Giáo trình tư duy luyện thi 2018 phần khảo sát hàm số Võ Thanh Bình

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

BÀI 00. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ
A. Định nghĩa hàm số:
Trong toán học, ta giả sử cho hai tập hợp ( tập nguồn và tập đích), mỗi phần tử của tập nguồn ứng với
một và chỉ một phần tử thuộc tập đích thì ta có thể coi đó là một hàm số.
f : D  T hoặc f : x  f  x  hoặc y  f  x 

D : là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số, với D 
T : là miền giá trị của hàm số. Hiểu là: y  T .

. Hiểu là: x  D .

x : gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
y : gọi là biến phụ thuộc hay còn gọi là hàm số.
f  x  : là giá trị của hàm f tại x .
Xét hàm số: y  f  x   x 2  3x  1 . ứng với x  2 ta tìm đƣợc: y  2   f  2   22  3.2  1  1 .
B. Tập xác định:
Hàm số
y  A( x) (hàm đa thức)
Hàm không mẫu, không căn
A( x)
(hàm phân thức- hữu tỉ)
y
B( x)
Hàm có mẫu, không căn

y  A( x) (hàm vô tỉ)
Hàm có căn ở phía tử

Điều kiện có nghĩa

x 
Tập xác định là D 

B  x  0
Giả sử tìm đƣợc x    D  \  

A  x   0 từ đó ta tìm đƣợc khoảng (đoạn,..) K cũng
chính là tập xác định của hàm số

A( x)
B  x   0 từ đó ta tìm đƣợc khoảng K cũng chính là
(hàm vô tỉ)
B( x)
tập xác định của hàm số
Hàm có căn ở phía mẫu
Chú ý: các hàm trên là đại diện tính tổng quát cho hàm đại số. Ở chƣơng trình phổ thông chúng ta cần
nắm 3 loại hàm: hàm đại số; hàm lượng giác; hàm siêu việt –hàm này sẽ đào sâu trong phần sau.
y

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Câu 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  x 2  3x  2  9  x 2 .
A. D   ;1   2;  

B. D   3;3

C. D   3;1   2;3

D. D   3;1

 x 1 
Câu 2: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  log 1 

3  x5
1 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

A. D  1;  

B. D   ; 5  1;  

C. D   ;1

D. D   ; 1  1;  

3
1  cos 2 x

B. D  R \   k ; k 
2

D. D  R \   k ; k 
6

Câu 3: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  x 2 
A. D  R \ k ; k 





C. D  R \   k ; k  
4


Câu 4: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y 








x 1
ln  5  x 

A. D  R \ 4

B. D   1;5

C. D   1;5 \ 4

D. D   1;5

Câu 5: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  x  x 2  x  1
A. D   0;  
B. D   ;0 
C. D  R

 x 2  3x  4
x 1

Câu 6: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y 
A. D  R \ 1



A. D  R \ 0;  2

C. D  R \  1;1

B. D  R \ 1;1

Câu 7: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y 



A. D  R \ 2

D. D  R

1

log x 2  1

B. D  R \ 0

Câu 8: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y 

D. D  R \ 0

C. D  R

ex
ex  2



D. D  R \  2



C. D  R \ e D. D  R \ ln 2

B. D  R

Câu 9: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y  ln  ln e  e ln x 
x

A. D  R

B. D   0;  

Câu 10: Tìm miền xác định của các hàm số sau: y 

C. D  R \  e; e

D. D   e;  

2x2  5

A. D  R \ 3

x  x2  9
B. D  3;  

C. D   ; 3  3;  

D. D   3;3

C. Tính chẵn - lẻ:
Cho hàm số y  f ( x) .
Nếu f ( x)  f ( x) thì hàm số y  f ( x) là hàm chẵn – tính chất là đồ thị đối xứng qua Oy.
Nếu f ( x)   f ( x) thì hàm số y  f ( x) là hàm lẻ – tính chất là đồ thị đối xứng qua O.
 f ( x)  f ( x)
Nếu 
thì hàm số y  f ( x) là hàm không chẵn, không lẻ.
 f ( x)   f ( x)

2 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

BÀI 01. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số là sự miêu tả biến thiên của hàm số tại một điểm nào
đó. Trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động hoặc cường độ dòng
điện tức thời tại một điểm trên dây dẫn.
A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a; b) và x0   a; b  . Đạo hàm của hàm số tại điểm x0
đƣợc kí hiệu f ( x0 ) (hay y( x0 ) ), là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa y và x tại điểm
x0 khi x tiến dần tới 0.
Trong đó:
x  x  x0 gọi là số gia của biến số.

y  f  x   f  x0   f  x  x0   f  x0  gọi là số gia của hàm số.

