Tứ giác nội tiếp

Nội dung của chuyên đề
phần 1: Phần mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
a) Cơ sở lý luận
b) Cơ sở thực tiễn
2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của đề tài
Phần 2: nội dung của đề tài
A. Nội dung của đề tài
I. Cơ sở lí luận khoa học của đề tài
II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài
III. Nội dung phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu
* Một vài ví dụ minh hoạ
IV. Kết quả của quá trình nghiên cứu
V. Giải pháp mới và sáng tạo của đề tài
B. ứng dụng vào thực tế công tác giảng dạy
phần 3: Kết luận
Phần 4: Những tài liệu tham khảo

1.Lý do chọn đề tài:
Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ
giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng
minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh
đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, .
Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc
chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn,
định lý đảo về tứ giác nội tiếp, . Đặc biệt phải biết hệ thống các
kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . Đây là việc

làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh.
a.Cơ sở lý luận:

Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện
ở định lý đảo Tứ giác nội tiếp Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đ đặc ã
biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy
nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ
giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở
của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác
nội tiếp một đường tròn.
Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng
giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đ giải ở lớp 7, 8 để có cách ã
giải hay cách lý giải căn cứ khác .
Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để
chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài Tứ giác nội
tiếp một đường tròn Với tên gọi:
1. Lý do chọn đề tài:
b.Cơ sở thực tiễn:
Tổng kết một số phương pháp
chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Phần 2: nội dung của đề tài
A. Nội dung của đề tài
I.Cơ sở lí luận khoa học của đề tài
II. Đối tượng phục vụ cho quá trình nghiên cứu xây dựng đề tài
III. Nội dung phương pháp nghiên cứu
* Phương pháp nghiên cứu
* Nội dung nghiên cứu
Nếu tứ giác ABCD có :
A+C=2V hoặc B+D=2V

A
D
C
B
x
giả sử xAD = BCD
thế thì vì xAD + DAB = 2V (kề bù)
BCD + BAD = 2V => tứ giác
ABCD nội tiếp
O
Gọi tia đối của tia AB là tia Ax chẳng hạn
Suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp một đư
ờng tròn.

C
B
A

D
§Æc biÖt ho¸ bµi to¸n tø gi¸c ABCD cã
∠BAD = ∠BCD =
0
90
0
90
0
90
0
180
=>Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD.

ThÕ th× ∠BAD + ∠BCD = + =

A
B
C
d
- Xét tứ giác ABCD có DAC = DBC
Với A, B nằm ở cùng một nửa mặt phẳng
bờ chứa DC ta sẽ chứng minh tứ giác ABCD
nội tiếp .
- Khi cho = ta có DAC = DBC =
Và A, B cùng một nửa mặt phẳng bờ DC thế thì
tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính DC.
0
90
0
180
0
90
0
0
vì do DC cố định nên A, B nằm trên cung chứa góc dựng trên đoạn
DC (theo bài toán quỹ tích cung chứa góc)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác
ABCD nội tiếp .
Thật vậy, giả sử DAC = DBC = ( < < )
A

B
C

D

Đảo lại: Nếu tam giác MAC và tam giác MDB đồng dạng với A thuộc
đoạn BM và D thuộc đoạn MC thì tứ giác ABCD nội tiếp.
+ Theo tính chất của tam giác đồng dạng ta lại có từ tam giác MAD
đồng dạng với tam giác MCB suy ra:
MA . MB = MC . MD
Thật vậy, vì tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB suy ra
ABD = DCA => tứ giác ABCD nội tiếp ( B, C ở cùng một nửa mặt
phẳng bờ AD và nhìn AD dưới hai góc bằng nhau )
+ Từ đó nếu có tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB, ABM,
D MC => Tứ giác ABCD cũng nội tiếp.
Vậy là ta lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng tỷ lệ thức:
MA . MB = MC . MD, A BM, D MC => Tứ giác ABCD nội tiếp.
Giả sử AB cắt DC tại M
A

B
C
D
M
- Lại xét tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn :
MB
MD
MC
MA
=
ta suy ra được ABD = ACD
vậy là tam giác MAC và MDB đồng dạng

A
1
+ C
1
= +
Cách 3
OA = OB = OC = OD
Cách 1
Hình vẽ minh hoạHệ thức Cách chứng minh
A
C
D
B
Cách 2
0
0
2 1
1 1
B D 180
2.a)
A C 180
2.b) A C

