13 trang trắc nghiệm đường tròn và các bài liên quan.có đáp án

Chương III

ĐƯỜNG TRÒN
 TRẮC NGHIỆM 1:
I.

CÂU HỎI: (Phương trình đường tròn. Các tính chất của họ đường tròn)
Ghi chú: Học sinh không được dùng thước kẻ và compa khi làm bài.

1. Tìm tâm I và bán kính R của đường troøn : 2x2 + 2y2 – 3x + 4y – 1 = 0
3

a. I  ; − 2 ÷; R =
2


29
2

 3 
b. I  − ;1÷, R =
 4 

33
4

3

c. I  ; − 1÷, R =
4


33
4

3

d. I  ; − 1÷, R =
4


17
4

e. Một đáp án khác.

2. Có bao nhiêu số nguyên m để: x2 + y2 – 2 (m + 1)x + 2my + 3m2 + 6m – 12 = 0
là phương trình một đường tròn
a) 5

b) 7

c) 9

d) không có

e) vô số

x = 2sin 2 t + 2
3. Cho điểm M di động có tọa độ : 
y = 2sin t cos t −1

M di động trên đường tròn :
a) Tâm (2; -1), bán kính 1 b) tâm (3; -1), bán kính 1
c) tâm (3; -1), bán kính 2 d) tâm (-3; 1), bán kính 2
e) một đáp số khác
4. Cho A (1, 1) và B (2, 3), tập hợp các điểm M sao cho: 3MA 2 – 2MB2 = 6 là một đường tròn,
bán kính của nó là :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. Khi viết phương trình đường tròn tâm I (-3; 2) và tiếp xúc với ∆ :
2x + y + 14 = 0 dưới dạng x2 + y2 + px + qy + r = 0, thì p + q + r =
a) –5
b) – 6
c) –8
d) 2
e) một đáp số khác
6. Phương trình đường tròn có đường kính AB với A (-3; 1), B (5; 7) laø :
a) x2 + y2 + 2x + 8y - 8 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 8y - 8 = 0
c) x2 + y2 - 2x - 8y - 8 = 0
d) x2 + y2 + 2x - 8y - 8 = 0
e) một đáp số khác
7. Phương trình đường tròn có tâm I (6; 2) và tiếp xúc ngoài với đường troøn :
x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0 laø :
a) x2 + y2 – 12x – 4y – 9 = 0
b) x2 + y2 – 6x – 2y + 31 = 0
c) x2 + y2 + 12x + 4y + 31 = 0
d) x2 + y2 – 12x – 4y + 31 = 0

e) một đáp số khác
8. Có hai đường tròn có bán kính là 10 vaø qua A (-3; 2) vaø B (1; -6). Một đường tròn có tâm là :
Trang 1


a) (-9; -6) b) (15; 6)
c) (-1; -2)
d) (2; 7)
e) (-7; -2)
9. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với Oy tại A (0; 5) và có tâm trên đường thẳng
x – 2y + 10 = 0.
Nếu viết phương trình (C) dưới dạng : x2 + y2 + px + qy + t = 0, thì p + q + r =
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
10. Đường tròn qua A (1; 0), B (2; 0) vaø C (0; 3) có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ?
a) 1,3
b) 1,4
c) 1,6
d) 1,8
e) 1,9
11. Có hai đường tròn tiếp xúc với hai trục và qua A (5; 2). Hiệu hai bán kính của chúng là :
a) 14
b) 7
c) 2 5
d) 4 5
e) một đáp số khác
12. Gọi (C) là đường tròn có bán kính là 3, qua gốc O và từ điểm A (2; 1) có thể kẻ được hai tiếp

tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau. có hai đường tròn (C) như thế. Thế thì tổng
hoành độ hai tâm bằng :
8
4
b) –1
c) −
5
5
Đề bài cho các câu 13, 14, 15.
a) −

•

d) 1

e)