Vậy:

f ( x0 )  lim

x 0

f  x  x0   f  x0 
f  x   f  x0 
y
 lim
 lim

x

0
x


x
0
x
x
x  x0

Chú ý:
- Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
y
y
y
y
, Trong đó f   x0   lim
đƣợc gọi lần
f ( x0 ) tồn tại khi lim
 lim
; f   x0   lim
x 0 x
x 0 x
x 0 x
x 0 x
lƣợt là đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái của hàm số tại x0 .
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x)  x2  3x  2 . Tìm số gia của hàm số tại x  1 , biết x  3 .
Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f  4  f 1  26  4  22 .
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x)  x 2  4 . Tìm số gia của hàm số tại x  4 , biết x  2 .
Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f  2  f  4  2 3 .

3x 2  1
. Tìm số gia của hàm số tại x  2 , biết x  0, 21 .

2x  3
Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f  2, 21  f  2   1,3857042 .

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x) 

Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x)  sin 2 x  cos2 x . Tìm số gia của hàm số tại x 


2

, biết x  0,1 .



 
Giải: áp dụng y  f  x  x0   f  x0   f   0,1  f    2, 0863604 .
2

2
Ví dụ 5: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau :
2x 1
a) f  x   x 2  3x  1 tại x0  1 .
b) f  x  
tại x0  1 . c) f  x   3x  x 2 .
x2
Nhận xét :Ta có thể làm theo quy trình sau :
- Gọi x là số gia của biến số  số gia của hàm số là y  f  x  x0   f  x0  .

- Rút gọn tỉ số :

y
x

y
x
y
Vậy: f ( x0 )  lim
 const
x 0 x

- Tính giới hạn : lim

x 0

3 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

Giải:
a) Cách 1:
Gọi x là số gia của biến số

 số gia của hàm số là y  f  x  1  f 1   x  1  3  x  1  1  3   x   5x .
2

2

y  x   5x



 x  5
x
x
y
 lim
 lim  x  5  5
x 0 x
x 0
Vậy: f (1)  5
Cách 2:
f  x   f  x0 
f  x   f 1
x 2  3x  4
Ta có: f ( x0 )  lim
 lim
 lim
 lim  x  4   5
x  x0
x 1
x 1
x 1
x  x0
x 1
x 1
Vậy: f (1)  5
b) Cách 1:
Gọi x là số gia của biến số
5x
.

 số gia của hàm số là y  f  x  1  f 1 
x  1
y
5
 lim
 lim
 5
x 0 x
x 0 x  1
Vậy: f (1)  5
Cách 2:
f  x   f  x0 
f  x   f 1
x 2  3x  4
Ta có: f ( x0 )  lim
 lim
 lim
 lim  x  4   5
x  x0
x 1
x 1
x 1
x  x0
x 1
x 1
Vậy: f (1)  5
c) Gọi x là số gia của biến số
2

 số gia của hàm số là y  f  x  x0   f  x0  

 lim

x 0

2 x0 .x   x   3x
2

  x0  x   3  x0  x   3x0  x02
2

.

2 x0  x  3
2 x0  3
y
 lim

2
2

x

0
x
  x0  x   3  x0  x   3x0  x02 2 3x0  x0

Vậy: f (x) 

2 x  3

2 3x  x 2

 2  x2
Ví dụ 6: Cho hàm số f  x   
2

 x  3x  3
Giải:

khi 0  x  1
khi x  1

. Tính f  1 .

2  1  x   1
y
 f  1   lim
 lim
 1 .
x 0 x
x 0
x
2
1  x   3 1  x   2

y

 f  1   lim
 lim
 1

x 0 x
x 0
x
Do : f  1   f  1   1  f  1  1
2



4 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

B. Các quy tắc tính đạo hàm
QUI TẮC

y

uv-w
k . f ( x)
u.v
u.v.w
u
v
y

n.x

x
1

xn
ex
kx
ln x



n 1

n
x n 1

sin x
cos x
tan x
cot x

k
x

xm

1
x
ax  b
cx  d

 cx  d 

u

1
un
eu
ku
ln u
log k u

sin u
cosu
tan u
cot u

2

kx
u
k

 y' 

n.u n1.u '
n.u '
 n 1
u
u
e .u '
k x .ln k.u '
u'
u
u'

u.ln k
u'.cosu
 u'.sin u
u'
cos 2 u
u'
 2
sin u
k
u'
2 u
m mk 1
u .u '
k
u'
 2
u
amx 2  2anx  bn  cm

n

ex
k x .ln k
1
x
1
x.ln k
cos x
 sin x
1

cos 2 x
1
 2
sin x
0
1
2 x
m mk 1
x
k
1
 2
x
ad  bc

log k x

k

u ' v '- w '
k. f '( x)
u '.v  v '.u
u '.v.w+u.v '.w  u.v.w'
u '.v  v '.u
v2
CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
y

 y' 

n

 y' 

um

1
u
ax 2  bx  c
mx  n

 mx  n 

2

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây:
a) y  x3  3x2  2 x  5 .

