Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C

Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
TRONG MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH R,L,C
Tác giả: Đào Thị Loan
Giáo viên trường : THPT Yên Lạc
Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12
Số tiết dự kiến: 12 tiết
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
1
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
LỜI NÓI ĐẦU
Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ môn vật lí đã
chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Lượng kiến thức trong mỗi bài thi
rất lớn gần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gian thi cũng ít hơn khi các em
thi tự luận vì vậy đòi hỏi các em phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng đòi hỏi phải
chính xác. Phần điện xoay chiều là phần rất quan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tôi đã
viết chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C” để
đưa ra cho các em một số dạng bài đặc biệt giúp các em nhận diện và có cách giải
nhanh nhất.
Chuyên đề gồm bốn phần:
Phần 1: Tóm tắt lý thuyết.
Phần 2: Một số bài toán cực trị trong mạch không phân nhánh R, L, C
Phần 3: Một số bài tập ví dụ.
Phần 4: Một số bài tập tự giải.
Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp các em học tốt hơn và yêu thích hơn khi học phần
điện xoay chiều trong môn vật lý.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường, toàn thể các thầy cô trong
hội đồng nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý – Công nghệ của trường
THPT Yên lạc; các em học sinh và gia đình đã giúp đỡ tôi khi tôi viết chuyên đề này.
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
2

Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT MẠCH R – L – C KHÔNG PHÂN NHÁNH
1. Mạch R – L – C không phân nhánh:
Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U
0
cos(
ω
t +
u
ϕ
) gồm một điện trở
thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở trong r và một tụ điện có điện dung C ta có :
*) Biểu thức cường độ dòng điện : i = I
0
cos(
ω
t +
i
ϕ
) (A). Với I
0
là cường độ dòng điện
cực đại, và
ω
lµ tần số góc,
i
ϕ
là pha ban đầu của dòng điện
- Biểu thức hiệu điện thế : u = U
0

cos(
ω
t +
u
ϕ
) (V). Với U
0
là hiệu điện thế cực đại,
u
ϕ
là
pha ban đầu
- Các giá trị hiệu dụng : U=
0
2
U
và I=
0
2
I
*) Xét đoạn ,mạch R, L , C nối tiếp:
- Tần số góc:
2
2 f
T
π
ω π
= =
;
- Cảm kháng:

.
L
Z L
ω
=
; Dung kháng
1
C
Z
C
ω
=
- Tổng trở của mạch :
2 2
( ) ( )
L C
Z R r Z Z= + + −
;
- Hiệu điện thế hiệu dụng:
2 2
R
( ) ( )
r L C
U U U U U= + + −
- Hiệu điện thế giữa hai đầu của các phần tử:
+ U
R

= IR =
2 2

( ) ( )
L C
U UR
R
Z
R r Z Z
=
+ + −
+ U
d
= IZ
d
2 2
2 2
( ) ( )
L
L C
U r Z
R r Z Z
+
=
+ + −
+ U
C
= IZ
C

2 2
( ) ( )
C

L C
UZ
R r Z Z
=
+ + −
- Định luật ôm:
C
R L r
L C
R Z r Z
U
U U UU
I
Z
= = = = =
- Độ lệch pha giữa u – i:
tan
L C
Z Z
R r
ϕ
−
=
+
(trong đó
u i
ϕ ϕ ϕ
= −
)
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

3
i
U
R r
+
ur
U
L
ur
U
C
ur
U U
L C
+
ur ur
O
U
ur
ϕ
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
*) Công suất tiêu thụ của mạch:
+ Nếu cuộn dây thuần cảm: P = I
2
R = UI
osc
ϕ
+ Nếu cuộn dây có điện trở trong r : P = I
2
(R

+ r); P
R

= I
2
R; P
d

= I
2
r
VD: Nếu trong mạch không có phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức tổng quát
* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với tụ điện R – C:
+ Tổng trở
2 2
C
Z R Z= +
+ Định luật Ôm:
C
R
C
R Z
U
UU
I
Z
= = =
+ Độ lệch pha giữa u và i
tan 0

C
Z
R
ϕ
−
= →p
u luôn trễ pha so với i (trong đó
u i
ϕ ϕ ϕ
= −
)
+ Công suất tiêu thụ của mạch: P = I
2
R =UI
osc
ϕ
* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm: R – L
+ Tổng trở
2 2
L
Z R Z= +
+ Định luật Ôm:
R
R Z
L
L
U UU
I
Z
= = =

+ Độ lệch pha giữa u và i
tan 0
L
Z
R
ϕ
= > →
u luôn sớm pha so với i (trong đó
u i
ϕ ϕ ϕ
= −
)
+ Công suất tiêu thụ của mạch: P = I
2
R =UI
osc
ϕ
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
4
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,C
Bài toán 1: Mạch có R thay đổi
Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh trong đó R có thể thay đổi được (R còn
được gọi là biến trở). Các giá trị khác L; C;
ω
; U là các hằng số. Tìm giá trị của R để :
1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại
2. Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây thuần cảm)
3.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r); P
mach

cực đại.
* Hướng dẫn giải:
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công
thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là
đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi theo đại lượng thay đổi.
Bổ đề :
• Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số không âm a, b khi đó
2a b ab+ ≥
Nên
min
( ) 2a b ab+ =
, Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai
2
axy bx c= + +
, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min
4 '
;
2 4 4
b ac b
x y
a a a a
∆ − ∆
= − = − = = −
1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại
2 2
2
U

