Mở rộng đơn cực dirac và yang cho không gian 9 chiều 6tr

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Lê Văn Hoàng và tgk

_____________________________________________________________________________________________________________

MỞ RỘNG ĐƠN CỰC DIRAC VÀ YANG
CHO KHÔNG GIAN 9 CHIỀU
LÊ VĂN HOÀNG*, NGUYỄN THÀNH SƠN**

TÓM TẮT
Sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng chúng tôi tìm ra mối liên hệ tương đương
giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử đồng dạng hydro 9 chiều trong trường
định chuẩn SO(8). Dựa trên phát hiện này, chúng tôi có cách đơn giản để xây dựng một
đơn cực trong không gian 9 chiều, chính là mở rộng của đơn cực Dirac (1931) cho không
gian 3 chiều cũng như của đơn cực Yang (1978) cho không gian 5 chiều.
ABSTRACT
Generalization of Dirac and Yang monopoles for 9-dimension space
Using the generalized Hurwitz transformation, we find an equivalent correlation
between a 16-dimension harmonic oscillator and a 9-dimension hydrogen-like atom in the
SO (8) gauge field. Based on this finding, we propose a simple method to establish a
monopole in a 9-dimension space which is really a generalization of Dirac monopole
(1931) for 3-dimension space as well as of Yang monopole (1978) for 5-dimension space.

1.

Mở đầu
Năm 1978, Yang Chen Ning đã mở
rộng đơn cực từ Dirac cho không gian 5

chiều qua mô hình tương tác giữa trường
định chuẩn SU(2) với hạt có isospin [10].
Tính chất cơ bản của trường đơn cực
SU(2) là (i) thông lượng qua một mặt kín
trong không gian 5 chiều chứa đơn cực là
khác không; (ii) trường có đối xứng cầu
O(5). Một hạt đơn cực như vậy đồng thời
có điện tích người ta gọi là đơn cực
Yang-Coulomb, được nghiên cứu tương
đối nhiều [6-8].
Từ kết quả của Yang, việc xây
dựng đơn cực từ cho không gian nhiều
chiều khác là một nhu cầu tự nhiên và đã
được tiến hành trong một số công trình
*

PGS TSKH, Khoa Vật lý Trường Đại học
Sư phạm TP HCM

**

ThS, Khoa Khoa học Cơ bản Trường
Đại học Kiến trúc TP HCM

[9-10]. Tuy nhiên, cho đến nay chưa có
kết quả nào thảo luận về việc mở rộng
đơn cực từ theo lô-gic của Yang khi phát
triển từ đơn cực từ Dirac 3 chiều lên
không gian 5 chiều. Ở đây, một tính chất
rất quan trọng của đơn cực Dirac cũng

như Yang là khi kết hợp với điện tích nó
không phá vỡ các tính chất đối xứng của
bài toán Coulomb. Cụ thể như sự có mặt
của đơn cực Dirac không làm thay đổi
đối xứng O(4) và vẫn tồn tại một bất biến
là véc-tơ Runge-Lenz cũng như đối xứng
động lực SO(4,2) [2]. Tương tự như vậy
với đơn cực Yang thì bài toán Coulomb 5
chiều vẫn bảo toàn đối xứng O(6) [6], đối
xứng động lực SO(6,2) [8]. Chúng ta sẽ
gọi một đơn cực là mở rộng trực tiếp của
đơn cực Dirac và đơn cực Yang nếu như
nó có những tính chất tương tự như vậy.
Trong công trình [3], chúng tôi đã
mở rộng phép biến đổi Hurwitz và dựa
vào đó để xây dựng mối liên hệ giữa bài
3


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Số 24 năm 2010

_____________________________________________________________________________________________________________

toán dao động tử 16 chiều với bài toán
Coulomb 9 chiều với sự có mặt một
trường định chuẩn tương tác với hạt có