b) y   x 2  1  2 x  1 .

c) y 

x2  2 x 1
.
3x  1

Giải:
a) y  x3  3x2  2 x  5 .
 y   x3  3x 2  2 x  5   x3    3x 2    2 x    5  3x 2  6 x  2

5 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

Vậy: y  3x2  6 x  2 .

b) y   x 2  1  2 x  1 .
 y   x 2  1  2 x  1   x 2  1  2 x  1  2 x  2 x  1  2  x 2  1

Vậy: y  6 x2  2 x  2 .
c) y 

x2  2 x 1
.
3x  1

 y 

x

2

 2 x  1  3x  1   3x  1  x 2  2 x  1

 3x  1

Vậy: y 

3x 2  2 x  5

 3x  1

2

.

2

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây:
a) y   4 x  5 .

c) y  sin 3  3x 2  1 .

b) y  3x 2  2 x .

3

 2 x  2 3x  1  3  x 2  2 x  1

2
 3x  1

Giải:
a) y   4 x  5 .
3

2
 y '  3  4 x  5  4 x  5

Vậy: y '  12  4 x  5 .
2

b) y  3x 2  2 x .

 y 

 3x

2

 2 x 

2 3x 2  2 x
3x  1
Vậy: y 
.
3x 2  2 x
c) y  sin 3  3x 2  1 .






 y  3sin 2  3x 2  1 sin  3x 2  1  3sin 2  3x 2  1 cos  3x 2  1 .  3x 2  1

Vậy: y  18x.sin 2  3x 2  1 cos  3x 2  1 .

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số dƣới đây tại x  2

a) y  2 x3  3x 2  1 .
b) y  3x 2  2 .
Giải:
a) y  2 x3  3x2  1  y  6 x2  6 x  y  2   12 .
b) y  3x 2  2  y 

3x

 y  2  

3x  2
Bài tập tự luận nhằm mục đích thuộc công thức

1/ y  x3  2 x2  6 x  1
3/ y  x 4  2 x 2  3

2

3 10
.
5

1
2/ y  x3  2 1  2m  x 2  6  m  1 x  m2  3
3
4/ y  mx4  2 1  3m  x 2  m(m2  2)

6 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

2x 1
x2
4  3x
7/ y 
x2
9/ y  ( x  3)(2 x2  1)

mx  4
xm
mx  2  m
8/ y 
x  m 1
10/ y  ( x3  4 x  3)(2 x 2  1)

5/ y 

6/ y 

11/ y  (2 x 2  1)5

12/ y  (2 x 2  1)3  2 x  1

13/ y  4 x  5

14/ y  4 x3  5x  1

16/ y  x   x 2  3 4  x

15/ y   x 2  3x  4 x 2  5

18/ y  sin 2  3x 2  2 x  1

17/ y  sin 4 x  5
19/ y 

4  3x

4  3x
5x2  2
22/ y  e2 x .sin x

20/ y 

x 2
21/ y  ( x2  2 x  2)e x
3

23/ y  e2x  x

4

e2 x  e x
24/ y  2 x x
e e
26/ y  cos x.ecot x

2

25/ y  2x.ecos x

28/ y  ln(2 x2  x  3)

3x
27/ y  2
x  x 1
29/ y  e x .ln(cos x)
ln(2 x  1)
31/ y 
2x 1

30/ y  (2 x  1) ln(3x2  x)
32/ y  log 2 (cos x)

Bài tập bắt buộc
Câu 1: Hàm số y 
A. y 

2 x
có đạo hàm là:
x 1

1
( x  1)2

B. y  

3
( x  1)2

C. y 

3
( x  1)2

D. y 

2
( x  2) 2

Câu 2: Đạo hàm của hàm số y  2 x 2  1 bằng
A.

2x
2x 1
2

B.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y 
A.

x2  2x

 x  1

2

B.

x
2 2x 1
2

C.