U =IR= W
Z
( )
1 ( )
R RMax RMax
L C
L C
U U
R U R U
Z Z
R Z Z
R
= = ⇒ ⇔ → ∞ ⇒ =
−
+ −
+
của mạch.
2. Công suất tỏa nhiệt trên R:
2 2 2 2
2
2
2 2 2
L C
L C
U U U U
P = I R = R = R = =
(Z -Z )
Z R +(Z -Z ) y
R+
R

với y =
2
L C
(Z -Z )
R+
R
Ta có:
L C L C
2 Z -Z Z -Z
Min
Z R= ⇔ =
(1.1)
Khi đó công suất cực đại của mạch
2 2
Max
L C
U U
P = =
2 Z -Z 2R
(1.2)
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
5

Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Khảo sát bài toán công suất trên R của mạch gồm R, L, C không phân nhánh
+ Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị của P theo R
*) Với hai giá trị của điện trở R = R
1
và R = R

2
mạch cho cùng một công suất thì:
( )
2 2
2
2
2 2
L C
U U
P= I R = R = R
Z
R +(Z -Z )
2 2 2
2 2 2
R +P( - )
R P( - ) 0(*)
L C
L C
P Z Z U R
P U R Z Z
⇒ =
⇔ − + =
Điều kiện để (*) có 2 nghiệm phân biệt là:
2
2
L C
U
Z Z
P
− <

(1.3)
(*) Là phương trình bậc hai, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có
2
1 2
2 2
1 2
( - )
L C
U
R R
P
R R Z Z R
+ =
= =
(1.4)
Với R là giá trị mà công suất của mạch đạt cực đại
*) Ta có (1) - >
1 2
1 2
1 2
( - ) ( - )
1
tan tan 1
2
L C L C
Z Z Z Z
R R
ϕ ϕ
π
ϕ ϕ

=
⇒ =
⇒ + = ±
(1.5)
+ Khi
1 2
2
L C
Z Z
π
ϕ ϕ
> → + =
+ Khi
1 2
2
L C
Z Z
π
ϕ ϕ
< → + = −
*) Khi công suất trong mạch đạt cực đại thì hệ số công suất
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
6
R
P
'
P
0
Z Z
L C

−
∞
0
+
−
P
max
x
0
0

Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
1
os
4
2 2
R R
c
Z
R
π
ϕ ϕ
= = = ⇒ = ±
(1.6)
+ Khi
4
L C
Z Z
π
ϕ

= → >
Mạch có tính cảm kháng
+ Khi
4
L C
Z Z
π
ϕ
= − → <
Mạch có tính dung kháng
*) Nếu trong mạch khuyết phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức (1.4)
+ Mạch chỉ có R – C mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một công suất thì

(1.7)
+ Mạch chỉ có R – L mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một công suất
thì :

(1.8)
*) Từ công thức (1.2); (1.3); (1.4)
1 2
ax 1 2
2
M
R R
P
P R R
=
+
(1.9)
*) Khi công suất trên R cực đại thì hiệu điện thế trên hai đầu cuộn dây và hai đầu của tụ

khi đó:
+)
2 2
2
( )
L C L C L C
L C
U U
U U I Z Z Z Z
R Z Z
− = − = − = ±
+ −

Hay
2
L C
U U U= −
(1.10)
6.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r)
Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có thể tìm công
suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại
Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
7

2
1 2
2 2
1 2 C
U

R R
P
R R Z R
+ =
= =
2
1 2
2 2
1 2 L
U
R R
P
R R Z R
+ =
= =
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
2 2 2 2
2
2
2 2 2
L C
L C
U U U U
P = I (R+r) = (R+r) = (R+r) = =
(Z -Z )
Z (R+r) +(Z -Z ) y
(R+r)+
(R+r)
Với
2

L C
(Z -Z )
y = (R+r) +
(R+r)
Ta có theo bất đẳng thức Cosi thì y
min
= 2
L C
Z Z−
Và P
max
=
2
L C
U
2 Z -Z
(1.11)
Dấu bằng xảy ra khi
L C
R = R + r R = Z -Z - r
M L C
Z Z= − ⇒
(1.12)
+ Hiệu điện thế 2 đầu của điện trở thuần khi đó
(1.13)
*) Nếu
L C
r Z Z> −

M L C

R r Z Z→ ≥ > −
ta có bảng biến thiên
Nếu
L c
Z Z r− <
thì ta lấy R = 0 và công suất khi đó
P = I
2
r =
2
2 2
( )
L C
U
r
r Z Z+ −
(1.14)
*) Khi công suất mạch ngoài cực đại thì

2
tan 1 os
4 2
L C
Z Z
c
R r
π
ϕ ϕ ϕ
−
= = ± ⇒ = ± ⇒ =

+
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
8
IR
( ) 2
2
R
R
U UR
U R
Z
R r
U R r
U R
= = =
+
+
⇒ =
=R
Mmin
IR
( ) 2
2
R
R
U UR
U R
Z
R r
U R r

U R
= = =
+
+
⇒ =
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Trường hợp 2: Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R, (P
R
) cực đại:
2 2 2 2
2
2
2 22 2 2
L C
L C
U U U U
P = I R = R = R = =
(Z -Z )
R +2Rr + r
Z (R+r) +(Z -Z ) y
+
R
R
R
với
2
2 2
( )
2
L C

Z Z
R Rr r
y
R R
−
+ +
= +
Ta
2 2
min
2 2 ( )
L C
y r r Z Z= + + −

Dấu bằng xảy ra khi
2 2
( )
L C
R r Z Z= + −
(1.15)

Và
2 2
ax
2 2
min
2 2 ( )
m
L C
U U

P
y
r r Z Z
= =
+ + −

*) Khi công suất trên R đạt cực đại thì độ lệch pha giữa u và i khi đó là:
( )( )
tan
L C
R r R r
Z Z
R r
R r R r R r
ϕ
+ −
−
−
= = ± =
+ + +
(1.16)

*)
2 2 2
( )
R r L C
U U U U= + −
;
2 2 2 2 2
( ) 2 ( )

