Chủ đề 01 : khảo sát hàm số

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018
CHỦ ĐỀ 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

MỤC LỤC
NỘI DUNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ...................................................................................... 9
NỘI DUNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .................................................................................................. 14
NỘI DUNG 3: GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ ....................................................................................... 22
NỘI DUNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ ............................................................................ 28
NỘI DUNG 5: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ............................................................................ 36
NỘI DUNG 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ ............................ 42
NỘI DUNG 7: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC ........... 44


NỘI DUNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K


[ f(x) đồng biến trên K]

 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]



[ f(x) nghịch biến trên K]

 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]



[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K


[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f(x) đồng biến trên K]



[ f '(x)  0 với mọi x  K ]

 [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d

 a  0  , ta có f '  x   3ax 2  2bx  c .

a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  đồng biến trên

 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x 

b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  nghịch biến trên



f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x 

NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)

ax2



f ( x)

0

x



f ( x)

0

x

bx

c (a

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

0) ta có:

a

0
0

a

0
0

THPT 2018 | Trang 9


B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D
B2. Tính y '

?

?

B3. Lập luận:

y đồng biến trên X

y'

0, x

X

y nghịch biến trên X

y'

0, x

X

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình y '
nghiệm, nếu phương trình y '

0 có hữu hạn

0 có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng.

2. CÁC VÍ DỤ

1
Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  m) x 3  2mx 2  3 x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên
3

.

Bài giải:
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  (m2  m) x2  4mx  3
♣ Hàm số luôn đồng biến trên

 y '  0 x 

m  0
♥ Trường hợp 1: Xét m2  m  0  
m  1
+ Với m  0 , ta có y '  3  0, x  , suy ra m  0 thỏa.
3
+ Với m  1, ta có y '  4 x  3  0  x   , suy ra m  1 không thỏa.
4

m  0
♥ Trường hợp 2: Xét m2  m  0  
, khi đó:
m  1
♣ y '  0 x 

 '  m2  3m  0
3  m  0

  2
 
 3  m  0
m  m  0
m  0  m  1

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 .
Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  2m  3 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng

1;2  .
Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x2  6mx  3(m2 1)
♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2   y '  0 x  1; 2 
Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 10


Ta có  '  9m2  9(m2  1)  9  0, m
Suy ra y ' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  1 ( x1  x2 )
x  1
m  1  1
Do đó: y '  0 x  1; 2   x1  1  2  x2   1
 
 1 m  2
m  1  2
 x2  2

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1  m  2 .

Bài tập tương tự
Cho hàm số y  2 x 3  3  2m  1 x 2  6m  m  1 x  1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

 2;   .

Đáp số: m 1 .
Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

 0;   .

Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x2  6 x  m
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng

 0;  

 y '  0 , x   0;   (có dấu bằng)
 3x2  6 x  m  0 , x   0;  
 3x2  6 x  m , x   0;  

♣ Xét hàm số f ( x)

3x 2

6 x , x   0;   , ta có:

6 x 6 ; f '( x)

f '( x)

(*)

0

x

1

Bảng biến thiên:

x

0

1

f '( x)
f ( x)

0
0

3
♣ Từ BBT ta suy ra: (*)
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m

m

3

3.

Bài tập tương tự
Cho hàm số y   x 3  3 x 2  3mx  1 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Đáp số: m

 0;   .

1.

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 11


Ví dụ 4. Cho hàm số y 

mx  7m  8
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
xm
Bài giải

♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y ' 

\ m

m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m2  7m  8 .

y '  0 , x  D (không có dấu bằng)

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

m2  7m  8  0
8
♦ Vậy giá trị m cần tìm là
Ví dụ 5. Cho hàm số y 

8

m 1

m 1.

mx  7m  8
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 3;
xm

.

Bài giải
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y ' 

\ m

m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m2  7m  8 .

♣ Hàm số đồng biến trên khoảng 3;

y '  0 , x   3;   (không có dấu bằng)
m 2  7m  8  0

m  3

8 m
m 3

8
♦ Vậy giá trị m cần tìm là

8

m

m

1

3

3.

