Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p

L IM
-

www.nguoithay.org

U

Bài toán c c tr trong m ch đi n xoay chi u là m t d ng bài toán khó đ i v i h c
sinh l p 12 và c ng ít tài li u h th ng hóa m t cách đ y đ v d ng bài toán này.

-

V i đ thi tr c nghi m đ i h c nh hi n nay, vi c áp d ng tr c ti p k t qu c a
bài toán c c tr s làm cho h c sinh không có cái nhìn t ng quan v ph

ng pháp

gi i các d ng toán này.

-

Chính vì lý do đó, nay tôi vi t đ tài “ C C TR TRONG BÀI TOÁN I N
XOAY CHI U “ nh m h th ng hóa m t s d ng toán c c tr c a bài toán này
ph c v cho công tác giãng d y c a các b n đ ng nghi p, c ng nh m t tài li u đ
h c sinh tham kh o trong quá tr nh h c.

-

tài g m b n ph n : kh o sát s bi n thiên c a các đ i l

ng nh công su t,

hi u đi n th c a các thi t b ầ theo giá tr c a bi n tr R, theo giá tr c a đ t
c m L, theo giá tr c a đi n dung C và theo giá tr c a t n s góc .

-

Vì th i gian có h n, nên trong quá trình vi t có th có nhi u thi u xót, mong đ

c

s đóng góp c a quý đ ng nghi p và các em h c sinh.

Trang 1


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p

www.nguoithay.org

M CL C
I.

S thay đ i R trong m ch R-L-C m c n i ti p
1. Có hai giá tr R1  R2 cho cùng m t giá tr công su t
2. Giá tr c a R làm cho công su t c c đ i
a. Giá tr R làm công su t toàn m ch c c đ i
b. Giá tr R làm cho công su t c a R c c đ i
c. Giá tr R làm cho công su t cu n dây c c đ i.

3. Kh o sát s bi n thiên c a công su t vào giá tr c a R

II.

S thay đ i L trong m ch R-L-C m c n i ti p v i cu n dây thu n c m.
1. Có hai giá tr L1  L2 cho cùng giá tr công su t
2. Kh o sát s bi n thiên c a công su t theo c m kháng.
3. Giá tr ZL đ hi u đi n th ULmax
4. Có hai giá tr L1  L2 cho cùng giá tr UL,giá tr L đ ULmax tính theo L1 và L2.
5. Giá tr ZL đ hi u đi n th ULRrmax

III.

S thay đ i C trong m ch R-L-C m c n i ti p.
1. Có hai giá tr C1  C2 cho cùng giá tr công su t
2. Kh o sát s bi n thiên c a công su t theo dung kháng.
3. Giá tr ZC đ hi u đi n th UCmax
4. Có hai giá tr C1  C2 cho cùng giá tr UL và giá tr ZC đ UCmax tính theo C1 và C2.
5. Giá tr ZC đ hi u đi n th UCRrmax

IV.

S thay đ i  trong m ch R-L-C m c n i ti p
1. Giá tr  làm cho Pmax
2. Kh o sát s bi n thiên công su t theo .
3. Có hai giá tr 1  2 cho cùng công su t và giá tr  làm cho Pmax tính theo 1 và 2
4. Giá tr  làm cho hi u đi n th ULmax
5. Giá tr  làm cho hi u đi n th Ucmax

Trang 2

M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p

www.nguoithay.org

I. S thay đ i R trong m ch R-L-C m c n i ti p:
Xét m ch đi n xoay chi u có hi u hi u th hai đ u n đ nh : u  U 0 cos(t  u )
R là m t bi n tr , các giá tr R0 , L và C không đ i.
C
R
L,R0
G i Rtd = R + R0
A

B
1. Có hai giá tr R1  R2 cho cùng m t giá tr công su t
U2
- Công su t tiêu th trên m ch là : P  Rtd I  Rtd 2
Rtd  ( ZL  ZC )2
2