R r R r R R r
U U U U U U U U U= + + − ⇒ = +
*) Hiệu điện thế giữa hai đầu của cuộn dây và tụ điện khi đó:
2 2
2 2 2 2
2
2
( )
.
2( )
( ) ( ) 2
2( )
L C
rLC rLC
L C
rLC
U r Z Z
U R R
U IZ U
R r
R r Z Z R Rr R
U R
U R r
+ −
= = = =
+
+ + − + +
→ =
+
Bài toán 2:

Cho mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và một
tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều
0
os( )u U c t
ω
=
.
1. Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ điện (R mắc
liên tiếp với C) có giá trị không đổi. Tính U
RC
và tần số cộng hưởng trong mạch.
2. Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của U
RL
vuông góc với hai đầu của đoạn mạch.
Tính R .
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
9


(1.18)
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Hướng dẫn
1) Ta có:
+)
2 2
2 2 2
2 2
( ) 2
1
C

RC RC
L C L L C
C
U R Z
U
U IZ
R Z Z Z Z Z
R Z
+
= = =
+ − −
+
+
Ta thấy U
RC
không phụ thuộc vào R thì
2
2
L L C
Z Z Z−
=0
2 2
1 2
2 2 2
2
L C ch ch
Z Z L
C LC
ω
ω ω ω ω

ω
→ = → = → = = → =
(2.1)
Khi đó U
RC
= U (2.2)
2) Theo giả thiết
2
tan tan 1
1
( )
RL RL
L L C
L C L
U U
Z Z Z
R R
R Z Z Z
ϕ ϕ
⊥ → = −
−
↔ = −
↔ = −
uuur ur
(2.3)
Ta có: + Mạch R – L – C có tính dung kháng (
C L
Z Z>
)
+

2 2 2 2
C R L
U U U U= − −
+
2 2
L C R L
U U U U= +
(2.4)
Bài toán 3: Mạch R – L – C không phân nhánh gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn
dây thuần cảm có độ tự cảm L có thể thay đổi được. Mắc vào hai đầu mạch một điện áp
xoay chiều
0
os( )u U c t
ω
=
1. Xác định L để
+ I = I
max
+ P = P
max
+ U
R
=U
Rmax
; U
C
=U
Cmax
; U
RC

= U
Rcmax
+
Hệ số công suất cos
ϕ
=1 ; u,i cùng pha.
2. Xác định L để U
Lmax
3. Xác định L để U
RL
cực đại (R mắc liên tiếp với L)
4. Khi thay đổi L ta thấy với L = L
1
và L = L
2
thì U
L
có giá trị không đổi. thiết lập công thức
giữa L
1
; L
2
với L sao cho U
L
cực đại.
5. Khi thay đổi L ta thấy với L = L
1
và L = L
2
thì ta thấy P

1
= P
2
. Xác định L để mạch cộng
hưởng.
1. Ta thấy khi xác định cực trị của các đại lượng I; P; U
R
; U
RC
; U
C
; cos
ϕ
thì ta nhận thấy độ tự
cảm L chỉ xuất hiện ở mẫu số ( có đồng thời cả Z
L
và Z
C
) thì khi đó để các đại lượng đạt cực
đại thì
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
10
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
2
1
L C
Z Z L
C
ω
= → =

(3.1)
2. Xác định L để U
Lmax
Ta có:
2 2 2 2
2
( )
2 1
L
L L
L C C C
L L
UZ U U
U IZ
Y
R Z Z R Z Z
Z Z
= = = =
+ − +
− +
Khi U
L
đạt cực đại thì Y = Y
min
. Nếu đặt
1
L
X
Z
=

thì Y =
2 2 2
( ) 2 1
C C
R Z X Z X+ − +

Tìm Y min
Y là tam thức bậc 2 có hệ số a =
2 2
C
R Z+
>0 nên đạt cực trị tại
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
max
1
2
4
C
C
L
C
C
C
min

L
C
R Z
b Z
Z L CR
X
Z C
a R Z
R
U R Z
Y
U
a R Z
R
ω
+


= → = +
= − =


+
 
⇒
 
∆
+
 
= − =

=
 
+


(3.2)
Nhận xét :
*) Khi U
L
= U
Lmax
thì : từ (3.2) ta có Z
L
Z
C
= R
2
+Z
C
2

2
/ /
/ /
( )
1
tan tan 1
2
RC
RC

C L C
C L C
u i u i
u i u i
Z Z Z R
Z Z Z
R R
ϕ ϕ
π
ϕ ϕ
↔ − − = −
−
↔ − = −
↔ = −
↔ − = ±

Mặt khác ta luôn có trong mạch R- L – C không phân nhánh thì u
RC
luôn trễ pha so với i một
góc
2
RC
π
ϕ
p
nên
/ /
2
RC
u i u i

π
ϕ ϕ
− =
(3.3)
Vậy khi L thay đổi U
L
đạt cực đại thì
RC
U U⊥
uuur ur
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
11
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
*) Khi U
L
= U
Lmax
thì : từ (3.2) ta có Z
L
Z
C
= R
2
+Z
C
2

2 2
L C R C
U U U U↔ = +

(3.4)
3. Xác định L để U
RL
đạt cực đại
Ta có :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
( ) 2 2
1
L
RL RL
L C L C L C C L C
L L
U R Z
U U U
U IZ
Y
R Z Z R Z Z Z Z Z Z Z
R Z R Z
+
= = = = =
+
+ − + + − −
+
+ +
Ta thấy U
RL
cực đại khi Y = Y

min

Mặt khác ta khảo sát hàm số Y theo Z
L
ta được : Y =
2
2 2
2
C L C
L
Z Z Z
R Z
−
+
Y’ =
2 2 2
2 2 2
2 ( ) 2 ( 2 )
( )
C L L C L C
L
Z R Z Z Z Z Z
R Z
− + − −
+
Y’ = 0
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2