8
3

Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 2 (m + 2)y + m2 + 1 = 0 (1)
13. Coù hai giá trị của m để (1) là đường tròn có bán kính là 3. Tích của chúng bằng:
a) - 6
b) -4
c) 0
d) 4
e) 6
14. Đường tròn (1) có tâm trên đường thẳng : 2x + y – 3 = 0 có bán kính gần nhất với số nào dưới
đây ?
a) 6,9

b) 6,8
c) 6,7
d) 6,6
e) 6,5
15. Đường tròn (1) cắt Oy theo một dây cung có độ dài 6 3 có bán kính gần nhất với số nào dưới
đây ?
a) 7,8
b) 7,9
c) 8
d) 8,1
e) 8,2
• Đề bài cho các câu : 16, 17, 18 :
Cho đường tròn (Cm) : x2 + y2 + 2mx – 2(m + 1)y – 4m – 4 = 0
16. Tâm I của (Cm) di động trên đường thẳng có phương trình :
a) x – y – 1 = 0
b) x – y + 1 = 0
c) x + y – 1 = 0
d) x + y + 1 = 0
e) không đủ yếu tố xác định
17. Đường tròn (Cm) có bán kính nhỏ nhất có phương trình là :
x2 + y2 + px + qy + r = 0 với p + q + r =
a) 2
b) –2
c) 6
d) –6
e) 0
18. Có hai đường tròn (Cm) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + 2y + 1 = 0.
Tổng bình phương các bán kính của chúng là :
a) 4

b) 5

c) 2 6

d)

14
3

Trang 2

e) một đáp số khác


19. Có hai đường tròn qua hai điểm A (1; 0), B (5; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – y + 3 = 0.
Đường tròn lớn có bán kính gần nhất với số nào dưới đây ?
a) 3

b) 7

c) 11

d) 14

e) 15

20. Có hai đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng
∆ : 2x – y + 3 = 0 vaø ∆’ : 2x – y – 7 = 0 và đi qua gốc tọa độ O. Tổng hoành độ tâm hai đường
tròn là :
a) −

1
5

b)

1
5

c) -

1
8

d)

4
5

e)

8
5

II. ĐÁP ÁN :

1c

2c

3b

4e

5a

6c

7d

8a

9e

10e

11d

12a

13a

14b

15b

16c

17e

18d

19d

20e

III. HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI :

1c. Chia hai veá cho 2 : x2 + y2 -

3
1
3

x + 2y - = 0 : taâm I  ; − 1÷, bán kính
2
2
4

R=

2

1
33
3
2
 ÷ +1 + =
2
4

4

2c. Điều kiện A2 + B2 – C = (m + 1)2 + m2 – (3m2 + 6m – 12) > 0
⇔ m2 + 4m – 13 < 0 ⇔ -2 - 17 < m < -2 + 17 , 17 ≈ 4,1
Vì m ∈ Z suy ra : -6 ≤ m ≤ 2 ⇒ vậy m = -6, -5,…,2 : có 9 số nguyên tất cả.
3b. Thay 2sin2t = 1 – cos2t, 2sintcost = sin2t, ta được :
x = 3 − cos2t
cos2t = 3 − x
⇔
M: 
y = sin 2t − 1
sin 2t = y + 1
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 1 (vì cos22t + sin22t = 1, ∀t)
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm | (3; -1), bán kính 1.
4e. Gọi (x; y) là tọa độ của M. ta có :
3MA2 – MB2 = 6 ⇔ 3 [(x – 1)2 + (y – 1)2] – 2[x – 2)2 + (y – 3)2] = 6
⇔ x2 + y2 + 2x + 6y – 26 = 0
Vaäy tập hợp là đường tròn tâm | (-1; -3), bán kính : R = 12 + 32 + 26 = 6
5a. Bán kính đường tròn là : R = d (|, ∆) =

10
= 2 5.
5

Phương trình cần tìm : (x +3)2 + (y – 2)2 = 20 ⇔ x2 + y2 + 6x – 4y – 7 = 0
⇒ p+q+r=6–4–7=-5
6c. Đường tròn kính AB là tập hợp những điểm M (x; y) maø
Trang 3

uuuu uuur
r u
AM.BM = 0 ⇔ (x + 3) (x – 5) + (y – 1) (y – 7) = 0
⇔ x2 + y2 – 2x – 8y – 8 = 0
7d. Đường tròn cho có tâm J (2; -1), bán kính R’ =
Ta có : IJ =