1
2 2x 1
2

D.

x
2 x2  1

x 2  3x  3
bằng
x 1

x2  8x  6

 x  1

2

C.

x2  2x  6

 x  1

2

1
Câu 4: Đạo hàm của hàm số y  4 x3   3 bằng
x
1
1
1
A. 6x  2
B. 6x  2
C. 6x 2  2
x
x
x
4
4
Câu 5: Hàm số y  sin x  cos x có đạo hàm là:

D.

x2  2x  8

 x  1

D. 6x 2 

2

1
x2

7 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

A. y '  2sin 2 x

B. y '  2cos 2 x

C. y '  2sin 2 x

D. y '  2cos 2 x

Câu 6: Đạo hàm của hàm số y   x 2  1 x  2 tại x  3 bằng
A. 0

B. 5

C. 11

D. 15

1

Câu 7: Hàm số y   2 x 2  x  1 3 có đạo hàm là:
A. y ' 

4x 1
3  2 x 2  x  1

C. y '  

B. y ' 

2
3

4x 1
3  2 x  x  1
2

2
3

 4 x  1  2 x

2

 x  1

2
3

3

D. y '  

 4 x  1  2 x 2  x  1



2
3

3

Câu 8: Hàm số y  2 x.e x  3sin 2 x có đạo hàm là:
A. y '  e x  x  1  cos 2 x

B. y '  2e x  x  1  cos 2 x

C. y '  2e x  x  1  6cos 2 x

D. y '  2e x  x  1  6cos 2 x

x 1
có đạo hàm là:
3x
1   x  1 ln 3

Câu 9: Hàm số y 
A. y ' 
C. y ' 

x

3

 x  1 ln 3
3

x

B. y ' 

1  ln 3
3x

D. y ' 

ln 3
3x

B. y ' 

2x  3
x  3x  1

Câu 10: Hàm số y  ln  x 2  3x  1 có đạo hàm là:
A. y ' 
C. y ' 

x 2  3x  1
2x  3

x

2x  3

2

 3x  1

2

D. y ' 

2

x 2  3x  1

 2 x  3

2

C. Ý nghĩa của đạo hàm
- Ý nghĩa hình học:
Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại x0 thì phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

M  x0 ; y0  là: y  y0  f   x0  x  x0  , trong đó f   x0  gọi là hệ số góc của tiếp tuyến và
y0  f  x0  .

- Ý nghĩa vật lý:
o Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 của một chất điểm chuyển động với phƣơng trình s  s  t  là

v  t0   s   t 0  .
o Cƣờng độ tức thời tại thời điểm t0 của một dòng điện với điện lƣợng q  q  t  là i  t0   q  t0 

8 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M, ta cần chú ý sau
o Tiếp tuyến song song y  ax  b  y '( x0 )  a
1
o Tiếp tuyến vuông góc y  ax  b  y '( x0 )  
a
o Tiếp tuyến tạo với Ox một góc   y '( x0 )   tan 

 y '( x0 )  a
 tan 

1  ay '( x0 )

o Tiếp tuyến tạo với y  ax  b 

cos n1 ; n2  cos 

3
2
Ví dụ : Cho hàm số y  x  3x  2 . Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a. Tại điểm M( 2; -2)
b. Tại điểm có hoành độ bằng – 1.
c. Tại điểm có tung độ bằng 2.
d. Tại giao điểm với trục tung.
e. Tại giao điểm với đƣờng thẳng y = -2
f. Biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + 7.
1

g. Biết tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng y   x
45
3
h. Biết côsin của góc tạo bởi tiếp tuyến và đƣờng thẳng 4x – 3y = 0 bằng .
5
Giải:
 D=R
 y '  3x 2  6 x
a/ ta có: x0  2; y0  2 ; y / (2)  0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)  y  2
b/ ta có: x0  1  y0  2 ; y / (1)  9
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)  y = 9x + 7
 x0  0
c/ ta có: y0 = 2  x03  3x0 2  2  2  x03  3x0 2  
 x0  3
/
* Với x0  0 ; y0 = 2; y (0)  0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2.
* Với x0  3 ; y0 = 2; y / (3)  9
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)  y = 9x – 25 .
d/ ta có: x0  0 ; y0 = 2; y / (0)  0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2.
 x0  1
e/ xét PTHĐGĐ: x03  3x02  2  2  
 x0  2
* Với x0  1  y0  2 ; y / (1)  9
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)  y = 9x + 7
* Với x0  2  y0  2 ; y / (2)  0
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)  y  2
f/ Hệ số góc của tiếp tuyến là y / ( x0 )  3x02  6 x0

 