2 ( ) 2 ( 2 ) 0
2 0
0
4
2
C L L C L C
L L C L
L L C
C C
L
Z R Z Z Z Z Z
R Z Z Z Z
Z Z Z R
Z Z R
Z
⇔ − + − − =
⇔ + + − =
⇔ − − =
+ +
→ =
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
12
*) Theo công thức (3.3) ta có
RC
U U⊥
uuur ur
nên dựa
vào giản đồ vectơ ta có :
2 2 2
2 2 2 2

L RC
L R C
U U U
U U U U
= +
↔ = − −
(3.5)
(3.8)
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
*) Từ công thức (3.8) ta thấy Z
L
> Z
C
khi đó mạch có tính cảm kháng
*) Khi U
RL
đạt giá trị cực đại thì ta có
2 2
0
L L C R
U U U U− − =
(3.9)
`
*) Khi U
RL
đạt cực đại
ax
2 2
2 R
4

RLM
C C
U
U
R Z Z
=
+ −

2 2 2
0 ( )
1 tan tan 1
RL
L L C L L C
L L C
u
Z Z Z R Z Z Z R
Z Z Z
R R
ϕ ϕ
− − = ↔ − =
−
↔ = ↔ =
2
RL
u
π
ϕ ϕ
→ + = ±
Vì Z
L

>Z
C
và
RL
u
ϕ
>0 nên ta có :

2
RL
u
π
ϕ ϕ
+ =
(3.10)
4. Ta có theo giả thiết
2
2
2 2
2 2
( )
( )
( )
L L L
L L
L C
L C
UZ U Z
U IZ a
U R Z Z

R Z Z
= = ⇔ = =
+ −
+ −
2 2 2 2
2 2 2
2
( 1) 2 ( )
L L L C C
L L C C
Z aR aZ aZ Z aZ
a Z aZ Z a R Z
⇔ = + − +
⇔ − − + +
với a>1
Đây là tam thức bật hai. Điều kiện để tam thức có nghiệm là
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
' 0 4 ( 1)( ) 0
4 ( 1) 4( 1)
4( )
C C
C
C
C L
C L
a Z a a R Z

Z a a a
R Z a a
Z U U
R Z U
∆ > ↔ − − + >
− −
⇔ > =
+
−
⇔ >
+
Với điều kiện trên. Theo Viét hai nghiệm của phương trình thỏa mãn :
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
2
1
2 2
( )
1
C
L L
L L C
L
L L C
C
L L

aZ
Z Z
Z Z R Z
a
Z
Z Z Z
a R Z
Z Z
a

+ =

+

−
⇔ = =

+
+

=

−

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
13
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
1 2
1 2
2( )

L L
L
L L
=
+
(3.11)
Với L sao cho U
L
= U
Lmax
5. Khi L = L
1
và L = L
2
ta thấy công suất P
1
= P
2
ta có:
1 2
1 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
( ) ( )
( )
L C L C
L C L C
I R I R I I Z Z
Z Z Z Z

Z Z Z Z
↔ = ⇔ = ⇔ =
⇔ − = −
⇒ − = − −
*) Từ công thức (3.12) ta có :
1 2
1 2
2
1
2 2
L L
C
Z Z
L L
Z L
C
ω
+
+
= ↔ = =
Mặt khác khi mạch cộng hưởng thì
2
1
LC
ω
=
1 2
2
L L+
=L (3.13)

*) Với L = L
1
và L = L
2
thì độ lệch pha giữa u và i
1
1
tan
L C
Z Z
R
ϕ
−
=
2
2
tan
L C
Z Z
R
ϕ
−
=

Từ công thức (3.12) thì
1
tan
ϕ
=
-

2 1 2
tan
ϕ ϕ ϕ
→ = −
(3.14)
Hệ số công suất trong hai trường hợp đó bằng nhau
1 2
os osc c
ϕ ϕ
=
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
14
(3.12)
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (ĐH – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn
mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi điều chỉnh
R thì tại hai giá trị R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng
giữa hai đầu tụ điện khi R = R
1
bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
2
.
Các giá trị R
1
và R

2
là:
* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có P
1
= P
2
theo công thức (1) phần 5 ta có R
1
R
2
= Z
C
2
= 100
2
Mặt khác, gọi U
1C
là điện áp tụ điện khi R = R
1
và U
2C
là điện áp tụ điện khi R = R
2

Khi đó theo bài ta được
1
1 2 1 2
2
2 2 2

C C C C
I
U U I Z I Z
I
= ⇔ = ⇒ =
Mặt khác
2
2 2
2 1
1 2 1 1 2 2
1 2
4
R I
P P I R I R
R I
 
= ⇔ = ⇔ = =
 ÷
 

Giải ta có : R
1
= 50Ω, R
2
= 200Ω. Đáp án C
Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở
R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều
120 2 os(120 )( )u c t V
π
=

. Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R
1
= 18Ω và R
2
= 32Ω thì
công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Tính công suất cực đại của mạch và công suất
P.
* Hướng dẫn giải:
+ Ta có với R = R
1
và R = R
2
mạch cho cùng một công suất thì
2 2
1 2
120
288W
18 32
U
P
R R
= = =
+ +
Mặt khác gọi R là điện trở khi công suất của mạch cực đại thì:
R
2
= R
1
R
2

nên R = 24
Ω
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
15
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
P
Max
=
2
2
U
R
= 300 W
Ví dụ 3 (ĐH 2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn
mạch AM gồm điện trở thuần R
1
mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB gồm
điện trở thuần R
2
mắc nối tiệp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đặt điện áp xoay chiều có
tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB. Khi đó, đoạn mạch AB tiêu
thụ công suất bằng 120 W và có hệ số công suất bằng 1. Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp
hai đầu đoạn mạch AM và MB có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau
3
π
, công suất
tiêu thụ trên đoạn mạch AB trong trường hợp này bằng
* Hướng dẫn giải:
+ Khi tụ điện chưa bị nối tắt mạch gồm hai đoạn AM có R
1

nối

tiếp với tụ điện C, đoạn mạch
MB có R
2
mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần L vì hệ số công suất bằng 1 nên trong mạch có hiện
tượng cộng hưởng -> Z
L
= Z
C