22 + 12 − 1 =2

(6 − 2)2 + (2 + 1)2 =5 ⇒ bán kính đường tròn (|) là : R = IJ – R’ = 3

⇒ phương trình đường tròn (|) laø (x – 6)2 + (y – 2)2 = 9
⇔ x2 + y2 – 12 – 4y + 31 = 0
8a. Gọi I(a; b) là tâm, ta có hệ :
IA 2 = IB2

 2
⇔
2
IA = R = 100


(a + 3)2 + (b − 2)2 = (a − 1)2 + (b + 6)2 (1)


2
2
(2)
(a + 3) + (b − 2) = 100


(1) ⇔ a= 2b + 3
Thế vào (2), ta được : (2b + 6)2 + (b – 2)2 = 100
⇔ b2 + 4b – 12 = 0 ⇔ b = -6 hay b = 2
• b = - 6 : a = -9 : tâm là (-9; -6)
• b = 2 : a = 7 : tâm là (7; 2)
9e. Gọi I (a; b) là tâm, ta có : R = |a| và b = 5 (vì IA ⊥ Oy)
Mà I ∈ 2x – y + 10 = 0 ⇔ 2a – b + 10 = 0
5
5
Suy ra : a = − ⇒ R = và phương trình đường tròn là :
2
2

52 
25
x + ÷+ (y − 5)2 =

⇔ x2 + y2 + 5x – 10y +25 = 0

÷
2 
4

⇒ p + q + r = 5 – 10 + 25 = 20
10e. Phương trình đường tròn có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
1 + 2a + c = 0

Qua A, B, C, ta được hệ 4 + 4a + c = 0
9 + 6b + c = 0


Giải, ta được : a = -

3
11
,b=- ,c=2
2
6

Bán kính đường tròn là : R =

a2 + b2 − c =

130
≈1,9
6

11d. Gọi | (a; b) là tâm và R là bán kính, ta có hệ :
 a = b =R


2
2
2
(a − 5) + (b − 2) = R


(1)
(2)

Từ (1),suy ra : a = b hay a = -b
• a = b : (2) thành : (a – 5)2 + (a – 2)2 = a2 – 14a + 29 = 0
Trang 4


Phương trìnhnày có hai nghiệm : a = 7 ± + 2 5 , ứng với hai đường tròn cần tìm có bán kính
là : R1 = |a1| = 7 + 2 5 vaø R2 = |a2| = 7 - 2 5 .
Hiệu hai bán kính là 4 5 .
• Dó nhiên với a = -b thì (2) vô nghiệm.
Thật vaäy : (2) ⇔ (a – 5)2 + (a + 2)2 = a2 ⇔ a2 – 6a + 29 = 0 (VN)
12. Gọi I(a; b) là tâm : (I) qua O ⇔ OI = R
Từ A kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc ⇔ AI = R 2
 a2 + b 2 = 9

Vậy ta có hệ phương trình 
2
2
(a − 2) + (b − 1) = 18


(1)
(2)

Lấy (1) trừ (2), ta được : b = -2a – 2
Thế vào (1) : 5a2 + 8a – 5 = 0
Phương trình này có hai nghiệm và tổng là : −
13a. Ta coù : R =

8
5

m 2 + (m + 2)2 − m 2 − 1 = m 2 + 4m + 3 với m < -3 hay m > -1

R = 3 ⇔ m2 + 4m – 6 = 0
Phương trình này có hai nghiệm và tích hai nghiệm là – 6
14b. Tâm I(m; m – 2) ∈ đường thẳng
2x + y – 3 = 0 ⇔ 2m – m – 2 – 3 = 0 ⇔ m = 5
Bán kính đường tròn là R =

52 + 4.5 + 3 = 4 3 ≈ 6,8

15b. Gọi MN là dây cung, H là trung điểm MN.
1
Ta có : HM = MN = 3 3
2
2

2

2

2

⇔ |H = R – HM = R – 27

I

H
R

⇔ m2 = m2 + 4m + 3 –27 ⇔ m = 6
Vậy bán kính khi đó là : R =

N

63 = 3 7 ≈ 7,9

M

Cách khác: Phương trìnhtung độ giao điểm của đường tròn (|) và Oy :
y2 – 2(m + 2)y + m2 + 1 = 0 (theá x = 0 vào (1)).
∆’ = 4m + 3
3
Với m > - , phương trình có hai nghiệm : y1 = m + 2 +
4
⇒ (|) cắt Oy tại M (0; y1) vaø N (0; y2)
vaø MN = |y1 – y2| = 2 ∆ ' = 2 4m + 3
MN 6 3 ⇔