các tính chất được đặc trưng bằng một
đại số kín bao gồm 28 vi tử. Điều này gợi
ý cho một cách khái quát hóa đơn cực
Yang lên không gian 9 chiều từ một
hướng tiếp cận hoàn toàn mới liên quan
đến mối liên hệ giữa dao động tử điều
hòa n chiều và bài toán Coulomb N
chiều. Cho đến nay mối liên hệ này được
xây dựng cho các trường hợp số chiều
n ® N như sau: 2 ® 2 , 3 ® 4 , 5 ® 8 và
9 ® 16 [4]. Một tính chất rất quan trọng
của mối liên hệ này là khi bài toán
Coulomb được thêm đơn cực từ thì mối
liên hệ với dao động tử điều hòa vẫn tồn
tại. Trong trường hợp 3 ® 4 ta có đơn
cực từ Dirac [5], còn trong trường hợp
5 ® 8 đó là đơn cực Yang [6-8]. Câu hỏi
đặt ra là đơn cực nào cho trường hợp
9 ® 16 khi thêm vào bài toán Coulomb 9
chiều mà vẫn không phá vỡ mối liên hệ
với dao động tử điều hòa 16 chiều?
Trong công trình này, trả lời cho
câu hỏi trên một cách trọn vẹn, chúng tôi
xây dựng đơn cực trong không gian 9
chiều theo mô hình đại số SO(8) sao cho
bài toán Coulomb với sự có mặt của đơn
cực này trở thành dao động tử điều hòa
16 chiều qua phép biến đổi Hurwirz mở
rộng [3]. Ở đây từ 9 chiều sang bài toán
16 chiều có xuất hiện 7 chiều không gian

mới trong các biểu thức tường minh của
28 vi tử của đại số SO(8). Các biến số
mới này được đưa vào thông qua phép
biến đổi Hurwitz mở rộng. Như vậy đơn
cực được xây dựng tường minh này có

4

thể xem là một dạng mở rộng của đơn
cực từ Dirac cũng như đơn cực Yang:
Dimension :3 = 21 +1 ® Dirac monopole
:5 = 22 +1 ® SU (2) Yang monopole
:9 = 23 +1 ® SO(8) monopole
2.
Phép biến đổi Hurwitz mở rộng
Trong phần này chúng tôi sẽ viết lại
phép biến đổi Hurwitz mở rộng, được
công bố trong công trình [3], đồng thời
đưa ra một số công thức mới, tường
minh, thuận lợi cho việc sử dụng trong
các tính toán tiếp theo trong công trình
này.
Phép biến đổi bình phương cho
trường hợp biến đổi giữa không gian 9
chiều ( x1 , x2 ,..., x9 ) và không gian 16

chiều ( u1 , u2 ,..., u8 , v1 , v2 ,..., v8 ) xây dựng
đầu tiên trong công trình [4] sao cho điều
kiện Euler:
r = xl xl = usus + vsvs

(1)
được thỏa mãn. Mới đây trong công trình
[3] phép biến đổi này được đưa ra dưới
dạng tường minh như sau:
x j = 2(G j )st us vt
(2)
x9 = us us - vs vs .
Ở đây, các ma trận G j có dạng:
0 ù
é ba a
éb 0 ù
, G2 = ê 1 3
G1 = ê
ú,
ú
ë 0 ba1a 3 û
ë0 bû
éa 0 ù
éa 0 ù
G3 = ê 3 ú , G 4 = ê 1
ú,
ë 0 -a1 û
ë 0 a3 û

é 0 -ibaa
é 0 -iaa
1 2ù
2 3ù
,
, G6 = ê

G5 = ê
ú
0 û
0 úû
2 3
ëiaa
1 2
ëibaa
é 0 -ba3 ù
é 0 a1 ù
, G8 = ê
G7 = ê
ú
ú,
ëa1 0 û
ëba3 0 û

(3)


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Lờ Vn Hong v tgk

Tp chớ KHOA HC HSP TP HCM

_____________________________________________________________________________________________________________

ộ 0 sk ự
ộI 0 ự

, ak = ờ
trong ú b = ờ
ỳ l cỏc
ỳ
ởs k 0 ỷ
ở0 - I ỷ
ma trn Dirac; s k l cỏc ma trn Pauli.
Trong biu thc (2) v tip theo trong
sut cụng trỡnh ny, s lp li cỏc ch s
cú ngha l ly tng theo ton min thay
i ca nú: s, t = 1, 2,...,8. õy, cỏc ch
s ca bin s xl c ký hiu theo mu

t Hy Lp s cú giỏ tr: l = 1, 2,...,9 . Tuy
nhiờn, trong mt s trng hp ta s cn
tỏch riờng bin s x9 , khi ú cỏc bin s
cũn li cú ch s ký hiu theo ch La-tin
x j , j = 1, 2,...,8 .
Cỏc ma trn G j hoc l i xng
hoc phn i xng, c th ta cú GTk = G k
vi k = 1,3, 4, 7,8 trong khi GTk = -G k vi
k = 2,5, 6 (ký hiu m T ch phộp
chuyn v ma trn). Ngoi ra nú cũn tha
món tớnh cht sau :
(4)
GTs G i + GTt G s = 2d st I ,