Theo đầu bài công suất của mạch khi đó là P
1
= 120W
Vì mạch có cộng hưởng điện nên ta có : P
1
=
21
2
RR
U
+

+ Khi tụ điện bị nối tắt đoạn mạch AM còn R
1
khi đó u
AM
cùng pha với i, còn u
MB
sớm pha hơn

i là φ
MB
- Theo đầu bài u
AM
lệch pha π/3 so với u
MB
nên u
MB
sớm pha hơn i là φ
MB
= π/3 → Z
L
=
2
.3 R
Do U
AM
= U
MB
( vì mạch nối tiếp) nên R
1
= Z
MB
→ R
1
2
= R
2
2
+ Z

l
2
= 4R
2
2
→R
1
= 2R
2
2
1
3
2
U P⇒ =
(1)
- Công

suất của mạch khi này là : P
2
= I
2
( R
1
+ R
2
)
P
2
=
2 2 2

1 2 1
/ 2 2
1 1
3
( ) .
3 2 2
U U U
R R R
Z R R
+ = =
= (2)
Từ (1) và (2) ta có P
2
= 3/4P
1
= 90W
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
16
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Ví dụ 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là
u = 240
2
cos(100
π
t) V; C =
1
π
.
4
10 F

−
. Khi mạch có R = R
1
= 90Ω u và R = R
2
= 160Ω thì
mạch có cùng công suất P.
a).Tính L, P
b).Giả sử chưa biết L chỉ biết P
Max
= 240W và với 2 giá trị R
3
và R
4
thì mạch có cùng công suất
là P = 230,4W Tính R
3
và R
4
* Hướng dẫn giải:
a) Ta có với R = R
1
= 90Ω u và R = R
2
= 160Ω thì mạch có cùng công suất P.
Thì:
2
1 2
U
P

R R
=
+
= 230,4 W và R
1
R
2
= (Z
L
- Z
C
)
2

Z Z
L C
→ −
=120
nên L
1
=
0,2
H
π
và L
2

2,2
H
π

b) ta có
2 2
ax
120
2 2
M
U U
P R
R P
= → = = Ω
theo bài toán 5 thì
2
3 4
14400R R R= =
và R
3
+ R
4
=
250 khi đó 2 giá trị là 90 Ω và 160Ω
Ví dụ 5 : Cho mạch điện như hình vẽ : R là biến trở
U
AB
= 100
2
V; U
AN
= 100
2
V; U

NB
= 200V
Công suất của mạch là P = 100
2
W.
1. Chứng minh rằng P = 100
2
W chính là giá trị công suất cực đại của mạch
2. Với hai giá trị R
1
và R
2
thì mạch có cùng công suất P’. Tính P’ và R
2
biết R
1
= 200Ω
* Hướng dẫn giải:
a)Ta có:
2 2 2 2 2 2
( ) ; ; 200
AB R L C AN R L NB C
U U U U U U U U U V= + − = + = =
100 100
2
C
AN AB L R
U
U U U V U V= → = = → =
Vậy

axR L C L C M
U U U R Z Z P P= − → = − → =
b) ta có
4
2
2 1
2
axM
U
R R R
P
= = =
20000 -> R
2
= 100Ω
và
2
1 2
U
P
R R
=
+
= 66,67 W
Ví dụ 6 : Cho mạch điện RLC; u = 300
2
cos100
π
t (V).R thay đổi được ; Khi mạch có R =
R

1
= 90Ω thì độ lệch pha giữa u và i là ϕ
1 .
Khi mạch có R = R
2
= 160Ω thì độ lệch pha giữa u
và i là ϕ
2.
biết
1 2
2
π
ϕ ϕ
+ =
a) Tính công suất ứng với R
1
và R
2

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R
1
, R
2
* Hướng dẫn giải:
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
17
L
C
R
A B

M
N
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
a) vì
1 2
2
π
ϕ ϕ
+ =
nên P
1
= P
2

⇒
2
1 2
U
P
R R
=
+
= 600W
b)
1 2
120 120
L C L C
Z Z R R Z Z− = = Ω → − = ± Ω
1
1

U
I
Z
→ =
=2 A;
2
2
U
I
Z
→ =
=1,5 A
tan
1
ϕ
=
1
120 4
90 3
L C
Z Z
R
− ±
= = ±
1
53
180
π
ϕ
→ = ±

i
1
= 2
2
cos(100
π
t
53
180
π
±
)
tan
2
ϕ
=
2
120 3
160 4
L C
Z Z
R
− ±
= = ±
2
37
180
π
ϕ
→ = ±

i
1
= 2,5
2
cos(100
π
t
37
180
π
±
)
Ví dụ 7 : Đoạn mạch xoay chiều gồm có tụ điện mắc nối tiếp với biến trở R rồi mắc vào mạch
điện xoay chiều u = U
0
cos (
t
ω
) ta thấy khi R = R
1
và R= R
2
thì độ lệch pha của u và i là
1 2
;
ϕ ϕ
và
1 2
2
π