- Vì P1 = P2 = P nên ta có th xem nh công su t trong ph ng trình trên là m t s
không đ i ng v i hai giá tr R1 và R2 . Khai tri n bi u th c trên ta có:
PRtd2  RtdU 2  P ( ZL  ZC ) 2  0

-

N u có 2 giá tr c a đi n tr cho cùng m t giá tr công su t thì ph ng trình b c 2
trên có hai nghi m phân bi t R1 và R2. Theo đ nh lý Viète (Vi-et):

 R1td .R2td  ( ZL  ZC ) 2
( R1  R0 )( R2  R0 )  ( ZL  ZC ) 2




U2
U2
 R1td  R2td 
 R1  R2  2 R0 


P
P

- T đó ta th y r ng có 2 giá tr R1 và R2 khác nhau cho cùng giá tr công su t
2. Giá tr c a R làm cho công su t c c đ i
a. Giá tr R làm công su t toàn m ch c c đ i
-

-

Ta có: P  Rtd I 2  Rtd

U2

Rtd2  ( ZL  ZC )2

(ZL  ZC )2
t A  Rtd 

, áp d ng b t đ ng th c Cauchy(Côsi) cho A
Rtd
A  Rtd 

-

U2
( Z  ZC )2
Rtd  L
Rtd

( ZL  ZC )2
( Z  ZC )2
 2 Rtd L
 2 ZL  ZC  const
Rtd
Rtd

Ta th y r ng Pmax khi Amin => “ =” x y ra. V y: Rtd  ZL  ZC
Khi đó giá tr c c đ i c a công su t là:
Pmax 

U2
U2
U2


2 ZL  ZC 2 R1td .R2td 2 ( R1  R0 )( R2  R0 )

V i R1td và R2td là hai giá tr c a R cho cùng giá tr công su t.

L u ý: Khi ZL  ZC  R0 thì giá tr bi n tr R < 0, khi đó giá tr bi n tr làm cho
công su t toàn m ch c c đ i là R = 0.
b. Giá tr R làm cho công su t c a R c c đ i
-

U2
U2

Công su t c a bi n tr R là PR  R I  R
( R  R0 ) 2  ( ZL  ZC ) 2 ( R  R0 ) 2  ( ZL  ZC ) 2
R
2

Trang 3


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p

www.nguoithay.org

t m u th c c a bi u th c trên là :

-

A

R2  ( ZL  ZC )2
( R  R0 ) 2  ( ZL  ZC ) 2
 R 0
 2 R0

R
R

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho A ta đ

-

A R 

-

c:

R02  (ZL  ZC )2
R2  (ZL  ZC )2
 2R0  2 R 0
 2R0  2 R02  (ZL  ZC )2  2R0  const
R
R

Ta th y r ng PRmax khi Amin ngh a là d u “ =” ph i x y ra, khi đó:
R  R02  ( ZL  ZC )2

- Công su t c c đ i c a bi n tr R là: PR max 

-

U2
2 R02  ( ZL  ZC ) 2  2 R0

c. Giá tr R làm cho công su t cu n dây c c đ i, c ng đ dòng đi nc c đ i,
hi u đi n th cu n dây c c đ i, hi u đi n th t đi n c c đ i.
Ta có :
Pdây  R0 I 2 ;U d  I ZL2  R02 ;U c  IZC
I

U
( R  R0 )  ( ZL  ZC ) 2
2

- Vì R0; ZL; ZC và U là các đ i l ng không đ i nên mu n đ t giá tr c c đ i thì ch c n
c ng đ dòng đi n qua m ch c c đ i. T bi u th c c a dòng đi n ta th y r ng Imax khi
giá tr c a bi n tr R = 0.
3. Kh o sát s bi n thiên c a công su t vào giá tr c a R
th y rõ h n s ph thu c c a công su t toàn m ch vào giá tr c a bi n tr R
ng i ta th ng dùng ph ng pháp kh o sát hàm s :
- Ta có công su t toàn m ch theo bi n thiên theo bi n tr R cho b i hàm s :
P  Rtd I 2  Rtd