vi d st l cỏc ký hiu delta Kroneker.
iu ny cú ngha l tớch bt k hai ma
trn (3) no khỏc nhau u l ma trn

phn i xng.
Trong cụng trỡnh [3], ln u tiờn
phộp bin i Hurwitz m rng c xõy
dng di dng (2) v ngoi ra cũn nh
ngha thờm 7 bin s ph f 1 , f 2 , f 3 ,

a1 , a 2 , a 3 , a 4 . T õy phộp bin i
ngc ó c xõy dng di dng
tng minh nh sau :
r + x9
us =
bs (fa ) ,
2
xj
vs =
H sj (fa ) .
2(r + x9 )

õy cỏc hm s bs (fa ) ch ph thuc
vo cỏc bin s gúc:
b1 = cos(f1 / 2) cos(f2 / 2) cos a1 ,
b2 = cos(f1 / 2) cos(f2 / 2) sin a1 ,
b3 = cos(f1 / 2) sin(f2 / 2) cos a 2 ,
b4 = cos(f1 / 2) sin(f2 / 2) sin a 2 ,
b5 = sin(f1 / 2) cos(f3 / 2) cos a 3 ,
b6 = sin(f1 / 2) cos(f3 / 2) sin a 3 ,
b7 = sin(f1 / 2) sin(f3 / 2) cos a 4 ,

b8 = sin(f1 / 2) sin(f3 / 2) sin a 4 .
Cỏc yu t ma trn H js (fa ) cng

ch ph thuc vo bin s gúc nh vy v
cú th biu din qua bs (fa ) . Dng tng
minh ca ma trn H (fa ) c a ra
trong [3] cú dng ca ma trn Hurwitz,
vi cỏc tớnh cht: det H (fa ) = 1 ,
H T = H -1 . Tớnh cht ny cựng vi cụng
thc bin i ngc (5) cho phộp ta tớnh
toỏn thun li trong cỏc phn sau.
3.
Th n cc trong khụng gian 9
chiu
S dng phộp bin i (5) ta cú th
chng minh cụng thc sau:
ổ ả
1
ả ử
- i ( G j ) ỗ vt
+ us
ữ
st
2
ảvt ứ
ố ảus
,
(6)
ổ
ử
ả
= r ỗ -i

- A k (r )Q kj (fa ) ữ
ỗ ảx
ữ
j
ố
ứ
1 ổ
ả
ả ử
ả
,
- i ỗ us
- vs
ữ = -ir
2 ố ảus
ảvs ứ
ảx9
trong ú: A k =

xk
.
2r (r + x9 )

(7)

Cỏc toỏn t Q kj ch ph thuc vo bin s
(5)

gúc (jf ) , dng tng minh cú th d
dng thu nhn c trong cụng trỡnh [3].

5


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Số 24 năm 2010

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

_____________________________________________________________________________________________________________

Hệ các toán tử Qˆ kj là phản đối xứng theo
chỉ số ( jk ) , và có tất cả 28 toán tử.
Chúng tạo thành một đại số kín SO(8)
theo các hệ thức giao hoán sau:
éQˆ jk ,Qˆlm ù = id jmQˆlk -idkmQˆlj +id jlQˆkm -idklQˆ jm (8)
ë
û
Bây giờ chúng ta quay lại với các
toán tử (6). Nếu không tính thừa số r thì
vế phải chính là các toán tử xung lượng
trong không gian thực 9 chiều:
¶
pˆ j = -i
- A k (r )Qˆ kj (fa ) ,
¶x j
pˆ9 = -i

¶
.

¶x9

(9)

Xét thành phần tương tác A k (r )Qˆ kj (fa )
trong biểu thức xung lượng (9) ta thấy có
tất cả 7 toán tử SO(8). Điều này gợi ý cho
ta định nghĩa một bộ bảy các thế véc-tơ
như sau:
A = ( -A , + A , + A , - A , + A , - A , + A , - A ,0) ,
1l

2

1

4

3

6

5

8

7

(
)

= ( +A , - A , + A , - A , + A , + A , - A , - A ,0) ,
= ( -A , - A , - A , + A , + A , + A , + A , - A ,0) ,
= ( +A , - A , + A , + A , + A , - A , - A , - A ,0) ,
= ( +A , - A , - A , - A , + A , + A , - A , + A ,0) ,
= ( -A , - A , + A , + A , - A , - A , + A , + A ,0) .