9 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

Do tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng y = 9x + 7
 x0  1
Nên y / ( x0 )  9  3x0 2  6 x0  9  
 x0  3
* Với x0  1  y0  2
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 9(x + 1)  y = 9x + 7
* Với x0  3 ; y0 = 2
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 9( x – 3)  y = 9x – 25 .
g/ Hệ số góc của tiếp tuyến là y / ( x0 )  3x02  6 x0
1
Do tiếp tuyến vuông góc với đƣờng thẳng y   x
45
 x0  5
1
Nên y / ( x0 ) 
 45  3x0 2  6 x0  45  
1
 x0  3

45
* Với x0  5  y0  52
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 52 = 45( x – 5)  y = 45x – 173

* Với x0  3  y0  52
 phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 52 = 45( x +3)  y = 45x +83
h/ Gọi tiếp tuyến d có hệ số góc k  y / ( x0 )  3x02  6 x0

 vectơ chỉ phƣơng của d là ud  (1; k )  Vectơ pháp tuyến của d là: nd  (k ;  1)
Đƣờng thẳng  : 4x – 3y = 0  Vectơ pháp tuyến của  là: n  (4;  3)
Theo đề ta có cos(d ; ) 

k.4  (1).(3)
k  1. 4  (3)
2

2

2



4k  3
3
3

  4k  3  3 k 2  1
2
5
k  1.5 5

k  0

 k   24

7


 x0  0
* Với k = 0 ta có: y / ( x0 )  0  3x0 2  6 x0  0  
 x0  2
x0  0  y0  2  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 2 = 0( x – 0)  y = 2.
x0  2  y0  2  phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 0(x – 2)  y  2
24
24
24
* Với a  
ta có: y / ( x0 )    3x0 2  6 x0    21x0 2  42 x0  24  0 vô nghiệm
7
7
7
Vậy phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2; y = -2
D. Vi phân và đạo hàm cấp cao
I. Vi Phân
- Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm tại điểm x . Khi đó f   x  x đƣợc gọi là vi phân của hàm số
tại điểm x ứng với số gia x đã cho.
Kí hiệu: y  f ( x)  dy  d  f ( x)   f   x  dx
- Trong phép tính gần đúng, với x khá nhỏ, xét tại điểm x0 ,
ta có công thức sau:

f  x0  x   f  x0   f   x0  x

Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) 

sin x  cos x


. Tính vi phân của hàm số tại x0  ứng với x  0,01 .
sin x  cos x
2
10 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

Giải: Ta có: f   x  

2

 sin x  cos x 

.

2

   
 
Vi phân cần tìm: d  f     f    x  0, 02 .
2
  2 
Ví dụ 2: Tính vi phân của hàm số: y  1  2 tan x .

Giải: Ta có: dy  d



 

1  2 tan x 




1  2 tan x dx 

2
dx
cos x 1  2 tan x
2

Ví dụ 3: Tính gần đúng của 16, 001 .
Giải: Ta đặt f  x   x  f   x  

1
2 x

.

1
Áp dụng f  x0  x   f  x0   f   x0  x  16, 001  4  .0, 001  4, 000125
8
II. Đạo hàm cấp cao
- Đạo hàm cấp n (n  N , n  2) của hàm số y  f ( x) là f  n  x  ( hay y  n   x  ).
Chú ý:
o Đạo hàm cấp hai: y  2  y .

o Đạo hàm cấp ba: y 3  y .
o

f

n

 x    f  n1  x  .

- Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: xét một chất điểm chuyển động có phƣơng trình s  s  t  .
Khi đó gia tốc tức thời tại thời điểm t0 là a  t0   s  t0  .
Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x)  x 4  2 x3  4 x 2  6 x  1 . Tính đạo hàm cấp ba của hàm số.
Giải: Ta có: y  4 x3  6 x2  8x  6 .
 y  12 x2  12 x  8
 y  24 x  12
Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 2  2 x . Chứng minh rằng: y3 . y  1  0 .
x 1
1
Giải: Ta có: y 
.
 y  
2
2
x  2x
 x  2x  x2  2x
VT  y . y  1 
3