U2
Rtd2  ( ZL  ZC )2

Rtd  R  R0

-

o hàm P theo bi n s Rtd ta có: P ' ( R)  U 2

(ZL  ZC )2  Rtd2
( Rtd2  (ZL  ZC )2 )2

Khi P ' (R)  0  (ZL  ZC )2  Rtd2  0  Rtd  ZL  ZC  R  ZL  ZC  R0
B ng bi n thiên :
R

ZL  ZC  R0

0

P’(R)

+

0
Pmax 

P(R)
P  R0

U2
R02  ( ZL  ZC )2

+
-

2

U
2 ZL  ZC

0
Trang 4


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p

www.nguoithay.org

th c a P theo Rtd :
P

Pmax

U2

2 ZL  ZC

Pmax

P  R0

U2
R02  (ZL  ZC )2

O

R=ZL - ZC - R0

R

Nh n xét đ th :
 T đ th ta th y r ng có hai giá tr R1 và R2 cho cùng m t giá tr c a
công su t.
 Công su t đ t giá tr c c đ i khi R  ZL  ZC  R0  0
 Trong tr ng h p R  ZL  ZC  R0  0 thì đ nh c c đ i n m ph n R< 0
do đó ta th y r ng công su t c a m ch s l n nh t khi R = 0.
 N u R0 = 0 thì đ th xu t phát t g c t a đ và ta luôn có giá tr R làm
cho công su t c a toàn m ch c c đ i là R  ZL  ZC
K t lu n:
 V i ph ng pháp kh o sát hàm s đ thu đ c các k t qu
ph n 1 và 2 s
không hi u qu b ng ph ng pháp dùng tính ch t c a hàm b c 2 và b t đ ng
th c Cauchy.
 Tuy nhiên t vi c kh o sát này ta có th bi t đ c s bi n thiên c a P theo
bi n tr R nh m đ nh tính đ c giá tr c a công su t s t ng hay gi m khi
thay đ i đi n tr .
II. S thay đ i L trong m ch R-L-C m c n i ti p v i cu n dây thu n c m.
Xét m ch đi n xoay chi u có hi u hi u th hai đ u n đ nh : u  U 0 cos(t  u )
L là m t cu n dây thu n c m có giá tr thay đ i
C
R
L
R và C không đ i.
A

B
1. Có hai giá tr L1  L2 cho cùng giá tr công su t
- Vì có hai giá tr c a c m kháng cho cùng giá tr công su t nên:
Trang 5

M t s bi toỏn c c tr trong m ch RLC n i ti p

www.nguoithay.org

U2
U2
P1 P2 R 2
R 2
R ( ZL1 ZC )2
R ( ZL2 ZC )2

-

-

Khai tri n bi u th c trờn ta thu

c:

ZL1 ZC ZL2 ZC (loaùi )
( ZL1 ZC ) 2 ( ZL2 ZC ) 2
n)
ZL1 ZC ( ZL2 ZC ) (nhaọ
ZL ZL2
2
L1 L2 2
Suy ra : ZC 1
C
2

2. Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t theo c m khỏng ZL

U2
, v i R, C l cỏc h ng s , nờn
R2 (ZL ZC )2

-

Ta cú cụng su t ton m ch l: P R

-

cụng su t c a m ch l m t hm s theo bi n s ZL
o hm c a P theo bi n s ZL ta cú:

P '( ZL ) 2 RU 2

-

Zc ZL
P '( ZL ) 0 khi ZL ZC
[ R ( ZL ZC ) 2 }]2
2

B ng bi n thiờn
ZL
P(ZL)
P(ZL)

0
+

Z L = ZC
0
U2
Pmax
R

+
-

U2
PR 2
R ZC 2
-

0

th c a cụng su t theo ZL :
P

Pmax

U2

R

Pmax

U2
PR 2
R ZC 2

O

ZL = Z C

ZL
Trang 6


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p
-

www.nguoithay.org

Nh n xét đ th :
 Có hai giá tr c a c m kháng cho cùng m t giá tr công su t
 Công su t c a m ch c c đ i khi ZL  ZC 

ZL1  ZL2
2

, v i ZL ; ZL là hai giá
1

2

tr c a c m kháng cho cùng m t giá tr công su t.