C. BÀI TẬP
1
Bài 1: Cho hàm số y  (1  m) x 3  2(2  m) x 2  2(2  m) x  5 . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên
3
Đáp số: 2

m 3.

1
Bài 2: Cho hàm số y  (m 2  4) x 3  (m  2) x 2  2 x  3 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên
3
Đáp số: m

2 hoặc m

6.

Bài 3: Cho hàm số y  2 x 3  3mx 2  3(m  1) x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên 1;
Đáp số: m 1 .
Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 12

Bài 4: Cho hàm số y 

mx  2
. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x  m 3
Đáp số: m 1 hoặc m

Bài 5: Cho hàm số y 

mx  9
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
xm

 ;2 
Đáp số: 2

Bài 6: Cho hàm số y 

2.

m

3.

mx  2
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;  
x  m 1
Đáp số: m

2.

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC
Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh
Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys
Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 13


NỘI DUNG 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f '( x0 )

0

2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số y

f ( x) liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x 0

và x0 ; b . Khi đó
a) Nếu f '( x)

0 với mọi x

a; x0 và f '( x)

0 với mọi x

x0 ; b

0 với mọi x

x0 ; b

thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
b) Nếu f '( x)

0 với mọi x

a; x0 và f '( x)

thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 .
3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f '( x0 )

0 và f có đạo hàm cấp hai khác

không tại điểm x0 . Khi đó
a) Nếu f ''( x0 )

0 thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f ''( x0 )

0 thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0

4) Định lý 4:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị

 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị

 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 14


B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị).
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D
B2. Tính y '

?

?

B3. Lập luận:
Lưu ý:
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai điểm cực trị

 f '  x   3ax 2  2bx  c  0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c  a  0  có ba điểm cực trị

 f '  x   4ax 3  2bx  0 có ba nghiệm phân biệt.
2. CÁC VÍ DỤ

1
Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
3
Bài giải:
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  (m2  1) x 2  2(m  1) x  3

y'

0

(m2  1) x2  2(m  1) x  3  0

y '  0 có hai nghiệm phân biệt

♣ Hàm số có hai điểm cực trị

m2 1
'

(m 1)2

m
2m

m

1
♦ Vậy giá trị m cần tìm là

m 1
1 m

2

0
3(m2 1)

0

1
2

2m

1
m 2

4

0

m 1
1 m

2

.

Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m  2 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị.
Đáp số: m

3

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 15


Ví dụ 2. Cho hàm số y  mx 4  (m 2  9) x 2  10 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài giải:
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  4mx3  2(m2  9) x  2 x.(2mx2  m2  9)

y'

x

0

0

2mx 2

m2

9

♣ Hàm số có ba điểm cực trị

0

(1)

y '  0 có ba nghiệm phân biệt
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

m

0
2 m( m 2

'
m
m

2

9

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

0

0

0

m
3
0 m 3

m
3
0 m 3
m

9)

3

m
3
.
0 m 3

Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 4  (m  1) x 2  2m  1 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp số: m

1.
Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x0.

1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D
B2. Tính y '

?

?

B3. Lập luận:
a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0

y '( x0 )

0

Giá trị của tham số m.

b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y ' thử lại. Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1
hoặc quy tắc 2.

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 16


2. VÍ DỤ
Ví dụ. Cho hàm số y 

1 3
x  m 2  m  2 x 2  (3m 2  1) x  m  5 .
3





Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x

2.
Bài giải:

♦ Tập xác định: D 





♦ Đạo hàm: y '  x 2  2 m 2  m  2 x  3m 2  1
a) Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại x

y '( 2)

2

m2

0

4m 3

0

0

2

m
m

1
3

b) Điều kiện đủ:
♣ Với m

1 , ta có: y '

x2

4 , y'

4x

x

Bảng biến thiên

x

2

y'

0

y

Từ BBT ta suy ra m
♣ Với m

3 , ta có: y '

1 không thỏa.

x2

16 x

28 , y '

x
x

0

14
2

Bảng biến thiên

x

14

2

y'

0

0

y

CĐ
CT

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m

2.