4m + 3 = 3 3 ⇔ m = 6

Trang 5

∆ ' ; y2 = m + 2 -

∆'


x = −m
16c. Tọa độ tâm | : 

⇒x + y – 1 = 0.
y = m + 1
Vậy tâm | di động trên đường thẳng có phương trình x + y – 1 = 0.
2

17e. Ta coù : R =

2

3 1
2

2 m + ÷ + ≥
2 2
2


2

m + (m + 1) + 4m + 4 =

3
2
khi m = - , và phương trình đường tròn khi này là
2
2
x2 + y2 – 3x + y + 2 = 0 ⇒ p + q + r = -3 + 1 + 2 = 0
| − m + 2(m + 1) + 1 |
18d. (I; R) tiếp xúc với ∆ ⇔ d (I; ∆) =
= 2m 2 + 6m + 5

2
Vaäy min R =

⇔ (m + 3)2 = 2(2m2 + 6m + 5) ⇔ 3m2 + 6m + 1 = 0
Phương trình này có hai nghiệm : m1 =

−3 + 6
−3 − 6
; m2 =
3
3

2

2

1
1 6+ 6 
1
1 6− 6 
2
2
= (m1 + 3)2 = 
⇒
÷ , R = (m + 3) = 
÷
2
2 3 
2
2 3 

14
2
2
⇒ R1 + R 2 =
3
2
R1

Cách khác: Có thể tính bằng định lý viet như sau : m1 + m2 = -2, m1. m2 =

1
3

2
14

2
2
R1 + R 2 = 2 m1 + m 2 + 6 ( m1 + m 2 ) + 10 = 2  22 − ÷+ 6(−2) + 10 =
2
2
3
3

19d.Gọi I(a; b) là tâm và R là bán kính ta có :

(

)

(a − 1)2 + b2 = (a − 5)2 + b 2
IA = IB (= R )

⇔ | a − b + 3 |

= (a − 1)2 + b2
d(I, ∆) = IA(= R)

2

2

2

2

(1)
(2)

(1) ⇔ a = 3
Thế vào (2) và bình phương hai vế : (6 – b)2 = 2 (b2 + 4) ⇔ b2 + 12b – 28 = 0
⇔ b = 2 hay b = -14
Với b = -14, ta có đường tròn lớn có bán kính:
R=

b2 + 4 = 200 = 10 2 ≈ 14,1

20e. Goïi I (a; b)là tâm và R là bán kính, ta có: d (I, ∆) = d (I, ∆’) = OI = R
 | 2a − b + 3 | | 2a − b − 7 |
=

(1)

5
5

⇔
 | 2 − b + 3 | = a2 + b 2
(2)

5

(1) ⇔ 2a – b + 3 = - (2a – b – 7) ⇔ b = 2a - 2
Trang 6


Thế vào (2) và bình phương hai vế ta được: 5 = a2 + (2a – 2)2 ⇔ 5a2 – 8a – 1 = 0
8
Phương trình có hai nghiệm và có tổng là
5
TRẮC NGHIỆM 2:
I.

CÂU HỎI: (Vị trí tương đối, trục đẳng phương, tiếp tuyến)

Ghi chú : Học sinh không được dùng thước kẻ và compa khi làm bài
1. Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn :
(C) : (x – 1)2 + (y + 3)2 = 1;
(C’) : tâm (-2; - 1), bán kính 3
a) 6x – 4y + 13 = 0
b) 6x + 4y – 13 = 0

c) 6x – 4y – 13 = 0
d) 2x + 4y + 13 = 0
e) một đáp số khác
2
2
2. Cho hai đường tròn (C) : x + y – 6x – 4y + 1 = 0; (C’) : x 2 + y2 – 4y – 2 = 0, M laø điểm di động
sao cho độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) gấp hai lần độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C’). Vậy M
di động trên :
a) đường thẳng 6x – 4y – 3 = 0