ϕ ϕ
+ = −
. Tính điện dung của tụ điện.
* Hướng dẫn giải:
Ta có theo giả thiết vì
1 2
2
π
ϕ ϕ
+ = −
→
( )
2
1 2 1 2
tan tan 1
L C
R R Z Z
ϕ ϕ
= → = −
P
1
= P
2
→
1 2
1 2
1
C
Z R R C
R R

ω
= → =
Ví dụ 8 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch không phân nhánh gồm một biến trở R, cuộn dây thuần
cảm có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung
3
10
13
C F
π
−
=
một điện áp xoay chiều
0
os(100 )u U c t
π
=
(V). Thay đổi biến trở R khi R = 60
Ω
ta thấy điện áp giữa hai đầu của
u
RL
vuông góc với hai đầu của đoạn mạch. Biết cường độ dòng điện trong mạch khi đó I =
1 A. Hãy tính Hiệu điện thế cực đại U
0
của mạch
* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có U
R
= 60 V; U
C

= 130 V
Theo giả thiết khi điện áp giữa hai đầu điện trở và cuộn dây vuông pha với điện áp hai đầu
đoạn mạch thì:
2 2
( )
tan tan 1 1 0
L L C
RL L L C
Z Z Z
Z Z Z R
R R
ϕ ϕ
−
= − → = − ⇔ − + =

2 2 2 2
0
L C R L L L C R
U U U U U U U U⇔ = + ⇔ − + =
+ Thay số ta có
90
60
L
L
U V
U V
=


=


+ Khi đó hiệu điện thế hai đầu của mạch U =
2 2
( )
R L C
U U U+ −
thay số ta có hai giá trị của
điện áp thỏa mãn là U
01
=
20 26V
và U
02
=
10 70V
Ví dụ 9 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều
100 2 os( )u c t
ω
=
(V) gồm
một điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một tụ điện có
điện dung C. Khi thay đổi L ta thấy U
L
đạt cực đại và hiệu điện thế hai đầu tụ điện bằng hiệu
điện thế hai đầu điện trở thuần. Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu của u
RL
* Hướng dẫn giải:
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
18
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C

*) Nhận xét: Thông thường khi viết biểu thức điện áp của hai đầu đoạn mạch nào đó ta phải
tính được điện áp cực đại giữa hai đầu đoạn mạch đó và độ lệch pha của nó so với cường độ
dòng điện trong mạch. Đối với bài này thì để làm như vậy rất dài so với thời gian của một bài
trắc nghiệm.
Tuy nhiên ta có thể làm việc đó tương đối đơn giản nếu chú ý đến những giữ kiện bài
toán cho.
+ Theo giả thiết U
C
= U
R

C
Z R→ =
nên từ công thức (3.2)
2 2
2
C
L L
C
R Z
Z Z R
Z
+
= → =
Độ lệch pha giữa u
RL
và i
63
tan 2
180

RL RL
L
u u
Z
R
π
ϕ ϕ
= = → =
+ Khi U
L
cực đại thì U
Lmax
=
2 2
2 100 2
C
C
U R Z
U
Z
+
= =
(V)
Kết hợp với biểu thức
2 2 2
( )
R L C
U U U U= + −
2 200 2
R L

U U V→ = =
100 10
RL
U V→ =
+ Vì U
L
max nên
2
RC RC
U U
π
ϕ ϕ
⊥ → − =
uuur ur
Mặt khác
tan 1
4
C
RC RC
Z
R
π
ϕ ϕ
− −
= = − → =
4
π
ϕ
→ =
Vậy độ lệch pha giữa u

RL
và u mạch
63
180 4 10
π π π
ϕ
∆ = − =
(rad)
Biểu thức điện áp giữa hai đầu của điện trở và cuộn dây:
200 5 os(100 )
10
RL
u c t V
π
π
= +
Ví dụ 10 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều
100 2 os(100 )u c t
π
=
(V)
gồm điện trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một tụ điện có điện
dung
4
10
C F
π
−
=
. Khi L =

3
H
π
thì điện áp trên hai đầu cuộn dây đạt cực đại. Tính U
RC
và
U
L
max.
* Hướng dẫn giải:
Ta nhận thấy : Khi U
L
đạt cực đại thì:
Và
2 2
C
L
C
R Z
Z
Z
+
=
thì
2
RC C
2
L C
U
= 50 2

U - Z
RC
Z
U V
Z
→ =
Và R =100
2Ω
Hay khi đó U
L
đạt cực đại U
L
=
2 2
C
C
U R Z
Z
+
=
100
3
(V)
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
19
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Ví dụ 11 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều
50 10 os(100 )u c t
π
=

(V)
gồm một điện trở thuần R = 100
Ω
, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một
tụ điện có điện dung C. Khi thay đổi L ta thấy
ϕ
là độ lệch pha giữa u và i;
RL
ϕ
là độ lệch pha
giữa u
RL
và i thì:
ϕ
+
RL
ϕ
=
2
π
và cường độ dòng điện trong mạch I = 1A. Xác định L để U
L
cực
đại và tính giá trị cực đại đó.
* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có: U
R
= 100 (V)
+
Ta có theo giả thiết khi L thay đổi

ϕ
+
RL
ϕ
=
2
π

2 2
tan tan 1 0
RL L L C
Z Z Z R
ϕ ϕ
= ⇔ − − =
Và khi đó U
RL
đạt giá trị cực đại.
Nên:
2 2
0
L L C R
U U U U− − =
Mặt khác ta có
2 2 2
( )
R L C
U U U U= + −
Giải hệ trên ta có U
L
= 200 (V) ; U

C
= 150 V
4
2.10
150
3
C
Z C F
π
−
→ = Ω → =
Khi U
L
cực đại thì ta có
2 2
650
3
6,5
3
C
L
C
R Z
Z
Z
L H
π
+
= = Ω
=