3.

Bài tập tương tự
Cho hàm số y  x 3  mx 2  3 x  2 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x
m

2.

Đáp số:

15
4

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 17


Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D
B2. Tính y '

?

?

B3. Lập luận
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y  x 3  (2m  1) x 2  (2  m) x  2 .
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Bài giải:
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  3x2  2(2m 1) x  2  m

y'

0

3x2  2(2m 1) x  2  m  0

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

0 có hai nghiệm dương phân biệt

y'
'
P
S

(2m 1) 2 3(2 m)
2 m
0
3
2(2m 1)
0
3

4m 2 m 5
2 m 0
2m 1 0

♦ Vậy giá trị m cần tìm là
Ví dụ 2. Cho hàm số y 

5
4

m

0

m

0

1 m

m

5
4

2
1
2

m

5
4

m

2

2.

2 3
2

x  mx 2  2(3m2  1) x  .
3
3

Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2

2( x1

x2 )

1.

Bài giải:
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  2 x2  2mx  2(3m2  1)

y'

0

2 x2  2mx  2(3m2 1)  0

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

y'

(1)

0 có hai nghiệm phân biệt

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 18


m2

'
13m2

4(3m2 1)

4

0

0
2 13
13

m

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:

x1

x2

1 3m 2

x1 x2

Do đó: x1 x2

2( x1

x2 )

1

1 3m

2m

1

3m

2

(*)

m

m
2

2 13
13

m

2m

0
2
3

m

(**)

2
.
3

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

1
1
Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và
3
3
x2 sao cho x1

2 x2

1.

Bài giải:

♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  mx2  2(m 1) x  3(m  2)

y'

mx2  2(m 1) x  3(m  2)  0

0

♦ Hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2

(1)

y'

0 có hai nghiệm phân biệt

m

0
2m 2

'

m

4m 1

0

0

2

6
2

m

2
2
x1

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:

x1 x2
Theo đề bài: x1

2 x2

x1
Từ (2) và (4) suy ra

x2

1

(*)

6

x2

2(m 1)
m
3(m 2)
m

(2)
(3)

(4)

3m 4
m
(5). Thay (5) và (3) ta được:
m 2
m

3m 4 2 m
m
m

3(m 2)
m

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

6m

2

16m 8

0

m
m

2
3
2

(**)

THPT 2018 | Trang 19


2
và m
3

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

2 .

Ví dụ 4. Cho hàm số y  x3  3mx  1 (1), với m là tham số thực. Cho điểm A(2;3) . Tìm m để đồ thị
hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A .
Bài giải:
♦ Tập xác định: D 

♦ Đạo hàm: y '  3x2  3m

y'

0

3x2  3m  0

(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C

Khi đó y '

y'

0 có hai nghiệm phân biệt

m

0

0 có hai nghiệm phân biệt là x
♣ Với x
♣ Với x

y

m

1

2 m3

1

Tọa độ các điểm cực trị B và C là B
♦ Tam giác ABC cân tại A

AB

m ; 2 m3

1 ,C

m ; 2 m3

1

AC

AB2

AC 2
2

2

m

2 m3

y

m

(*)

m

2

2 2 m3

2

2

m
4 m

8 m

3

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

0

m

m

2

2 m3

0
1
2

2

(**)

1
.
2

Ví dụ 5. Cho hàm số y  x4  2mx2  2m  m4 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1)
có ba điểm cực trị A, B, C đồng thời các điểm A, B, C tạo thành một tam giác vuông.
Bài giải:
♦ Tập xác định: D 
♦ Đạo hàm: y '  4 x3  4mx  4 x( x2  m)

y'

0

x  0

 2
x  m

(1)

♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C

Khi đó y '

0 có ba nghiệm phân biệt là x

y'

0 có ba nghiệm phân biệt

m

0

0, x

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

(*)

m
THPT 2018 | Trang 20


♣ Với x

y

0

♣ Với x

m4

2m

m

m4

y

m2

2m

Tọa độ các điểm cực trị A, B, C là
A 0; 2m

Suy ra: AB

m4 ; B

m ; m4

m ; m 2 ; AC

♦ Tam giác ABC vuông

m2

2m ; C

m ; m4

m2

2m

m ; m2

Tam giác ABC vuông tại A

AB. AC
m

0

m4

0

m
m

♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị m cần tìm là m

0
1

(**)

1.

C. BÀI TẬP
1
Bài 1: Cho hàm số y  (m 2  1) x 3  (m  1) x 2  3 x  5 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
3
Đáp số:
Bài 2: Cho hàm số y 

1 m

2 và m

1.

2 3
x  (m  1) x 2  (m2  4m  3) x  1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các
3

điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Đáp số:

5

3.

m

Bài 3: Cho hàm số y  x 3  (m  1) x 2  (3m  4) x  5 . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1
Đáp số: m

3.

Bài 4: Cho hàm số y  2 x 3  3(m  1) x 2  6  m  2  x  1 . Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x 2
sao cho x1  x2  2 .
Đáp số: m

1.

Bài 5: Cho hàm số y   x 3  3 x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O .
Đáp số: m

1
.
2

Bài 6: Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m 2  2 . Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của
đồ thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông.
Đáp số: m

1.

Bài 7: Cho hàm số y  2 x3  9mx2  12m2 x  1 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại xCĐ, đạt cực tiểu tại xCT
thỏa mãn x2CĐ = xCT.
Đáp số: m
Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

2.

THPT 2018 | Trang 21


NỘI DUNG 3: GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa: Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D.


Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn

i) f  x   M x  D
ii) x  D : f x  M
 0
0

Ký hiệu: M  Max f  x 
xD



Số m được gọi là GTNN của hàm số y  f  x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn

i) f  x   m x  D
ii) x  D : f x  m
 0
0

Ký hiệu: m  min f  x 
xD



Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì
ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó.



Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng:
a) f ( x )  ax 2  bx  c  a( x 

b 2 
) 
2a
4a

b) Bất đẳng thức Cô-si:


Với hai số a, b không âm  a, b  0  ta luôn có:

ab
 ab  a  b  2 ab
2

Dấu "=" xảy ra khi a  b


Với ba số a, b, c không âm  a, b, c  0  ta luôn có:

abc 3
 abc  a  b  c  3 3 abc
3

Dấu "=" xảy ra khi a  b  c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1) a 2  b 2  2ab  ab 

a 2  b2
2

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 22


2) (a  b) 2  4ab  ab 

( a  b) 2
4

3) (a  b) 2  2(a 2  b 2 )  a 2  b 2 

( a  b) 2
2

CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số f  x   2x 2  8x  1 .
Bài giải:
♥ Tập xác định: D
♥ Ta có

f  x   2x 2  8x  1  9  2  x  2   9, x  D
2

Dấu “=” xảy ra khi x

f (x)
♥ Vậy max
x D

2 D

9.

Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số f  x   2x 2  4x  12 .
Bài giải:
♥ Tập xác định: D

♥ Ta có
f  x   2x 2  4x  12 = 2  x  1  10  10 ,x  D
2

Dấu “=” xảy ra khi x
f ( x)
♥ Vậy min
x D

1 D

10 .

Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số f  x   x 

2
với x  1;   .
x 1
Bài giải:

♥ D

1;

♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

f x  x 

2
2

 x 1 
1  2
x 1
x 1

Dấu “=” xảy ra khi x 1
f ( x)
♥ Vậy min
x D

2 2

2
x 1

 x  1 .
x 1

2

2
 1  2 2  1, x  1;  
x 1

2

x

1

2

D

1.

