China MO 2017

Đề thi chọn HSG Quốc gia của
Trung Quốc năm 2017 (China
MO 2017)

Ngày thứ nhất
Bài 1. Hai dãy số

,

xác định bởi

, 

,

,

nguyên dương

. Giả sử có số

sao cho với

ta có

. Chứng minh rằng

.
Bài 2. Cho tam giác nhọn

với

là đường tròn ngoại tiếp và

đường tròn nội tiếp của nó. Các tiếp tuyến tại
,
và

tiếp xúc với
cắt

tại

tại

.

vuông góc với

. Chứng minh

tròn khi và chỉ khi
Bài 3. Một hình chữ nhật

của
tại

,

là

cắt nhau tại
cắt

tại

,

cùng nằm trên một đường

là thẳng hàng.
được phân hoạch thành

hình chữ nhật

con sao cho các cạnh của các hình chữ nhật con cùng phương với các
cạnh của

. Các đỉnh của các hình chữ nhật con sẽ được gọi là các điểm.

Mỗi đoạn cùng phương với các cạnh của

nối hai điểm được gọi là cơ

bản nếu nó không chứa điểm khác. Tìm số nhỏ nhất, lớn nhất các đoạn
cơ bản.


Ngày thứ hai
Bài 4. Cho số nguyên
của

. Với hai hoán vị

và

, nếu tồn tại số nguyên

thì ta nói

là một bạn của . Chứng minh rằng

có thể đánh số tất cả các hoán vị của

như

mỗi

, ở đây

Bài 5. Gọi

,

là một bạn của

sao cho với
và

.

là tập các ước dương của số nguyên dương . Tìm tất cả các

số nguyên dương

để có thể phân hoạch

cho mỗi tập có ít nhất

Bài 6. Cho số nguyên

thành hai tập

phần tử, các phần tử trong

số cộng và các phần tử trong

Xét các số

sao cho

và

lập thành một cấp

lập thành một cấp số nhân.

và hai số thực dương

sao

.

, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức