu
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
giới hạn lim
tồn tại
∆x→0
∆x
Giới hạn này gọi là đạo hàm của f tại x0 , ký hiệu
∆f
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
= lim
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
Ý nghĩa:
Tính xấp xỉ bởi công thức y − y0 = f (x0 ) (x − x0 )
Tính vận tốc tức thời
Tỷ lệ thay đổi của f (x) đối với x tại điểm x0
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

17 / 23


Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa
Giả sử f có đạo hàm cấp n, f n , tại x ∈ (a, b). Khi đó,
đạo hàm cấp n + 1 của f được định nghĩa
f (n+1) (x) = (f (n) ) (x)

Tính chất.
Nếu f khả vi tại x thì f liên tục tại x
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

18 / 23


Các tính chất
Nếu f , g là các hàm số khả vi tại x ∈ (a, b) thì:
1. (f + g ) (x) = f (x) + g (x)
2. (αf ) (x) = αf (x), với α ∈ R
3. (fg ) (x) = f (x)g (x) + f (x)g (x)
f
f (x)g (x) − f (x)g (x)

4.
(x) =
g
g 2 (x)
5. (g ◦ f ) (x) = g (f (x))f (x)
6. Nếu f −1 tồn tại, khả vi tại y = f (x) và f (x) = 0 thì
(f −1 ) (y ) =
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

1
1
=
−1
f (x) f (f (y ))

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

19 / 23


Đạo hàm các hàm sơ cấp
f (x) f (x)

f (x)
1
√
xn
nx n−1

n
n x n−1
1
ex
ex
ln x
x
1
sin x cos x
arcsin x √
1 + x2
1
arccos x − √
cos x − sin x
1 + x2
1
1
2
tan x
=
1
+
tan
x
arctan
x
cos2 x
1 + x2
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

f (x)
√
n
x

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

20 / 23


Ứng dụng đạo hàm
1. Tính gần đúng
Áp dụng, công thức sau:
f (x) − f (x0 ) = f (x0 ) (x − x0 )

(1)

2. Khai triển Taylor
Giả sử f : (a, b) → R khả vi đến cấp n + 1. Khi đó, với
x0 , x ∈ (a, b), ta có công thức khai triển Taylor sau
f (x) = f (x0 ) +

f (x0 )
f (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ...
1!
2!

f (n) (x0 )
+
(x − x0 )n + Rn (x)
n!
Trong đó Rn là phần dư.
Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

21 / 23


Ứng dụng đạo hàm
3. Khai triển Maclaurent
Trong khai triển Taylor, khi x0 = 0, ta có công thức khai
triển Maclaurent
f (x) = f (0) +

f (0)
f (0) 2
(x) +
(x) + ...
1!
2!

f (n) (0) n
+

(x) + Rn (x)
n!
Trong đó Rn là phần dư.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

22 / 23


Ứng dụng đạo hàm

4. Quy tắc L’hospital
0
∞
f (x)
có dạng hay . Khi đó,
Giả sử lim
x→a g (x)
0
∞
f (x)
f (x)
Nếu lim
= A thì lim
=A
x→a g (x)

x→a g (x)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

23 / 23