Mô phỏng sự lan truyền vết nứt trong không gian hai chiều

Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 40 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
MÔ PHỎNG SỰ LAN TRUYỀN VẾT NỨT TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU
Trương Tích Thiện, Trần Kim Bằng
Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 28 tháng 06 năm 2010, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 12 tháng 11 năm 2010
)
TÓM TẮT: Trong lĩnh vực cơ học nứt, việc dự ñoán hướng ñi của vết nứt khi xảy ra hiện tượng
vết nứt lan truyền ñóng vai trò quan trọng vì việc này sẽ ñánh giá ñược vết nứt khi lan truyền liệu có
xâm phạm vào những vùng quan trọng, nguy hiểm của cấu trúc hay không. Bài báo cáo này sẽ ñề cập
tới ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt là thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến
cực ñại, thuyết suất giải phóng năng lượng cực ñại và thuyết mật ñộ năng lượng biến dạng cực tiểu.
Đồng thời, chương trình FRANC2D sẽ ñược sử dụng ñể mô phỏng sự lan truyền của vết nứt dựa trên cơ
sở các lý thuyết trên.
Từ khóa: Cơ học nứt, vết nứt, lan truyền, chương trình FRANC2D.
1. GIỚI THIỆU
Hệ số cường ñộ ứng suất là thông số vô
cùng quan trọng trong cơ học nứt, nói lên mức
ñộ tập trung ứng suất tại ñỉnh vết nứt. Trong
không gian 3 chiều, các hệ số cường ñộ ứng
suất K
I
, K
II
, K
III
, ñặc trưng cho 3 sự chuyển vị
ñộc lập của vết nứt gồm dạng mở rộng
(opening – mode I), dạng trượt (sliding – mode
II) và dạng xé (tearing – mode III). Khi dự

ñoán hướng lan truyền của vết nứt hai chiều, 3
phương pháp σ
θθmax
, S
min
, G
max
ñều sử dụng 2
thông số quan trọng chính là K
I
và K
II
ñể tính
toán góc uốn của vết nứt. Bài báo này sẽ trình
bày cơ sở lý thuyết của các phương pháp này
và một số mô hình vết nứt lan truyền ñơn giản
ñược tham khảo từ các tài liệu khác.
2. PHƯƠNG PHÁP DỰ ĐOÁN HƯỚNG
LAN TRUYỀN CỦA VẾT NỨT
2.1. Thuyết ứng suất pháp theo phương
tiếp tuyến cực ñại σ
θθmax

Các biểu thức dạng hỗn hợp của trường
ứng suất ñàn hồi quanh ñỉnh vết nứt khi ñược
biểu diễn theo tọa ñộ cực như sau
2
1 3
cos [ 1 sin sin 2 tan ]
2 2 2 2

2
rr I II II
K K K
r
θ θ θ
σ θ
π
 
= + + −
 
 
(1)
2
1 3
cos [ cos sin ]
2 2 2
2
I II
K K
r
θθ
θ θ
σ θ
π
= −
(2)
( )
1
cos [ sin 3cos 1 ]
2

2 2
r I II
K K
r
θ
θ
σ θ θ
π
= + −
(3)
Trong ñó, K
I
, K
II
là hai hệ số cường ñộ
ứng suất ñặc trưng cho hai dạng chuyển vị ñộc
lập của vết nứt là dạng mở rộng (mode I) và
dạng trượt (mode II).
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 41
Thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp
tuyến cực ñại σ
θθmax
bậc nhất ñối với vật liệu
ñẳng hướng khẳng ñịnh vết nứt sẽ phát triển
theo hướng vuông góc với ứng suất pháp theo
phương tiếp tuyến cực ñại. Thuyết này ñược
Sih và Erdogan ñưa ra vào năm 1963.

Hình 1. Ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến cực ñại trong hệ tọa ñộ cực.
Đạo hàm biểu thức (2) theo biến θ và gán
bằng 0.
0
θθ
σ
θ
∂
=
∂
(4)
Sau khi sắp xếp lại và ñặt θ = ∆θ
c
, biểu
thức (2) sẽ có dạng sau
sin
3cos 1
cII
I c
K
K
θ
θ
− ∆
=
∆ −
(5)
Giải phương trình (5) theo biến ∆θ
c

, ta sẽ
tính ñược góc uốn của vết nứt.
Theo sự tham khảo từ tài liệu [3], dựa trên
thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến
cực ñại, góc uốn của vết nứt còn có thể ñược
tính từ công thức sau
2 4 2 2
2 2
3 8
arccos
9
II I I II
c
I II
K K K K
K K
θ
 
+ +
 
∆ =
+
 
 
(6)
Theo công thức (6), ∆θ
C
< 0 khi K
II
> 0.

Ngoài ra, góc uốn của vết nứt còn có thể
ñược tính toán theo công thức ñược tham khảo
từ tài liệu [4] như sau
( )
2
2 /
2arctan
1 1 8 /
II I
c
II I
K K
K K
θ
 
−
 
∆ =
 
+ +
 
(7)
Theo công thức (7), nếu K
II
= 0 thì ∆θ
C
= 0
( dạng mở rộng thuần túy). Nếu K
II
> 0 thì góc

uốn của vết nứt ∆θ
C
< 0. Nếu K
II
< 0 thì góc
uốn của vết nứt ∆θ
C
> 0.
2.2. Thuyết mật ñộ năng lượng biến
dạng cực tiểu S
min

Thuyết này ñược Sih ñưa ra vào năm
1974. Sih ñã phát triển công thức tính mật ñộ
năng lượng biến dạng S theo hệ số cường ñộ
ứng suất K
I
và K
II
như sau
2 2
11 12 22
2
I I II II
S a K a K K a K= + +
(8)
Với
Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 42 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM

( )( )
11
1
1 cos cos
16
a
θ κ θ
µ
=  + − 
 
(9)
( )
12
1
sin 2cos 1
16
a
θ θ κ
µ
=  − − 
 
(10)
( )( ) ( )( )
22
1
[ 1 1 cos 1 cos 3cos 1]
16
a
κ θ θ θ
µ

= + − + + −

(11)
E là module ñàn hồi và ν là hệ số Possion.
( )
2 1
E
µ
ν
=
+

3 4
κ ν
= −
trong trường hợp biến dạng
phẳng.
3
1
ν
κ
ν
−
=
+
trong trường hợp ứng suất
phẳng.
Vết nứt sẽ phát triển theo hướng θ = ∆θ
c
,

nơi mà mật ñộ năng lượng biến dạng ở ñó là
cực tiểu.
0
dS
d
θ
=
và
2
2
0
d S
d
θ
>
(12)
Vết nứt bắt ñầu lan truyền khi mật ñộ năng
lượng biến dạng tiến tới giá trị cực ñại S = S
cr
.
Theo sự tham khảo từ tài liệu [5], giá trị cực
ñại S
cr
ñược tính theo công thức sau
( )( )
2
1 2 1 /2
cr IC
S K E
ν ν

= − +
(13)
Với K
IC
là giới hạn phá hủy.
2.3. Thuyết suất giải phóng năng lượng
cực ñại G
max

Thuyết này dựa trên sự tính toán của
Hussain vào năm 1974. Đó là các hệ số cường
ñộ ứng suất K
I
(θ) và K
II
(θ) của một vết nứt
chính ban ñầu với một phần bị uốn với góc θ
rất nhỏ ở ñỉnh ñược tính toán dựa theo các hệ
số cường ñộ ứng suất K
I
và K
II
của vết nứt
thường.
( ) ( )
3
cos sin
2
I I II
K g K K

θ θ θ θ
 
= +
 
 
(14)
( ) ( )
3
cos sin
2
II II I
K g K K
θ θ θ θ
 
= −
 
 
(15)
( )
2
2
4 1 /
3 cos 1 /
g
θ
π
θ π
θ
θ θ π
−

  
=
  
+ +
  
(16)

Hình 2. Vết nứt chính ban ñầu với một phần bị uốn với góc θ.
Theo biểu thức tổng quát của Irwin, suất
giải phóng năng lượng G cho vết nứt ban ñầu
với một phần bị uốn với góc θ sẽ như sau
( ) ( ) ( )
( )
2 2
1
I II
G K K
E
θ θ θ
= +
′
(17)
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 43
Với
( )
2
1
E

E
ν
′
=
−
cho biến dạng phẳng.
E E
′
=
cho ứng suất phẳng.
Kết hợp với các biểu thức (14), (15), (16),
biểu thức (17) trở thành
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
1
[ 1 3cos 8sin cos 9 5cos ]
4
I I II II
G g K K K K
E
θ θ θ θ θ θ
= + − + −
′
(18)
Góc lan truyền của vết nứt ñược tìm bằng
cách cực tiểu hóa G(θ).
( )
0
G

θ
θ
∂
=
∂
(19)
Và phải thỏa mãn ñiều kiện ổn ñịnh sau
( )
2
2
0
G
θ
θ
∂
<
∂
(20)
Dạng tổng quát của biểu thức (18) có thể
ñược viết gọn lại như sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
11 22 12
1
[ 2 ]
4
I II I II
G A K A K A K K
E
θ θ θ θ θ

= + +
′
(21)
( )
2
11
2
12
2
22
4 3sin
2sin 2
4 5sin
A
A g
A
θ
θ θ
θ
 
−
 
 
 
= −
 
 
 
 
+

 
 
(22)
3. SỰ SO SÁNH GIỮA BA PHƯƠNG
PHÁP DỰ ĐOÁN HƯỚNG LAN TRUYỀN
CỦA VẾT NỨT
Sau ñây là ñồ thị so sánh kết quả giữa
thuyết ứng suất pháp theo phương tiếp tuyến
cực ñại với thuyết suất giải phóng năng lượng
cực ñại và thuyết mật ñộ năng lượng biến dạng
cực tiểu ñược tham khảo từ tài liệu [7]. Để
thuận tiện cho việc so sánh, ñặt
1
2
tan
e
I
II
K
M
K
π
−
 
=
 
 
(23)

Hình 3. Đồ thị so sánh kết quả giữa ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt.

Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010

Trang 44 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM
Ngoài ra, bài báo cáo này xin ñược ñưa ra
một kết quả so sánh khác giữa 3 phương pháp
dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt. Kết quả
này ñược tham khảo từ tài liệu [2].

Hình 4. Đồ thị so sánh kết quả giữa ba lý thuyết dự ñoán hướng lan truyền của vết nứt.
4. MÔ HÌNH TÍNH TOÁN
4.1 Mô hình 1
Mô hình ñược tham khảo trong tài liệu [6]
với các kích thước W = 7 (ñơn vị dài), H = 8
(ñơn vị dài), a = 3,5 (ñơn vị dài). Trường hợp
ñang xét là biến dạng phẳng.Với E = 30 [(ñơn
vị lực)
2
/(ñơn vị dài)], hệ số Poisson ν = 0,25.
Ứng suất trượt τ = 1 (ñơn vị áp suất). Độ tăng
trưởng vết nứt ∆a = 0,5 (ñơn vị dài).

Hình 5. Tấm phẳng với một vết nứt biên và chịu ứng suất tiếp.

Kết quả hình ảnh biến dạng của mô hình sau khi ñược tính toán bằng FRANC2D như sau