b) một đường tròn bán kính là 2 2

c) một đường tròn bán kính 3 2

d) một đường tròn bán kính 4

e) một đường cong khác
3. Hai đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0 vaø (C’) : x2 + y2 + x + y – 4 = 0
có hai giao điểm. Tích hai tung độ của chúng là :
1
3
b) – 1
c) d) –2
e) 2
2
2
4. Độ dài dây cung của đường tròn x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 cắt bởi đường thẳng
x + y + 1 = 0 gần nhất với số nào dưới đây ?
a) −

a) 5,3
b) 5,4
c) 5,5
d) 5,6
e) 5,7
2
2
2
5. Định m để hai đường tròn : x + y + 2mx – 1 = 0 vaø x + y2 – 8y + 15 = 0 tiếp xúc nhau.
a) ± 4 3

b) ± 3 3

c) ± 2 3

d) ±

6

e) không có m

6. Có bao nhiệm giá trị nguyên của m để hai đường tròn :
(C) : x2 + y2 – 4x = 0 vaø (C’) : x2 + y2 + 2y + m = 0 (m < 1)
coù với nhau 4 tiếp tuyến chung
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hai đường tròn :

e) vô số

(C) : x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0 vaø
(C’) : x2 + y2 – 2mx + 2y – 3m – 10 = 0
không có tiếp tuyến chung
a) 1

b) 2

c) 3

d) 4
Trang 7

e) vô số


•

Đề bài chung cho các câu 8 và 9 : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 6y = 0

8. Gọi d là đường thẳng qua A (4, 2) có hệ số góc k. Biết d cắt (C) theo một dây cung có độ dài là
6. Vậy hẹ số góc k gần nhất với số nào dưới đây ?
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,7
d) 0,9
e) 1
9. Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại M, N mà K (0, -2) là trung điểm của MN.
a) 2x + y + 2 = 0

b) 2x – y – 2 = 0
c) 2x – y + 2 = 0
d) x + 2y + 4 = 0
e) một đáp số khác
10. Gọi (α) là đường tròn qua giao điểm của hai đường troøn :
(C) : x2 + y2 – 4 = 0; (C’) : x2 + y2 + 2x – 2 = 0
và qua điểm A (-3; 1). Bán kính của (α) gần nhất với số nào dưới đây ?
a) 1,7
b) 1,75
c) 1,8
d) 1,85
e) 2
11. Có hai đường tròn qua giao điểm của đường tròn (C) : x 2 + y2 – 4y – 5 = 0 và đường thẳng ∆ :
2x + 2y – 7 = 0, và tiếp xúc với Ox. Bán kính của đường tròn nhỏ gần nhất với số nào dưới
đây ?

•

a) 1
b) 2,5
c) 2,6
Đề bài chung cho các câu 12, 13, 14

d) 2,8

e) 3

Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0
12. Lập phương trình tiếp tuyến d với (C) biết d tiếp xúc với (C) tại M (2, 1).
a) 4x + 3y – 11 = 0

b) 2x + y – 11 = 0
c) 3x – 4y – 2 = 0
d) 3x + 4y – 10 = 0
e) một đáp số khác.
13. Lập phương trình tiếp tuyến d với (C) biết d đi qua điểm (3, 1). Hệ số góc của d là :
1
7
8
2
b) c) −
d) e) một đáp số khác
2
15
15
5
14. Một phương trình tiếp tuyến d với (C) biết, d song song với ∆ : 3x – 4y + 12 = 0.
a) −

a) 4x – 3y – 27 = 0
b) 4x + 3y – 11 = 0
c) 3x – 4y + 23 = 0
d) 3x – 4y + 27 = 0
e) 3x + 4y – 27 = 0
2
15. Từ điểm A (5; 3) kẻ hai tiếp tuyến với đường troøn (C) : x + y2 – 4x + 2y – 3 = 0
Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm.
a) 3x + 4y – 10 = 0
b) 3x - 4y – 10 = 0
c) 3x + 4y + 10 = 0
d) 3x – 4y + 10 = 0

e) một đáp số khác
16. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn :
(C) : x2 + y2 + 2x + 6y – 2 = 0;
(C’) : x2 + y2 – 2x – 2y – 10 = 0
a) x + 2y – 3 ± 2 3 = 0

b) x + 2y – 3 ± 2 15 = 0

c) 2x + y – 3 ± 2 15 = 0

d) 2x – y – 1 ± 2 15 = 0

e) x – 2y + 1 ± 2 15 = 0
17. Vieát phương trình tiếp tuyến chung với hai đường tròn :
Trang 8


(C) : x2 + y2 + 2x – 4y – 13 = 0
(C’) : x2 + y2 – 2x – 8y + 15 = 0
a) x – y + 7 = 0
b) x – y – 7 = 0
c) x + y + 7 = 0
d) x + y – 7 = 0
e) một đáp số khác
2
2
18. Cho hai đường troøn (C) : (x – 1) + (y + 2) = 2; (C’) : (x + 3)2 + (y – 1)2 = 8
Tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn là :
12
7

1
12
c)
d)
e) 7
12
2
7
2
2
2
19. Cho hai đường tròn (C) : (x + 1) + (y - 2) = 9; (C’) : (x - 7) + (y + 6)2 = 1
a) 2

b)

Tiếp tuyến chung ngòai và trong lần lượt cắt đường nối tâm tại A và B. Phương trình đường
tròn đường kính AB là : x2 + y2 + px + qy + r = 0, với p + q + r ∈
a) (50; 60) b) (60; 70)
c) (70; 80)
d) (80; 90)
e) (90; 100)
2
2
20. Chứng tỏ hai đường tròn (Cm) : x + y – 2mx + 2(m – 2) y – 3 = 0 ứng với hai giá trị phân biệt
của m có chung một trục đẳng phương cố định là :
a) x + y – 3 = 0
c) x + y + 3 = 0

b) x – y + 3 = 0

d) x + y = 0

e) x – y = 0

II. ĐÁP ÁN :

1c
6a
11d
16d

2b
7b
12a
17d

3b
8e
13c
18d

4d
9b
14c
19e

5a
10c
15a
20e

III. HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI :

1c. Phương trình đường troøn (C’) : (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9. Phương trình trục đẳng của hai đường
tròn : (x – 1)2 + (y + 3)3 – 1 = (x + 2)2 + (y + 1)2 – 9
⇔ 6x – 4y - 13 = 0
2b. Gọi MT và MT’ lần lượt là độ dài tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) và (C’).
ta có : MT = 2MT’ ⇔ MT2 = 4MT’2
⇔ P M0 /(C) = 4.P M 0 /(C')
⇔ x2 + y2 – 6x – 4y + 1 = 4 (x2 + y2 – 4y – 2)
⇔ 3x2 + 3y2 + 6x – 12y – 9 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x – 4y –3 = 0
Vậy M di động trên một đường tròn có bán kính 12 + 22 + 3 = 2 2
x2 + y 2 − 2x + 4y − 1 = 0 (1)

3b. Tọa độ điểm chung thỏa hệ :  2
2
x + y + x + y − 4 = 0 (2)

(1) – (2) : -3x + 3y + 3 = 0 ⇔ x = y + 1
Thế vào (2) : (y + 1)2 + y2 + 2y – 3 = 0 ⇔ 2y2 + 4y – 2 = 0
Phương trình có hai nghiệm và tích của chúng là –1
Trang 9


4d. Đường tròn có tâm |(-1; 2), bán kính R = 10

M

Khoảng cách IH từ I tới đường thẳng :
| −1 + 2 + 1 |

= 2
IH =
2

H
R

N

I

Gọi MN là dây cung, H là trung điểm của MN
Ta có : MN = 2MH =

IM 2 − IH 2 = 2 10 − 2 = 4 2 ≈ 5,64

5a. Đường tròn (C) có tâm I(-m; 0), bán kính R =

m2 + 1

Đường tròn (C’) có tâm I’ (0; 4), bán kính R’ = 1
Ta coù II’ =

m 2 + 16 > R, R’, do đó hai đường tròn chỉ có thể tiếp xúc ngoài.