K t lu n: T vi c kh o sát s bi n thiên s thay đ i công su t vào giá tr c a ZL s cho
phép đ nh tính đ c s t ng hay gi m c a P theoZL. T đó ta có th tiên đoán đ c s
thay đ i c a công su t theo giá tr c a ZL trong m t s bài toán.
3. Giá tr ZL đ hi u đi n th ULmax
U

-

Ta có hi u đi n th trên cu n dây là : U L  IZL  ZL

-

và U là các h ng s không đ i. Ta có th dùng ph ng pháp kh o sát hàm s này
theo bi n s là ZL. Tuy nhiên v i cách kh o sát hàm s s r t ph c t p. V i ph ng
pháp dùng gi n đ Vecto bài toán này có th gi i d
UL
h n và rút ra nhi u k t lu n h n.
Theo gi n đ vect và đ nh lý hàm s sin trong tam

R2  (ZL  ZC )2

, trong đó R; ZC

UL
U

sin(   ) sin 
U
R
Vì sin   cos   R 

 const , suy ra
U RC
R2  ZC2
U
U
UL 
sin(   ) 
sin(   )
sin 
cos 

giác ta có :
-

-

U

Do cos và U là các giá tr không đ i nên hi u đi n th

ULmax khi sin(   )  1     



O



2

-

-

2
 U CU L , t
Theo h th c c a tam giác vuông ta có: U RC
2
2
đó suy ra ZL ZC  R  ZC

R2  ZC2
thì U Lmax  U
ZC

i


UC

URC

Tóm l i:
 Khi ZL 

UR

R2  ZC2
R

 Khi ULmax thì hi u đi n th t c th i
m t góc 900.

hai đ u m ch luôn nhanh pha h n uRC

4. Có hai giá tr L1  L2 cho cùng giá tr UL , giá tr L đ ULmax tính theo L1 và L2.
- Khi có hai giá tr c a L cho cùng m t giá tr hi u đi n th :
U L1  U L2  ZL1 I1  ZL2 I 2 

ZL1
R2  ( ZL1  ZC ) 2



ZL2
R2  ( ZL2  ZC ) 2

Trang 7


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p
-

Bình ph

ng và khai tri n bi u th c trên ta thu đ

c:

2

L1
2
L1

ZL22

Z

R2  ZC2  Z  2ZL1 ZC

-



R2  ZC2  ZL22  2ZL2 ZC

Theo k t qu ph n trên khi hi u đi n th gi a hai đ u cu n dây c c đ i thì
ZL ZC  R2  ZC2 v i giá tr ZL là giá tr làm cho ULmax . Thay vào bi u th c trên:
ZL21
ZL ZC  ZL21  2ZL1 ZC

-

www.nguoithay.org



Ti p t c khai tri n bi u th c trên ta thu đ

ZL22

ZL ZC  ZL22  2ZL2 ZC

c:

(Z  Z )ZL  2ZL1 ZL2 (ZL1  ZL2 )
2
L1

-

2
L2

Vì L1  L2 nên đ n giàn bi u th c trên ta thu đ

c: ZL 

2ZL1 ZL2
ZL1  ZL2

 L

2 L1 L2
v i
L1  L2

giá L là giá tr là cho ULmax
5. Giá tr ZL đ hi u đi n th ULRrmax
- Khi R và L m c n i ti p nhau thì :
U LR  I R2  ZL2 

t MT 

-

U R2  ZL2
R2  ( ZL  ZC )2



U
R2  ( ZL  ZC )2
R2  ZL2

R2  (ZL  ZC )2
, ta th c hi n vi c kh o sát hàm s MT theo bi n s ZL đ
R2  ZL2

tìm giá tr c a ZL sao cho MTmin khi đó giá tr c a ULrmax .
bi n s ZL ta thu đ c :

o hàm c a MT theo

2( ZL  ZC )( R2  ZL2 )  2ZL[ R2  ( ZL  ZC ) 2 ]
MT (ZL ) 
( R2  ZL2 )2
Cho MT’(ZL) = 0 ta có : ZC ZL2  ZC2 ZL  ZC R2  0 . Nghi m c a ph ng trình b c hai
'