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 23


Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng y  f  x 


Tập xác định của hàm số được định nghĩa là:

D {x


| f(x) có nghĩa}

Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là:
T = { y

| Phương trình f(x) = y có nghiệm x  D }

Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của hàm
số đó.
Một số kiến thức thường dùng:

a) Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm    0
b) Phương trình a cos x  b sin x  c  a, b  0  có nghiệm  a 2  b2  c2
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

x2  x  2
.
x2  x  2

(1)

Bài giải:
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

y

x2  x  2
 yx 2  yx  2y  x 2  x  2
2
x x2
y 1 x2

y 1 x

+ Trường hợp 1: Với y

1 thì (2) có nghiệm x

+ Trường hợp 2: Với y

1 thì (2) có nghiệm

2y

y
♥ Vậy min
x D

9 4 2
; max y
x D
7

9

0

(2) (Dạng ax 2  bx  c  0 )

0

0
7y 2

Suy ra tập giá trị của hàm số là T

2

18y

7

0

9 4 2
7

y

9

4 2
7

9 4 2 9 4 2
.
;
7
7

4 2
.
7

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 24

Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 

1  sin x
. (1)
2  cos x

Bài giải:
♥ Tập xác định: D
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

1  2y  y cos x  1  sin x
(2) có nghiệm

a2

b2

Suy ra tập giá trị của hàm số là T

y
♥ Vậy min
x D

0; max y
x D

y cos x sin x
c2
0;

y2

1

2

1 2y
1 2y

(2) (dạng a cos x  bsin x  c )
2

3y 2

4y

0

0

y

3
4

3
.
4

3

.
4

Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn  a; b  thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó.
 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y  f  x  trên miền D, ta lập BẢNG
BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả.
 Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần lập
bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm trên khoảng  a; b  ,
có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  a; b  thì ta có quy
tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn  a; b  như sau:
Quy tắc
1) Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xm thuộc  a; b  mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm.
2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xm ), f (a), f (b) .
3) So sánh các giá trị tìm được.


Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a; b  .



Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a; b  .

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 25

CÁC VÍ DỤ
I. Xét hàm trực tiếp
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y

2x3

3x 2 12 x

2 trên đoạn

1;2 .

Bài giải:
♥ D

1;2

♥ Ta có: y '
y'

1

Do y

6x2

6 x 12
2

x
x

0

1 D

15; y 2

y
♥ Vậy min
x D

D

6; y 1

5; max y

5

min
y
x D

5; max y
x D

15

15 .

x D

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y

x 1 trên đoạn 0;2 .

ex x2

Bài giải:
♥ D

0;2

♥ Ta có: y '
y'

Do y 0

ex x2

2

x
x

0

2

x

1 D

1; y 2

y
♥ Vậy min
x D

D

e2 ; y 1

e; max y

e

min
y
x D

e; max y
x D

e2

e2 .

x D

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y

x

4

x2 .

Bài giải:
♥ D

2;2
4

♥ Ta có: y '

y'
Do y

2

y
♥ Vậy min
x D

x2
4

0

x
x

2

2

x

2; y 2

D

2; y

2 2; max y
x D

2

2 2

min
y
x D

2 2; max y
x D

2

2.

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 26


II. Đổi biến (đặt ẩn phụ)

2sin2 x

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y

cos x 1 .

Bài giải:
♥ Tập xác định: D
♥ Đặt t

Ta có: y '
Do y

1;1 , hàm số trở thành: y

cos x với t

1

y
♥ Vậy min
x D

4t 1 ; y '
2; y 1

0; y

2 2; max y
x D

0
1
4

1
4

t
25
8

2t 2

t

3

1;1

min
y
x D

0; max y
x D

25
8

2.

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC
Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh
Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys
Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 27


NỘI DUNG 4: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bài toán tổng quát

(C ) : y  f(x)

Trong mp(Oxy). Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  1
(C2 ) : y  g(x)

y

y
y
M1 2
y1

(C1 )

y

(C1 )

M2

(C 2 )

(C1 )

M0

x

x

x1 O

O

x

x2

O

(C 2 )

(C 2 )

(C1) và (C2) không có điểm chung

(C1) và (C2) cắt nhau

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung của hai đồ thị (C1) và (C2).

Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2).
Chú ý 1:
* (1) vô nghiệm

 (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm

 (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2:
* Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2).
Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0).
y

y0
x0 O

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

x

THPT 2018 | Trang 28


B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

(C1 ) : y

f ( x)

(C2 ) : y

g ( x)

.