Khi : II’ = R + R’ ⇔

m 2 + 16 =

m 2 + 1 +1

⇔ m2 + 16 = m2 + 2 + 2 m 2 + 1 (bình phương hai vế)
⇔7=

2
m 2 + 1 ⇔ m = 48 ⇔ m = ± 4 3

6a. (C) coù tâm I (2; 0), bán kính R = 2
(C’) có tâm I’ (0; -1), bán kính R’ = 1 − m
YCBT ⇔ (C) và (C’) ở ngoài nhau II’ > R + R’
5 > 2 + 1− m

⇔
⇔

(

5 −2

)

2

> 1 − m ⇔ 0 < 1 – m <9 - 4 5

⇔ -8 + 4 5 Vậy không có số nguyên m nào để (C) và (C’) tiếp xúc nhai.
7b. (C) có tâm | (-1; 1) bán kính R = 1
(C’) có tâm |’ (m; -1), bán kính R’ =

m 2 + 3m + 11

(C), (C’) không có tiếp tuyến chung ⇔ (C), (C’) ở trong nhau
⇔ II’ < |R – R’|
⇔

(m + 1)2 + 4 < 11 − m 2 + 3m + 11 |

⇔ m2 + 2m + 5 < m2 + 3m + 12 - 2 m 2 + 3m + 11
⇔ 2 m 2 + 3m + 11 < m + 7
m > −7
⇔
2
2
4(m + 3m + 11) < m + 14m + 49
m > −7
5
⇔ −1 < m <
⇔ 2
3
3m − 2m − 5 < 0
Vì m ∈ Z neân m = 0 hay m = 1 : có 2 giá trị nguyên của m.
8e. Đường tròn (C) có tâm I (2; -3), bán kính R = 13
Trang 10


2

6
IH = R −  ÷ = 13 − 9 = 2

2
2

Gọi IH là khoảng cách từ I tới đường thẳng, ta có :

Đường thẳng cần tìm qua A (4; 2) có phương trình dạng : kx – y – 4k + 2 = 0
và cách tâm I (2; -3) một khoảng là 2 (k : hệ số góc)
| 2k + 3 − 4k + 2 |
Ta coù :
=2⇔ (5 – 2k
k2 + 1
21
= 1,05
)2 = 4 (k2 + 1) ⇔ k =
20
9b. Vì K là trung điểm của dây cung MN nên đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua K (0; -2) và
uu
r
vuông góc với | K = (-2; 1), có phương trình là :
-2 (x – 0) + 1 (y + 2) = 0 ⇔ 2x – y – 2 = 0
10c. Phương trình đường tròn có daïng : m (x2 + y2 – 4) + n (x2 + y2 + 2x – 2) = 0
Đường tròn naøy qua A (-3; 1), cho ta : 6m + 2n = 0 ⇔ n = -3m
Choïn m = 1 : n = -3, và phương trình đường tròn cần tìm là: x 2 + y2 + 3x – 1 = 0
13
≈1,80
2
11d. Phương trình đường tròn cần tìm có dạng :
x2 + y2 – 4y – 5 + m (2x + 2y – 7) = 0
⇔ x2 + y2 + 2mx + 2 (m – 2) y – 7m – 5 = 0
Phương trình hoành độ giao điểm của đường tròn và trục Ox :

x2 + 2mx – 7m – 5 = 0 (cho y = 0)
Đường tròn này có bán kính là :

YCBT ⇔ ∆’ = m2 + 7m + 5 = 0 ⇔ m

−7 ± 29
2

Bán kính đường tròn là R = |m – 2| ⇔ Bán kính nhỏ là

11 − 29
≈ 2,81
2

12a. Tâm I(-2; -2), bán kính R = 5
uuu
r
d ⊥ IM = (4; 3) taïi M (2; 1) có phương trình là : 4(x – 2) + 3 (y – 1) = 0
⇔ 4x + 3y – 11 = 0
13c. Phương trình d qua (3; 1) có hệ số góc k : kx – y – 3k + 1 + 0
| −5k + 3 |
=5
d tieáp xuùc (C) ⇔
k2 + 1
8
⇔ (-5k + 3)2 = 25 (k2 + 1) ⇔ k = −
15
* Nhận xét : Nếu xét cả đường thẳng d : x = 3 (không có hệ số góc), ta thấy ngay d (I, d) = R =
5 ⇒ x = 3 là tiếp tuyến thứ hai.
14c. Phương trình d dạng : 3x – 4y + m = 0 (m ≠ 12)