Khi đó U
L
=
2 2
201( )
C
C
U R Z
V
Z
+
≈
(V)
Ví dụ 12 : Đặt điện áp xoay chiều u = U
2
cos100πt (U không đổi, t tính bằng s) vào hai đầu
đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được
và tụ điện có điện dung C =
3
10
4
F
π
−
. Điều chỉnh độ tự cảm của cuộn dây để điện áp hiệu dụng
giữa hai đầu dây giá trị cực đại. Giá trị cực địa đó bằng U
3
. Điện trở R bằng
* Hướng dẫn giải: Z
C

=
1
C
ω
= 40Ω
+ Khi U
Lmax
ta có U
Lmax
=
2 2
2 2
3 3 20 2
2
L
C
C
U R Z
Z
U R Z R R
R
+
= → + = → = = Ω
Ví dụ 13 : ĐH năm 2011: Đặt điện áp xoay chiều
2 os100u U c t
π
=
vào hai đầu đoạn mạch
mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L
thay đổi được. Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại thì giá

trị cực đại đó bằng 100 V và điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện bằng 36 V. Giá trị của U là
* Hướng dẫn giải:
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
20
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Khi điều chỉnh L để U
L
max thì khi đó u
RC
vuông pha với u
AB
nên ta có
2
22
2
22
UUUUUU
CRRCLMAX
++=+=
VỚI
22
2
)(
CLMAXR
UUUU −−=
nên ta có :
VUUUUUUUU
CLMAXLMAXCLMAXLMAX
80.0.
2

2
2
=−=→=−−
Ví dụ 14: Cho mạch điện RLC,điện áp hai đầu mạch điện là u = 200
2
cos(100πt) (V). L thay
đổi được. Khi mạch có L = L
1
3 3
π
(H) và L = L
2
=
3
π
(H). Thì mạch có cùng công suất nhưng
giá trị tức thời lệch pha nhau góc
3
π
.
a. Tính R và C
b. Viết biểu thức của i
* Hướng dẫn giải:
Ta có
1 2
300 3 , 100 3
L L
Z Z= Ω = Ω

a. Do P

1
= P
2

1 2
1 2
1 2
( )
L C L C
L C L C
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z
⇔ = ↔ − = −
→ − = − −

Theo bài thì i
1
và i
2
lệch pha nhau góc
3
π
nên có một biểu thức là nhanh pha hơn u và một biểu
thức chậm pha hơn u.
Do
1 2
300 3 , 100 3
L L
Z Z= Ω = Ω
nên i

1
nhanh pha hơn u còn i
2
chậm pha hơn u.
và
1
1 2
2
6
tan tan
6
π
ϕ
ϕ ϕ
π
ϕ

=


= →


= −


Mặt khác ta có
1 2
4
10

200 3
2
2 3
L L
C
Z Z
Z C F
π
−
+
= = Ω → =
300 3 200 3 1
tan 300
6
3
R
R
π
−
= = → = Ω
b. Viết biểu thức của i
• Với
200 3 ; 300
C
Z R= Ω = Ω
;
1
300 3
L
Z = Ω

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
21
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Tổng trở của mạch Z = 200
Ω

0
1I→ =
;
1
6
π
ϕ
=
Biểu thức của cường độ dòng điện i là:
os(100 )
6
i c t
π
π
= −
(A)
• Với
200 3 ; 300
C
Z R= Ω = Ω
;
1
100 3

L
Z = Ω

tương tự ta có:
os(100 )
6
i c t
π
π
= +
(A)
Ví dụ 15: Đặt một hiệu điện thế xoay chiều có tần số góc
ω
vào hai đầu cuộn dây có R, C thì
công suất tiêu thụ của đoạn mạch là P
1
= 100 W. Nếu nối tiếp mạch với cuộn dây có độ tự cảm
là L với
2
2 1LC
ω
=
và đặt vào hiệu điện thế trên thì công suất tiêu thụ là P
2
. Tính giá trị của P
2
* Hướng dẫn giải:
Cường độ dòng điện trước khi mắc tụ điện C:
1
2 2

C
U
I
R Z
=
+

Cường độ dòng điện sau khi mắc thêm tụ điện C là:
2
2 2
( )
L C
U
I
R Z Z
=
+ −
Do
2
2 1 2
L C
LC Z Z
ω
= ⇒ =
Suy ra
2
2 2
( )
C
U

I
R Z
=
+ −
Suy ra I
2
=I
1

→
P
2
=P
1
= 100W
Ví dụ 16: Cho đoạn mạch xoay chiều sau:
R 100
= Ω
(điện trở thuần)
C
=
4
10
2
−
π
F
L:độ tự cảm thay đổi được của một cuộn thuần
cảm
Hiệu điện thế giữa hai đầu AB của đoạn mạch có biểu thức:

u 200cos100 t(V)= π
a) Thay đổi L để hệ số công suất của đoạn mạch đạt cực đại.Tính công suất tiêu thụ của đoạn
mạch lúc đó và điện áp giữa hai đầu của cuộn dây.
b)Tính L để công suất tiêu thụ của đoạn mạch cực đại.
* Hướng dẫn giải:
a)Tính L
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
22
L
B
R
A
C
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
-Hệ số công suất của đoạn mạch là:
2 2
L C
R R
cos
Z
R (Z Z )
ϕ = =
+ −
Khi L biến thiên,
cosϕ
sẽ có giá trị lớn nhất nếu có:
2
L C
Z Z 0 LC 1− = ⇒ ω =
Do đó:

4
2
2
1 1 2
L H
10
C
(100 )
2
−
= = =
ω π
π
π
Z R
⇒ =
⇒
Công suất tiêu thụ bởi đoạn mạch là:
2
2
2
2
200
U U
2
P I R R 200W
Z R 100
 
 ÷
 

 
= = = = =
 ÷
 
+ U
L
= I Z
L

L
U
Z
R
=
200 2
V
b)Tính L
- Công suất tiêu thụ bởi đoạn mạch có biểu thức:
2
2
2
2 2
L C
U RU
P I R R
Z R (Z Z )
 
= = =
 ÷
+ −

 
Khi L biến thiên, P lớn nhất nếu có:
2
L C
Z Z 0 LC 1− = ⇒ ω =
2
1 2
L H
C
⇒ = =
ω π
2
max
U
P 200W
R
⇒ = =
Ví dụ 17: Đặt một điện áp xoay chiều u = 200 cos(100
π
t +
3
π
) vào hai đầu đoạn mạch mắc
nối tiếp theo thứ tự các phần tử gồm một điện trở thuần R, một tụ điện có điện dung C và một
cuộn cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điều chỉnh L để điện áp giữa hai đầu cuộn dây đạt
cực đại thì khi đó điện áp giữa hai đầu của tụ điện là U
C
= 100 V. Hãy viết biểu thức giữa hai
đầu của R và C : u
RC

* Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết khi L thay đổi U
L
đạt cực đại thì :
+ u
RC
vuông góc với u
AB
:
2
22
2
22
UUUUUU
CRRCLMAX
++=+=
Mặt khác
2 2 2
( )
R LMAX C
U U U U= + −
Với
100 2U V=
;
100
C
U V=
200
L

U V→ =
Ta có
2 2 2
100 2
RC LMAX RC
U U U U V= − ⇒ =
Và
( )
3 2 6
RC
rad
π π π
ϕ
= − = −
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
23
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Biểu thức điện áp hai đầu u
RC
= 200 cos(100
π
t -
6
π
)
Ví dụ 18: Đặt một điện áp xoay chiều u = 200
2
cos(100
π
t) vào hai đầu đoạn mạch mắc

nối tiếp theo thứ tự các phần tử gồm một biến trở R có điện trở thay đổi từ 0 đến
∞
,tụ điện có
điện dung C =
4
10
F
π
−
và một cuộn dây không thuần cảm có r = 60Ω và độ tự cảm L =
1,5
H
π
.
a) Xác định công suất cực đại của mạch.
b) Xác định công suất cực đại trên R
* Hướng dẫn giải:
a) Ta thấy công suất cực đại của mạch đạt được khi :
R
M
= R + r =
L C L C
Z Z R Z Z r− → = − −
Với số liệu của bài toán:
Z
L
= 150 Ω; Z
C
= 100Ω và r = 60Ω
L C

r Z Z→ > −
Mà R
M >
ax
0
L C m
r Z Z P P R> − ⇒ = ⇔ =
Giá trị của công suất
2
ax
2 2
( )
m
L C
U
P r
r Z Z
= =
+ −
393,44W
b) Công suất trên R đạt cực đại thì
2 2
( )
L C
R r Z Z= + −
=
10 61Ω


2

ax
2 2
2 2 ( )
m
L C
U
P
r r Z Z
= =
+ + −
256 W
PHẦN 4: BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1) Bài tập tự luận
Bài 1: Cho mạch điện RLC; u = 30
2
cos(100πt) (V).R thay đổi được. Khi mạch có R = R
1
=
64Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ
1
. Khi mạch có R = R
2
= 36Ω thì độ lệch pha giữa u và i là
φ
2
. biết
1 2
2
π
ϕ ϕ

+ = ±

a. Tính công suất ứng với R
1
và R
2

b. Tính L biết C =
4
1
10 F
π
−

c. Tính công suất cực đại của mạch
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
24
Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C
Bài 2: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200
2
cos(100πt) V; L =
1
π
(H), C =
4
10
2
F
π
−

Tìm R để:
a. Hệ số công suất của mạch là
3 2
b. Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là U
R
= 100V
c. Mạch tiêu thụ công suất P = 100W
Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ, u = U
2
cos100πt (V), C =
3
10
9
F
π
−
, R = 120Ω
a. Tính L để
AN
U
uuuur
vuông góc với
MB
U
uuuur
b. Tính L để U
AN
đạt giá trị cực đại
c. Tính L để cosφ = 0,6
Bài 4(CĐ-2010): Đặt điện áp u =

U 2 cos tω
(V) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn cảm thuần
mắc nối tiếp với một biến trở R. Ứng với hai giá trị R
1
= 20 Ω và R
2
= 80 Ω của biến trở thì
công suất tiêu thụ trong đoạn mạch đều bằng 400 W. Giá trị của U là
Bài 5(CĐ-2010): Đặt điện áp u = 200cos100πt (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm một biến trở R
mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm
1
π
H. Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa
nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng.
Bài 6(ĐH-2008): Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự
cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch
là U, cảm kháng Z
L
, dung kháng Z
C
(với Z
C
≠ Z
L
) và tần số dòng điện trong mạch không đổi.
Thay đổi R đến giá trị R
0
thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại P
m
, khi đó R

0

và công suất có giá trị:
Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc
25
Đáp số: R
0
=
L C
Z Z−
P
max
=
2
2
L C
U
Z Z−

Đáp số: I = 1A
Đáp số: U = 200 V
Đáp số: a)
1,6
L H
π
=
b)
2,5
L H
π

=
c)
1
2,5
L H
π
=
và
1
2,5
L H
π
=
Đáp số: a)
100 3R = Ω
b) R =
100
3
Ω
c)
1 2
373 ; 27R R≈ Ω ≈ Ω
Đáp số: a) P
1
= P
2
= 9 W
b)
1 2
0,52 1,48

;L H L H
π π
= =
c) P
max
= 9,375W