-


Z  4 R2  ZC2
 ZL1  C
0
2

. L p b ng bi n thiên ta có:
này là:

2
2
 Z  ZC  4 R  ZC  0
 L2
2

ZL

ZL 

0
MT’(ZL)

-

ZC  4R2  ZC2

0
 4 R2  Z 2  Z
C

C


2R


MT (ZL)

+

2

+





2

[

Trang 8


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p
-

www.nguoithay.org

T b ng bi n thiên ta th y r ng MT đ t giá tr nh nh t nên ULR đ t giá tr l n nh t.
Ta thu đ c k t qu sau:
Khi ZL 

ZC  4R2  ZC2
2

thì U RLMax 

2UR
4 R2  ZC2  ZC

III. S thay đ i C trong m ch R-L-C m c n i ti p.
Xét m ch đi n xoay chi u có hi u hi u th hai đ u n đ nh :
C
R
L
u  U 0 cos(t  u )
R là đi n tr L là m t cu n dây thu n c m không đ i
A
B
và C có giá tr thay đ i .
Nh n xét: Vì trong công th c t ng tr Z  R2  ( ZL  ZC ) 2  R2  ( ZC  ZL ) 2 do đó ta th y r ng
bài toán thay đ i giá tr C c ng gi ng nh bài toán thay đ i giá tr L. Do đó khi th c hi n vi c
kh o sát ta c ng th c hi n t ng t thu đ c các k t qu sau:
1. Có hai giá tr C1  C2 cho cùng giá tr công su t
V i hai giá tr C1 và C2 cho cùng giá tr công su t ta có
ZL 

ZC1  ZC2

2

C1C2

C0  2 C  C
1
2
 ZC0  
1
1
 2
 2 L  C  C

1
2

V i giá tr C0 là giá tr làm cho công su t m ch c c đ i
2. Kh o sát s bi n thiên c a công su t theo dung kháng
- B ng bi n thiên:
ZC
0
Z C = ZL
P’(ZC)
+
0
2
P(ZC)
U
Pmax 
R

U2
PR 2
R  ZL2

+

0

Trang 9


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p
-

www.nguoithay.org

th c a công su t theo giá tr ZC
P

Pmax

U2

R

Pmax

U2
PR 2

R  ZL2

O ZL = Z C
:
3. Giá tr ZC đ hi u đi n th UCmax
-

ZC

R2  ZL2
Khi ZC 
thì :
ZL

 U CMax 

U R2  ZL2
2
2
2
2
2
2
và U CM
ax  U  U R  U L ; U CMax  U LU CMax  U  0
R

 uRL vuông pha v i hi u đi n th hai đ u m ch
4. Có hai giá tr C1  C2 cho cùng giá tr UC ,giá tr ZC đ UCmax tính theo C1 và C2
- Khi có hai giá tr C = C1 ho c C = C2 cho cùng giá tr UC thì giá tr c a C làm cho

UCmax khi

C  C2
1 1 1
1
)C  1
 (

2
ZC 2 ZC1 ZC2

5. Giá tr ZC đ hi u đi n th URCmax
ZL  4 R2  ZL2
2UR
- Khi ZC 
thì U RCMax 
( V i đi n tr R và t đi n m c
2
2
4 R  ZL2  ZL

g n nhau)
IV. S thay đ i  trong m ch R-L-C m c n i ti p
1. Giá tr  làm cho Pmax
-

Ta có P  RI 2  R

U2
1 


R  L 
C 


, t công th c này ta th y r ng công su t c a

2

2

m ch đ t giá tr c c đ i khi:  L 

1

 0    0 

1
U2
. V i Pmax 
R
LC


- Khi đó Zmin = R và hi u đi n th gi a hai đ u m ch và c ng đ dòng đi n qua m ch
đ ng pha nhau.
2. Có hai giá tr 1  2 cho cùng công su t và giá tr  làm cho Pmax tính theo 1
và 2:

-

N u có hai giá tr t n s khác nhau cho m t giá tr công su t thì:
Trang10


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p
P1  P2  R

U2
1 2
)
R  (1L 
1C

R

2

www.nguoithay.org
U2

R2  (2 L 

1 2
)
2C

1
1


(1)
L
L





1
2

1C
2 C

c: 
 L  1  ( L  1 )(2)
2
 1
1C
2 C

-

Bi n đ i bi u th c trên ta thu đ

-

Vì 1  2 nên nghi m (1) b lo i

-

Khai tri n nghi m (2) ta thu đ

c : 12 

-

Theo k t qu ta có : 02  12 

1
v i 0 là giá tr c ng h
LC

1
LC

ng đi n.

3. Kh o sát s bi n thiên công su t theo .
U2

-

Ta có P  RI 2  R

-

Vi c kh o sát hàm s P theo bi n s  b ng vi c l y đ o hàm và l p b ng bi n thiên
r t khó kh n vì hàm s này t ng đ i ph c t p. Tuy nhiên, ta có th thu đ c k t qu
đó t nh ng nh n xét sau:

1 

R2    L 
C 


 Khi  = 0 thì ZC 
 Khi   0 

-

2

1
  làm cho P = 0
C

1
thì m ch c ng h
LC

ng làm cho công su t trên m ch

c cđ i
 Khi    thì ZL   L   làm cho P = 0
T nh ng nh n xét đó ta d dàng thu đ c s bi n thiên và đ th :


0

  0 

1
LC

+

U2
R

P()
0

0

Trang11


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p

www.nguoithay.org

P
Pmax

0
-





1
LC

Nh n xét đ th :
 T đ th ta th y r ng s có hai giá tr 1 ≠ 2 cho cùng m t giá tr công
su t, đi u này phù h p v i nh ng bi n đ i ph n trên.

4. Giá tr  làm cho hi u đi n th ULmax
1 

R  L 


Z
U
U
C 

Ta có : U L  I .ZL  .ZL 
, đ t A   
Z
Z
( L) 2
 ZL 
ZL
2

-

R2
1
c : A  2 2  1  2 
 L   LC 

-

Bi n đ i bi u th c A ta thu đ

-

R2
x

Ta ti p t c đ t x  2  0 khi đó A 
x  1  
 L
L
 C

-

L y đ o hàm c a A theo bi n s x ta thu đ

-

Cho A’(x) = 0 ta thu đ

2 LC  R2C 2
c x
2L

-

Vì x  0 

1

-

0

2

2

c: A'( x) 

2L
 R2 khi đó ta thu b ng bi n thiên:
C
x
2 LC  R2C 2
0
2L

A’(x)

2

2

R2 2 
x
 1  
L C C

∞
+

A(x)
Amin
Trang12


M t s bài toán c c tr trong m ch RLC n i ti p
-

Thay giá tr x vào bi u th c đã đ t ta thu đ


Nh n xét : Khi x  0 
a

1
C

1

2

L R

C 2

www.nguoithay.org
c hi u đi n th c c đ i c a cu n dây là:

và U LMax 

2U .L
R 4 LC  R2C 2

2L
 R2 thì Amin khi x = 0 do A làm hàm s b c 2 có h s
C

1
 0 nên hàm s có c c ti u
C2

ph n âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong mi n xác

đ nh c a x. Khi đó  r t l n làm cho ZL r t l n làm cho I = 0. Do đó không th tìm giá
tr  làm cho ULmax
5. Giá tr  làm cho hi u đi n th Ucmax
- T ng t nh cách làm trên ta c ng thu đ c k t qu t ng t khi thay đ i giá tr 
làm cho UCmax là:
-

Khi  

2U .L
2L
1 L R2
 R2
thì U CMax 
v i

2 2
C
L C 2
R 4 LC  R C
Lê T n H u - Thuvienvatly.com

Trang13