|m+2|
= 5 ⇔ m = 23 hay m = -27
d tiếp xúc (C) ⇔ d (|, d) = R ⇔
5
Trang 11

I

A


15a. (C) có tâm | (2; -1), bán kính R =

8 =2 2

Phương trình đường tròn đường kính A| :
(x – 5) (x – 2) + (y – 3) (y + 1) = 0
⇔ x2 + y2 – 7x – 2y + 7 = 0
Đường thẳng qua hai tiếp điểm chính là trục đẳng phương của đường tròn (C) và đường tròn
đường kính A|, do đó có phương trình là :
⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = x2 + y2 – 7x – 2y + 7 ⇔ 3x + 4y – 10 = 0
16d. (C) coù tâm I(-1; -3), bán kính R = 2 3
(C’) có tâm I’(1; 1), bán kính R’ = 2 3
II’ = 2 5 ⇒ IR = R’I < II’ < R + R’ ⇒ (C) và (C’) cắt nhau và bằng nhau.
uu
r
⇒ tiếp tuyến chung (t) có VTCP là II' = (2; 4) = 2 (1; 2), nên phương trình thuộc dạng : 2x – y
+m=0
m +1
Ta lại có : d (I, (t)) = R ⇔

= 2 3 ⇔ m = -1 ± 2 15
5
Phương trình tiếp tuyến chung (t) là : 2x – y – 1 ± 2 15 = 0
17d. (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 3 2
(C’) có tâm I’(1; 4), bán kính R’ =

2

II’ = 2 2 ⇒ II’ = R – R’ ⇒ (C) và (C’) tiếp xúc trong ⇒ (C) và (C’) có một tiếp tuyến chung
duy nhất cũng là trục đẳng phương của chúng có phương trình là : x 2 + y2 + 2x – 4y – 13 = x 2
+ y2 – 2x – 8y + 5 ⇔ x + y – 7 = 0
18d. (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = 2
(C’) có tâm I’(-3; 1), bán kính R’ = 2 2
Gọi (t) : ax + y + b = 0 là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, ta có :
| a − 2 + b |
= 2
(1)

a2 + 1

d(I,(t)) = R


 | a − 3a + 1 + b | = 2 2
d(I',(t)) = R ⇔ 
a2 + 1
t(I).t(I') > 0


(a − 2 + b)(−3a + 1 + b) > 0 (2)


((2) ⇔ I, I’ cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là (t))
⇔ -3a + 1 + b = 2(a – 2 + b) ⇔ b = -5a + 5
| 3 − 4a |
Thế vào (1) :
= 2 ⇔ (3 – 4a)2 = 2 (a2 + 1)
2
a +1
2
⇔ 14a – 24a + 7 = 0
7 1
=
Phương trình này có hai nghiệm và tích hai nghiệm là
14 2
19e. (C) có tâm I(-1; 2), R = 3
(C’) có tâm I’ (7; -6), R = 1
A
I

Trang 12

B

I’


Ta có A và B lần lượt là điểm chia II’ theo
R
R
tỉ số

= 3 và = -3, nên tọa độ laø :
R'
R'
x − 3x II'
x − 3x I'


xA = I
= 11
xB = I
=5




1− 3
1− 3
⇔

y I − 3y I '
y =
y = y I − 3y I' = −4
= −10
A

 B
1− 3
1+ 3



Vaäy A = (11; -10), B = (5; -4)
Phương trình đường tròn đường kính AB là: (x – 11) (x – 5) + (y + 10) (y + 4)
⇔ x2 + y2 – 16x + 14y + 95 = 0 ⇒ p + q + r = -16 + 14 + 95 = 93
20e. Gọi (Cm) và (Cm’) là hai đường tròn ứng với giá trị m ≠ m’. Phương trình tục đẳng phương của
chúng là :
x2 + y2 – 2mx + 2 (m – 2) y – 3 = x2 + y2 – 2m’x + 2 (m’ –2) y – 3
⇔ 2 (m – m’) x – 2 (m – m’) y = 0
⇔ x – y = 0 (chia hai veá cho m – m’ ≠ 0)
Đây là phương trình trục đẳng phương cố định cần tìm

Trang 13