A2l = +A3, + A4, - A1, - A2, + A7 , - A8, - A5, + A6,0 ,
A3l
A4l
A5l
A6l
A7l

4

3

2

1

8

7

6

5

5

6

7

8

1

2

3

4

6

5

8

7

2

1

4

3

7

8

5

6

3

4

1

2

8

7

6

5

4

3

2

1

(10)
Khi đó toán tử xung lượng trong
không gian 9 chiều có thể viết lại dưới
dạng:
¶
(11)
pˆ j = -i
- Iˆja (fa ) Aaj (r ) .
¶x j
Trong biểu thức (11), chúng ta có dấu ~
trên chỉ số j để chỉ rằng không có lấy
6

tổng theo chỉ số này, còn các toán tử
a = 1, 2,..., 7 và
Iˆ ja (fa ) với chỉ số
j = 1, 2,...,8 vẫn chính là các các toán tử
Qˆ với các dấu ± khác nhau. Dạng cụ
kj

thể của Iˆ ja (fa ) có thể tìm thấy trong
công trình trước đây của chúng tôi [3].
Quay lại với bộ bảy các thế véc tơ
(10) ta dễ dàng kiểm tra các tính chất sau:
r - x9
xl Al k = 0 , Ajl Ak l = d jk 2
4r (r + x9 )

(12)
hoàn toàn tương tự tính chất của thế véctơ đơn cực từ Dirac trong không gian 3
chiều:
1
(-x2 , x1 ,0) , xl Al = 0 ,
Al =
2r(r + x3 )
r - x3
.
(13)
Al Al = 2
4r (r + x3 )
cũng như tính chất của bộ ba thế véc-tơ
đơn cực Yang SU(2):
1
(- x2 , x1 , x4 , - x3 , 0) ,
A1,l =
2r (r - x5 )
1
A2,l =
( x3 , x4 , - x1 , - x2 ,0) ,
2r (r - x5 )
1
A3,l =
(x4 , -x3 , x2 , -x1,0) , (14)
2r(r - x5)
cho không gian 5 chiều:
r-x
.
xl Al k = 0 , Ajl Akl = d jk 2 5

4r (r + x5 )
(15)
Như vậy, ta vừa xây dựng một dạng
thế véc-tơ theo mô hình SO(8) cho không
gian 9 chiều là mở rộng trực tiếp của thế
đơn cực Dirac cho không gian 3 chiều và
thế đơn cực Yang theo mô hình SU(2)
cho không gian 5 chiều. Trong phần tiếp


Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tp chớ KHOA HC HSP TP HCM

Lờ Vn Hong v tgk

_____________________________________________________________________________________________________________

theo sau ta s xõy dng mi liờn h gia
bi toỏn dao ng t iu hũa 16 chiu
vi nguyờn t hydro 9 chiu vi s cú
mt ca n cc SO(8). S tn ti ca
mi liờn h ny cng l mt biu hin ca
s khỏi quỏt húa t n cc Dirac, n
cc Yang lờn n cc SO(8).
4.
Mi liờn h gia dao ng t iu
hũa v nguyờn t hydro 9 chiu vi s
cú mt ca n cc SO(8)
Xột dao ng t iu hũa trong

khụng gian 16 chiu thc ( uv ), phng
trỡnh Schrodinger ca nú c vit nh
sau:

H vt lý mụ t bi phng trỡnh
(17) chớnh l nguyờn t ng dng hydro
trong khụng gian 9 chiu vi s cú mt
ca n cc SO(8) vi biu thc tng
minh (10). õy Z úng vai trũ l in
tớch ht nhõn, trong khi E l nng lng
trong vựng liờn kt (luụn luụn õm). Trong
trng hp hm súng khụng ph thuc
vo cỏc bin s gúc m ch ph thuc vo
9 bin s khụng gian x1 , x2 ,..., x9 thỡ (17)

ỡù 1ổ ả2
ỹù
ả2 ử 1 2
+
ớ ỗ
ữ - w (usus +vsvs )ýY(u, v)
.
ợù 8ố ảusảus ảvsảvs ứ 2
ỵù
= Z Y(u, v)

trng hp xut hin tng tỏc vi th
n cc SO(8). Ta thy 7 bin s ph
dựng mụ t nhng tớnh cht ni ti ca
ht biu din qua 28 vi t ca i s