1

  1  1  1  0  VP
x  2x .
  x2  2x  x2  2x 


2



3

11 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

BÀI 02. XÉT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
THUẦN GIÁO KHOA:
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Giả sử: cho hàm số y  f  x  .
Xét các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Mệnh đề nào sai?
1. Nếu x  D : x1  x2  f  x1   f  x2  thì hàm số đồng biến trên D. …………………..
2. Nếu x  D : x1  x2  f  x1   f  x2  thì hàm số nghịch biến trên D. …………………..
3. Nếu f   x   0 thì hàm số đồng biến. …………………..
4. Nếu f   x   0 thì hàm số nghịch biến. …………………..
5. Nếu f   x   0 , mà f   x   0 có nghiệm hữu hạn thì hàm số đồng biến. …………………..
6. Nếu hàm số đồng biến trên D thì f   x   0 …………………..
7. Nếu hàm số đồng biến trên D thì f   x   0 …………………..
8. Hàm số đã cho có đạo hàm trên D, nếu f   x   0 , x  D thì hàm số nghịch biến trên D……
9. Hàm số nghịch biến trên K khi và chỉ khi f   x   0, x  K …………………….
10. Hàm số đồng biến trên K khi và chỉ khi f   x   0, x  K …………………….
Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

x2
5
x
4
4

a) y   2 x 2  4 x  5

b) y 

d) y  x3  2 x 2  x  2

e) y  (4  x )( x  1)2

f) y  x3  3x 2  4 x  1

h) y   x 4  2 x 2  3

i) y 

g) y 

1 4
x  2x2  1
4

c) y  x 2  4 x  3

1 4 1 2
x  x 2
10
10

12 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

k) y 

2x 1
x5

l) y 

x 1
2 x

m) y  1 

2 x 2  x  26
1
o) y   x  3 
1 x
x2
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
n) y 

a) y  6 x 4  8x3  3x 2  1
d) y 

x2  1

b) y 

2x 1

e) y 

x2

p) y 

c) y 

x2  4
x

4 x 2  15x  9
3x

x2  x  1
x2  x  1

f) y  x  3  2 2  x

x 2  3x  2

h) y  x 2  x 2

g) y  2 x  1  3  x

1
1 x

i) y  2 x  x 2

j) y  2 x  x 2

Ghi nhớ nhanh
 Hàm bậc nhất: y  ax  b,  a  0 
CẦN NHỚ
thì hàm số luôn đồng biến trên R.

a0

a0

thì hàm số luôn nghịch biến trên R.

 Hàm bậc hai: y  ax  bx  c,  a  0   y '  2ax  b  0  x  
2

a0

b
2a




thì hàm số nghịch biến trên  ; 

b 
 , đồng

2a 

 b

;   .
 2a


biến trên  

a0

 b

;   , đồng
 2a


thì hàm số nghịch biến trên  




biến trên  ; 

b 
.
2a 

 Hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d ,  a  0   y '  3ax  2bx  c  0   '  b  3ac .

3

a  0

2
 '  b  3ac  0

2

2

2

thì hàm số luôn đồng biến trên R.

13 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

a  0

2
 '  b  3ac  0

thì hàm số luôn nghịch biến trên R.

a  0

2

 '  b  3ac  0
Giả sử y '  0 có hai nghiệm x1  x2

thì hàm số đồng biến trên  ; x1  và  x2 ;  

a  0

2
 '  b  3ac  0
Giả sử y '  0 có hai nghiệm x1  x2

thì hàm số nghịch biến trên  ; x1  và

 Hàm nhất biến: y 

ad  bc  0

. Hàm số nghịch biến trên  x1; x2  .

 x2 ;   . Hàm số đồng biến trên  x1; x2  .

ax  b 
d
ad  bc
,  c  0, ad  bc  0, x     y ' 
2
cx  d 
c
 cx  d 




thì hàm số đồng biến trên  ; 

d
 và
c

 d

  ;  
 c

ad  bc  0




thì hàm số nghịch biến trên  ; 

d
 và
c

 d

  ;  
 c

14 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

x  0
4
2
3
 Hàm trùng phƣơng: y  ax  bx  c,  a  0   y '  4ax  2bx  0   2
b .
x  
2a

thì hàm số nghịch biến trên  ;0  . Hàm số
a  0

đồng biến trên  0;  .
ab  0

a  0

ab  0

thì hàm số đồng biến trên  ;0  . Hàm số
nghịch biến trên  0;  .

a  0

ab  0

Thì hàm số đồng biến trên   

a  0

ab  0



b
  ;   . Hàm số nghịch biến trên
2a



b 
b  

;


0;

và

 
.
2
a
2
a



 

b 
Thì hàm số nghịch biến trên   
;0  và
2
a




b
  ;   . Hàm số đồng biến trên
2a



b 
b  
 ;    và  0;   .
2a 
2a  





b 

;0  và
2a 

15 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

Bài tập bắt buộc
Câu 1. Hàm số nào dƣới đây đồng biến trên

.