1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)
B2. Giải phương trình (1) tìm x

g ( x) (1)

y

B3. Kết luận
2. VÍ DỤ
Ví dụ. Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): y 

2x  1
và đường thẳng y  x  2 .
2x  1

Bài giải:
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện: x
♦ Khi đó: (1)

x

2

(1)

1
2

2 x 1 (2 x 1)( x
2 x2
x

x 3

1

0

3
2
3
2

♣ Với x

2)

1

x

♣ Với x

2x 1
2x 1

1
2

y

y

3

♦ Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là
Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị

3 1
;
và 1;3 .
2 2
(C1 ) : y

f ( x)

(C2 ) : y

g ( x)

cắt nhau tại 2(hoặc 3, 4) điểm phân biệt.

1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)

g ( x) (1)

B2. Lập luận
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 29


2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y 

2x  1
có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d): y  x  m cắt đồ thị (C)
x 1

tại hai điểm phân biệt.
Bài giải:
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện: x
♦ Khi đó: (1)

2x 1
x 1

x

(1)

m

1

2x 1
x2

( x

m)( x 1)

(m 1) x

m 1

♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

(2)

0

(1) có hai nghiệm phân biệt
(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
2

1

m2

m 1
4 m 1
m 1 .1 m 1 0

6m 5

m 1 m
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m 1 m

Ví dụ 2. Cho hàm số y

mx3

x2

0

0

5

5.

2x 8m có đồ thị là Cm . Tìm m đồ thị Cm cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt.
Bài giải:
♦ Phương trình hoành độ giao điểm: mx3

x

x2

2 mx 2

x
mx

2x 8m

0

(2m 1) x

(1)

4m

0

2
2

♦ Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

(2m 1) x

4m

0

(2)

(1) có ba nghiệm phân biệt
(2) có hai nghiệm phân biệt khác

m
12m

2

0
12m 2
2 0

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

4m 1

0

THPT 2018 | Trang 30


m

0
1
6

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

Ví dụ 3. Cho hàm số y

x4

(3m

m

0
1
6

1
6

m

m

m

1
2

m

1
2

0
1
6

1.
2

m

4) x2

m2 có đồ thị là Cm . Tìm m đồ thị Cm cắt trục hoành tại

bốn điểm phân biệt.
Bài giải:
♦ Phương trình hoành độ giao điểm: x4
Đặt t

x2

t

(3m

4) x2

m2

(1)

0

0 , phương trình (1) trở thành:

t2

(3m 4)t

♦ Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

m2

(2)

0

(1) có bốn nghiệm phân biệt
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
5m 2
P
S

2

m
3m

m
m

m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

0
4

4 m
0
4
3

0

0

4
5

4
5

m
m

0

4
5.

m
m

24m 16

0

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 31


Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị

(C1 ) : y

f ( x)

(C2 ) : y

g ( x)

cắt nhau tại 2( hoặc 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x)

g ( x) (1)

B2. Lập luận
Lưu ý:

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị.
Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2).
Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0).
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số y

mx 1
có đồ thị là Cm . Tìm m để đường thẳng (d): y
x 2

Cm tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB

2 x 1 cắt đồ thị

10 .

Bài giải:
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
Điều kiện: x

mx 1
x 2

(1)

2x 1

2

♦ Khi đó: (1)

mx 1
2 x2

(2 x 1)( x

2)

(m 3) x 1

0

(2)

♦ (d) cắt Cm tại hai điểm phân biệt A, B

(1) có hai nghiệm phân biệt
(2) có hai nghiệm phân biệt khác
8

m 3
2m 6 1

2

8

2

0

0

1
2

m

(*)

Đặt A x1 ; 2 x1 1 ; B x2 ; 2 x2 1 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (2).

x1
Theo định lý Viet ta có:

x1 x2
Khi đó:

AB

x1

x2

2

x2

m 3
2

1
2

4 x1

x2

2

10

5 x1

m 3
2
Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

x2

2

4 x1 x2

10

2

2

2

THPT 2018 | Trang 32