SO(8). Bi toỏn ny cũn cú tờn gi l bi
toỏn MIC-Kepler v l mt trong cỏc bi
toỏn c bn c nghiờn cu nhiu cho
trng hp khụng gian 3 chiu v 5
chiu. Bi toỏn MIC-Kepler 9 chiu vi
mụ hỡnh SO(8) ln u tiờn a ra trong
cụng trỡnh ny.
5.
Kt lun v hng phỏt trin
Nh vy, chỳng tụi ó phỏt trin
phộp bin i Hurwitz m rng vi mt
s cụng thc tng minh thun li trong
tớnh toỏn gii tớch. Trờn c s ú, trong
cụng trỡnh ny ln u tiờn a ra mi
liờn h gia dao ng t iu hũa 16
chiu vi bi toỏn nguyờn t hydro 9
chiu vi s cú mt ca n cc SO(8).
Xột n cc Dirac v n cc Yang
trong cỏc mi liờn h tng t gia dao
ng t iu hũa vi nguyờn t hydro
vi s cú mt ca cỏc n cc ny,
chỳng ta thy n cc SO(8) trong

(16)
Trong ú w , Z l cỏc s thc
dng, cú ý ngha ln lt l tn s gúc
v nng lng ca dao ng t iu hũa.
Bõy gi chỳng ta s chuyn phng trỡnh
trờn v khụng gian 9 chiu x1 , x2 ,..., x9
bng phộp bin i Hurwitz m rng (2),

trong ú 7 chiu d ra s biu din bng
cỏc gúc f 1 , f 2 , f 3 , a1 , a 2 , a 3 , a 4 . Phng
trỡnh thu c nh sau:
1 2
Zỹ
ỡ1
ớ p l p l + I (fj ) - ýy (r, fa )
, (17)
2r
rỵ
ợ2
= Ey (r, fa )
trong ú pl vi cỏc ch s chy t 1 n
9 chớnh l toỏn t xung lng cú dng
nh cụng thc (9) v (11); toỏn t
I 2 (fj ) = I I giao hoỏn vi tt c cỏc
ja

ja

1
toỏn t I ja ; E = - w 2 .
2

l phng trỡnh Schrodinger cho nguyờn
t hydro 9 chiu. Trng hp tng quỏt
khi hm súng cũn ph thuc vo 7 bin
s gúc f 1 , f 2 , f 3 , a1 , a 2 , a 3 , a 4 ta cú

7

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM

Số 24 năm 2010

_____________________________________________________________________________________________________________

không gian 9 chiều chính là sự mở rộng
của đơn cực từ Dirac và đơn cực SU(2)
của Yang. Trong công trình tiếp theo,
chúng tôi sẽ chứng minh đối xứng động
học SO(10,2) cho bài toán đang xét và
1.
2.
3.

4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

8

xây dựng bất biến tương tự véc-tơ

Runge-Lenz.
Chúng tôi cám ơn Quỹ Nghiên cứu
Khoa học Công nghệ của Bộ Giáo dục và
Đào tạo đã tài trợ cho công trình này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Akihiro Ito (1984), “Generalized Wu-Yang Solution of the Yang-Mills Equation”,
Prog. Theor. Phys, (71), pp. 1443-1446.
Barut A., Kleinert H. (1967), “Dynamical Group O(4, 2) for Baryons and the
Behavior of Form Factors”, Phys. Rev.,(161), pp. 1464-1466.
Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung (2009), “A Hidden NonAbelian Monopole in a 16-Dimensional Isotropic Harmonic Oscillator”, J. Phys. A
42, pp. 175204-175212.
Le Van Hoang, Komarov L. I. (1993), “Theory of the generalized KustaanheimoStiefel transformation”, Phys. Lett. A 177, pp. 121-124.
Kleinert H (1986), “Path integral for Coulomb system with magnetic charges”, Phys.
Lett. A 116, pp. 201-206.
Mardoyan L. G., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. (1999), “Hidden Symmetry of
the Yang–Coulomb System”, Mod. Phys. Lett. A 14, pp. 1303-1307.
Nersessian A., Pogosyan G. (2001), “Relation of the oscillator and Coulomb systems
on spheres and pseudo-spheres”, Phys. Rev. A 63, pp. 20103-20107.
Pletyukhov M. V., Tolkachev E. A. (1999), “SO(6,2) dynamical symmetry of the
SU(2) MIC-Kepler problem”, J. Phys. A 32, L249-253.
Tchrakian T. (2008), “Dirac-Yang monopoles in all dimensions and their regular
counterparts”, Phys. Atom. Nucl., (71), pp. 1116-1122.
Yang C. N. (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU2 gauge fields”, J.
Phys. A 19, pp. 320-328.