7 3 4 2 2
x  x  x 1 .
8
3
5
2x  5
1
C. y 
.
D. y  x3  x 2  3x  1 .
3  5x
3
Câu 2. Cho hàm số y  x3  3x 2  4 . Hàm số nghịch biến trên khoảng

A. y  3x4  4 x2  2017 .

B. y 

A. (;0) .

C.  0; 2  .

B. (2; ) .

D. (;0) và (2; ) .

Câu 3. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  4 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  2;   .
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ; 2  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  0;   .
D. Hàm số luôn đồng biến trên .
1
Câu 4. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2 . Khẳng định nào dƣới đây sai?
4
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  2;   .
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ; 2  và  0; 2  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  2; 1 .
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  2;0  và 1;   .
7
Câu 5. Cho hàm số y  9 x 7  7 x 6  x5  12 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
5
1

A. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;   .
3

B. Hàm số không có khoảng nghịch biến.

 1
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  0;  .
 3

D. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;0  .
Câu 6. Cho hàm số y 
A. (; 1) .

2 5 3 4 3 2
x  x  x  2 x  1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng
5
4
2
B. (1; ) .
C. (; 1) và (1; ) .

D.  1;1 .

Câu 7. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  2 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  1;   .
B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;1 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  1;1 .
D. Hàm số đồng biến trong khoảng  1;0  và 1;   .

16 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

2x 1

. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  3;   .

Câu 8. Cho hàm số y 

B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ; 1 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 1 và  1;   .
D. Hàm số đồng biến trên

.

x2
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
1 x
3 
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 2  .
2 

Câu 9. Cho hàm số y 

B. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;1 .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  0;1 và 1;   .
D. Hàm số đồng biến trên

\ 1 .

Câu 10. Khoảng nghịch biến của hàm số y 
A.  5;   .

 x2  x  5
là:
x2
B.  5;1 và  3;   .

C.  ; 2  và  2;   .

D.

\ 2 .

x3  4 x  8
. Khẳng định nào dƣới đây đúng?
x2
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;0  .

Câu 11. Cho hàm số y 

B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 2  .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  2;3 và  3;   .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  .
Câu 12. Tìm khoảng đồng biến hàm số y   x  3 3  2 x  x 2 ?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;0  .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  3;0  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  3; 2  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   .
Câu 13. Cho hàm số y  x  1  2 x 2  3x  3 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 1 .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 2  .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  2;   .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 .
Câu 14. Cho hàm số y  x 2  2 x  3 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
17 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

A. Hàm số đồng biến trong khoảng 1;3 .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; 1 .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ; 1 và 1;3 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 và  3;   .
Câu 15. Cho hàm số y  x 2  4 x  3  4 x  3 . Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ;1 .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  ;0  .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;   .

ex
. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
x2  1
A. Hàm số có khi đồng biến, có khi nghịch biến.
B. Hàm số nghịch biến khi x  1.
C. Hàm số nghịch biến khi x  1 .
D. Hàm số luôn đồng biến trên R .
Câu 17. Khoảng đồng biến của hàm số y  x ln x là:
Câu 16. Cho hàm số y 

A.  0;   .

B.  0;e  .

1

1 
C.  ;   .
D.  2 ;e  .
e

e

Câu 18. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D và liên tục R, có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  ; x1  và  x2 ;   .
C. Hàm số nghịch biến trong khoảng  x1;   .
D. Hàm số nghịch biến trên .
Câu 19. Bảng biến thiên sau đây ứng với hàm số nào?

A. y 

1
.
x

B. y 

2x
.
x 1

2

18 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

C. y  x3  6 x 2  9 x .

D. y   x 4  2 x 2 .

Câu 20. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D và liên tục tại x  1 , có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  0; 4  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  1;1 .
D. Hàm số nghịch biến trên 1;   .
Câu 21. Cho hàm số y  f ( x) , có đồ thị nhƣ hình vẽ bên:
Khẳng định nào dƣới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  4;0  .
B. Hàm số đồng biến trong khoảng  0; 2  .
C. Hàm số đồng biến trong khoảng  0; 4  .
D. Hàm số nghịch biến trên  0;   .