+ =

+ =


=
C

A
B
D
x
1
1
2
0
90
0
90
C
A
B
D
1
1
bảng hệ thống phương pháp chứng minh
tứ giác nội tiếp một đường tròn

(H×nh bªn ph¶i tø gi¸c
ACBD néi tiÕp)
MA . MB = MC . MD
C¸ch 6
C¸ch 4
H×nh vÏ minh ho¹HÖ thøc Thø tù c¸ch chøng minh
C¸ch 5







∠=∠
∠=∠
∠=∠
∠=∠
11
22
22
11
CD
CB
DA
BA
D
A
B
C
A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
O

0
1 1
A B 90
∠ = ∠ =
1
1
C
D
1
A
B
1
1
2
2
1
2
2

Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ
để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả m n một trong ã
các hệ thức trên.
Với cách hệ thống hoá như trên học sinh được ghi nhớ một cách lôgic
và từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ
đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình
học .
Ngoài ra, với giáo viên ta cần nhớ thêm một số cách chứng minh tứ
giác nội tiếp từ bài toán về đường thẳng Simson, định lý P.tôlêmê và bài
toán khác:

Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M là điểm bất kỳ. Gọi E,
F, K lần lượt là hình chiếu của M xuống AB, BC, CA. Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để M (O) là E, F, K thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng
Simson)
+Nếu M trùng một trong ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì bài toán hiển
nhiên đúng.
MAE K
B
C
A
C
A
B
C

M


F

K
O
O
O
F
K
M

B

E


F
E

=> (3), (4) (5)
(cùng cộng góc AMF và ABC cho ). Từ
(3), (4), (5) => (2) => (1)
i) Điều kiện cần: M(O) thì E, K, F thẳng hàng
(1):
2 2

M K
=
11

KM
=
2 1

M M
=
+Ta xét trường hợp M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, các trường
hợp còn lại chứng minh tương tự.
0
180
Thật vậy: từ giả thiết và từ các tứ giác MEAK, MKFC và MEBF nội tiếp =>
, , (đối đỉnh)

11

KM
=
2 2

M K
=
21

KK
=
0
1 2

AMC ABC AMF M ABC AMF M ABC 180
+ = + + = + + =
1
2
1
2
A
E
B
C
M
K
O
F
ii) Điều kiện đủ: Có (1) => M(O) (6) <=> tứ giác MABC nội tiếp (7).

(1)<=> (2). Thật vậy,
các tứ giác MEAK, MKFC, AMCB,
EMFB nội tiếp
1 2

K K
=
=> (7) => (6).

Bµi to¸n 2. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tø gi¸c
ABCD néi tiÕp mét ®­êng trßn lµ AB.CD + BC.AD=AC.BD (Định lý P.Tôlêmê).
A
B
C
D

Bµi to¸n 3. Cho tø gi¸c ABCD cã c¸c c¹nh ®èi diÖn AD c¾t BC t¹i E vµ
AB c¾t CD t¹i F. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tø gi¸c
ABCD néi tiÕp lµ EA.ED+FA.FB=
2
EF
A
B
F
D
C
E

*Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1 (tr 9-TL): Cho hai đường tròn (O) và (O) gặp nhau ở A và B,

Phân tích:
C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đư
ờng tròn (1) mà ta thấy E đối xứng
với A qua B. Vậy là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm
trên đường trung trực của đoạn AE,
và như thế tâm của đường tròn này
cũng nằm trên trung trực của các
đoạn thẳng nào?
A
B
O
O

M
N
E
tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O) ở M
; tiếp tuyến tại A
của đường tròn (O) gặp (O) tại N
Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đường tròn.
. Lấy điểm E đối xứng với A qua B.
(Đường trung trực của AM và AN)

A
B
O
O

MN

E
I
Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM
thì: (1) IA= IN=IE=IM (2).
Thật vậy: OI//AO (cùng AN ) và
AO // IO (cùng AM )
=> AOIO là hình bình hành
=>OIO=OAO= OBO => OIBO
là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng
OI = AO = OB => OIBO là hình thang
cân => IB//OO (3) => IBAB=>IB là đư
ờng trung trực của AE =>
IA=IN=IE=IM=>(2) => (1) đpcm.