19 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

BÀI 03. XÉT DẤU-GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH
A. XÉT DẤU

• f ( x)  ax  b

• f ( x)  ax 2  bx  c
Trường hợp có hai nghiệm phân biệt:

Trường hợp có nghiệm kép:

Trường hợp vô nghiệm:

Nhận xét: khi làm toán bảng xét dấu đƣợc làm ngoài nháp nên ta sẽ vẽ dƣới dạng trục.
Ví dụ: giải nhanh các bất phƣơng trình sau:
Bất phƣơng trình:
Nháp trục
Kết luận

x 2  3x  7  0
x 2  3x  7  0
x2  6 x  9  0
x2  6 x  9  0
x2  6 x  9  0
x2  6 x  9  0
x 2  3x  4  0
x 2  3x  1  0
20 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

x2  5x  6  0
x2  5x  6  0
3x2  5x  6  0

 3x

2

 5x  6   2 x  4  x  1  0

 x  1  x 2  3x  4 
x2

 x  1  x 2  3x  4 
x2  4

0

0

 x  1  x 2  3x  4   9  x 

 x2  4  x2  x  1

0

B. GIAO-HỢP NGHIỆM

A

(xử lý A xong, rồi mới xử lý B)
B

GIAO: A  B  

A
(xử lý A và B cùng lúc)
B


HỢP: A  B  

Có

Nháp trục

Kết luận

x  2

x  5
x  2
x  5

x  3

 x  6
 x  6
x  2


21 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

x  4

x  1
x  2

x  5

x  2

  x  2
 x  3

 x  2

 x  0
1  x  2

  x  2

 x  3

 3  x  2
 x  1


  x  0
C. TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG:
I.

PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2: f ( x)  ax  bx  c  0 (1)
2



c  0 : vsn

b  0  
c  0 : vn
a  0  


b

b  0  x  
a




Biện luận: 
   0  vn



b


2
2
 a  0    b  4ac ,   '  b '  ac      0  x1  x2  
2a



   0  x  b  

1,2

2a

Từ biện luận ấy ta có các trường hợp thường gặp như sau:
22 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

(1) vô nghiệm

 a  b  0

 c  0
 a  0

   0



a  b  c  0
 a  0

 b  0

 a  0
   0
 a  0

 b  0
 a  0

   0
a  0

b  0
a  0

  0
a  0

  0

(1) có nghiệm

(1) có 1 nghiệm

(1) có đúng 1 nghiệm

(1) có hai nghiệm

(1) có hai nghiệm phân biệt

Chú ý: Trường hợp nào vô lý thì bỏ đi trường hợp đó.
Ví dụ 1: Cho phƣơng trình sau: x  2(m  1) x  2  m  0 (1) . Tìm m để (1) :
2

a/ vô nghiệm.
b/ có nghiệm.
c/ có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Cho phƣơng trình sau:  m  1 x  2(m  1) x  2  m  0 (1) . Tìm m để (1) :
2

a/ vô nghiệm.
b/ có nghiệm.
c/ có 1 nghiệm .
d/ có 2 nghiệm phân biệt.

23 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304


Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

II.

VI-ET f ( x)  ax  bx  c  0 (1) . Giả sử (1) có hai nghiệm là: x1; x2 .
2

b


 S  x1  x2   a
2
Ta luôn có : 
(điều kiện S  4P  0 ).
 P  x .x  c
1 2

a
2
III.
So sánh nghiệm f ( x)  ax  bx  c  0 (1) . Giả sử (1) có hai nghiệm là: x1; x2 .
(1) có hai nghiệm trái dấu
x1  0  x2
x1.x2  0
(1) có hai nghiệm cùng dấu
0  x1  x2
  0

x  x  0
 x1.x2  0
 1 2
(1) có hai nghiệm pb cùng dấu

(1) có hai nghiệm dƣơng

0  x1  x2
x  x  0
 1 2
0  x1  x2

  0

 x1.x2  0
  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2

(1) có hai nghiệm dƣơng pb

0  x1  x2

(1) có hai nghiệm âm

x1  x2  0

  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2
  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2

(1) có hai nghiệm âm pb

x1  x2  0

  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2

Chú ý : so sánh nghiệm với 0

x1  0  x2
x1  0  x2
0  x1  x2

0  x1  x2

x1.x2  0
x1.x2  0
  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2
  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2
24 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304

Giáo trình tư duy luyện thi 2018 - Phần khảo sát hàm số

0  x1  x2

  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2

0  x1  x2

  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2

x1  x2  0

  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2
  0

 x1.x2  0

x  x  0
 1 2

x1  x2  0

x1  x2  0

  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2
  0

 x1.x2  0
x  x  0
 1 2

x1  x2  0

Chú ý : so sánh nghiệm với số bất kỳ

x1    x2

x1    0  x2  

x1    x2

x1    0  x2  

  x1  x2

0  x1    x2  

  x1  x2

0  x1    x2  

  x1  x2

0  x1    x2  

 x1   . x2     0
 x1   . x2     0
  0

 X 1. X 2  0
X  X  0
 1
2
  0

 X 1. X 2  0
X  X  0
 1
2
  0

 X 1. X 2  0
X  X  0

 1
2

25 | V T B . Võ Thanh Bình 0917.121.304